第二十七章 反比例函数 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学反比例函数单元卷，120分钟120分，涵盖定义、图象、性质及跨学科应用，通过基础辨析、综合探究与实际情境设计，适配单元复习，培养抽象能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|6/18|反比例函数定义、图象判断、象限分布|基础概念辨析，如表格数据判断函数关系（题5）| |填空题|6/18|增减性、跨学科（压强）、分类讨论|数物融合（题9压力压强）、新考法分类讨论（题12平行四边形存在性）| |解答题|11/84|解析式求解、实际应用（烧水降温）、函数综合|分层设计，如日常生活情境（题19水温变化）、跨学科探究（题23电路电流）|

第二十七章 反比例函数 (时间:120分钟　分值:120分) 一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项,请将正确答案的代号填入题后括号内) 1.下面四个关系式中,y是x的反比例函数的是 (　　) A.y=2x-1 B.y= C.y=x D.y=x2+x 2.反比例函数y=-的图象大致是 (　　) A. B. C. D. 3.若反比例函数y=的图象在第二、四象限,则k的值可以是 (　　) A.3 B.0 C.1 D.-1 4.若图中双曲线的解析式为y=,则阴影部分的面积为12的是 (　　) A. B. C. D. 5.已知y是x的函数,y与x的几组对应值如表: x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3种描述:①可能是一次函数关系;②可能是反比例函数关系;③可能是二次函数关系.所有描述正确的序号是 (　　) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 6.已知一次函数y=ax+b的图象经过点(-2,-3),正比例函数y1=ax的图象不经过第三象限,则反比例函数y2=的图象位于 (　　) A.第一、第二象限 B.第一、第三象限 C.第二、第三象限 D.第二、第四象限 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 7.函数y=(m+2)x|m|-3是y关于x的反比例函数,则m=　　　　.  8.点(3,a),(4,b)在反比例函数y=的图象上,若a>b,则k的取值范围是　　　　.  9.(跨学科·数物融合)某校科技小组进行野外考察,利用铺垫木板的方式通过了一片湿地,这是因为人和木板对湿地的压力F一定时,人和木板对地面的压强p(单位:Pa)与木板面积S(单位:m2)存在反比例函数关系.如图,若木板面积为0.2 m2,则压强为　　　　Pa.  10.如图,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A,B,作AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D,连接OA,OB,则△OAC与△OBD的面积之和为　　　　.  11.如图,☉O的半径为2,双曲线的关系式分别为y=和y=-,则阴影部分的面积是　　　　.  12.(新考法·分类讨论)如图,反比例函数y=(x>0)的图象与直线AB交于点A(2,4),直线AB与x轴交于点B(4,0),过点B作x轴的垂线BC,交反比例函数的图象于点C,在平面内存在点D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形,则点D的坐标是　　　　　　　　　　　　　　.  三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分) 13.反比例函数y=的图象过点A(2,3). (1)求这个函数的解析式. (2)若点(-1,m)在这个函数的图象上,求m的值. 14.(新考法·图表分析)经过试验获得两个变量x(x>0),y(y>0)的一组对应值如下表. x 1 2 3 4 5 6 y 6 3 2 1.5 1.2 1 (1)请画出相应函数的图象,并求出函数解析式. (2)点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上.若x1<x2,则y1,y2有怎样的大小关系?请说明理由. 15.我国的面条文化至今已有两千多年的历史(面条在东汉被称为“煮饼”).厨师将一定质量的面团做成拉面时,面条的总长度y(单位:m)是面条横截面面积S(单位:mm2)的反比例函数,其图象经过A(4,32),B(a,80)两点(如图所示). (1)求y与S之间的函数解析式. (2)求a的值,并解释它的实际意义. 16.如图,两边在坐标轴上的正方形和反比例函数y=的图象相交于点A.请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图(保留作图痕迹). (1)如图1,在第三象限的图象上找一点P,使OP=OA. (2)在图2中作出反比例函数的两条对称轴. 图1 图2 17.如图,反比例函数y=的图象与正比例函数y=x的图象交于点A和B(4,1),点P(1,m)在反比例函数y=的图象上,连接AP,OP. (1)求反比例函数的解析式和点P的坐标. (2)求△AOP的面积. 四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 18.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点B,C在x轴负半轴上,反比例函数y=(x<0)的图象经过点D(-1,3),交AB于点E. (1)求反比例函数的解析式. (2)求△CBE的面积. 19.(新情境·日常生活)泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100 ℃,然后停止烧水,等水温降低到适合的温度时再泡茶,烧水时水温y(单位:℃)与时间x(单位:min)成一次函数关系;停止加热过了1 min后,水壶中水的温度y(单位:℃)与时间x(单位:min)近似于反比例函数关系(如图).已知水壶中水的初始温度是20 ℃,降温过程中水温不低于20 ℃. (1)分别求出图中所对应的函数关系式,并且写出自变量x的取值范围. (2)从水壶中的水烧开(100 ℃)降到90 ℃就可以泡茶,问从水烧开到泡茶需要等待多长时间? 20.如图,反比例函数y=的图象经过点A(4,b),过点A作AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为2. (1)求k和b的值. (2)若一次函数y=ax-3的图象经过点A,求一次函数的解析式. (3)观察函数图象,当x取何值时,反比例函数y=的图象在一次函数y=ax-3的图象的上方? 五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分) 21.如图,在平面直角坐标系中,过点A(a,0)作x轴的垂线,分别交直线y=2x-1与反比例函数y=的图象于M,N两点,点M,N的纵坐标分别为m,n. (1)若点M与点N重合,且m=a,求k的值. (2)当a>2时,总有m>n,直接写出k的取值范围. 22.如图,A(4,3)是反比例函数y=(k≠0)在第一象限图象上的一点,连接OA,过点A作AB∥x轴,截取AB=OA(B在A右侧),连接OB,交反比例函数y=的图象于点P. (1)求反比例函数y=(k≠0)的解析式. (2)求点B的坐标及OB所在直线的解析式. (3)求△OAP的面积. 六、解答题(本大题共12分) 23.(跨学科·数物融合)在一次物理实验中,小冉同学用一固定电压为12 V的蓄电池,通过调节滑动变阻器来改变电流大小,完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL=2 Ω)亮度的实验(如图所示).已知串联电路中,电流与电阻R,RL之间的关系为I=.通过实验得出如下数据: R/Ω … 1 a 3 4 6 … I/A … 4 3 2.4 2 b … (1)a=　　　　,b=　　　　.  (2)【探究】根据以上实验,构建出函数y=(x≥0),结合表格信息,探究函数y=(x≥0)的图象与性质. ①在平面直角坐标系中画出对应函数y=(x≥0)的图象; ②写出函数y=(x≥0)的一条性质:　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  (3)【拓展】结合(2)中函数图象分析,当x≥0时,≥-x+6的解集为　　　　.  【参考答案】 1.B　2.C　3.A　4.D　5.C　6.D 7.2　8.k>2　9.3 000　10.3　11.2π 12.(6,-2)或(2,6)或(2,2)　提示:把A(2,4)代入y=得k=2×4=8, ∴反比例函数的表达式为y=. 当x=4时,y==2,则C(4,2). 当A点先向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度得到B点,则C点先向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度得到D点,D点坐标为(6,-2); 当B点先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度得到A点,则C点先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度得到D点,D点坐标为(2,6); 当C点先向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到A点,则B点先向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到D点,D点坐标为(2,2). 综上所述,D点坐标为(6,-2)或(2,6)或(2,2). 13.解:(1)将点A(2,3)代入反比例函数y=,得 k=xy=2×3=6, ∴y=. 3分 (2)∵点(-1,m)在函数y=的图象上, ∴m==-6. 6分 14.解:(1)函数图象如图所示,设函数的解析式为y=(k≠0), 把x=1,y=6代入,得k=6,∴函数的解析式为y=(x>0). 3分 (2)y1>y2. 理由:∵k=6>0,∴在第一象限内,y随x的增大而减小,∴当0<x1<x2时,则y1>y2. 6分 15.解:(1)设y与S之间的函数解析式为y=(S>0), 将(4,32)代入,得k=128, ∴y与S之间的函数解析式为y=(S>0). 3分 (2)将(a,80)代入y=可得a=1.6, 实际意义:当面条的横截面面积为1.6 mm2时,面条的总长度为80 m. 6分 16.解:(1)如图1,点P即所求.(答案不唯一,作对即给分) 3分 (2)如图2,直线l1,l2即所求. 6分 图1 图2 17.解:(1)把点B(4,1)代入y=,得k=4, ∴反比例函数的解析式为y=. ∵把P(1,m)代入y=,得m==4, ∴点P的坐标为(1,4). 2分 (2)∵点A与点B关于原点对称,点B(4,1), ∴点A(-4,-1). 如图,设AP与y轴交于点C,直线AP的函数关系式为y=ax+b, 把点A(-4,-1),P(1,4)分别代入,得 解得 ∴直线AP的函数关系式为y=x+3, ∴点C的坐标为(0,3), ∴S△AOP=S△AOC+S△POC=×3×4+×3×1=. 6分 18.解:(1)∵反比例函数y=(x<0)的图象经过点D(-1,3), ∴k=-1×3=-3, ∴反比例函数的解析式为y=-. 3分 (2)∵点D(-1,3), ∴BC=DC=3, ∴点B的坐标是(-4,0). 5分 当x=-4时,y=, ∴BE=, ∴S△CBE=×3×=. 8分 19.解:(1)停止加热时,设y=, 由题意得50=, 解得k=900, ∴y=. 当y=100时,x=9, ∴C点的坐标为(9,100), ∴D点的坐标为(8,100). 当加热烧水时,设y=ax+20, 由题意得100=8a+20, 解得a=10, ∴当加热烧水时,函数关系式为y=10x+20(0≤x≤8); 当停止加热时,得y与x的函数关系式为y=100(8<x≤9);y=(9<x≤45). 6分 (2)把y=90代入y=,得x=10, 因此从水烧开到泡茶需要等待10-8=2(min). 8分 20.解:(1)∵反比例函数y=的图象经过点A,AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为2,A(4,b), ∴OB×AB=2,×4×b=2, ∴AB=b=1, ∴A(4,1), ∴k=xy=4, ∴反比例函数的解析式为y=,即k=4,b=1. 3分 (2)∵点A(4,1)在一次函数y=ax-3的图象上, ∴1=4a-3, ∴a=1, ∴这个一次函数的解析式为y=x-3. 6分 (3)当x<-1或0<x<4时,反比例函数y=的图象在一次函数y=ax-3图象的上方. 8分 21.解:(1)∵过点A(a,0)作x轴的垂线,分别交直线y=2x-1与反比例函数y=的图象于M,N两点,点M,N的纵坐标分别为m,n, ∴点M,N的横坐标为a. 2分 将x=a代入直线与反比例函数,得m=2a-1,n=. 3分 ∵点M与点N重合,m=a, ∴a=1,m=n=1, ∴k=1. 5分 (2)k≤6且k≠0. 9分 提示:将a=2代入直线与反比例函数中,得 m=3,n=. 当m=n时,3=, 解得k=6. ∵当a>2时,m>n, ∴k≤6且k≠0. 22.解:(1)将点A(4,3)代入y=(k≠0), 得k=12,则反比例函数的解析式为y=. 2分 (2)如图,过点A作AC⊥x轴于点C, 则OC=4,AC=3, ∴OA==5. ∵AB∥x轴,且AB=OA=5, ∴点B的坐标为(9,3). 4分 设OB所在直线的解析式为y=mx(m≠0), 将点B(9,3)代入得m=, ∴OB所在直线的解析式为y=x. 6分 (3)联立解析式 解得 7分 可得点P的坐标为(6,2). 如图,过点P作PD⊥x轴于点D,延长DP交AB于点E,连接AP, 则点E的坐标为(6,3), ∴PE=1, 则△OAP的面积=×5×3-×5×1=5. 9分 23.解:(1)2;1.5. 3分 提示:根据题意得3=,b=, 解得a=2,b=1.5. (2)①根据表格数据描点:(1,4),(2,3),(3,2.4),(4,2),(6,1.5),在平面直角坐标系中画出对应函数y=(x≥0)的图象如图1所示. 6分 图1 ②随着自变量x的增大,函数值y不断减小. 9分 (3)x≥2或x=0. 12分 提示:如图2所示, 图2 由函数图象知,当x≥2或x=0时,≥-x+6, 即当x≥0时,≥-x+6的解集为x≥2或x=0. 学科网（北京）股份有限公司 $