27.3（第3课时）建立反比例函数模型解决实际问题（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“建立反比例函数模型解决实际问题”，通过气体压强与体积、电磁波波长与频率等生活及学科实例导入，衔接函数模型认知，以数据表格、散点图为支架，引导学生经历“识别关系—建立模型—检验应用”的完整学习过程。 其亮点是融合跨学科案例与建模流程，培养数学眼光（抽象数据关系）、思维（推理反比例特征）、语言（表达模型）。如气体压强问题通过散点图识别双曲线特征，计算k值平均值建模并检验，助力学生提升实际应用能力，教师可直接利用结构化案例与步骤指导高效教学。

人教版(新教材) 九年级上册 27.3(第3课时) 建立反比例函数模型 解决实际问题 第二十七章 反比例函数 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型.面对不同的实际问题，我们需要根据数据和图象特征选择合适的函数模型,确定函数解析式，利用函数解决问题. 你在生活中遇到哪些利用函数模型 解决问题的例子呢？与同伴相互交流. 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某物理实验小组研究气体的压强p（单位：kPa）与体积V（单位：mL）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据： 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132 kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位）. 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 由表可知，压强p是体积V的函数.由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图.观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点，可以发现，图中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积V之间的关系. 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)建立模型.设函数解析式为 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 2000 2016 1968 2030 1956 2010 计算所有k值的平均值，得 我们把这个平均值1997作为k的值，就得到一个函数模型： 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (3)检验模型，将已知数据代入，或画出函数的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强p与体积V的关系. (4)求解问题，将p=132代入，得 解得，V≈15.13(mL). 因此，当压强为132 kPa时，气体的体积为15.13mL. 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 反比例函数模型 模型识别：实际问题中，两个变量的乘积为定值、一增一减，即为反比例函数关系. 解决问题：利用建立的反比例函数模型，代入已知量求解实际问题. 建模步骤：审题找定值——判断反比例关系——列解析式——确定实际取值范围. 01 02 03 数学建模 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式传播．5G技术的发展，使得依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值： 求当 时，电磁波的波长λ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 频率f（MHz） 5 10 15 20 25 波长λ（m） 60 30 20 15 12 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：由表中数据可知 ， ， ， ， ， ∴波长λ与频率f的乘积为定值，即λ与f满足反比例函数关系． 设波长λ与频率f的函数解析式为 ． 把 ，λ=60代入上式中得：k=300， ， 当 时， . 频率f（MHz） 5 10 15 20 25 波长λ（m） 60 30 20 15 12 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 忽略实际问题中的自变量的取值范围和特殊要求（如整数、正数等） 1 对实际问题中的变量和常量区分错误，误将变量当做定值导致建模错 2 建模成功后，对结果为进行检验，导致出现不符合实际意义的答案 3 利用反比例函数建模易错提醒 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲（chēqú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：μm/天）的数据如下表： 【模型构建】 (1)数学小组观察表格中数据，发现数据中x与y的乘积分别为 ， ， ， ，猜想当 时y与x符合反比例关系，设解析式为 ．为减少偏差，取 ，求反比例函数解析式． x 10 15 20 25 y 14.0 9.5 7.0 5.5 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 x 10 15 20 25 y 14.0 9.5 7.0 5.5 (1)解：∵ ， ， ， ， ， ∴反比例函数解析式为 ； 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (2)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请计算砗磲样本35岁时的平均日生长速率． (2)解：当 时， ． 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为 /天． 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸x（单位：英寸）和像素密度y（单位：PPI）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点(x,y)，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． (1)判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； (2)求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； 反比例 (2)解：设反比例函数解析式为 ， 将x=55时，y=40代入得： ，解得k=2200， ∴这个函数的解析式为 ； 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (3)某电子屏幕尺寸为50英寸，根据(2)中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． (3)解：把x=50代入 得 ， 答：它在该分辨率下的像素密度为44PPI． 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表： 【探索发现】 (1)通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； (2)请你根据上表中的数据在图中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用  函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 长度x(mm) 200 150 120 100 80 60 50 振动频率y(Hz) 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 高 反比例 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 长度x(mm) 200 150 120 100 80 60 50 振动频率y(Hz) 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 (2)解：描点、连线如图所示． 根据表格可知 ， ∴从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，该函数表达式为 ； 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 音符 不同音区的频率(Hz) 低音区 中音区 高音区 Do 262 523 1046 Re 294 587 1175 Mi 330 659 1318 Fa 349 698 1397 So 392 784 1568 La 440 880 1760 Si 494 988 1976 【实际应用】 (3)根据下表，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的Do音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到1mm） (3)解：这批吸管制作的排箫不能吹出低音区的Do音． 由题可得，低音区的音频率为262Hz， 代入 ，∴ ， ∴不能吹出低音区的Do音． 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 易错提醒 建立 反比例函数模型 解决实际问题 审题找定值——判断反比例关系——列解析式——确定实际取值范围. 实际问题中，两个变量的乘积为定值、一增一减，即为反比例函数关系. 模型识别 建模步骤 自变量取值范围，区分常量和变量， 对结果进行检验 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 在温度不变的条件下，某研究小组将等量的理想气体分别充入不同体积的容器中，并记录了当时容器内的气体的压强，部分实验数据如下表： 以下关系式中，最适合作为气体的压强P(kPa)关于容器体积V(m3)的函数表达式的是（   ） A． B． C． D． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 体积V(m3) 0.8 1.2 1.6 2 2.4 压强P(kPa) 120 80 60 47.9 40 解：根据表中数据可知，理想气体的压强P关于容器体积V成反比，设 ， 把点 代入，得 ，解得 ，故这个函数解析式为 . 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解：根据表格数据可得， ， 所以近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例， 所以y关于x的函数关系式是 ．当 时， . 近视镜镜片焦距y（米）是镜片度数x（度）的某种函数，下表记录了一些数据： 利用表格中的数据关系计算：当镜片度数为200度时，镜片焦距为（    ）米. A． B．1 C． D．2 x（度） … 100 250 400 500 … y（米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 … 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 体积x（mL） 20 40 60 80   压强y（kPa） 300 150 100 75 如图，“汽缸”是引导活塞在缸内进行直线往复运动的圆筒形金属机件，其工作原理是空气在汽缸中受到活塞件压缩而增强工作压力，在温度不变的条件下，压强与体积之间成反比例关系．通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强如下表：（调查获得的部分数据） 在温度不变的条件下，若要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为多少？ 解：由题得 ，即 ．当 时 ， ，解得 ． 答：要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为120mL． 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），v、t的一组对应值如下表： (1)根据表中的数据，可以将v与t看成函数关系，其函数表达式为 ； (1)解：∵ ， ，即每一对v与t的对应值乘积为一定值，t在减小，v在增大，∴v与t成反比关系，设 ，把 ， 代入反比 例函数得， ，∴v与t的表达式为 ，∵汽车行驶时速度不超过100千米/小时，∴ ，∴ ，∴表达式为 ． v（千米/小时） 40 50 60 75 80 t（小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），v、t的一组对应值如下表： (2)汽车上午9:00从甲地出发，请通过计算说明在上午11:30之前能否到达乙地． v（千米/小时） 40 50 60 75 80 t（小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 (2)解：∵11时30分－9时=2.5(小时)， ∴ （千米/小时）， ∵汽车行驶时速度不超过100千米/小时，120>100, ∴汽车不能在上午11:30之前到达乙地． 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 x（分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … y（℃） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的 坐标系中，描出相应的点； 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量x的取值范围． (2)解：第一次加热：y是x关于的一次函数，设 ， 将点 代入，可得 ，解得 ，∴ ； 第一次降温：y是x关于的反比例函数，设 ， 将点 代入，可得 ，解得 ， 当 时，则 ，解得 ， ∴第一次降温过程的函数解析式为 . 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 “道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系 中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 行车速度v（km/h） 40 45 55 70 80 100 视野角度f（度） 100 89 73 57 50 40 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 行车速度v（km/h） 40 45 55 70 80 100 视野角度f（度） 100 89 73 57 50 40 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度 f（度）与行车速度v（km/h）之间关系的函数表达式． 详解 (2)解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度f的乘积近似等于4000，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为： ； 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 (3)解：由题意，要求视野角度不小于80度，即 ，代入函数表达式得： ，因为行车速度v>0，∴ ， 解得 ， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过50km/h，即 ． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 27.3-3 建立反比例函数模型解决实际问题 $