第25章一元二次方程.拔尖卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为九年级数学上册第25章一元二次方程拔尖卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，全面考查一元二次方程的概念、解法、应用及综合拓展，适配单元复习拔高训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8题/32分|定义、解的意义、增长率问题、根的判别式|结合几何动点（第6题）考查抽象能力与几何直观| |填空题|4题/12分|等腰三角形边长与方程根、矩形剪拼问题|第12题通过图形剪拼体现数学眼光与模型意识| |解答题|6题/56分|解法、根与系数关系、销售/围菜地应用、新定义“换位方程”|第18题新定义问题培养创新意识，第17题围菜地问题发展应用意识与推理能力|

第25章一元二次方程.拔尖卷人教版2026—2027九年级数学上册 总分：100分 时间：60分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题4分，满分32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 3．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 5．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（     ） A． B． C． D． 7．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A．57 B．58 C．59 D．60 8．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 二．填空题（每小题3分，满分12分） 9．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 10．方程的解为_____． 11．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 12．在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 三．解答题（共6小题，总分56分，其中13题6分，14—18题每题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．解方程． (1) (2) (3)； (4) 14．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 15．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 16．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降2元，商场平均每天可多售出4件； (1)衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出 件； (2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？ 17．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 18．定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 参考答案 1．B 2．C 3．D 4．B 5．D 6．B 7．B 8．C 9． 10．， 11． 12． 13．【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴ ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 14．(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 15．【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 16．【详解】（1）解：∵衬衫的单价每降2元，商场平均每天可多售出4件， ∴衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． （2）解：设衬衫的单价降了x元，根据题意，得： ， 解得：， 答：衬衫的单价降了15元． 17．【详解】（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 18．【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $