5.4《二次函数与一元二次方程》第1课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，核心知识点为二次函数图象与x轴交点的横坐标即对应方程的实数根，以及交点个数与判别式的关联。课堂导入通过回顾一次函数y=2x-4与一元一次方程的关系，类比迁移至二次函数，搭建新旧知识的学习支架。 其亮点在于以竖直上抛小球的实际问题驱动探究，体现用数学眼光观察现实世界，通过三个二次函数图象与方程根的对比归纳规律，培养推理意识，结合代数法与图象法解决问题深化数形结合，助力学生发展模型意识。学生能提升知识应用能力，教师可依托完整教学流程高效开展教学。

第五章 二次函数 第4课 二次函数与一元二次方程 新版北师大数学九年级上册 第1课时 二次函数与x轴交点探究 学习目标 1.通过回顾一次函数与一元一次方程的对应关系,类比迁移得出二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根,建立新旧知识的内在联系. 2.通过观察、分析三个具体二次函数的图象特征,结合一元二次方程根的判别式,归纳总结二次函数图象与x轴交点个数的三种情况及其判定方法. 3.通过解决竖直上抛小球的实际问题,能够熟练运用二次函数与一元二次方程的关系进行定量计算和定性判断,深化对数形结合思想的理解与应用. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情景启航 问题1:我们在学习一次函数时,已经知道一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标,就是一元一次方程kx+b=0的解.请你结合具体例子y=2x-4说明这一结论. 从数的角度： 令y=0,得方程2x-4=0,解得x=2 从形的角度： 观察一次函数y=2x-4的图象与x轴交于点(2,0),其横坐标2就是方程2x-4=0的解. 类比一次函数与一元一次方程的关系,你认为二次函数y=ax²+bx+c（a≠0)与一元二次方程ax²+bx+c=0之间可能存在怎样的关系？ 问题构建 我们已经知道,竖直上抛物体的高度h（单位：m）与运动时间t（单位:s）的关系可以近似地用公式h=-5t²+v₀t+h₀表示,其中h₀（单位：m）是抛出时的高度,v₀（单位：m/s）是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛出,小球的高度h与运动时间t 之间的关系如图5-11所示. 问题2:根据题意，你能得出v₀和h₀的值吗？ v₀=40m/s，h₀=0m 追问1:根据题目中的公式,你能写出高度h与运动时间t的函数关系式吗？ h=-5t²+40t（t≥0） 问题构建 追问2:当小球落地时,其高度h=0,此时对应的时间t满足什么方程？解这个方程 满足方程-5t²+40t=0 解得t₁=0,t₂=8 追问3:观察课本图5-11,二次函数h=-5t²+40t的图象与t轴（即x轴）的交点坐标是什么？ 交点坐标是A(0,0)和B(8,0) A B 追问4:类比一次函数的研究方法,对比方程的解和图象 交点的横坐标,你能得出什么结论？ 问题构建 二次函数h=-5t²+40t的图象与t轴交点的横坐标0和8,就是一元二次方程-5t²+40t=0的两个实数根. 追问5:由此我们可以得到一般性结论:对于二次函数y=ax²+bx+c,当 y=0时,自变量x的值就是对应一元二次方程ax²+bx+c=0的解.从几何意义上讲,这意味着什么？ 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标,就是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根. 问题3:是不是所有的二次函数图象都与x轴有两个交点？请同学们在平面直角坐标系中分别画出二次函数y=x²+2x,y=x²-2x+1,y=x²-2x+2的图象. 问题构建 问题4:观察你所画的三个图象,它们与x轴的交点个数分别是多少？ y=x²+2x的图象与x轴有2个交点； y=x²-2x+1的图象与x轴有1个交点； y=x²-2x+2的图象与x轴没有交点 问题构建 追问1:分别求解这三个二次函数对应的一元二次方程x²+2x=0，x²-2x+1=0，x²-2x+2=0的实数根,看看有什么发现？ x²+2x=0， 有两个不相等的实数根x₁=-2，x₂=0； x²-2x+1=0， 有两个相等的实数根x₁=x₂=1 x²-2x+2=0,，没有实数根 追问2:将每个二次函数图象与x轴的交点个数和对应一元二次方程的实数根个数进行对比，你发现了怎样的一一对应关系？ 问题构建 当二次函数图象与x轴有2个交点时,对应的一元二次方程有两个不相等的实数根； 当二次函数图象与x轴有1个交点时,对应的一元二次方程有两个相等的实数根； 当二次函数图象与x轴没有交点时,对应的一元二次方程没有实数根 追问3:如果只为了判断交点个数,不计算具体的交点坐标,你有没有更快的判断方法呢？你是怎样想到的？ 在一元二次方程的学习过程中,我们解决过一类问题，不解方程就可以判断方程根的数量情况，只需要计算一元二次方程根的判别式即可. 问题构建 问题5:一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根个数可以由根的判别式Δ=b²-4ac来判定.请你结合判别式的符号,将上述对应关系补充完整. ①当Δ=b²-4ac>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根,二次函数y=ax²+bx+c的图象与 x轴有2个交点； ②当Δ=b²-4ac=0时,一元二次方程有两个相等的实数根,二次函数y=ax²+bx+c的图象与x 轴有1个交点（交点即为二次函数顶点）； ③当Δ=b²-4ac<0时,一元二次方程没有实数根,二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴没有交点. 追问1:上述结论反过来是否成立？即已知二次函数图象与x轴的交点个数,能否判断对应一元二次方程根的判别式的符号？ 协作破冰 反过来也成立. 若图象与x轴有2个交点,则Δ>0； 若图象与x轴有1个交点,则Δ=0； 若图象与x轴没有交点,则Δ<0 追问2:二次函数图象与x轴的交点问题,本质上是哪两类数学问题之间的相互转化？ 本质上是形的问题（图象交点个数）与数的问题（方程实数根个数）之间的相互转化，体现了数形结合的数学思想. 问题6:回到竖直上抛小球的问题,何时小球的高度为60m？请你分别用代数法和图象法解决这个问题 协作破冰 代数法: 令h=60,得方程-5t²+40t=60, 整理得t²-8t+12=0,解得t₁=2,t₂=6 图象法： 在h-t图象中,作直线h=60,与抛物线交于两点,其横坐标分别为 2和6.所以当t=2s和t=6s时,小球的高度为60m. 教师示范 问题7:小球的高度能否达到 85m？请用本节课所学的知识进行判断. 令h=85,得方程-5t²+40t=85,整理得 t²-8t+17=0 计算判别式Δ=(-8)²-4×1×17=64-68=-4<0，所以该方程没有实数根,说明小球的高度不能达到85m. 观察图象可以看出h=85这条直线与二次函数图象没有交点. 追问:如果我们想知道小球的高度能否达到80m，应该如何判断？结果如何？请你选择方法判断，并和同学分享交流. 教师示范 本节课的过程体现了由特殊到一般和数形结合的数学思想,为我们解决函数与方程的综合问题提供了重要的方法. 例：二次函数y＝的对称轴为直线x＝-1 （1）求二次函数y＝的解析式； （2）若关于x的一元二次方程＝0（t为实数）在﹣4＜x＜3的范围内有解,则t的取值范围是什么？ 解：（1）∵抛物线y＝的对称轴为直线x＝-1 ∴ ． ∴b＝2 故二次函数解析式为y＝ 巩固拓展 （2）已知b＝2，关于x的一元二次方程＝0变形为＝0， 把关于x的一元二次方程＝0（t为实数）在﹣4＜x＜3的范围内有实数根转化为 抛物线y＝ ＝0（t为实数）在﹣4＜x＜3的范围与x轴有交点， ∴Δ＝-4t≥0; x＝-4时,y＞0,且x＝3时,y＞0． 即 解得-8＜t≤1． 当堂检测 1.下列二次函数中,图象与x轴没有交点的是（ ） y=x²-2x-3 B.y=x²+4x+4 C.y=2x²+x+1 D.y=2x²-3x-1 C 分别计算判别式： A.Δ=(-2)²-4×1×(-3)=4+12=16>0，有2个交点； B.Δ=4²-4×1×4=16-16=0，有1个交点； C.Δ=1²-4×2×1=1-8=-7<0，没有交点； D.Δ=(-3)²-4×2×(-1)=9+8=17>0，有2个交点. 当堂检测 2.若二次函数y=mx²-2x+1 的图象与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是______ m<1且m≠0 因为图象与x轴有两个不同的交点,所以 Δ=(-2)²-4×m×1=4-4m>0，解得m<1 又因为是二次函数，所以m≠0 因此m的取值范围是m<1且m≠0 当堂检测 3.已知二次函数y=-x²+4x-3 （1）求该函数图象与x轴的交点坐标； （2）判断该函数图象与直线y=1有几个交点，并说明理由. （1）令y=0,得方程-x²+4x-3=0，整理得 x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3. 所以图象与x轴的交点坐标是(1,0)和(3,0) （2）令y=1,得方程-x²+4x-3=1，整理得 x²-4x+4=0 计算判别式Δ=(-4)²-4×1×4=16-16=0 所以该方程有两个相等的实数根,说明函数图象与直线y=1有1个交点. 反思总结 1.请用最简洁的语言概括二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程 ax²+bx+c=0之间的本质联系. 2.本节课我们通过类比一次函数和数形结合两种方法探究了二次函数与x轴的交点问题,这两种方法各有什么优势？ 3.当我们需要判断一个二次函数图象与某条水平直线y=k的交点个数时,应该如何转化为我们已经学过的知识来解决？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第148页 第1题 二、素养类作业 回顾阅读课本P32-33页的内容，为下节课学习做准备. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $