第二十八章 锐角三角函数 章节综合-【课课练】2025-2026学年九年级下册数学同步训练（人教版）

第二十八章桃角三疮函纸可 章末综合 第二+八章w071/K/M 一、选择题 5.如图，在△ABC中，若∠B=90°，AB=4,AC=6, 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB= 则∠C的正弦值为 () c,则下列选项正确的是 2 3 B. 25 A. D. 3 2 3 5 A.sin A= B.tan B= c C.tan A=a 6 D.cos B= a B (第5题) (第6题) 6.如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点 都在正方形网格的格点上，则tanC的值为 (第1题) (第4题) ( 2.利用计算器计算√2cos55°，按键顺序正确的是 第 3 3 4 A. C.4 D. A.2√×cos55= 7.为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理 念，某校开展植树造林活动.如图，在坡度i= B.□2cos550= 1:3的斜坡上栽两棵树，它们之间的水平距 章 C.□2cos55= 离AC为3m,则这两棵树之间的坡面距离AB D.2√厂55cos= 为 ( 3.下列等式成立的是 A.√/10m B.1m A.sin30°+sin30°=sin60° C.3√10m D.3 m B.c0s(60°-30)=c0s60°-cos30° 北 C.cos 30 sin30o=tan30° B D.sin230°+cos230°=1 (第7题) (第8题) 4.如图，一架民航客机在飞行途中发现前方出现 8.如图，已知A,B,C是三艘军舰，B舰在A舰正 雷暴区域，机组经请示后从点C开始，以恒定 东方向6 n mile处，C舰在A舰北偏西30°方 仰角α爬升至云层上方，爬升后客机所在的点 向4 n mile处.某日8：00，A,B,C三艘军舰同 A处相对于点C处的飞行高度上升了1200m, 时收到渔船P发出的同一求救信号，信号的传 则客机爬升的距离AC为 ( 播速度相同，则A舰与渔船P相距（) 4.1200 B.1 200sin a m A.4 n mile B.6 n mile m sin a C.1 200cos a m D.1 200tan a m C./57 n mile D.√57 n mile 51 。问步川练数学九年级下川 9.如图，在正方形ABCD中，AB=12,以点B为圆 于点O,AE垂直平分B0.若AE=2√3cm,则 心，AB为半径画弧AC.E为BC中点，以点E OD= 为圆心，BE为半径画弧BC,过点E作BC的垂 线交弧AC于点F,则图中阴影部分的面积为 ( 5 A.3-23 B. 三、解答题 16.计算： C.3π-6 D.15π-183 (1)2cos60°-√2sin45°； (2)4sin45-(号)2-4×2+(m-3)° E (第9题) (第10题) 10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于 第 点O,点M在AC的延长线上，且MD⊥BD.若 AB=6,BC=8,则cosM的值为 ( A.5 B.5 7 C.5 D34 章 25 二、填空题 17.如图，为保护百里油菜花海，从游客中心A处 11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,sinB=0.8, 分别修建通往百米观景长廊BC的两条栈道 则AB的长为 AB,AC.若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A 到观景长廊BC的距离约为多少米（参考 12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,BC=3,则 数据：sin56°≈0.8，tan56°≈1.5，结果保留 ∠A的正切值为 整数)？ 13.如图，菱形ABCD的边长为10cm,DE⊥AB, B 100m- 3 569 sinA=),则菱形ABCD的面积为 cm-. 回 D E B (第13题) (第14题) 14.如图，半径为3的⊙A经过原点0和点C(0,2), B是OCD上一点，则tanOBC= 15.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交 52 第二十八章桃布三帝函纸可 18.在如图所示的直角三角形中，我们知道sina=20.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=3x-12 a a 交x轴于点B,与经过原点的直线y=x交于 G>cosa=名tanx= 点A ∴.sin2a+cos2a= a2 b2 a2+62 c2 +。。1,即-个 (1)求点A坐标 (2)求∠OAB的正切值. 角的正弦和余弦的平方和为1. (3)如图2，过点A作AC⊥x轴于点C,过点B (1)请你根据上面的探索过程，探究sina, 作直线BD交AC于点D,连接OD交AB cosa与tana之间的关系； 于点E,连接CE.若EB平分∠OEC,求直 2,求 (2)已知a为锐角，且tana= 线BD解析式. sina-2cos的值. 2sin a+cos a B 图1 图2 二十八章 19.如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方 向，距离灯塔45 n mile的点A处.这艘轮船 沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的北偏东67°方向上的点B处，求此 时这艘轮船与灯塔P的距离（参考数据： sin37≈3 ,c0s37≈4 ,n37-3). 4 679 309 60 53 问步训练数学九年级下册因 21.在测量一座雕像高度的活动中，某校九年级 续表 学生给出以下两种测量方案.从两种方案中 方案一 方案二 1.图上所有点均在同 任选其中一种，计算雕像的高度（精确到 1.图上所有点均在同 一平面内； 0.1m). 备 一平面内； 2.AB,CD均与地面 方案一 方案二 注 2.AB,CD均与地面 垂直； 示 垂直 3.由物理学知识，可 意 得∠CED=∠AEB 图 D B BEm 1.观测者站在与雕像 底端B位于同一平面 1.观测者站在与雕像 的点D处； 底端B位于同一平 2.在线段BD上放置 第 实 面的点D处； 一个平面镜E,调整平 施2.用测角仪测量从，点 面镜E的位置，使观 十八章 过 C处观察雕像顶，点A 测者刚好从镜中看到 程 的仰角∠ACF; 雕像的顶，点A; 3.测量点C到地面 3.测量E,D两点间的 的高度CD 距离； 4.测量点C到地面的 高度CD ∠ACF=11.14°，CD= 参 1.6m,BD=46m, 考 DE=6 m,CD=1.6 m, sin11.14°≈0.193」 数 BD=46 m cos11.14°≈0.981， 据 tan11.14°≈0.197 54.CD=BE=AB-AE=16-12.5=3.5(m). 答：在冬至正午时分，南楼的影子落在北 楼上约有3.5m. (2)若要使每层楼在冬天都要受阳光照 射，则点C和点D重合，如图2所示 太阳光线 南 北 16m 楼 320 B DC 图2 在Rt△ABC中，AB=16m,∠ADB=32°， AB 16 .'BD= tan32°0.625 ≈26(m) 答：南、北两楼之间的距离至少应为 26m,才能使每层楼在冬天都能受阳光 照射. 第二十八章 章末综合 一、选择题 1.B2.C3.D4.A 5.A.在△ABC中，∠B=90°，AB=4,AC=6, ".sin C=4B4 2 AC6=3 6.D如图，过点A作AD⊥BC于点D,则点 D在正方形网格格点上.在Rt△ACD中， AD 4 tan C=DC3 7.A由题意可知，BC=3×31(m), 由勾股定理，得AB=√AC+BC=√32+1卫= √10(m). 参米答荣及解种园 8.C根据题意，渔船P到A,B,C三艘军舰 的距离相等，即渔船P在线段AB,AC垂 直平分线的交点处，如图所示， G女- B ∴.PE⊥AC,PF⊥AB,垂足分别为E,F.过 点A作AG⊥AB,过点P作PG⊥AG于点 G,PE与AG交于点H,连接AP. 由题意，易得AC=4 n mile,AB=6 n mile, 四边形AFPG是矩形， .AE=CE=AC=2n mile,AF=PG=BF= 2AB=3 n mile,AC=FP. 1 ,∠EAH=30°，∠AEH=90°， cosL EAH=-cs30°=4E=V3 AH2· .AH= = 2W3 3 n mile,∠AHE= ∠PHG=60°. 在t△PHG中，tan_PHG=tan60°==3， GH=3。m ×3=√3(n mile), 3 +=73 AG=AH+GH=4 3 3 (n mile). 在Rt△APG中，AP=√AG+PG= 24-号am 43 。问步练数学九年级下册则 9.D如图，连接BF,FC 即∠MDC=∠ADO. .OA=OD, ∴.∠OAD=∠AD0=∠MDC. 又∠M=∠M, B ∴.△MDA∽△MCD, 由题意，得AB=BC=BF=12,EF垂直平 DM AM AD DM CM+10 8 分BC, CM DMDC,即 CM DM 6' ·BF=CF,BE=2BC=6. 解得DM=120 90 ,CM=7 又BC=BF, 0125 ∴.OM=0C+CM=5+ 7-7 .△FBC是等边三角形， 120 .∠FBC=60°， 60×m×122 ∴.cosM= DM724 0M12525 ∴.S扇形BFC= =24T. 360 在Rt△BEF中，tan∠EBF= EF 二、填空题 BE' AC EF 11.10在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= 6， AB .∵AC=8,sinB=0.8, .EF=65, P =0.8, SABEF=2 AB ×6×65=183， 解得AB=10. ·S明影都卧=S克形Bc-SAB6p T×62 =24m- 12.3在Rt△ABC中，：∠C=90°，AC=1, 4 185-9π=15π-185. BC=3,∴.tanA BC≥3， AC 10.D四边形ABCD是矩形， 13.60:四边形ABCD是菱形， 1 ∴.OA=OD=0C=AC,∠ABC=∠ADC= .'AD=AB=10 cm. 2 DE⊥AB, 90°，AD=BC=8,AB=CD=6, ∴.△ADE是直角三角形， .AC=√AB2+BC2=√62+82=10， 3 DEDE .'sin A= ∴.0A=0D=0C=5. 5-AD10, MD⊥BD, ∴.DE=6, ∴.∠ODM=∠ADC=90°， ∴.菱形ABCD的面积为AB×DE=10×6= .∠ODM-∠ODC=∠ADC-∠ODC, 60(cm2). 44 14. 如图，连接CD 4 因为∠C0D=90°， 所以CD为⊙A的直径，即CD=6. 因为C(0,2), 所以0C=2. 在Rt△0CD中，0D=√CD2-0C2=42, 所以tan∠CDO= 0C√2 0D4 因为∠OBC=∠CD0, 所以tanLOBC=2 15.4cm:四边形ABCD是矩形， AC=BD.OD-OB-BD.OA-AC. ∴.OB=OD=OA ·AE垂直平分B0, ∴.OA=AB, ∴.△OAB是等边三角形， ∴.∠AOE=60° ,AE⊥BO, AE ∴.sinAOE= OA .AE=23 cm, 2W3 .sin60°= ,解得OA=4, 0A .OD=OA=4 cm. 三、解答题 16解：0原式=2x2x 2 =1-1=0. 参米答荣及解种园 (2)原武=4x5-9-22+1=-8 2 17.解：.∠B=56°，∠C=45°，∠ADB= ∠ADC=90°，BC=BD+CD=100m, tan 560;CD=AD .BD=AD tan45o’ AD AD =100, tan56°'tan45 解得AD≈60. 答：游客中心A到观景长廊BC的距离约 为60m. 18.解：(1)sina=a,cosa=6,ana= b a c b sin aa b a cos a cc b' sin a .∴.tan a= cos a (2): sin a-2cos a tan a-2 1 2sin a+cos atan +tan 2 1 -2 sin a-2cos a 2 3 - 2sin a+cos a 1 41 2×。+1 2 19.解：如图，标注字母C,D,E,F. 北 Fi B →东 67o 30 E160ò 根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°， ∠CAB=30°，PA=45 n mile, ∴.∠PAB=∠CAP+∠CAB=90°，∠APB= 180°-∠DPC-∠EPA=53°， .∴.∠B=180°-∠PAB-∠APB=37. 45 。问步练数学九年级下册 PA 在Rt△PAB中，sinB= PB' .'PB= PA4545 sin B sin37°3 =75(n mile). 5 答：此时这艘轮船与灯塔P的距离约为 75 n mile. 20.解：(1)令3x-12=x, 解得x=6, .y=6, ∴.点A的坐标为(6,6) (2)如图1，过点A作AN⊥x轴于点N, 过点B作BF⊥OA于点F. BN 图1 .点A的坐标为(6,6)， ∴.AN=0N=6, .易知∠A0N=45°，0A=62. :直线y=3x-12交x轴于点B, .点B的坐标为(4,0)， .0B=4, .0F=BF=22, ∴.AF=0A-0F=42. ∴.tanOAB BF 22 1 AF4221 (3)由(1)可知，点C的坐标为(6,0)，又 OB=4,.BC=2 设直线BD的解析式为y=kx-4k, 46 则 .点D的坐标为(6,2k), ·直线0D的解析式为y=3x(k≠9). 3x=3-12, 36 .x= 9-k’ 六点5的拳标为，学。 12k)2. 如图2，过点O作MO∥CE交直线AB于 点M, 图2 .△ECB∽△MOB,∠BEC=∠BMO, EC BC 1 ·M0B02 又.EB平分∠OEC, ∴.∠BEC=∠BEO, ∴.∠BMO=∠BEO, .OE=MO, 8能-即0E=2Bc, .0E2=4EC2, 即(+(2=4[ 36-6)2+ 解得k=0(舍去)或k=3 , 3 .直线BD的解析式为y= 2x~6 21.解：选择方案一，解答过程如下： ,CD⊥BD,AB⊥BD,CF⊥AB, .四边形CDBF是矩形， .'BF=CD=1.6 m,CF=BD=46 m. 在Rt△AFC中，∠ACF=11.14°， ∴.AF=CF.tanLACF=CF·tan11.14°≈ 46×0.197=9.062(m), ∴.AB=AF+BF=9.062+1.6=10.662≈ 10.7(m) 答：雕像的高度约为10.7m. 或选择方案二，解答过程如下： CD⊥BD,AB⊥BD, ∴.∠CDE=∠ABE=90° 又∠CED=∠AEB, .∴.△CDE∽△ABE, CD DE AB BE DE=6 m,CD=1.6 m,BD=46 m, 1.66 六AB46-6,解得AB≈10.7 答：雕像的高度约为10.7m. 第二十九章 投影与视图 29.1投影 夯实五分钟 1.B2.D 3.D由同一点（点光源）发出的光线形成 的投影叫作中心投影，当等高的物体垂直 地面放置时，在同一路灯下，离点光源近 参米答来及解种园 的物体它的影子短，离点光源远的物体它 的影子长.在同一路灯下人的位置不同， 影长也会不同，故不能确定谁的影子长 4.C根据正投影的定义可知，当AB平行于 投影面时，AB=CD;当AB倾斜于投影面 时，AB>CD.综上所述，AB≥CD 5.A在上午，时间越早，太阳光线与地平面 的夹角越小，则物体的影长越长，所以这 四个时刻中，在8：00向日葵的影子最长 6.垂直 7.②根据光源判断可得：①属于平行投 影，不符合题意；②属于中心投影，符合题 意；③属于平行投影，不符合题意：④属于 平行投影，不符合题意 8.6如图，标示点D,E,过点A作AN⊥x轴 于点N,交BC于点M. .木杆BC两端的坐标分别为(-1,2)， (2,2),点A的坐标为(1,4)， ∴.BC∥DE,BC=3,AN=4,AM=2, .△ABC∽△ADE, 能兴子 DE4’ 解得DE=6, .木杆BC在x轴上的投影的长为6. 素养稳提升 9.A矩形硬纸板在地面上的投影可以是矩 形、正方形、平行四边形或一条线段，故得 到的投影不可能是三角形， 10.D根据位似图形的性质可得，∠AB1C1= ∠ABC,角的大小始终保持不变，影子依 47