1.2.4绝对值【精讲精练-分层训练】同步讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦绝对值核心知识点，从几何意义（数轴上点到原点的距离）切入，衔接代数求法（正数、负数、0的绝对值规则），延伸至利用绝对值比较两个负数大小，融入数形结合与分类讨论思想，构建从概念到应用的学习支架。 资料以分层题型（基础巩固、拔高提升、思维拓展）为特色，通过篮球质量检查等实例强化应用，突出几何直观与推理意识培养。课中助力教师系统授课，课后帮助学生通过变式训练查漏补缺，深化对绝对值非负性等难点的理解。

1.2.4绝对值 学习目标导航 1、理解绝对值的几何意义：能在数轴上识别表示数 aa 的点与原点的距离，理解绝对值即“距离”的概念。 2、掌握绝对值的代数求法：能根据数的正负性求绝对值（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0）。 3、掌握利用绝对值比较大小：理解并运用“两个负数，绝对值大的反而小”这一法则进行有理数的大小比较。 4、初步体会数学思想：在探索绝对值性质的过程中，体会数形结合思想（数轴与绝对值的关系）和分类讨论思想（正数、负数、0的分类）。 重点： 1、绝对值的概念：从几何（距离）和代数（去符号）两个角度深刻理解绝对值的定义。 2、绝对值的性质与运算：熟练求出一个有理数的绝对值，并能利用绝对值比较两个负数的大小。 难点： 1、绝对值几何意义的理解：将抽象的数值∣a∣转化为数轴上具体的“距离”概念，特别是理解距离的非负性（即∣a∣≥0）。 2、含字母的绝对值化简：当绝对值符号内含有字母（如∣x−2∣）时，能根据字母的取值范围进行分类讨论并去绝对值符号。 教材◆核心知识 知识点01： 绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 特别提醒 在利用绝对值代数意义去绝对值符号时，一定要先判断绝对值里面式子的正负性，如果正负性不确定，要分情况讨论。例如化简|x-2|，需要分x>2、x=2、x<2三种情况讨论，不能直接写成x-2或者2-x。 不要错误认为|a|一定是正数，|a|其实是非负数，最小的绝对值是0，不是1。 计算绝对值时，要先计算绝对值符号内的运算，再求绝对值，不能先拆分符号再计算。例如|3-5|要先算3-5=-2，再算|-2|=2，不能写成|3|-|5|=3-5=-2。 知识点02： 利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 知识点03: 基于绝对值几何意义的最值 绝对值的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离，拓展到两个数时，的几何意义是数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离。基于这一几何意义，可以探究出一类含绝对值代数式的最值规律： 1. 单变量多绝对值和的最值规律 对于形如（其中）的代数式，其几何意义是数轴上动点x到n个定点的距离之和。规律如下： · 当n为奇数时，动点x取在中间的定点（即第个定点）时，距离之和取得最小值，最小值为两端点定点之间的距离和减去中间部分重叠距离，最终可化简为所有大端点减去所有小端点的和； · 当n为偶数时，动点x取在中间两个定点之间（包含两个端点）任意位置时，距离之和都取得最小值，最小值同样为所有大端点之和减去所有小端点之和。 2. 含绝对值差的最值规律 对于形如（a<b）的代数式，其几何意义是动点x到a的距离减去动点x到b的距离，根据三角形三边关系（数轴上三点的距离关系）可得：最大值为，最小值为，当动点x在b右侧时取得最大值，在a左侧时取得最小值。 核心题型◆归纳 题型1 .求一个数的绝对值 题型2. 绝对值的非负性 题型3. 绝对值的应用 题型4. 绝对值的几何意义 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 题型解析◆精准备考 【题型1 求一个数的绝对值】 例题：计算： ． 【答案】2025 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的化简，掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 【变式训练】 1．计算： ． 【答案】2 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据，进行作答即可． 【详解】解： 故答案为： 2 【题型2 绝对值的非负性】 例题：若，则 ， ． 【答案】 3 4 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，求出x、y的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：3；4． 【变式训练】 1．（已知，则，，的值分别是 ． 【答案】，， 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 任何数的绝对值都是非负数，若几个非负数的和为零，则每个非负数分别为零，据此即可求解． 【详解】∵，，，且， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，，． 【题型3 绝对值的应用】 例题：检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球 (2)见解析 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵， ∴3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得： 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么两个篮球的质量一样好． 【变式训练】 1．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ 【答案】(1)4 (2)3袋 【知识点】绝对值的其他应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正数，负数，绝对值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据绝对值越小越接近标准，可得答案； （2）将表格中的数据与误差标准进行比较即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，， ， ∴最接近标准重量的是； （2）解：∵，，，，，， ，， ∴有袋不合格产品． 【题型4 绝对值的几何意义】 例题：已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)用“> ”或“< ”填空：a 0 ，b 0 ，c 0； (2)在数轴上标出a，b，c相反数的位置； (3)若，求a，b，c的值． 【答案】(1)<；>；> (2)见解析 (3) 【知识点】绝对值的几何意义、相反数的定义、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴的应用，相反数的概念，绝对值的性质等，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）观察数轴，即可得出答案； （2）运用相反数的概念在数轴上表示出相应的点； （3）根据绝对值的性质即可得出答案． 【详解】（1）由图可知： 故答案为：， （2）如图所示： （3）， 又， 【变式训练】 1．有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义、相反数的定义、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解； （）根据相反数的定义即可求解； （）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解； 本题考查了数轴，绝对值的性质，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵互为相反数， ∴，即， ∴， 故答案为：； （3）解：由数轴可知：， ∴ ． 1．（   ） A．0 B．1 C． D．2023 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．据此求解即可． 【详解】解： 故选D． 2．－的绝对值是：（   ） A．－ B． C．－6 D．6 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的绝对值 【详解】解：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点－到原点的距离是，所以﹣的绝对值是， 故选B． 3．下列数据，绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的大小比较，求出每个数的绝对值是解题的关键．分别求出每个数的绝对值，即可求解． 【详解】解：∵，，，，且， ∴的绝对值最大． 故选：A 4．2024相反数的绝对值是（   ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查相反数和绝对值的定义，熟练掌握相反数和绝对值的定义是关键．按照定义先求出2024的相反数，再计算其绝对值即可得到结果． 【详解】解：2024的相反数是，． 故选：C． 5．已知在数轴上点A表示的数为，则点A与原点之间的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】点与原点之间的距离即到原点的距离．本题考查了数轴，关键是掌握用绝对值求两点间距离． 【详解】解：依题意，， ∴则点A与原点之间的距离为2 故选：D． 6．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数．不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键 ． 求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：，，，， 而， 最接近标准的是选项D． 故选：D． 7．的绝对值等于________． 【答案】100 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 负数的绝对值等于它的相反数，由此计算即可． 【详解】解：，即的绝对值等于100， 故答案为：100． 8．若，则______． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【详解】此题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质求解即可． 【分析】解：若，则． 故答案为：． 9．已知，是有理数，且满足，求与的值． 【答案】， 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值非负的性质．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值． 【详解】解：， ，， ，， 故答案为：，． 10．（　　） A． B． C． D．7 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 11．的绝对值是（    ） A．3 B．8 C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查求一个的绝对值，是基础考点，根据一个负数的绝对值等于它的相反数，即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 12．下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查比较有理数的大小，根据绝对值的意义，求出每一个数的绝对值，再比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴绝对值最小的数是0； 故选：A． 13．已知，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的意义，先由，得，再根据数即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 14．下列说法正确的是（　　） A．若，则a一定是一个正数 B．若，则a一定是一个负数 C．若，则a一定是一个非负数 D．若，则或 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了绝对值、正数、负数的定义．根据绝对值、正数、负数的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、若，则一定是非负数，本选项不符合题意； B、若，则一定是非正数，本选项不符合题意； C、若，则a是正数或负数或0，本选项不符合题意； D、若，则或，本选项符合题意； 故选：D． 15．下列各数表示在同一数轴上，到原点距离最近的点对应的数是（  ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就表示这个数到原点的距离，熟记绝对值的定义是解题的关键．到原点最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：四个点所表示的有理数的绝对值分别为1、50，其中绝对值最小的是1，则到原点距离最近的点的是； 故选：C． 16．近日，珠海市第十六中学组织学生进行健康体检，若七年级学生的标准体重为，高于标准体重部分记为正数，低于标准体重部分记为负数，下面四位学生中最接近标准体重的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用、求一个数的绝对值 【分析】此题考查了正数与负数，和绝对值．求出各数绝对值，比较大小即可． 【详解】解：，，，， ， 则实际质量最接近标准质量的是， 故选：C． 17．写出绝对值小于2.01的所有整数______． 【答案】，，0，1，2 【知识点】绝对值的几何意义、有理数大小比较 【分析】本题考查的是有理数的大小比较、绝对值的概念，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 根据绝对值的概念、有理数的大小比较法则可得结果． 【详解】解：绝对值小于2.01的整数为，，0，1，2， 故答案为：，，0，1，2． 18．已知，．当x，y异号时，求x，y的值． 【答案】，或， 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义及x，y异号即可求出x，y的值． 【详解】解：∵，， ∴ ，， ∵x，y异号， ∴，或，． 19．某汽车配件厂生产一批圆形的零件，现从中抽取6件进行检查，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查记录如下表： 1 2 3 4 5 6 0 (1)找出哪件零件的质量相对好一些？ (2)若规定与标准直径相差不大于0.2毫米的产品为合格产品；则这6件产品中有哪些产品不合格？ 【答案】(1)第4件质量最好； (2)第1件、第2件产品不合格． 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值的其他应用 【分析】（1）根据绝对值越小质量越好，越大质量越差即可知道哪件零件的质量相对来讲好一些； （2）按绝对值由大到小排即可． 【详解】（1）解：∵|+0.5|=0.5，|-0.3|=0.3，|+0.1|=0.1，|0|=0，|-0.1|=0.1，|+0.2|=0.2， ∵0＜0.1=0.1＜0.2＜0.3＜0.5， ∴|0|＜|+0.1|=|-0.1|＜|+0.2|＜|-0.3|＜|+0.5|， ∴第4件质量最好； （2）解：∵|+0.5|=0.5＞0.2，|-0.3|=0.3＞0.2， ∴第1件、第2件产品不合格． 【点睛】本题主要考查绝对值的意义，可以结合绝对值的意义进行解答． 20．已知点，，，在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，绝对值的意义，根据绝对值越大的数离数轴原点越远，进行作答即可． 【详解】解：结合数轴，点离数轴原点最远，则点的绝对值最大， 故选：A． 21．若m的绝对值为，则m的值是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】化简多重符号、绝对值的几何意义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查的是化简双重符号，绝对值的含义，先求解，再根据绝对值的含义可得答案． 【详解】解：∵， ∴m的绝对值为， ∴， 故选：D 22．在数轴上有两个点，点M表示数a，点N表示数，则下列描述正确的是（   ） A．点M在原点右侧，点N在原点左侧 B．点M在原点左侧，点N在原点右侧 C．点M和点N到原点的距离一定相等 D．点M和点N一定在原点的两侧 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查数轴，理解绝对值的意义是解题关键． 由于不知道数a的数值，所以无法判断其正负性，根据绝对值的意义即可判断． 【详解】解：∵点M表示数a，点N表示数， ∴，即点M和点N到原点的距离一定相等， 故选：C． 23．如果的绝对值等于它的相反数，那么符合条件的的值可能是______．（写出一个即可） 【答案】0或负数（写出一个即可） 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的性质：若，则；若，则；若，则． 【详解】解：∵一个数的绝对值等于这个数的相反数， ∴这个数为0或负数． 故答案为：0或负数（写出一个即可）． 24．已知，则，，的值分别是______． 【答案】，， 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 任何数的绝对值都是非负数，若几个非负数的和为零，则每个非负数分别为零，据此即可求解． 【详解】∵，，，且， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，，． 25．某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 【答案】(1)5号零件的大小最符合标准 (2)1、2、5号是正品，3号是次品，4号是废品 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题主要考查了绝对值意义，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据． （1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品． 【详解】（1）解：∵， ∴5号零件的大小最符合标准． （2）解：∵，， ∴第1、2、5号是正品； ∵， ∴3号是次品， ∵， ∴4号为废品． 26．世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【答案】(1) 解：四号球，正好等于标准的质量， 五号球，，比标准球轻克， 二号球，，比标准球重克． (2) 解：在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个； 理由如下：一号球，，不合格， 二号球，，优等品， 三号球，，合格品， 四号球，，优等品， 五号球，，优等品， 六号球，，合格品． 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的意义及应用，熟练掌握相关知识是解题的关键； 判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．据此进行判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 27．有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【答案】(1)周正 (2) ∵， ∴李嘉同学加工的零件直径比标准直径误差最小， ∴李嘉的最好． 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值的性质： （1）找出直径超过的零件，即可得出答案； （2）通过比较绝对值，得出，可知张琪同学加工的零件直径比标准直径误差最小，得出答案． 【详解】（1）∵零件直径比标准直径可以有的误差， 而， ∴周正同学加工的零件不符合标准； （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.4绝对值 学习目标导航 1、理解绝对值的几何意义：能在数轴上识别表示数 aa 的点与原点的距离，理解绝对值即“距离”的概念。 2、掌握绝对值的代数求法：能根据数的正负性求绝对值（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0）。 3、掌握利用绝对值比较大小：理解并运用“两个负数，绝对值大的反而小”这一法则进行有理数的大小比较。 4、初步体会数学思想：在探索绝对值性质的过程中，体会数形结合思想（数轴与绝对值的关系）和分类讨论思想（正数、负数、0的分类）。 重点： 1、绝对值的概念：从几何（距离）和代数（去符号）两个角度深刻理解绝对值的定义。 2、绝对值的性质与运算：熟练求出一个有理数的绝对值，并能利用绝对值比较两个负数的大小。 难点： 1、绝对值几何意义的理解：将抽象的数值∣a∣转化为数轴上具体的“距离”概念，特别是理解距离的非负性（即∣a∣≥0）。 2、含字母的绝对值化简：当绝对值符号内含有字母（如∣x−2∣）时，能根据字母的取值范围进行分类讨论并去绝对值符号。 教材◆核心知识 知识点01： 绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 特别提醒 在利用绝对值代数意义去绝对值符号时，一定要先判断绝对值里面式子的正负性，如果正负性不确定，要分情况讨论。例如化简|x-2|，需要分x>2、x=2、x<2三种情况讨论，不能直接写成x-2或者2-x。 不要错误认为|a|一定是正数，|a|其实是非负数，最小的绝对值是0，不是1。 计算绝对值时，要先计算绝对值符号内的运算，再求绝对值，不能先拆分符号再计算。例如|3-5|要先算3-5=-2，再算|-2|=2，不能写成|3|-|5|=3-5=-2。 知识点02： 利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 知识点03: 基于绝对值几何意义的最值 绝对值的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离，拓展到两个数时，的几何意义是数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离。基于这一几何意义，可以探究出一类含绝对值代数式的最值规律： 1. 单变量多绝对值和的最值规律 对于形如（其中）的代数式，其几何意义是数轴上动点x到n个定点的距离之和。规律如下： · 当n为奇数时，动点x取在中间的定点（即第个定点）时，距离之和取得最小值，最小值为两端点定点之间的距离和减去中间部分重叠距离，最终可化简为所有大端点减去所有小端点的和； · 当n为偶数时，动点x取在中间两个定点之间（包含两个端点）任意位置时，距离之和都取得最小值，最小值同样为所有大端点之和减去所有小端点之和。 2. 含绝对值差的最值规律 对于形如（a<b）的代数式，其几何意义是动点x到a的距离减去动点x到b的距离，根据三角形三边关系（数轴上三点的距离关系）可得：最大值为，最小值为，当动点x在b右侧时取得最大值，在a左侧时取得最小值。 核心题型◆归纳 题型1 .求一个数的绝对值 题型2. 绝对值的非负性 题型3. 绝对值的应用 题型4. 绝对值的几何意义 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 题型解析◆精准备考 【题型1 求一个数的绝对值】 例题：计算： ． 【变式训练】 1．计算： ． 【题型2 绝对值的非负性】 例题：若，则 ， ． 【变式训练】 1．已知，则，，的值分别是 ． 【题型3 绝对值的应用】 例题：检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【变式训练】 1．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ 【题型4 绝对值的几何意义】 例题：已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)用“> ”或“< ”填空：a 0 ，b 0 ，c 0； (2)在数轴上标出a，b，c相反数的位置； (3)若，求a，b，c的值． 【变式训练】 1．有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 1．（   ） A．0 B．1 C． D．2023 2．－的绝对值是：（   ） A．－ B． C．－6 D．6 3．下列数据，绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 4．2024相反数的绝对值是（   ） A． B． C．2024 D． 5．已知在数轴上点A表示的数为，则点A与原点之间的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 6．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数．不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 7．的绝对值等于________． 8．若，则______． 9．已知，是有理数，且满足，求与的值． 10．（　　） A． B． C． D．7 11．的绝对值是（    ） A．3 B．8 C． D． 12．下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 13．已知，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．以上都不对 14．下列说法正确的是（　　） A．若，则a一定是一个正数 B．若，则a一定是一个负数 C．若，则a一定是一个非负数 D．若，则或 15．下列各数表示在同一数轴上，到原点距离最近的点对应的数是（  ） A．4 B． C． D． 16．近日，珠海市第十六中学组织学生进行健康体检，若七年级学生的标准体重为，高于标准体重部分记为正数，低于标准体重部分记为负数，下面四位学生中最接近标准体重的是（   ） A． B． C． D． 17．写出绝对值小于2.01的所有整数______． 18．已知，．当x，y异号时，求x，y的值． 19．某汽车配件厂生产一批圆形的零件，现从中抽取6件进行检查，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查记录如下表： 1 2 3 4 5 6 0 (1)找出哪件零件的质量相对好一些？ (2)若规定与标准直径相差不大于0.2毫米的产品为合格产品；则这6件产品中有哪些产品不合格？ 20．已知点，，，在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 21．若m的绝对值为，则m的值是（   ） A． B．5 C． D． 22．在数轴上有两个点，点M表示数a，点N表示数，则下列描述正确的是（   ） A．点M在原点右侧，点N在原点左侧 B．点M在原点左侧，点N在原点右侧 C．点M和点N到原点的距离一定相等 D．点M和点N一定在原点的两侧 23．如果的绝对值等于它的相反数，那么符合条件的的值可能是______．（写出一个即可） 24．已知，则，，的值分别是______． 25．某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 26．世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 27．有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $