奥数培优讲义 第12讲 巧求周长（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学人教版

——小学三年级上册奥数培优讲义· 转化思想玩转周长 —— 第 12 讲 巧求周长 项目 内容 讲次 第 12 讲 专题 巧求周长 适用年级 小学三年级上册 建议课时 1 课时（60 分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 长方形、正方形的周长公式 核心方法 平移法、补全法、重叠抵消法、分割转化法 【学习目标】 维度 具体目标 知识与技能 熟练运用长方形、正方形周长公式；掌握用“平移”把不规则直角多边形转化为长方形、正方形的方法；能处理带缺口、凹口、凸起的图形；理解拼接与切割对周长的改变规律；会计算回字形等多层图形的周长。 过程与方法 经历“观察图形→平移转化→套用公式→检查剩余线段→验算”的完整解题流程；体会“化不规则为规则”的转化思想；学会用示意图辅助分析。 思维品质 培养几何直观与空间想象能力；养成严谨审题、逐步验算的习惯；能分清“平移后刚好补齐”与“平移后还有多余线段”两类题型。 情感与应用 感受几何图形变化中的奇妙规律；在解决生活图形问题中获得成就感；增强学好数学的信心。 【前言】 同学们，我们已经学过：长方形的周长＝（长＋宽）×2，正方形的周长＝边长×4。可是，生活里的图形常常“不太听话”：游泳池的池边凹进去一块，花坛的围墙凸出来一块，广场上的小路还拐来拐去……这样的图形，如果还一条边一条边地硬算，既麻烦又容易出错。 别担心！这一讲我们就来学习“巧求周长”的法宝——把不规则的图形“变身”成我们熟悉的长方形或正方形，再套用公式，就能又快又准地算出周长。 ⚠ 特别提醒：变身（平移）之后，一定要睁大眼睛检查——有没有剩下的、不能抵消的线段？如果有，必须把它们加上，千万不能直接套公式就完事！ 一、知识导航 先认识本讲的知识全景图： 图 1 本讲知识地图 1. 基础周长公式 图 2 周长基础公式 2. 四大核心方法一览 方法 适用图形 操作要点 平移法 直角凹凸、带缺口的图形 把横向线段上下平移、纵向线段左右平移，尽量拼成长方形或正方形；平移后检查有没有不能抵消的剩余线段，有就加上。 补全法 缺角、凹口的图形 把缺口补成完整图形，再判断是否额外增加线段：缺角不变，凹口会多出 2 条“深度”线段。 重叠抵消法 多个图形拼接 每重合一条边，总周长减少 2 倍这条边的长度。 分割转化法 回字形、螺线等复杂图形 把大图形拆成若干标准正方形、长方形，分别求周长再求和。 3. 两个重要模型 ① 路线等长模型：在长方形框内，只向右、向上走，无论走哪条路线，总路程都等于“长＋宽”。 ② 拼接与切割模型：两个图形拼接，每重合一条边，总周长减少 2 倍该边长；一个图形每切一刀，总周长增加 2 倍切口长度。 二、典例精讲 【例 1】路线等长模型（只向右、向上） 题目：长方形菜园长 60 米、宽 40 米，中间的小路把它平均分成四个相同的小长方形。一只小蜗牛从 A 点出发，沿小路只能向右、向上爬，要爬到 B 点。 （1）一共有几种不同的走法？ （2）每种走法的路程一样长吗？每种走法的路程是多少米？ 图 3 例 1 路线示意图（红色为一种走法） 分析：不管走哪条路线，都要向右走完“整个长”、向上走完“整个宽”，只是顺序不同而已。 详解：从 A 到 B，每一条路线都要走：向右 2 段（每段 30 米），向上 2 段（每段 20 米）。 横向：30×2＝60（米） 纵向：20×2＝40（米） 每种走法的总路程＝60＋40＝100（米） （1）一共有 6 种不同的走法。 （2）每种走法的路程都相等，都是 100 米。 验证：无论怎么绕，向右的总路程都是 60 米，向上的总路程都是 40 米，所以 6 种走法的路程完全一样，都是 100 米。 💡【 方法点睛】 在长方形框内只向右、向上走，所有路线的总路程都等于“长＋宽”。 【例 2】缺口图形平移求周长（单位：厘米） （1）一个边长 32 厘米的正方形，右上角被切去一个长 14 厘米、宽 10 厘米的长方形。求剩余图形的周长。 （2）一个长 24 厘米、宽 16 厘米的长方形，上边正中凹进一个长 10 厘米、深 6 厘米的长方形凹口。求这个图形的周长。 图 4 例 2（1）缺角正方形 图 5 例 2（2）凹口长方形 分析：（1）把缺口的两条边分别平移，刚好能补成原来的正方形，没有多余的线段。（2）把凹口“填平”，会发现比原来的长方形多出两条深 6 厘米的竖线段。 详解： （1）平移补齐后就是边长 32 厘米的正方形。 周长＝32×4＝128（厘米） （2）补成完整长方形后，还多出两条深 6 厘米的竖线段。 周长＝（24＋16）×2＋6×2＝80＋12＝92（厘米） 答：（1）128 厘米；（2）92 厘米。 验证：（2）逐段相加：24＋16＋7＋6＋10＋6＋7＋16＝92（厘米）。✓ 💡 【方法点睛】 缺角的图形平移后周长不变；中间凹口每凹进 1 条“深”，周长就多出 2 条“深”。 【例 3】平移后有多余线段（单位：厘米） 题目：如图，“凸”字形图形由长 50 厘米、宽 40 厘米的大长方形，和它上面居中凸起的长 20 厘米、宽 15 厘米的小长方形组成。求这个图形的周长。 图 6 例 3 凸字形图形（红色为不能抵消的线段） 分析：把凸起部分的左、右两条竖边分别向左、右平移，把上面的横边向下平移，可以拼成一个长 50、宽 40 的大长方形；但凸起的两条竖边（各 15 厘米）无法抵消，必须额外加上。 详解： 拼成的长方形周长＝（50＋40）×2＝180（厘米） 多余的两条竖边＝15×2＝30（厘米） 图形周长＝180＋30＝210（厘米） 答：这个图形的周长是 210 厘米。 验证：逐段相加：50＋40＋15＋15＋20＋15＋15＋40＝210（厘米）。✓ 💡 【方法点睛】 平移之后一定要检查有没有“剩下的线段”！有就要加上，不能直接套长方形公式。 【例 4】两个长方形拼接（重叠抵消法）（单位：厘米） 题目：有两个完全一样的长方形，长 8 厘米、宽 4 厘米。 （1）把它们拼成一个大的图形，一共有几种不同的拼法？ （2）分别求出每种拼法的图形的周长，比一比哪种拼法周长更短？ 图 7 拼法①：长边与长边重合 图 8 拼法②：宽边与宽边重合 分析：拼法①把两条长边（8 和 8）重合，拼成边长 8 厘米的正方形；拼法②把两条宽边（4 和 4）重合，拼成长 16 厘米、宽 4 厘米的长方形。 详解：先算两个小长方形的周长和。 （8＋4）×2×2＝48（厘米） 拼法①：48－8×2＝48－16＝32（厘米） 拼法②：48－4×2＝48－8＝40（厘米） 答：（1）一共有 2 种拼法；（2）拼法①周长 32 厘米，拼法②周长 40 厘米，长边相拼（拼法①）周长更短。 验证：拼法①是边长 8 厘米的正方形，8×4＝32（厘米）✓；拼法②是长 16、宽 4 的长方形，（16＋4）×2＝40（厘米）✓。 💡 【方法点睛】 两个图形拼在一起，每重合一条边，总周长就减少 2 倍这条边的长度。 【例 5】回字形嵌套框（分割转化法）（单位：厘米） 题目：如图，3 个正方形框一个套一个，相邻两个框之间的距离都是 2 厘米，最外面的框边长 20 厘米。求图中所有线段的总长度。 图 9 例 5 回字形嵌套框 分析：把图形分层来看：每一层都是一个正方形框，分别求出每层的周长，再加起来。注意每往里一层，边长会减少 2 个“距离”。 详解： 外框周长＝20×4＝80（厘米） 中框边长＝20－2×2＝16（厘米），周长＝16×4＝64（厘米） 内框边长＝16－2×2＝12（厘米），周长＝12×4＝48（厘米） 总长度＝80＋64＋48＝192（厘米） 答：图中所有线段的总长度是 192 厘米。 💡 【方法点睛】 复杂图形别硬数！先分层（分割）成简单图形，分别计算再求和——这就是“分割转化法”。 三、方法总结表 题型 突破口 核心方法 关键提示 矩形内向右向上路线 横向总和＝长，纵向总和＝宽 平移汇总 所有路线总路程都是“长＋宽” 缺角图形 缺口线段刚好平移补齐 平移法 / 补全法 周长与原图形相同 凹口图形 凹口使周长多出 2 条深度 补全法 凹口深 d，周长加 2d 凸起图形 先拼大图形，再看剩余线段 平移法 剩余线段必须加上（最易丢分） 多个图形拼接 每重合一条边少 2 倍边长 重叠抵消法 重合边的长度要看清 回字 / 螺线类 分层拆成若干正方形 分割转化法 分层求和，别硬数 四、解题口诀 周长公式记得牢，长宽相加再乘 2； 凹凸图形不用怕，平移变身长方形； 缺角补齐刚刚好，凹口多出两条深； 拼接图形看重合，一条重边减两倍； 回字螺线别硬数，分层拆开再求和； 平移之后仔细瞧，多余线段不能少； 算完再把外围描，认真验算错不了！ 五、习题分层训练 🟦 A 组｜基础过关 【A1】一个边长 28 厘米的正方形，左上角被切去一个长 9 厘米、宽 7 厘米的长方形（如图）。求剩余图形的周长。 图 10 A1 图形（单位：厘米） 【A2】一个长 30 厘米、宽 20 厘米的长方形，下边正中凹进一个长 12 厘米、深 5 厘米的长方形凹口（如图）。求这个图形的周长。 图 11 A2 图形（单位：厘米） 【A3】把两个长 6 厘米、宽 3 厘米的长方形，沿宽边拼在一起，拼成一个大的长方形（如图）。这个大长方形的周长是多少厘米？ 图 12 A3 图形（单位：厘米） 🟧 B 组｜能力提升 【B1】用 6 个边长 4 厘米的小正方形拼成如图的“阶梯”图形（下面一层 3 个、中间一层 2 个、最上面 1 个）。求这个阶梯图形的周长。 图 13 B1 阶梯图形 【B2】用 16 个边长 1 厘米的小正方形拼成不同的长方形（长和宽都是整厘米数，小正方形不能有剩余）。哪种拼法周长最长？周长是多少厘米？哪种拼法周长最短？周长是多少厘米？ 图 14 B2 三种拼法示意 🟥 C 组｜挑战冲刺 【C1】一张长方形纸，正好可以剪成两个完全一样的正方形（如图），每个正方形的周长是 36 厘米。原来这张长方形纸的周长是多少厘米？ 图 15 C1 剪拼示意图（单位：厘米） 六、参考答案与详细解析 🟦 A 组 A1 答案：112 厘米。 解析：缺角的两条缺口边刚好可以平移补齐，周长和边长 28 厘米的正方形一样。28×4＝112（厘米）。 A2 答案：110 厘米。 解析：凹口使周长比原长方形多出 2 条深 5 厘米的线段。（30＋20）×2＋5×2＝100＋10＝110（厘米）。 A3 答案：30 厘米。 解析：沿宽边拼，大长方形的长＝6×2＝12 厘米，宽＝3 厘米。周长＝（12＋3）×2＝30（厘米）。也可以这样想：两个小长方形的周长和是 36 厘米，减去重合的 2 条宽边 3×2＝6 厘米，36－6＝30（厘米）。✓ 🟧 B 组 B1 答案：48 厘米。 解析：用平移法：所有横边加起来等于 2 个“宽”，所有竖边加起来等于 2 个“高”。这个阶梯图形的宽是 3×4＝12 厘米，高也是 12 厘米，周长＝（12＋12）×2＝48（厘米）。也可以逐段数：外围一共有 12 条 4 厘米的边，12×4＝48（厘米）。 B2 答案：周长最长的是 1×16 的拼法，是 34 厘米；周长最短的是 4×4 的拼法，是 16 厘米。 解析：16 个小正方形拼成长方形，长和宽可能是：1×16、2×8、4×4。它们的周长分别是：（1＋16）×2＝34（厘米）；（2＋8）×2＝20（厘米）；（4＋4）×2＝16（厘米）。规律：面积相同的时候，长和宽越接近，周长就越短。 🟥 C 组 C1 答案：54 厘米。 解析：正方形的周长是 36 厘米，边长＝36÷4＝9 厘米。两个正方形拼成长方形后，长＝9×2＝18 厘米，宽＝9 厘米。周长＝（18＋9）×2＝54（厘米）。也可以这样验证：两个正方形的周长和是 72 厘米，拼成长方形时重合一条 9 厘米的边，周长减少 9×2＝18 厘米，72－18＝54（厘米）。✓ 七、本讲小结 ✦ 基础公式：长方形周长＝（长＋宽）×2；正方形周长＝边长×4。 ✦ 核心思想：转化——把不规则图形变成长方形或正方形再计算。 ✦ 重要提醒：平移结束后必须检查剩余线段，有就加上。 ✦ 拼接模型：两个图形拼接，每重合一条边，总周长减少 2 倍该边长。 ✦ 切割模型：一个图形切一刀，总周长增加 2 倍切口长度。 ✦ 路线模型：长方形框内只向右、向上走，所有路线总路程都等于长＋宽。 ✦ 解题流程：观察图形 → 平移 / 分割 → 套公式 → 加剩余线段 → 验算。 八、易错警示 + 学习建议 ⚠ 易错警示 ❌ 错误做法 ✅ 正确做法 看到直角图形就直接平移套公式，漏掉多余线段 平移后圈出所有不能抵消的线段，逐一相加 以为凹口图形的周长和原长方形一样 缺角周长才不变；凹口每凹进 1 条深，周长多出 2 条深 拼接图形只减 1 倍重合边长 两个图形各少一条边，要减去 2 倍重合边长 回字、螺线图形一条条硬数 分层拆成正方形，分别求周长再求和 以为矩形内路线拐弯多就长 横向总和＝长、纵向总和＝宽，所有路线一样长 🧠 学习建议 ✓ 做平移题时，用铅笔画出平移箭头，直观看到线段移动后的位置。 ✓ 做完后沿图形外轮廓“描一遍”，逐段相加来验算。 ✓ 分清楚两类平移题：一类平移后就是标准图形，一类平移后还有剩余线段——后者是考试高频丢分点。 ✓ 拼接、切割的题目，在草稿纸上画小示意图，看清楚哪些边被盖住、哪些边是新增的。 ✓ 遇到复杂的回字、螺线图形，先分层、再求和，不要一条边一条边地硬数。 ✨ 巧求周长的灵魂就是“转化”：把复杂的图形变成长方形和正方形，但千万别忘了检查剩下的线段！✨ 祝贺你完成本 讲的学习，你已经是“周长小达人”啦！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $