27.3 第3课时 建立反比例函数模型（课件）--2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“建立反比例函数模型”核心知识点，通过气体压强与体积的实验数据导入，引导学生经历观察数据、画散点图、选择函数类型、求解析式的过程，搭建从准确反比例关系到近似模型的学习支架。 其亮点是以实验数据为载体，培养数学眼光（几何直观）、数学思维（推理意识）和数学语言（模型意识），如计算k值平均值建立近似模型并检验应用。学生提升数据建模能力，教师获得完整探究教学流程，助力高效教学。

人教版（新教材）数学九年级上册 第27章 反比例函数 27.3 第3课时 建立反比例函数模型 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/22 27.3第3课时 建立反比例函数模型专项练习 核心考点：分析实际变量关系、判定反比例关系、建立反比例函数模型、利用模型求解实际问题、参数求值与范围分析（满分100分） 一、选择题（每题6分，共30分） 1. 下列实际问题中，两个变量成反比例函数关系的是（） A. 匀速行驶的汽车，路程与时间 B. 正方形周长与边长 C. 总钱数固定，购买物品单价与数量 D. 圆的面积与半径 2. 在建立反比例函数模型\(y=\frac{k}{x}\)时，若两个变量乘积为定值，则这个定值是（） A. 自变量 \(x\) B. 函数值 \(y\) C. 比例系数 \(k\) D. 无法确定 3. 已知两个变量\(x、y\)成反比例，当\(x=3\)时\(y=4\)，则模型解析式为（） A. \(y=12x\) B. \(y=\frac{12}{x}\) C. \(y=7x\) D. \(y=\frac{7}{x}\) 4. 某定值压力作用在接触面，压强随受力面积增大而减小，其函数模型中\(k\)的取值满足（） A. \(k>0\) B. \(k<0\) C. \(k=0\) D. 任意实数 5. 建立实际反比例模型时，下列说法正确的是（） A. 自变量可取任意实数 B. 变量乘积一定变化 C. 变量互为反比例关系 D. 函数图象分布在二、四象限 二、填空题（每题6分，共30分） 6. 建立反比例函数模型的核心依据是：两个相关变量的________始终保持不变。 7. 工作总量一定，工作效率\(p\)与工作时间\(t\)的反比例模型为________。 8. 已知变量\(x、y\)成反比例，且\(x=-2\)时\(y=5\)，则比例系数\(k=\)________。 9. 长方体体积一定，底面积越大，高就________，符合反比例变化规律。 10. 若反比例模型\(y=\frac{k}{x}\)经过点\((4,-3)\)，则当\(x=6\)时，\(y=\)________。 三、解答题（共40分） 11.（12分）某项手工任务总工作量固定，多名工人参与完成。已知2名工人工作6小时可完成全部任务。（1）建立工作人数\(x\)与工作时长\(y\)的反比例函数模型；（2）求4名工人完成任务需要的时间。 12.（14分）仓库需要搬运90箱物资，搬运速度\(x\)（箱/分钟）与搬运总时间\(y\)（分钟）成反比例关系。（1）建立对应的函数模型，写出自变量取值范围；（2）若要求10分钟内完成搬运，每分钟至少搬运多少箱物资？ 13.（14分）已知封闭容器内气体质量恒定，气压\(P\)（千帕）与容器体积\(V\)（升）成反比例。当体积为15升时，气压为40千帕。（1）建立气压关于体积的反比例函数模型；（2）当容器体积压缩至10升时，求容器内的气压值。 参考答案与解析 1.C 解析：总钱数固定，单价×数量=总钱数（定值），符合反比例函数定义，其余选项均为正比例或二次关系。 2.C 解析：反比例函数本质为\(xy=k\)，变量乘积定值即为比例系数\(k\)。 3.B 解析：代入\(x=3，y=4\)得\(k=12\)，解析式为\(y=\frac{12}{x}\)。 4.A 解析：实际物理量均为正数，反比例模型中\(k>0\)，图象在第一象限。 5.C 解析：实际模型自变量为正数，乘积恒定，图象仅在第一象限，变量成反比例关系。 6.乘积 7.\(p=\frac{W}{t}\)（\(W\)为工作总量） 8.-10 9.越小 10.-2 11.解析：（1）总工作量\(2×6=12\)，模型为\(y=\frac{12}{x}(x>0)\)；（2）代入\(x=4\)，得\(y=3\)，需要3小时完成。 12.解析：（1）由总箱数固定得\(xy=90\)，模型为\(y=\frac{90}{x}(x>0)\)；（2）\(y≤10\)时，解得\(x≥9\)，每分钟至少搬运9箱。 13.解析：（1）代入\(V=15，P=40\)得\(k=600\)，模型为\(P=\frac{600}{V}(V>0)\)；（2）代入\(V=10\)，得\(P=60\)，气压为60千帕。 （字数：1122） 情境导入 1. 理解实际问题中“近似函数模型”的意义，掌握用反比例函数拟合实际数据的方法，能归纳建立函数模型解决实际问题的步骤. (重点) 2. 通过分析实验数据，经历“观察数据→画散点图→选函数模型→求解析式→应用”的过程，提升数据建模能力.(难点) 3. 体会数学模型在实际问题中的“近似性”，感受数学与物理等学科的联系，培养严谨的数据分析思维. 学习目标 2 前面几节课，我们解决的都是能用反比例函数准确刻画的问题. 但在现实生活中，很多时候我们只有一堆实验数据，就像这组气体压强和体积的数据，我们不清楚变量之间是否存在一定的函数关系，如果存在，怎么选择合适的函数模型近似描述气体的压强和体积之间的关系，进而解决相关问题？ 下面让我们一起来探究吧！ 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 探究新知 探究 某物理实验小组研究气体的压强 p（单位：kPa）与体积V（单位：mL）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据（如表）. 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 气体的压强 p 与体积 V 是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132 kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位）. 分析：由表可知，压强 p 是体积V的函数. 由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. 探究新知 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 (1) 为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图（图(1)）. 观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点. 可以发现，图(2)中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强 p 与体积 V 之间的关系. 探究新知 (2) 建立模型. 设函数解析式为 p（V>0），根据表(1)中的数据，分别求出 k 的值，列出表(2). 表(1) 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2 016 1 968 2 030 1 956 2 010 表(2) 计算所有 k 值的平均值，得 k(2 000+2 016+1 968+2 030+1 956+2 010) ≈ 1 997. 我们把这个平均值1 997作为 k 的值，就得到一个函数模型 k值不相同怎么办？ 探究新知 V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2 016 1 968 2 030 1 956 2 010 (3) 检验模型. 将已知数据代入 ，或画出函数 的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强  与体积  的关系. (4) 求解问题. 将 p=132 代入p，得 132 解得 15.13(mL). 因此，当压强为 132  kPa 时，气体的体积约为 15.13  mL. 探究新知 回顾“探究”，回答以下问题： (1) 表中的有些数对只能近似满足函数解析式 p（V>0），即图中的点并没有完全落在函数p的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ 以往所学的函数模型(如一次函数、二次函数)通常通过已知条件确定唯一函数解析式，所有已知点都完全满足该解析式； 而本题的函数模型是通过实验数据拟合得到的，利用多组数据计算k=pV的平均值作为参数，得到的模型是近似模型(并非所有已知点都完全满足)，但能较好地反映整体变化规律. “拟合”在科学实验和数据分析中，通俗来说，就是寻找一条最能代表数据点变化趋势的“线”（或公式）的过程. 探究新知 回顾“探究”，回答以下问题： (2) 结合“探究”和问题 (1) 所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤. ①分析数据，选择函数类型：通过散点图观察数据分布特征(如本题曲线形似双曲线的一支)，选择合适的函数类型(如反比例函数); ②建立模型：设出函数解析式(如),利用已知数据计算待定系数(如本题计算所有k值的平均值); ③检验模型：将已知数据代入模型，验证模型与实际数据是否基本吻合; ④求解问题：利用建立的函数模型解决实际问题(如估计未知数据). 探究新知 【思维激活】 在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问 题：如果一个矩形的面积为定值，周长是否存在最 大值或最小值？ 【思维引导】 当堂检测 由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数 相关内容，为此先在平面直角坐标系中画出反比例 函数的图象(如图①). 当堂检测 如图①，在该反比例函数图象上任取一点A，作出 矩形ABOC. 为探究它的周长的最大值或最小值情 况，点A取不同位置时，分别测量AB和AC的长，得 到部分数据如下： AB … 1.00 1.50 2.00 3. 00 3. 50 4. 00 5. 00 6. 00 … AB＋ AC … 7.00 5.50 5.00 5. 00 5. 21 5. 50 6. 20 7. 00 … 当堂检测 【思维呈现】 (1)矩形ABOC的面积为 ⁠； (2)根据上面表格中的数据，以AB的长为横坐标， AB＋AC的和为纵坐标，在图②的平面直角坐标系 中描出表中各组数值所对应的点(AB，AB＋AC)， 并用平滑的曲线连接； 6　 解：如图②所示. 当堂检测 (3)根据以上信息，判断AB＋AC存在最 值(填 “大”或“小”)，此时矩形ABOC的周长C1约 为 (结果保留小数点后一位)； 【思维拓展】 (4)若一个面积为6的圆的周长记为C2，则 C1 C2(填“＞”“＜”或“＝”). 小　 9.8　 ＞　 当堂检测 1. 返回 东莞二模综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图①，砗磲(chē　qú)是地球上最大的双壳类软体动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x(单位：岁)与平均日生长速率y(单位：μm/天)的数据如下表： x/岁 0 5 10 15 20 25 y/(μm/天) 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 举一反三 15 返回 【模型构建1】如图②，数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图②点的分布情况，猜想其函数图象是过点(0，26.0)的抛物线，设解析式为y＝ax2＋bx＋26. (1)选取两个点(10，14.0)，(20，7.0)，求抛物线的解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 举一反三 返回 解：将(10，14.0)，(20，7.0)代入y＝ax2＋bx＋26， ∴该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁． 举一反三 返回 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为k1＝140，k2＝142.5，k3＝140，k4＝137.5，猜想当x≥10时y与x符合反比例关系，设解析式为y＝ . (2)为减少偏差，取k＝ ，求反比例函数的解析式． 解：当x≥10时， 举一反三 返回 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (3)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算．(砗磲为国家保护动物) 举一反三 返回 解：由模型1可知，当x≥29时，y随x的增大而增大，不符合砗磲的生长规律．由模型2可知，当x≥10时，y随x的增大而减小，符合砗磲的生长规律， ∴选择模型2.当x＝35时，y＝ 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为4 μm/天． 举一反三 建立函数模型 解决实际问题 ①分析数据，选择函数类型：通过散点图观察数据分布特征(如“探究”中的曲线形似双曲线的一支)，选择合适的函数类型(如反比例函数); ②建立模型：设出函数解析式，利用已知数据计算待定系数; ③检验模型：将已知数据代入模型，验证模型与实际数据是否基本吻合; ④求解问题：利用建立的函数模型解决实际问题(如估计未知数据). 课堂小结 谢谢观看 THANKS 得解得 ∴y＝x2－x＋26＝(x－29)2＋. k＝＝140， ∴y＝. ＝4. $