第三十章 直线与圆的位置关系 章末复习-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学直线与圆位置关系章末复习单元卷，以切线性质与判定、内切圆等核心知识为载体，通过生活情境（如足球射门）、文化素材（如割圆术）设计问题，适配单元复习巩固与核心素养（几何直观、推理能力、应用意识）培养需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|切线性质（1题）、内切圆（5题）、正多边形与圆（7题）|多结论判断（3题）考查推理能力| |填空题|7|直线与圆位置关系（11、12题）、割圆术（13题）|融入文化传承（13题刘徽割圆术）| |解答题|3|切线证明（18题）、生活应用（20题足球射门）|设置生活问题（20题最大射门角度）培养应用意识|

第三十章直线与圆的位置关系章末复习 一、选择题 1.如图，已知，以AB为直径的交BC于点D，与AC相切于点A，连接若，则的度数为    A. B. C. D. 2.如图，P是外一点，射线PA，PB分别与相切于点A，B，CD与相切于点E，分别交PA，PB于点D，若，，则AP的长为    A. 4 B. 3 C. 5 D. 6 3.如图，AB是半圆O的直径，点C，D将分成相等的三段弧，点M在AB的延长线上，连接三个人给出以下说法： 甲：若MD为半圆O的切线，则能得出 乙：若连接AC，CD，则 丙：若连接AC，BD，则 三位同学给出的结论正确的是(    ) A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 只有甲 4.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫作整点.如图，过整点A，B，C有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，那么这条直线可能经过的点的坐标为    A. B. C. D. 5.如图，在中，，，I是的内心，则的度数为    A. B. C. D. 6.如图，为的内切圆，，，，D，E分别为BC，AC上的点，且DE为的切线，则的周长为    A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 7.如图，AB是内接正八边形的一条边，经过点B的直线l为的一条切线，则(    ) A. B. C. D. 8.如图，的内切圆与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且，，，则阴影部分即四边形的面积是      A. 4 B. C. D. 9 9.如图，AD，AE分别是的切线，D，E为切点，BC切于点F，交AD，AE于点B，若，则的周长是      A. 8 B. 10 C. 16 D. 不能确定 10.如图，的内切圆与BC，CA，AB分别相切于点D，E，已知的周长为36，，，则AF的长为    A. 4 B. 5 C. 9 D. 13 二、填空题 11.“海上生明月，天涯共此时”，下图记录的是日出美景，图中太阳与海面交界处可看成圆与直线，则它们的位置关系是          . 12.已知的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与的位置关系是          . 13.我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图所示的是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与相切于点E，连接BE，，连接OE交AB于点若，则图中阴影部分的面积为          结果保留 14.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为          . 15.在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，已知，点A在中轴线l上运动，点B在以点O为圆心，OB的长为半径的圆上运动，且当点B按逆时针方向运动到时，与相切，则的长为           16.如图1，有结论的周长 如图2，有结论                               特殊地，如图3，当时，          . 17.如图，四边形ABCD是的外切四边形，且，，则四边形ABCD的周长为          . 三、解答题 18.如图，AB是的直径，弦AC平分，过点C作于点 求证：CD是的切线; 已知E是半圆AEB上一点，连接EB，若，且，求的半径. 19.如图，PA，PB是的切线，A，B为切点，AC是的直径，AC，PB的延长线相交于点 若，求的度数； 当为多少度时，？并说明理由． 20.寻找最大射门角度【生活问题】2025年郑州足球联赛中，某球员P带球沿直线MN接近球门AB，他在哪里射门时射门角度最大? 【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门AB的张角时，在MN上取一点Q，过A，B，Q三点作圆，发现直线MN与该圆相交或相切.如果直线MN与该圆相交，如图1，那么球员P由M向N运动的过程中，的大小          填序号①逐渐变大;②逐渐变小;③先变大后变小;④先变小后变大. 【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线MN与该圆相切于点Q，那么球员P运动到切点Q时最大，如图2，试证明他们的发现. 【实际应用】如图3，某球员P沿垂直于AB方向的路线MN带球，请用尺规作图在MN上找出球员P的位置，使最大不写作法，保留作图痕迹 答案和解析 1.【答案】D  2.【答案】A  3.【答案】C  【解析】切线的性质+等边三角形的判定与性质 如图，连接OC，CD，OD，AC，BD， 点C，D将分成相等的三段弧， 为半圆O的切线， 故甲的结论正确. 又，和是等边三角形. 故乙的结论不正确. 易知，，是边长相等的三个等边三角形， 故丙的结论正确. 综上可知，甲和丙的结论正确. 故选 4.【答案】C  5.【答案】C  6.【答案】B  7.【答案】B  8.【答案】A  9.【答案】C  10.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，关键是推出，， 设，根据切线长定理得出，，，求出，，根据，代入求出a即可． 【解答】 解：设， 的周长为36，，， ， 的内切圆与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ，，， ，，， ，， ， ， 解得：，即 故选： 11.【答案】相交  12.【答案】相离  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】  16.【答案】   17.【答案】48  18.【答案】【小题1】 解：证明：连接，又平分，，又是的半径，是的切线. 【小题2】 连接是的直径，同弧所对的圆周角相等，在中，，，即，解得的半径为   19.【答案】【小题1】 解：是的切线，，又，PB是的切线， 【小题2】 当时，理由如下：当时，由知，，PB是的切线，又，   20.【答案】【小题1】 ③ 【小题2】 在MN上任取一点不与点Q重合，连接AG交的外接圆于点H，连接BG， ， ，即 上异于点Q的其他所有点对AB的张角都小于 球员P运动到切点Q时最大. 【小题3】 解：如图： 作线段AB的垂直平分线CD交AB于点E，延长EA交MN于点F，以点A为圆心，EF的长为半径画弧，交直线CD于点O，以点O为圆心，EF的长为半径画弧，交直线MN于点P，点P即为所求. 理由如下：，， ，且，即EF是两条平行线间的距离， 也是这两条平行线间的距离. 又为过点A，B的的半径， 直线MN与相切. 由【猜想验证】可知，当直线MN与相切于点P时，最大. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $