第三十二章 锐角三角函数 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级下册

**基本信息** 本单元卷聚焦锐角三角函数，通过基础计算、情境应用及创新探究，全面考查核心知识与运算能力、应用意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|6/18|特殊角三角函数值、解直角三角形|如第1题考查2cos30°计算，基础巩固| |填空题|6/18|三角函数比较、综合计算|如第8题结合非负性求∠C度数，能力提升| |解答题（含综合）|11/84|航海测量、天幕调节等情境应用|第20题“天幕”调节问题，第23题网格探究角度和差，体现数形结合与创新意识|

第三十二章 锐角三角函数 (时间:120分钟　分值:120分) 一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项,请将正确答案的代号填入题后括号内) 1.2cos 30° 的值等于 (　　) A.1 B. C. D. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则tan A= (　　) A. B. C. D. 3.如图,某河堤迎水坡AB的坡比i=tan∠CAB=1∶,堤高BC=5 m,则坡面AB的长是(　　) A.5 m B.10 m C.5 m D.8 m 4.(新情境·航海测量)如图,在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处,若渔船沿北偏西75°方向以40海里/时的速度航行,航行半小时后到达C处,在C处观测到B在C的北偏东60°方向上,则B,C之间的距离为 (　　) A.20海里 B.10海里 C.20海里 D.30海里 5.如图,在边长相同的小正方形组成的方格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点P,则sin∠APD的值是 (　　) A. B. C. D. 6.构建几何图形解决代数问题体现了“数形结合“思想的重要性,当计算tan 15°时,如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,所以tan 15° ====2-.类比这种方法,计算tan 22.5°的值为 (　　) A.+1 B.-1 C. D. 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 7.比较大小:tan 45°　　　　cos 45°.  8.在△ABC中,若sin A-+cos B-2=0,则∠C的度数是　　　　.  9.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:①sin A=;②cos B=;③tan A=;④tan B=.其中正确的结论是　　　　(填正确结论的序号).  10.如图,在△ABC中,∠ACB=∠ADC=90°,若sin A=,则cos∠BCD的值为　　　　.  11.如图,某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度,在点A处测得树顶C的仰角为45°,在点B处测得树顶C的仰角为60°,且A,B,D三点在同一直线上,若AB=20 m,则这棵树CD的高度约为　　　　m.(按四舍五入法将结果保留小数点后一位,参考数据:≈1.732)  12.定义:有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫作“对等四边形”.如图,在Rt△PBC中,∠PCB=90°,点A在边BP上,点D在边CP上,如果BC=11,tan∠PBC=,AB=13,四边形ABCD为“对等四边形”,那么CD的长为　　　　　　.  三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分) 13.(1)(新素养·运算能力)计算:2sin 45°+tan 30°·cos 30°-. (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,且a=3,c=5,求sin B的值. 14.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.若AB=12,CD=6,tan A=,求sin B+cos B的值. 15.先化简,再求值:a-÷,其中a=sin 30°,b=tan 45°. 16.如图,这是6×6的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点均在格点上.请仅用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作图(保留作图痕迹). (1)如图1,在BC边上找出一点D,连接AD,使得sin∠ADB=. (2)如图2,在AC边上找出一点E,连接BE,使得tan∠ABE=1. 17.如图,在直角坐标平面内,O为原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,BO=5,sin∠BOA=. (1)求点B的坐标. (2)求cos∠BAO的值. 四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 18.(新情境·实践活动)越来越多太阳能路灯的使用,点亮了城市的风景.某校学生开展综合实践活动,测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图,已知测倾器的高度为1.6米,在测点A处安置测倾器,测得点M的仰角∠MBC=33°,在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器,测得点M的仰角∠MEC=45°(点A,D与N在一条直线上),求电池板离地面的高度MN的长.(结果精确到1米;参考数据sin 33°≈0.54,cos 33°≈0.84,tan 33°≈0.65) 19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E为AB上一点,AC=AE=3,BC=4,过点A作AB的垂线交射线EC于点D,延长BC交AD于点F. (1)求CF的长. (2)求∠D的正切值. 20.(新素养·应用意识)休闲旅游时,许多游客为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”,其截面示意图是轴对称图形,对称轴是垂直于地面的支杆AB,用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处,使得A,D,E在一条直线上,通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合,已知AC=AD=2 m,BF=3 m. (1)天晴时打开“天幕”,若∠α=65°,求遮阳宽度CD. (2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减小到45°,求点E下降的高度. (结果精确到0.1 m;参考数据:sin 65°≈0.90,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14,≈1.41) 五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分) 21.(新情境·实践活动)某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,当小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整). 课题 测量旗杆的高度 成员 组长:×××　　　组员:×××,×××,××× 测量工具 测量角度的仪器,皮尺等 测量示意图 说明:线段GH表示学校旗杆,测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5 m,测点A,B与H在同一条水平直线上,A,B之间的距离可以直接测得,且点G,H,A,B,C,D都在同一竖直平面内,点C,D,E在同一条直线上,点E在GH上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 ∠GCE的度数 25.6° 25.8° 25.7° ∠GDE的度数 31.2° 30.8° 31° A,B之间的距离 5.4 m 5.6 m …… …… 任务一:两次测量A,B之间距离的平均值是　　　　m.  任务二:根据以上测量结果,请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度. (参考数据:sin 25.7°≈0.43,cos 25.7°≈0.90,tan 25.7°≈0.48,sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60) 22.如图,B,C是线段AD的三等分点,以BC为直径作☉O,P是圆上异于B,C两点的任意一点,连接PA,PB,PC,PD. (1)当PB=PC时,求tan∠APB的值. (2)当P是上异于B,C两点的任意一点时,求tan∠APB·tan∠DPC的值. 六、解答题(本大题共12分) 23.数学老师布置了这样一个问题:如果α,β都为锐角,且tan α=,tan β=,求α+β的度数. 甲、乙两名同学想利用正方形网格结构图来解决问题,他们分别设计了图1和图2. (1)请你分别利用图1、图2求出α+β的度数,并说明理由. (2)请参考以上思考问题的方法,选择一种方法解决下列问题: 如果α,β都为锐角,当tan α=5,tan β=时,在图3的正方形网格中,利用已作出的锐角α,画出∠MON,使得∠MON=α-β,求出α-β的度数. 【参考答案】 1.D　2.A　3.B　4.C　5.C 6.B　提示:如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=45°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=22.5°,∴tan 22.5°====-1.故选B. 7.>　8.90°　9.②③④　10.　11.12.7 12.13或12-或12+ 提示:点D的位置如图所示: ①若CD=AB,此时点D在D1的位置,CD1=AB=13. ②若AD=BC=11,此时点D在D2,D3的位置,AD2=AD3=BC=11, 过点A分别作AE⊥BC,AF⊥PC,垂足分别为E,F. 设BE=x, ∵tan∠PBC=. ∴AE=x. 在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2, 即x2+x2=132, 解得x1=5,x2=-5(舍去), ∴BE=5,AE=12, ∴CE=BC-BE=6. 由四边形AECF为矩形,可得AF=CE=6,CF=AE=12, 在Rt△AFD2中,FD2==, ∴CD2=CF-FD2=12-, 同理,CD3=CF+FD2=12+. 综上所述,CD的长为13或12-或12+. 13.(1)解:原式=2×+×- =+- =. 3分 (2)解:根据勾股定理可得在Rt△ABC中,a2+b2=c2. 又∵a=3,c=5, ∴b2=c2-a2=16, ∴b=4, ∴sin B==. 3分 14.解:在Rt△ACD中,CD=6,tan A=,∴AD=4,∴BD=AB-AD=8. 在Rt△BCD中,BC==10,∴sin B==,cos B==, ∴sin B+cos B=. 6分 15.解:原式=×=×=a-b. ∵a=sin 30°=,b=tan 45°=1,∴原式=a-b=-1=-. 6分 16.解:(1)如图1,点D即所求. 3分 (2)如图2,点E即所求. 6分 17.解:(1)如图,作BH⊥OA,垂足为H. 在Rt△OHB中,∵BO=5,sin∠BOA=, ∴BH=3, ∴OH=4, ∴点B的坐标为(4,3). 3分 (2)∵OA=10,OH=4, ∴AH=6. 在Rt△AHB中, ∵BH=3, ∴AB=3, ∴cos∠BAO=. 6分 18.解:如图,延长BC交MN于点H,AD=BE=3.5,HN=BA=1.6,设MH=x米. ∵∠MEC=45°, ∴EH=x米. 在Rt△MHB中,tan∠MBH==≈0.65,解得x=6.5, 6分 则MN=HN+MH=1.6+6.5=8.1≈8(米), ∴电池板离地面的高度MN的长约为8米. 8分 19.解:(1)∵∠ACB=90°, ∴∠ACF=∠ACB=90°,∠B+∠BAC=90°. ∵AD⊥AB, ∴∠BAC+∠CAF=90°, ∴∠B=∠CAF, ∴△ABC∽△FAC, 2分 ∴=,即=, 解得CF=. 4分 (2)如图,过点C作CH⊥AB于点H. ∵AC=3,BC=4, ∴AB=5, 则CH==, 6分 ∴AH==,EH=AE-AH=, ∴tan∠D=tan∠ECH==. 8分 20.解:(1)由对称知,CD=2OD,AD=AC=2 m,∠AOD=90°. 在Rt△AOD中,∠OAD=∠α=65°, ∴sin α=, ∴OD=AD·sin α=2×sin 65°≈2×0.90=1.80 m, ∴CD=2OD=3.6 m. 4分 (2)如图,过点E作EH⊥AB于点H, ∴∠BHE=90°. ∵AB⊥BF,EF⊥BF, ∴∠ABF=∠EFB=90°, ∴∠ABF=∠EFB=∠BHE=90°, ∴EH=BF=3 m. 在Rt△AHE中,tan α=, ∴AH=. 当∠α=65°时,AH=≈≈1.40(m), 当∠α=45°时,AH==3(m), ∴当∠α从65°减小到45°时,点E下降的高度约为3-1.40=1.6(m). 8分 21.解:任务一:5.5. 4分 任务二:设EG=x m. 在Rt△DEG中,∠DEG=90°,∠GDE=31°.∵tan 31°=,∴DE=. 在Rt△CEG中,∠CEG=90°,∠GCE=25.7°.∵tan 25.7°=,∴CE=. ∵CD=CE-DE,∴-=5.5,∴x≈13.2, ∴GH=GE+EH≈13.2+1.5=14.7. 答:旗杆GH的高度约为14.7 m. 9分 22.解:(1)如图,过点A作AE∥PC,与PB的延长线交于点E. ∵BC是☉O的直径. ∴∠BPC=90°,∠AEP=90°. ∵AB=BC,∠ABE=∠PBC, ∴△ABE≌△CBP, ∴BE=PB,AE=PC. ∵PB=PC, ∴AE=PE, ∴tan∠APB==1. 4分 (2)由(1)可得△ABE≌△CBP,∴PB=BE,AE=PC,∴tan∠APB==, 同理tan∠DPC=,∴tan∠APB·tan∠DPC=·=. 9分 23.解:(1)①如图1,在△AMC和△CNB中, ∴△AMC≌△CNB, ∴AC=BC,∠ACM=∠CBN. ∵∠BCN+∠CBN=90°,∴∠ACM+∠BCN=90°, ∴∠ACB=90°, ∴∠CAB=∠CBA=45°,∴α+β=45°. 4分 ②如图2,设正方形的边长为1,则CE=1,AE=2,BE=, ∴==,=, ∴=. ∵∠CEB=∠AEB,∴△CEB∽△BEA, ∴∠CAB=∠CBE=α, ∴∠BED=∠ECB+∠CBE=α+β. ∵DE=DB,∠D=90°, ∴∠BED=45°, ∴α+β=45°. 8分 (2)如图3,∠MOE=α,∠NOH=β,∠MON=α-β. 在△MFN和△NHO中,∴△MFN≌△NHO, ∴MN=NO,∠MNF=∠NOH. ∵∠NOH+∠ONH=90°, ∴∠ONH+∠MNF=90°, ∴∠MNO=90°,∴∠NOM=∠NMO=45°, ∴α-β=45°. 12分 学科网（北京）股份有限公司 $