第二十九章 圆 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学第二十九章“圆”单元卷，120分钟120分，知识覆盖全面，融合文化传承（赵州桥、掷铁饼者）与生活情境（斗笠、管道维修），梯度设计合理，适配单元复习，体现几何直观、空间观念等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6题18分|圆心角、点与圆位置关系、圆周角定理|基础概念辨析，图形直观呈现| |填空|6题18分|弧长公式、圆内接四边形、跨学科（数体融合）|生活情境（掷铁饼者）、空间想象（网格扇形）| |解答题|11题72分|垂径定理、圆锥侧面积、圆与几何综合|分层设计，综合题（23题）结合坐标与几何，体现推理能力与创新意识|

第二十九章 圆 (时间:120分钟　分值:120分) 一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项,请将正确答案的代号填入题后括号内) 1.下图中∠ACB是圆心角的是 (　　) A. B. C. D. 2.在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,半径为5画☉O,则点P(0,4)与☉O的位置关系是 (　　) A.点P在☉O内 B.点P在☉O上 C.点P在☉O外 D.无法确定 3.如图,点A,B,C均在☉O上,若∠BOC=100°,则∠BAC的度数为 (　　) A.80° B.60° C.50° D.40° 4.如图,在平面直角坐标系中,A(0,-3),B(2,-1),C(2,3).则△ABC的外心的坐标为 (　　) A.(0,0) B.(-1,1) C.(-2,-1) D.(-2,1) 5.赵州桥是当今世界上建造最早,保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,跨度约为37 m,拱高约为7 m,则赵州桥主桥拱半径R约为 (　　) A.20 m B.28 m C.35 m D.40 m 6.如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 7.如图,A,B,C,D,E五点在☉O上,连接EA,EB,EC,ED.若==,∠AEB=21°,则∠AED的度数是　　　　.  8.如图,四边形ABCD内接于☉O,∠A=125°,则∠C的度数为　　　　.  9.(跨学科·数体融合)如图,《掷铁饼者》是古希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看作一张拉满弦的弓,弧长约为π米,“弓”所在的圆的半径约1.25米,则“弓”所对的圆心角度数为　　　　.  10.如图,在2×2的正方形网格中,每个小正方形的边长为1.以点O为圆心,2为半径画弧,交网格线于点A,B,连接OA,OB,则扇形AOB的面积是　　　　.(结果保留π)  11.小青同学准备做一个班会要用的圆锥形帽子.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=20 cm,取AD的中点O.以点O为圆心,20 cm为半径作弧,分别交AB,CD于点M,N,得到扇形纸片OMN,发现M,N恰好分别是边AB,CD的中点,则用此扇形纸片围成的圆锥形帽子的底面圆的周长为　　　　cm.(结果保留π)  12.已知等腰△ABC内接于半径为5的☉O,圆心O到BC的距离为2,则这个等腰△ABC底边上的高为　　　　　　　　.  三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分) 13.(1)(新情境·日常生活)某居民区一处地下圆形管道破裂,修理人员准备更换一段新管道,如图,污水水面宽度为60 cm,污水水面至管道顶部的距离为10 cm,求圆形管道的半径. (2)如图,AB是☉O的直径,弦CD与AB相交于点E,∠ADC=26°,求∠CAB的度数. 14.如图,正方形ABCD内接于☉O,=,求证:BM=CM. 15.如图,☉O是△ABC的外接圆,∠A=45°,请仅用无刻度的直尺,按下列要求完成作图.(保留作图痕迹) (1)在图1的☉O上作点D,使△BCD为等腰直角三角形. (2)在图2的☉O上作点M,N,使四边形BCMN为正方形. 16.如图,AB是半圆的直径,D是的中点,∠ABC=50°,求∠DAB的度数. 17.如图,四边形ABCD内接于☉O,连接BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°. (1)求证:BD=CD. (2)若☉O的半径为3,求的长. 四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 18.(新素养·空间观念)斗笠是以竹篾、箬叶等天然材料手工编织而成的传统遮阳避雨帽.如图,某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25 cm、高为20 cm的圆锥形斗笠.粘贴时,彩色卡纸恰好覆盖斗笠外表,而且卡纸连接处无缝隙、不重叠. (1)求这顶圆锥形斗笠的侧面积.(结果保留π) (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数. 19.如图,以▱ABCD的顶点A为圆心,AB的长为半径作圆,分别交AD,BC于点E,F,延长BA交☉A于点G. (1)求证:=. (2)若的度数为70°,求∠C的度数. 20.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点M,连接AD,BC,过点C作AD的垂线,交DA的延长线于点E,延长CE交BA的延长线于点F. (1)求证:BC=CF. (2)若CD=12,AF=,求BM的长. 五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分) 21.如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,连接AC,BC,BD,F为AC的中点,且OF=2. (1)求BD的长. (2)当∠D=30°时,求CD的长. (3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积. 22.如图,点A,B,C,D,E在☉O上顺次排列,已知BD=CE,∠ABD=∠BCE. (1)求证:=. (2)求证:AB=BC. (3)若直线AE过圆心O,的度数为60°,求∠BCE的度数. 六、解答题(本大题共12分) 23.(新素养·几何直观)如图1,☉M交x轴于B(-3,0),C(,0)两点,交y轴于点A,点M的纵坐标为2. (1)求☉M的半径. (2)如图2,连接AB,若CE⊥AB于点H,交y轴于点F,求证:EH=FH. (3)在(2)的条件下求AF的长. 【参考答案】 1.B　2.A　3.C　4.D　5.B　6.D 7.63°　8.55°　9.90°　10.　11. 12.3或7或　 提示:①如图1,当BC为底,△ABC是锐角三角形时, 连接AO并延长,交BC于点D. ∵AB=AC, ∴AD⊥BC. ∵OA=5,OD=2, ∴AD=5+2=7. ②如图2,当BC为底,△ABC是钝角三角形时, 同理可得AD=OA-OD=5-2=3. ③如图3,当BC为腰,AC为底时,连接BO并延长,交AC于点E,作OF⊥BC于点F,连接OC. 在Rt△BOF中,OB=5,OF=2, ∴BF===, ∴BC=2BF=2. 设OE为x, 在Rt△COE中,CE2=OC2-OE2=52-x2, 在Rt△BCE中,CE2=BC2-BE2=(2)2-(5+x)2, ∴52-x2=(2)2-(5+x)2, 解得x=, ∴BE=5+=. 故答案为3或7或. 13.(1)解:如图,连接OA,过点O作OC⊥AB于点C. 设圆形管道的半径为 r,由已知得(r-10)2+302=r2,解得r=50, ∴圆形管道的半径为50 cm. 3分 (2)解:如图,连接BC. ∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°. ∵∠B=∠D=26°, ∴∠CAB=90°-26°=64°. 3分 14.证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABC=∠DCB. 1分 ∵=, ∴∠ABM=∠DCM, 3分 ∴∠CBM=∠BCM, ∴BM=CM. 6分 15.解:(1)如图1,点D即所求. 3分 图1 图2 (2)如图2,正方形BCMN即所求. 6分 16.解:如图,连接BD. ∵D是的中点,即=, ∴∠ABD=∠CBD, 2分 而∠ABC=50°, ∴∠ABD=×50°=25°. ∵AB是半圆的直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠DAB=90°-25°=65°. 6分 17.解:(1)证明:∵四边形ABCD内接于☉O, ∴∠DCB+∠BAD=180°. ∵∠BAD=105°, ∴∠DCB=180°-105°=75°. ∵∠DBC=75°, ∴∠DCB=∠DBC=75°, ∴BD=CD. 3分 (2)∵∠DCB=∠DBC=75°, ∴∠BDC=30°, 由圆周角定理可得所对的圆心角度数为60°, 故的长==π. 6分 18.解:(1)∵母线长为25 cm、高为20 cm, ∴底面半径r==15(cm), 2分 ∴侧面积为πrl=15×25π=375π(cm2). 4分 (2)设扇形卡纸的圆心角的度数为n°, 由题意得=2π×15, 6分 解得n=216, ∴所需扇形卡纸的圆心角的度数为216°. 8分 19.解:(1)证明:如图,连接AF. ∵A为圆心,∴AB=AF, ∴∠ABF=∠AFB. 1分 ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠AFB=∠DAF,∠GAD=∠ABF, 3分 ∴∠DAF=∠GAD, ∴=. 4分 (2)∵的度数为70°, ∴∠BAF=70°. 5分 ∵AB=AF, ∴∠B=∠AFB=(180°-∠BAF)=55°. 6分 ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB∥CD, ∴∠C=180°-∠B=125°. 8分 20.解:(1)证明:∵=, ∴∠BCD=∠BAD. ∵∠BAD=∠FAE, ∴∠BCD=∠FAE. ∵DE⊥CF,CD⊥AB, ∴∠FMC=∠BMC=90°,∠FEA=90°, ∴∠F+∠FAE=∠B+∠BCD=90°, ∴∠F=∠B, ∴BC=CF. (2)如图,连接OC, 设☉O的半径为r,则AB=2r,OB=OC=r, ∴BF=2r+. 由(1)知BC=CF, ∴△BCF是等腰三角形. ∵CD⊥AB, ∴BM=BF=r+, ∴MO=BM-OB=. ∵AB是☉O的直径,CD⊥AB,CD=12, ∴CM=6. 在Rt△OCM中,OC2=CM2+OM2, ∴r2=62+2, ∴r=(负值舍去), ∴BM=r+=8. 8分 21.解:(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°. ∵F为AC中点,O为AB中点, ∴OF∥BC且OF=BC. ∵OF=2,∴BC=2OF=4. ∵弦CD⊥AB于点E, ∴=, ∴BD=BC=4. 3分 (2)∵弦CD⊥AB于点E, ∴BE⊥CD,CD=2DE. ∵∠D=30°,BD=4, ∴BE=2,DE==2, ∴CD=4. 5分 (3)如图,连接OC. ∵∠CAB=∠D=30°,OA=OC, ∴∠OCA=∠OAC=30°, ∴∠AOC=120°. ∵∠ACB=90°,BC=4,∠CAB=30°, ∴AB=2BC=8,AC=4, ∴S阴影部分=-×4×2=-4. 9分 22.解:(1)证明:∵BD=CE, ∴=, ∴-=-, 即=. 2分 (2)证明:∵∠ABD=∠BCE, ∴=,即+=+, ∴=. 3分 ∵=, ∴=, ∴AB=BC. 5分 (3)如图,连接AE,OB. ∵的度数为60°, 由(1)(2)可知==,其度数都等于=40°, ∴∠AOB=40°. 6分 ∵OA=OB, ∴∠A=∠OBA==70°. 7分 由题意可知四边形ABCE为☉O的内接四边形, ∴∠BCE+∠A=180°, ∴∠BCE=180°-70°=110°. 9分 23.解:(1)如图1,过点M作MT⊥BC于点T,连接BM. 由题意可知,BT=TC=BC=2. 1分 ∵点M的纵坐标为2, ∴MT=2, ∴BM==4, 即☉M的半径为4. 3分 (2)证明:如图2,连接AE,则∠AEC=∠ABC. ∵CE⊥AB, ∴∠HBC+∠BCH=90°. 在△COF中, ∵∠OFC+∠OCF=90°, ∴∠HBC=∠OFC=∠AFH=∠AEC. 在△AEH和△AFH中, ∴△AEH≌△AFH(AAS), ∴EH=FH. 7分 (3)由(1)知,∠MBT=30°. 如图3,延长BM,交☉M于点G,连接AG,CG. ∵☉M的半径为4, ∴CG=BG=4. 9分 ∵∠BCG=90°, ∴CG⊥x轴, ∴CG∥AF. 10分 ∵∠BAG=90°, ∴AG⊥AB. ∵CE⊥AB, ∴AG∥CE, 11分 ∴四边形AFCG为平行四边形, ∴AF=CG=4. 12分 学科网（北京）股份有限公司 $