第二十五章 一元二次方程 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学第二十五章一元二次方程单元卷，覆盖定义、解法、应用等核心知识，融合数学文化与现实情境，适配单元复习，提升运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|定义（1题）、配方法（3题）、《几何原本》图解法（6题）|基础巩固，体现几何直观| |填空题|6/18|根的判别式（7题）、换元法（10题）、三角形周长分类讨论（12题）|能力提升，强化推理意识| |解答题|11/84|降价率（5题）、四大发明展板（16题）、根与系数关系（23题）|创新应用，突出模型意识与运算能力|

第二十五章 一元二次方程 (时间:120分钟　分值:120分) 一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项,请将正确答案的代号填入题后括号内) 1.下列方程中,是一元二次方程的是 (　　) A.x(x-3)=0 B.x3+2x=0 C.-x=1 D.y-x2=4 2.将一元二次方程x2=-2x+8化为一般形式后,若二次项系数为1,则常数项为 (　　) A.-2 B.2 C.-8 D.8 3.用配方法解下列方程,其中应在两端同时加上1的是 (　　) A.x2-x=5 B.x2+2x=5 C.x2+4x=5 D.x2-4x=5 4.若x=是一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根,则a+b+c= (　　) A.-2 B.4 C.2 D.0 5.近年来,由于新能源汽车的崛起,燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑.某款燃油汽车2月份的售价为23万元,4月份售价为18.63万元,设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x,则下列方程正确的是 (　　) A.18.63(1+x)2=23 B.23(1-x)2=18.63 C.18.63(1-x)2=23 D.23(1-2x)=18.63 6.(数学文化·几何原本)欧几里得的《几何原本》中记载,方程x2+ax=b2的图解法是先画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=BC,则该方程的一个正根是 (　　) A.线段AC的长 B.线段BC的长 C.线段CD的长 D.线段AD的长 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 7.若一元二次方程(x-2)2=n+1(n为常数)有实数根,则n的取值范围是　　　　　　　　.  8.方程(x-4)(x+3)=0的解是　　　　　　　　.  9.已知m是方程x2-2x-7=0的一个根,则2m2-4m+1=　　　　.  10.已知关于x的方程x2+2x-3=m的解是x1=1,x2=-3,则关于y的方程(2y-3)2+2(2y-3)-3=m的解是　　　　.  11.若一元二次方程ax2-x-=0(a为常数,且a≠0)有两个不相等的实数根,则点P(a+1,-a-3)在第　　　　象限.  12.(新考法·分类讨论)已知△ABC的三边长都是关于x的方程x2-3x+8=0的解,其中k为整数,且k<5,则△ABC的周长等于　　　　　　.  三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分) 13.(1)解方程:(x-2)2-9=0. (2)当x为何值时,代数式x2+1和4x+1的值相等? 14.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2-5x+6=0的两根,求此直角三角形的斜边长. 15.(新考法·正误辨析)小红解方程3x(x-1)-x+1=0的过程如下: 解:3x(x-1)-(x-1)=0,…① 3x-1=0,…② 3x=1,…③ x=.…④ (1)小红的解答过程是有错误的,开始出现错误的是　　　　.(填对应的序号)  (2)写出正确的解答过程. 16.(传统文化·四大发明)造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明.这些发明对人类文明发展产生了深远的影响.某校科技节活动中,计划在如图所示的长100 cm、宽40 cm的展板上展出介绍四大发明的海报,每幅海报面积均为640 cm2,若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为x cm的彩色纸带,求彩色纸带的宽度. 17.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个实数根. (1)求k的取值范围. (2)当k取最大整数时,求此时方程的根. 四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 18.已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+m=0. (1)求证:方程总有两个实数根. (2)若方程有一个根为负数,求m的取值范围. 19.阅读下列“问题”与“提示”后,将解方程的过程补充完整,求出x的值. 【问题】解方程:x2+2x+4-5=0. 【提示】可以用“换元法”解方程. 解:设=t(t≥0),则有x2+2x=t2, 原方程可化为t2+4t-5=0, 【续解】 20.(新情境·日常生活)端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是两名调查员的对话: 小王:该水果的进价是每千克22元. 小李:当销售价格为每千克38元时,每天可售出160千克,若每千克降低3元,每天的销售量将增加120千克. 根据他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3 640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的销售价格. 五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分) 21.(新素养·运算能力)解高次方程的思想是“降次”,将含未知数的某部分用低次项替换,例如解四次方程x4+2x2-8=0时,可设y=x2,则原方程可化为y2+2y-8=0,先解出y,再将y的值代入y=x2中解x的值,由此高次方程得解.解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体,例如上述方程中,可将x2看作一个整体,得(x2)2+2x2-8=0,先解出x2的值,再进一步求解即可.根据上述方法,解答下列问题: (1)若(2x2+2y2-3)(2x2+2y2+3)=7,求x2+y2的值. (2)解方程:(y2-3y)2-4y2+12y=0. 22.追本溯源 题(1)来自课本中的习题,请你完成解答,并用类似方法解答题(2). (1)一个长方体的长与宽的比为5∶2,高为5 cm,表面积为40 cm2,画出这个长方体的展开图. 方案设计 (2)现有一张长80 cm、宽40 cm的矩形硬纸板制作成的一个有盖的长方体收纳盒.如图,把该硬纸板的四角剪去四个全等的矩形,折成一个有盖的长方体收纳盒,连接处恰好重合且无重叠部分.若该收纳盒的底面积(阴影部分的面积)为250 cm2,求该收纳盒的高. 六、解答题(本大题共12分) 23.阅读下列材料. 法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在b2-4ac≥0时,两根分别可表示为x1=,x2=,那么可推得x1+x2=-,x1·x2=,这是一元二次方程根与系数的关系. 利用一元二次方程根与系数的关系,解答下列问题: (1)已知方程x2+2x-9=0的两根为x1,x2,求(x1+1)(x2+1)的值. (2)已知实数x,y满足xy+(x+y)=13,x2y+xy2=42,求x2+y2的值. 【参考答案】 1.A　2.C　3.B　4.D　5.B 6.D　提示:在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC2+BC2=AB2.∵AC=b,BD=BC=, ∴b2+2=AD+2=AD2+aAD+2,∴AD2+aAD=b2.∵AD2+aAD=b2与方程x2+ax=b2相同,且AD的长度为正数,∴线段AD的长是方程x2+ax=b2的一个正根. 7.n≥-1　8.x1=4,x2=-3　9.15　10.y1=2,y2=0　11.四 12.6或12或10　提示:据题意得k≥0且(3)2-4×8≥0, 解得k≥. ∵整数k<5, ∴k=4. 当k=4时,方程为x2-6x+8=0, 解得x1=2,x2=4. ∵△ABC的边长均满足方程x2-6x+8=0, ∴△ABC的边长为2,2,2或4,4,4或4,4,2, ∴△ABC的周长为6或12或10. 故答案为6或12或10. 13.(1)解:∵(x-2)2-9=0, ∴(x-2)2=9, ∴x-2=±3, ∴x-2=3或x-2=-3, 解得x1=5,x2=-1. 3分 (2)解:由题意,得x2+1=4x+1,∴x2-4x=0, 1分 x(x-4)=0, 2分 x1=0,x2=4. 3分 14.解:(解法不唯一)设两条直角边长分别为a,b,则斜边长为=. 2分 ∵a+b=-=5,ab=6, ∴==. 6分 15.解:(1)②. 2分 (2)∵3x(x-1)-x+1=0, ∴3x(x-1)-(x-1)=0, 则(x-1)(3x-1)=0, ∴x-1=0或3x-1=0, 解得x1=1,x2=. 6分 16.解:由题意可得(100-5x)(40-2x)=640×4, 3分 解得x1=4,x2=36(不符合题意,舍去). 答:彩色纸带的宽度为4 cm. 6分 17.解:(1)∵关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个实数根, ∴ 解得k≤2且k≠1. 3分 (2)当k=2时,方程为x2-2x+1=0,即(x-1)2=0, 解得x1=x2=1. 6分 18.解:(1)证明:∵a=1,b=-(m+1),c=m, ∴Δ=b2-4ac=[-(m+1)]2-4×1×m=m2+2m+1-4m=m2-2m+1=(m-1)2. 2分 ∵(m-1)2≥0,即Δ≥0, ∴方程总有两个实数根. 4分 (2)由(1)得一元二次方程x2-(m+1)x+m=0的Δ=(m-1)2. 用公式法解得x==, ∴x1=m,x2=1. 6分 ∵方程有一个根为负数, ∴m<0. 8分 19.解:(t+5)(t-1)=0,t+5=0或t-1=0,∴t1=-5,t2=1. 2分 当t=-5时,=-5,此方程无解; 当t=1时,=1,则x2+2x=1,配方得(x+1)2=2, 解得x1=-1+,x2=-1-. 6分 经检验,原方程的解为x1=-1+,x2=-1-. 8分 20.解:设每千克降低x元,超市每天可获得销售利润3 640元. 由题意得(38-x-22)160+×120=3 640, 整理得x2-12x+27=0, ∴解得x1=3,x2=9. 5分 ∵要尽可能让顾客得到实惠, ∴x=9, 6分 ∴售价为38-9=29(元/千克). 7分 答:当水果的销售价格为每千克29元时,超市每天可获得销售利润3 640元,且顾客尽可能得到实惠. 8分 21.解:(1)设t=x2+y2,则t≥0, 原方程可化为(2t-3)(2t+3)=7, 整理得t2=4, 解得t1=2,t2=-2(不合题意,舍去), ∴x2+y2的值是2. 4分 (2)(y2-3y)2-4y2+12y=0, (y2-3y)2-4(y2-3y)=0, (y2-3y)(y2-3y-4)=0, y2-3y=0或y2-3y-4=0, 解方程y2-3y=0,得y1=0,y2=3; 解方程y2-3y-4=0,得y3=-1,y4=4, ∴原方程的解为y1=0,y2=3,y3=-1,y4=4. 9分 22.解:(1)设该长方体的长为5x cm,宽为2x cm, ∴2(5x×2x+5×5x+2x×5)=40, ∴2x2+7x-4=0, ∴x1=0.5,x2=-4(舍去), ∴该长方体的长为2.5 cm,宽为1 cm,高为5 cm.画图略. 4分 (2)如图,设该收纳盒的高为x cm,则BC=40-2x,AB==40-x ∴40-2x>0, ∴x<20, ∴(40-2x)(40-x)=250,整理得x2-60x+675=0, 解得x=15或x=45(舍去), ∴该收纳盒的高为15 cm. 9分 23.解:(1)∵方程x2+2x-9=0的两根分别为x1,x2, ∴x1+x2=-2,x1x2=-9, ∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=-2-9+1=-10. 5分 (2)∵xy+(x+y)=13,x2y+xy2=xy(x+y)=42, ∴xy,x+y可看作一元二次方程a2-13a+42=0的两个实数根, 解得xy=6,x+y=7或xy=7,x+y=6. 8分 当xy=6,x+y=7时,x2+y2=(x+y)2-2xy=49-12=37; 当xy=7,x+y=6时,x2+y2=(x+y)2-2xy=36-14=22. 综上所述,x2+y2的值为37或22. 12分 学科网（北京）股份有限公司 $