1.2有理数及其大小比较【精讲精练-分层训练】同步讲义 -2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义系统梳理有理数的分类（整数/分数、正有理数/0/负有理数）、数轴三要素及点与数的对应关系、相反数的几何与代数定义、绝对值的几何意义与代数求法，以及利用绝对值比较大小的方法，构建从概念到工具再到应用的连贯学习支架。 该资料采用“核心知识梳理-题型解析-分层练习”设计，通过数轴整点个数、动点问题等题型培养几何直观与空间观念，绝对值非负性应用（如|a|+|b|=0）发展推理意识，结合实际气温比较题型强化应用意识。课中辅助教师系统授课，课后分层练习助力学生巩固基础、提升能力，有效查漏补缺。

1.2有理数及其大小比较 学习目标导航 1.掌握有理数的分类（整数/分数，或正有理数/0/负有理数），理解数集的概念。 2.掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），理解数轴上的点与有理数的对应关系。 3.理解相反数的几何定义（到原点距离相等）和代数定义（只有符号不同）。 4.理解绝对值的几何意义（距离），掌握绝对值的代数求法（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0）。 资料目录导航 核心知识梳理 题型解析归纳 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 教材核心知识解读 知识点01 ：有理数的概念 概 念：整数和分数统称有理数. 整 数：正整数、0、负整数统称为整数. 分 数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 知识点02 ：有理数的分类 两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 知识点03 ：数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴满足以下三个要素： 1. 原点：在直线上取一个点表示(0)，这个点叫做原点，原点是数轴的基准点； 2. 正方向：通常规定直线向右（或向上）为正方向，向左（或向下）为负方向，用箭头标出； 3. 单位长度：选取适当的长度作为单位长度，同一数轴上的单位长度必须统一，不能出现不同的单位长度。 画数轴的步骤一般为： 1. 画一条水平直线； 2. 在直线上选取一点作为原点，标注出(0)； 3. 确定正方向，在原点的右端画上箭头表示正方向； 4. 选取合适的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一个点，依次标注；从原点向左每隔一个单位长度取一个点，依次标注。 知识点04：相反数 只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。若a是任意一个有理数，则a的相反数为-a，这里的-a不一定是负数：当a是正数时，-a是负数；当a是负数时，-a是正数；当a=0时，-a=0。 相反数从几何意义上看，互为相反数的两个数位于原点两侧，且到原点的距离相等，两个点关于原点对称。 性质规律 ①互为相反数的两个数相加和为0，即若a与b互为相反数，则a+b=0；反之若a+b=0，则a与b互为相反数。 ②相反数等于本身的数只有0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 ③多重符号化简遵循“奇负偶正”：数字前面负号的个数为奇数时，最终结果为负；负号个数为偶数时，最终结果为正。例如：-(-(-3))化简后为-3，-(-(+3))化简后为+3。 知识点05： 绝对值 绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身：若a>0，则|a|=a 一个负数的绝对值是它的相反数：若a<0，则|a|=-a 0的绝对值是0：若a=0，则|a|=0 也可以将绝对值的代数意义写成统一形式： 绝对值的性质 非负性：任意有理数的绝对值都大于等于0，若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。例如：若|a|+|b|=0，则a=0且b=0，这是绝对值非负性最常见的考察形式。 绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；绝对值等于0的数只有一个，就是0；没有绝对值等于负数的数。 互为相反数的两个数绝对值相等，即|a|=|-a|。 若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0，这里注意0也满足这两种情况，不要遗漏0。 知识点06： 利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 题型解析◆精准备考 题型1 有理数的分类 ▌例1 在，0，，，，，中，负数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 ▌例2．下列四个数中，是负整数的是（    ） A． B．0 C． D．7 题型2 0的意义 ▌例1下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 ▌例2某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 题型3 数轴的概念理解 ▌例1下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． ▌例2判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型4 在数轴上表示数 ▌例1如图，数轴上表示的点是（     ） A．M B．N C．O D．P ▌例2如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（     ） A． B． C． D． 题型5 利用数轴求整点个数 ▌例1如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 ▌例2如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 题型6 利用数轴比较有理数大小 ▌例1在数轴上位于左侧的数是（   ） A．0 B． C． D． ▌例2如图，数轴上点A，B，C表示的数是分别是，，，下列判断错误的是（     ） A． B． C． D． 题型7 数轴上的动点问题 ▌例1如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 ▌例2如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 题型 8 数轴上两点之间的距离 ▌例1如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． ▌例2如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 题型9 数轴上的规律探究 ▌例1正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． ▌例2边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 题型10 判断一个数的相反数 ▌例1 的相反数是（     ） A． B． C． D． ▌例2．2026年是农历丙午马年，的相反数是（     ） A． B． C． D． 题型11 相反数的应用 ▌例1 ．如果式子与式子的值互为相反数，那么的值是（    ） A． B．0 C． D．1 ▌例2．如图是一个正方体的平面展开图，若相对两个面上的数互为相反数，则的值为（   ） A． B． C．0 D．4 题型12 求一个数的绝对值 ▌例1（     ） A． B． C．3 D． ▌例2的绝对值是（     ） A． B． C． D． 题型13 绝对值的化简 ▌例1有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则式子化简的结果为（   ） A． B． C． D． ▌例2下列各数化简正确的是（   ） A． B． C． D． 题型14 绝对值的非负性 ▌例1如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． ▌例2如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 题型15 利用绝对值求距离 ▌例1已知数轴上两点、到原点的距离是3和7，则、两点间的距离是（    ） A．5 B．9 C．4或10 D．3或7 ▌例2点，，，在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与到原点的距离相等的点是（     ） A． B． C． D． 题型16 比较有理数的大小 ▌例1在，，，这四个数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． ▌例2，2，5，2026中，最小的数是（     ） A． B．2 C．5 D．2026 题型17 有理数大小比较的应用 ▌例1根据综合气象信息，2026年马年春节当天惠州市四大景区的最低气温如下表所示： 景区 罗浮山 南昆山 惠州西湖 双月湾 最低气温 其中当天气温最低的景区是（     ） A．罗浮山 B．南昆山 C．惠州西湖 D．双月湾 ▌例2下面是我国几个城市某年一月份的平均气温，气温最高的城市是（     ） A．北京（） B．广州（） C．南京（） D．哈尔滨（） 1．不属于（   ） A．整数 B．有理数 C．分数 D．负数 2．下列图形表示数轴正确的是（   ） A． B． C． D． 3．的相反数是（   ） A． B． C． D．2024 4．（   ） A．0 B．1 C． D．2023 5．，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 6．最大的负整数是________；最小的自然数是_______． 7．在数轴上，表示与4的点之间（包括这两个点）有________个点表示的数是整数，它们表示的数分别是________，其中负整数有________个． 8．如图，数轴上点P所表示的数的相反数可能为___________．（写出一个即可） 9．如果，那么__________；如果是负数，且，那么__________． 10．下列各数，，，，，，其中，最小的数是_________． 11．把下列各数分别填在相应的集合内：，73，，，，，0． 负有理数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 12．给出下面六个数：，，，，，．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． 13．如图，数轴上的一个单位长度表示2，请回答问题： (1)若点A与点D表示的数互为相反数，则点D表示的数是多少？ (2)若点B与点F表示的数互为相反数，则点D表示的数的相反数是多少？ 14．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ 15．把下列各数填在相应的括号里 ，，，，，0，，，27， 正整数集合：{ …   } 正分数集合：{ …} 非负数集合：{ …} 整数集合：{ …} 16．如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 1．数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 2．若数轴上，点表示，点与的距离是3，点与点表示的数互为相反数，则点表示(    ) A． B．2 C．或2 D．4或 3．如图所示的是一个正方体的展开图，折成正方体后，，与其相对面上的数字互为相反数，则的值为（   ） A．9 B． C． D．6 4．如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 5．数轴上表示数x，y的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．在数轴上点表示的数为，，两点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离为，那么点表示的数是__________． 8．有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接___________． 9．已知有理数，请比较两数的大小：_______． 10．若a是任意的有理数，则式子的最大值是_________． 1．已知的相反数是，的相反数是，的相反数是，求的相反数． 2．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数字思想解决问题的过程．请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①都是正数，即，，时，则； ②当中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知是不为的有理数，当时，则的值是______； (2)已知是有理数，当时，求的值； (3)已知是有理数，，，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2有理数及其大小比较 学习目标导航 1.掌握有理数的分类（整数/分数，或正有理数/0/负有理数），理解数集的概念。 2.掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），理解数轴上的点与有理数的对应关系。 3.理解相反数的几何定义（到原点距离相等）和代数定义（只有符号不同）。 4.理解绝对值的几何意义（距离），掌握绝对值的代数求法（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0）。 资料目录导航 核心知识梳理 题型解析归纳 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 教材核心知识解读 知识点01 ：有理数的概念 概 念：整数和分数统称有理数. 整 数：正整数、0、负整数统称为整数. 分 数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 知识点02 ：有理数的分类 两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 知识点03 ：数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴满足以下三个要素： 1. 原点：在直线上取一个点表示(0)，这个点叫做原点，原点是数轴的基准点； 2. 正方向：通常规定直线向右（或向上）为正方向，向左（或向下）为负方向，用箭头标出； 3. 单位长度：选取适当的长度作为单位长度，同一数轴上的单位长度必须统一，不能出现不同的单位长度。 画数轴的步骤一般为： 1. 画一条水平直线； 2. 在直线上选取一点作为原点，标注出(0)； 3. 确定正方向，在原点的右端画上箭头表示正方向； 4. 选取合适的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一个点，依次标注；从原点向左每隔一个单位长度取一个点，依次标注。 知识点04：相反数 只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。若a是任意一个有理数，则a的相反数为-a，这里的-a不一定是负数：当a是正数时，-a是负数；当a是负数时，-a是正数；当a=0时，-a=0。 相反数从几何意义上看，互为相反数的两个数位于原点两侧，且到原点的距离相等，两个点关于原点对称。 性质规律 ①互为相反数的两个数相加和为0，即若a与b互为相反数，则a+b=0；反之若a+b=0，则a与b互为相反数。 ②相反数等于本身的数只有0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 ③多重符号化简遵循“奇负偶正”：数字前面负号的个数为奇数时，最终结果为负；负号个数为偶数时，最终结果为正。例如：-(-(-3))化简后为-3，-(-(+3))化简后为+3。 知识点05： 绝对值 绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身：若a>0，则|a|=a 一个负数的绝对值是它的相反数：若a<0，则|a|=-a 0的绝对值是0：若a=0，则|a|=0 也可以将绝对值的代数意义写成统一形式： 绝对值的性质 非负性：任意有理数的绝对值都大于等于0，若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。例如：若|a|+|b|=0，则a=0且b=0，这是绝对值非负性最常见的考察形式。 绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；绝对值等于0的数只有一个，就是0；没有绝对值等于负数的数。 互为相反数的两个数绝对值相等，即|a|=|-a|。 若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0，这里注意0也满足这两种情况，不要遗漏0。 知识点06： 利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 题型解析◆精准备考 题型1 有理数的分类 ▌例1 在，0，，，，，中，负数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查负数的基本概念，根据负数的定义，逐一判断各数是否为负数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：负数的定义为小于0的数，0既不是正数也不是负数． ∵，是负数； 既不是正数也不是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； ∴负数一共有4个． ▌例2．下列四个数中，是负整数的是（    ） A． B．0 C． D．7 【答案】C 【详解】解：A．是负分数，不符合题意； B．既不是正数也不是负数，不符合题意； C．是负整数，符合题意； D．是正整数，不符合题意． 题型2 0的意义 ▌例1下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】根据正数、负数、自然数的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：根据定义，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不大于0也不小于0， ∴0不是正数，也不是负数， 故选项A、B不符合题意，选项D符合题意； ∵初中教材规定，0是自然数， ∴选项C不符合题意． ▌例2某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 【答案】C 【详解】解：不同场景中0有不同含义： A选项，测量时刻度尺的0刻度表示起点，不符合题意； B选项，多位数中的0起到占位作用，不符合题意； C选项，“0添加”指没有添加额外成分，这里0表示“没有”，符合题意； D选项，0是正负数的分界，如温度中的表示分界，不符合题意． 题型3 数轴的概念理解 ▌例1下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：数轴的三要素是：原点、单位长度和正方向．A选项的图中符合所有条件，是数轴； B选项图中没有原点， C选项图中单位长度不一样长， D选项图中原点左边数据标错，则B、C、D三个选项图中均不是数轴． ▌例2判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴的三要素是正确解答此题的关键．根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度逐个判断即可． 【详解】解：（1）中没有原点，故错误； （2）符合数轴的三要素，故正确； （3）原点左边的数字、位置不对，故错误； （4）中单位长度不相等，故错误， 故选：B． 题型4 在数轴上表示数 ▌例1如图，数轴上表示的点是（     ） A．M B．N C．O D．P 【答案】A 【详解】解：由图可知，数轴上表示的点是M． ▌例2如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点，根据它在数轴上的位置估计即可． 【详解】数轴上点位于原点右侧一个单位距离， 点表示的数是， 由图可知：小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点， 小蘑菇所在点表示的数可能为． 题型5 利用数轴求整点个数 ▌例1如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的特征写出被遮住的点即可得到答案． 【详解】解：被盖住的整数有，共9个． 故选：C． ▌例2如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；根据数轴可进行求解． 【详解】解：由数轴可知：被墨水盖住的部分整数有，共7个； 故选D． 题型 利用数轴比较有理数大小 ▌例1在数轴上位于左侧的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的性质，数轴上位于某个数左侧的数小于这个数，因此本题只需找出小于的数即可. 【详解】解：∵ ，，， ∴ 在左侧，符合要求. ▌例2如图，数轴上点A，B，C表示的数是分别是，，，下列判断错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可知： 错误． 题型7 数轴上的动点问题 ▌例1如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． ▌例2如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵数轴上的点P表示的数是，将点P向右移动3个单位长度， ∴移动后的点对应的数为． 题型 8 数轴上两点之间的距离 ▌例1如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数轴得：点A表示的数为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：点A表示的数为， ∴点到原点的距离是3． ▌例2如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴知，点在点的左边， ∴点表示的数是． 题型9 数轴上的规律探究 ▌例1正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． ▌例2边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【答案】A 【分析】本题考查数轴和规律探究．根据图形总结出规律是解答本题的关键．由图可知规律，滚动一圈，4个单位为一个循环．由，即可知结果． 【详解】解：根据题意得，正方形的顶点每4次滚动为一个循环组依次落在数轴上． ， 正方形在数轴上经过了次循环后，再进行1次滚动停止运动， 此时与重合的点是C． 故选：A． 题型10 判断一个数的相反数 ▌例1 的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． ▌例2．2026年是农历丙午马年，的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是． 题型11 相反数的应用 ▌例1 ．如果式子与式子的值互为相反数，那么的值是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，一元一次方程的应用，根据相反数的定义，两个式子的和为零，列方程求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 化简得， ∴， ∴， 故选：C． ▌例2．如图是一个正方体的平面展开图，若相对两个面上的数互为相反数，则的值为（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体的表面展开图，相反数，掌握知识点是解题的关键． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点及相反数的定义作答． 【详解】解：由图，可得 a与2是相对面，与1是相对面，与3是相对面， ∵相对面上的两个数互为相反数， ∴， 解得， ∴ ． 故选C． 题型12 求一个数的绝对值 ▌例1（     ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ▌例2的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是正数，即，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身， ． 题型13 绝对值的化简 ▌例1有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则式子化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，根据数轴可推出，据此化简绝对值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：C． ▌例2下列各数化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是绝对值的定义，解题关键是熟练掌握绝对值的定义． 根据绝对值的定义（一个数的绝对值总是非负），逐一计算每个选项的表达式，判断化简是否正确． 【详解】解：选项，，，化简错误，不符合题意，选项错误； 选项，， 化简正确，符合题意，选项正确； 选项，，，化简错误，不符合题意，选项错误； 选项，，，化简错误，不符合题意，选项错误． 故选：． 题型14 绝对值的非负性 ▌例1如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数和的绝对值是它的相反数，根据绝对值性质确定的取值范围，再结合选项即可得到答案． 【详解】解：∵ ，即为非正数， A、，正数，不符合题意； B、，正数，不符合题意； C、，负数，符合题意； D、，正数，不符合题意． ▌例2如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 【答案】C 【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键． 利用绝对值的非负性，得出的最小值为0，进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：∵为有理数， ∴， ∴， ∴． 当时，即，取等号， ∴最大值为． 故选C． A． 题型15 利用绝对值求距离 ▌例1已知数轴上两点、到原点的距离是3和7，则、两点间的距离是（    ） A．5 B．9 C．4或10 D．3或7 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的点之间的距离，根据、到原点的距离是3和7可知这两点对应的数字，根据数轴上两点间距离计算方法计算即可得到答案． 【详解】解：∵、到原点的距离是3和7， ∴、对应的数为和， 故、两点间的距离是， 计算得4或10， 故选：C． ▌例2点，，，在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与到原点的距离相等的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的几何意义，由各点到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：点P到原点的距离为3， ∴到原点的距离为3． ∴到原点的距离与到原点的距离相等的点是点P． 题型16 比较有理数的大小 ▌例1在，，，这四个数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】有理数大小比较法则：负数小于，正数大于，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数是． ▌例2，2，5，2026中，最小的数是（     ） A． B．2 C．5 D．2026 【答案】A 【分析】首先明确有理数比较大小的基本规则，因为负数小于0，正数大于0，所以先区分给出数中的负数和正数．因为所有正数都大于负数，所以如果选项中存在唯一的负数，那么这个负数就是四个数中最小的． 【详解】解：∵负数小于一切正数， ∴是四个数中最小的数． 题型17 有理数大小比较的应用▌例1根据综合气象信息，2026年马年春节当天惠州市四大景区的最低气温如下表所示： 景区 罗浮山 南昆山 惠州西湖 双月湾 最低气温 其中当天气温最低的景区是（     ） A．罗浮山 B．南昆山 C．惠州西湖 D．双月湾 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴气温最低的值为，对应景区是罗浮山． ▌例2下面是我国几个城市某年一月份的平均气温，气温最高的城市是（     ） A．北京（） B．广州（） C．南京（） D．哈尔滨（） 【答案】B 【分析】根据正数大于一切负数，两个正数比较，绝对值大的数更大求解即可． 【详解】解：和均是负数，故和均小于，， 而， ∴气温最高的城市是广州． 1．不属于（   ） A．整数 B．有理数 C．分数 D．负数 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数，直接利用有理数以及整数、 分数的定义分析得出答案 ． 【详解】解：是有理数，分数，负数，故不属于正数，也不属于整数． 故选：A． 2．下列图形表示数轴正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴的三要素是解题的关键；因此此题可根据数轴的三要素“正方向、原点及单位长度”进行排除选项即可． 【详解】解：根据数轴的三要素“正方向、原点及单位长度”可得：下列图形表示数轴正确的是B选项 故选B． 3．的相反数是（   ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故选：D． 4．（   ） A．0 B．1 C． D．2023 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．据此求解即可． 【详解】解： 故选D． 5．，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数比较大小，负数比较大小时，绝对值大的反而小，据此即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ， 故选：C． 6．最大的负整数是________；最小的自然数是_______． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了有理数，根据有理数的分类和性质逐项分析即可； 【详解】解：最大的负整数为，最小的自然数为． 故答案为 7．在数轴上，表示与4的点之间（包括这两个点）有________个点表示的数是整数，它们表示的数分别是________，其中负整数有________个． 【答案】 7 ，0，1，2，3，4 2 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，正确列举出符合题意的整数是解答本题的关键． 【详解】解：和4之间（包括这两个点）的整数有：，0，1，2，3，4共7个，其中负整数有共2个． 故答案为：7；，0，1，2，3，4；2． 8．如图，数轴上点P所表示的数的相反数可能为___________．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，相反数． 先根据数轴估算P表示的数，再根据相反数的定义，即可解答． 【详解】解：由数轴可知，P表示的数可能为， ∴点P所表示的数的相反数可能为， 故答案为：（答案不唯一）． 9．如果，那么__________；如果是负数，且，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值运算，熟记绝对值定义是解决问题的关键．根据绝对值定义求解，即可解题． 【详解】解：， ， 是负数，且， ． 故答案为：，． 10．下列各数，，，，，，其中，最小的数是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的比较大小，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．根据“正数负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”判断即可． 【详解】，，， ， 最小的数为， 故答案为：． 11．把下列各数分别填在相应的集合内：，73，，，，，0． 负有理数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 【答案】，，；73，0 【分析】此题考查了有理数的分类．根据有理数的分类方法进行解答即可． 【详解】解：负有理数集合{，，，…}； 非负整数集合{73，0…}． 故答案为：，，；73，0 12．给出下面六个数：，，，，，．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． 【答案】见解析 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，熟练掌握数轴的相关知识是解题的关键． 先画出数轴，再在数轴上表示出各数即可． 【详解】解：将表示上面各数的点在数轴上表示如下： 13．如图，数轴上的一个单位长度表示2，请回答问题： (1)若点A与点D表示的数互为相反数，则点D表示的数是多少？ (2)若点B与点F表示的数互为相反数，则点D表示的数的相反数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是数轴和相反数的定义； （1）由数轴发现点和点的距离是，若点A与点D表示的数互为相反数，则点A与点D表示的数到原点距离相等求解即可； （2）先由点B与点F表示的数互为相反数求出点表示的数字为，再由平移得到D所表示的数，即可求解． 【详解】（1）解：由数轴发现点和点的距离是， 若点A与点D表示的数互为相反数，则点A与点D表示的数到原点距离相等，为， ∴点D表示的数字为． （2）解：由数轴发现点和点的距离是， 若点B与点F表示的数互为相反数，则点B与点表示的数到原点距离相等，为， ∴点表示的数字为， ∴点向左移动2格4个单位长度得到点，则点D表示的数字为， ∴点D表示的数的相反数是． 14．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ 【答案】(1)4 (2)3袋 【分析】本题主要考查了正数，负数，绝对值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据绝对值越小越接近标准，可得答案； （2）将表格中的数据与误差标准进行比较即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，， ， ∴最接近标准重量的是； （2）解：∵，，，，，， ，， ∴有袋不合格产品． 15．把下列各数填在相应的括号里 ，，，，，0，，，27， 正整数集合：{ …   } 正分数集合：{ …} 非负数集合：{ …} 整数集合：{ …} 【答案】，27；，，；，，，0，，27；，，0，27， 【分析】此题考查了有理数的分类．根据有理数的分类方法进行解答即可． 【详解】解：正整数集合：{，27…} 正分数集合：{，，…} 非负数集合：{，，，0，，27…} 整数集合：{，，0，27，…} 故答案为：，27；，，；，，，0，，27；，，0，27， 16．如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴，理解数轴定义：有原点，正方向和单位长度是解答关键． 先根据数轴的定义补充完整数轴，再将各数表示的数轴上即可． 【详解】解：如图所示． 1．数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于原点对称的两点所表示的数互为相反数解答即可． 【详解】解：∵数轴上点P表示的数是， ∴点P关于原点对称的点表示的数是． 2．若数轴上，点表示，点与的距离是3，点与点表示的数互为相反数，则点表示(    ) A． B．2 C．或2 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点距离，相反数的定义，有理数的加减运算．先根据点的位置和与点的距离求出点的可能值，再根据相反数的定义求出点的可能值． 【详解】解：点表示，点与点的距离为， 点表示的数为或， 点与点表示的数互为相反数， 当点为时，点为；当点为时，点为， 点表示的数为或， 故选：D． 3．如图所示的是一个正方体的展开图，折成正方体后，，与其相对面上的数字互为相反数，则的值为（   ） A．9 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查正方体相对两个面上的数字，相反数定义，代数式求值，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提． 根据正方体表面展开图的特征判断“相对”的面，再结合相反数定义求出相应的，的值，最后代入中计算，即可解题． 【详解】解：由正方体的展开图可知，相对面上的数字为，相对面上的数字为， 因为，与其相对面上的数字互为相反数， 所以， 所以； 故选：A． 4．如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据绝对值的性质求出负数a的取值范围，再结合数轴上数的大小与位置的关系，判断a和的位置关系． 【详解】解：∵， 又∵，且a是负数， ∴， ∴表示数a的点在表示的点的右侧，故B正确． 5．数轴上表示数x，y的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，再根据绝对值的性质可得，，，据此进行判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，则选项C错误； ∴，则选项A错误，选项B正确； ∵，， ∴，则选项D错误； 故选：B． 6．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，方法一结合数轴进行求解，方法二结合已知条件用特殊值法即可快速得出结果． 【详解】方法一：如图所示， ∴ ． 方法二：∵ ，，，，为有理数 ∴ 取满足条件的特殊值 ， 计算得 ，， ∵ ∴ ． 7．在数轴上点表示的数为，，两点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离为，那么点表示的数是__________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离和相反数的定义，掌握分类讨论思想是解题关键． 先由点与点的距离为，求出点表示的数，再根据点与点互为相反数，求出点表示的数． 【详解】解：点表示的数是，点与点之间的距离为， ，解得或， 点和点表示的数互为相反数， 当时，； 当时，． 故答案为：或． 8．有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接___________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴的性质可得，，则可得，，由此即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．已知有理数，请比较两数的大小：_______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质和有理数的大小比较，关键是根据绝对值的性质确定、的取值范围．首先利用绝对值的性质，由判断出是非负数，由判断出是非正数，再依据有理数大小比较的规则，即可推出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 10．若a是任意的有理数，则式子的最大值是_________． 【答案】2025 【分析】本题考查了绝对值的性质及有理数的大小比较．根据绝对值的非负性，，当取最小值0时，原式取得最大值． 【详解】解：当时，， ∵， ∴； 当时，； 当时，， 综上所述，的最大值为2025， 故答案为：2025． 1．已知的相反数是，的相反数是，的相反数是，求的相反数． 【答案】 【详解】解：因为的相反数是，的相反数是，的相反数是，所以，，，所以，所以的相反数是． 2．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数字思想解决问题的过程．请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①都是正数，即，，时，则； ②当中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知是不为的有理数，当时，则的值是______； (2)已知是有理数，当时，求的值； (3)已知是有理数，，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查绝对值性质化简，分类讨论思想的运用，理解条件，和，，从而判定的符号是解题的重点，掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据条件，可得两个有理数中有一个是负数，结合绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”化简即可求解； （2）根据条件，可得三个有理数中有一个负数，另外两个为正数，或三个都是负数，结合绝对值的性质化简即可求解； （3）根据条件，，可得三个有理数中有一个负数，另外两个为正数，且不能同时为负数，结合绝对值的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：∵是不为的有理数，， ∴，即两个有理数中有一个是负数， 当时，； 当时，； 故答案为：； （2）解：∵是有理数，， ∴三个有理数中有一个负数，另外两个为正数，或三个都是负数， 当时，； 同理，当或时，； 当时，； 综上所述，的值为或； （3）解：∵是有理数，，， ∴， 由（2）可知三个有理数中有一个负数，另外两个为正数，且不能同时为负数， ∴当时，； 同理，当或时，； 综上所述，的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $