2.1 认识实数 预习自测2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦实数概念与性质，通过基础辨析、技能应用到综合探究的三层设计，实现从概念理解到运算推理的渐进巩固，培养抽象能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|无理数识别、实数分类、相反数/绝对值|单选题1-6直接考查概念，填空题12强化定义表述，夯实抽象能力| |技能应用|实数估算、大小比较、数轴表示|单选题7-8结合数轴与估算，填空题11-14训练无理数小数部分及概率应用，提升运算能力| |综合探究|勾股定理与数轴、分类讨论|解答题19-20通过方格面积计算、含参绝对值化简，发展推理意识与应用意识|

2.1 认识实数 预习自测2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列各数是无理数的是（    ） A．0 B． C． D． 2．小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 3．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 4．在实数2，0，，中，最小的数是（    ） A．2 B．0 C． D． 5．若，则整数的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．的相反数是（    ） A． B． C． D． 7．下列说法错误的个数有（    ） ①带根号的数都是无理数；②零是最小的实数；③无限小数都是无理数；④不带根号的数都是有理数； ⑤数轴上的所有点都表示实数 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，数轴上点N表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 9．已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知，，于点C，则数轴上点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若的整数部分为，小数部分为，则_____． 12．了解无理数与实数的概念 （1）______小数叫做无理数； （2）有理数和_____统称为实数． 13．从、0.2、、、0.3、这6个数中任意选取一个数，那么取到的数是分数的概率是________． 14．若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 15．如图，在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，线段于点，且线段长为个单位长度，若以点为圆心，长为半径作弧交数轴于和之间的点，则点表示的数为______． 三、解答题 16．在数轴上作出表示的点． 17．把，，0，，，填在相应的集合内： (1)有理数集合｛ ……｝ (2)无理数集合｛ ……｝ (3)正实数集合｛ ……｝ (4)负实数集合｛ ……｝ 18．如图，已知点表示的数为，点向右运动个单位长度到达点，点表示的数为． (1)在数轴上画出点； (2)点表示的数为________，其绝对值为________； (3)利用数轴比较大小：________（填“”“”或“”），所以点在点________．（填“左侧”或“右侧”） 19．如图（1），在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1． （1）求图（1）中正方形ABCD的面积； （2）如图（2），若点A在数轴上表示的数是﹣1，以A为圆心，AD为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是　 　． 20．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，______；当时，______； (2)若实数a不等于零，求的值； (3)若实数a、b均不等于零，试求的值． 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D D B A C A B D 1．【答案】D 【知识点】无理数 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，判断各选项即可． 【详解】解：A、 0是整数，属于有理数，故不符合题意； B、，2是整数，属于有理数，故不符合题意； C、 是分数，属于有理数，故不符合题意； D、是无限不循环小数，是无理数，故符合题意； 2．【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、实数的性质 【分析】本题考查了实数的绝对值，掌握“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”是解题的关键． 根据一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【详解】解：实数的绝对值是， 故选：A． 3．【答案】D 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较、实数概念理解、实数的分类 【分析】本题考查了圆周率的基本性质、有理数与实数的定义、数轴与实数的对应关系以及实数的大小比较，解题的关键是熟记无理数、实数的概念及数轴的性质，通过逐一验证每个选项的正确性得出答案． 先明确圆周率是无限不循环小数，属于无理数；再根据有理数、实数的定义判断选项A和D；依据“实数与数轴上的点一一对应”判断选项B；通过计算的近似值（约）与的近似值（约）比较，判断选项C． 【详解】解：A、∵是无限不循环小数，属于无理数，而有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，   ∴此选项不符合题意；   B、∵实数与数轴上的点一一对应，是实数，   ∴能在数轴上表示出来，此选项不符合题意；   C、∵，，且，   ∴，此选项不符合题意；   D、∵实数包括有理数和无理数，是无理数，   ∴是实数，此选项符合题意；   故选：D． 4．【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：， ∴所给的实数中，最小的数是， 故选：D． 5．【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，估算出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且为整数， ∴， 故选：B． 6．【答案】A 【知识点】相反数的定义、实数概念理解 【分析】直接利用相反数的定义，进而得出答案． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键． 7．【答案】C 【知识点】无理数、实数与数轴、实数概念理解、实数的分类 【分析】根据无理数的定义，实数的性质与分类，数轴上的点与实数一一对应，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①带根号的数不一定都是无理数，例如是有理数，故①不正确； ②没有最小的实数，故②不正确； ③无限不循环的小数都是无理数，故③不正确； ④不带根号的数不一定都是有理数，例如,故④不正确； ⑤数轴上的所有点都表示实数，故该⑤正确，符合题意； 错误的有①②③④，共4个， 故选C 【点睛】本题考查了实数的定义与分类，数轴与实数，掌握实数的定义是解题的关键． 8．【答案】A 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，先得出，再用有理数逼近无理数，求无理数的近似值即可得出答案． 【详解】解：根据数轴上可知点：， ．，故该选项符合题意； ．，故该选项不符合题意； ． ，故该选项不符合题意； ． ，故该选项不符合题意； 故选：A． 9．【答案】B 【知识点】无理数、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查多项式的运算，多项式乘多项式．由已知条件展开 得到 为有理数，从而 为有理数，据此求解即可．理解有理数加或减有理数结果为有理数是解题的关键． 【详解】解：∵ 为有理数， ∴ 为有理数（有理数加有理数仍为有理数）， A、不确定是不是有理数，故A不符合题意； B、是有理数，故B符合题意； C、不确定是不是有理数，故C不符合题意； D、不确定是不是有理数，故D不符合题意． 故选：B． 10．【答案】D 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示实数、勾股定理，根据勾股定理求出的长，再根据可知点表示的数． 【详解】解：由数轴可知，， ， ， 又点在原点的左侧， 点表示的数是． 故选：D． 11．【答案】 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查估算无理数的大小． 先估算的值，确定其整数部分和小数部分，再计算乘积即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 12．【答案】 无限不循环 无理数 【知识点】无理数、实数概念理解 【分析】根据无理数与实数的概念进行填空． 【详解】解：（1）无限不循环小数叫做无理数； （2）有理数和无理数统称为实数． 【点睛】本题考查了无理数与实数的概念． 13．【答案】 【知识点】实数的分类、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了概率的计算，实数的分类．先找出分数的个数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：∵在、0.2、、、0.3、这6中，分数有共3个， ∴取到的数是分数的概率是. 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】首先利用算术平方根的性质估算出分别在哪两个连续整数之间，然后观察数轴确定墨迹覆盖的数值范围，最后找出位于该范围内的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由图可知，墨迹覆盖的范围是2到3之间， 能被墨迹覆盖的数是． 15．【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】先由勾股定理求出，再由题意得到，最后由数轴上的点表示对应的实数方法计算即可． 【详解】解：在中，，则由勾股定理可得， 以点为圆心，长为半径作弧， ， 则点表示的数为． 16．【答案】 点C即为所求． 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】根据勾股定理可知，作直角边分别为1，4的直角三角形，斜边长即为，以点O为圆心，斜边长为半径画弧与正半轴的交点即为所求，据此作图即可． 【详解】解：取，且，以点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点C，则点C表示， 17．【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【知识点】有理数的定义、无理数、实数的分类 【分析】有理数包括整数和分数(有限小数、无限循环小数)；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含的数等；正实数是大于0的实数；负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数． （1）筛选出所有整数和分数，即可得到有理数集合； （2）筛选出所有无限不循环的数，即可得到无理数集合； （3）筛选出所有大于0的实数，即可得到正实数集合； （4）筛选出所有小于0的实数，即可得到负实数集合． 【详解】（1）解：∵有理数是整数和分数的统称，是整数，是整数，是分数，它们都符合有理数的定义， ∴有理数集合． （2）解：∵无理数是无限不循环小数，是开方开不尽的无限不循环小数，是无理数的相反数，也属于无限不循环小数， ∴无理数集合． （3）解：∵正实数是大于0的实数，，， ∴正实数集合． （4）解：∵负实数是小于0的实数，，， ∴负实数集合． 18．【答案】(1) 在数轴上画出点为： (2)，； (3)，右侧． 【知识点】求一个数的绝对值、实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题考查了数轴上表示数，绝对值定义，实数比较大小，掌握知识点的应用是解题的关键． （）在数轴上表示点即可； （）由点向右运动个单位长度到达点，则有点表示的数为，然后通过绝对值定义即可求解； （）根据数轴特点即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：点表示的数为，其绝对值， 故答案为：，； （3）解：根据数轴可知，，点在点的右侧， 故答案为：，右侧． 19．【答案】（1）正方形ABCD的面积是10；（2）－1． 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】（1）由勾股定理求得正方形的边长，由正方形的面积公式即可求得正方形的面积； （2）由画图知：AE=AD=，则OE=AE-OA，即得点E所表示的数． 【详解】（1）∵正方形ABCD边长为：＝， ∴正方形ABCD的面积是（）2＝10； （2）∵正方形ABCD边长为， ∴AE＝AD＝， ∴OE=AE－OA=－1， 即E表示的数为－1， 故答案为：－1． 【点睛】本题考查了勾股定理、无理数在数轴上的表示方法，关键是求出正方形的边长． 20．【答案】(1)1， (2)1或 (3)2或0或 【知识点】求一个数的绝对值、带有字母的绝对值化简问题、实数的性质 【分析】本题考查了绝对值，实数的运算，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）把a的值代入计算即可； （2）分两种情况讨论：当时，当时，分别化简绝对值即可； （3）分四种情况讨论：当，时，当，时，当，时，当，时，分别化简绝对值即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：1，； （2）当时，； 当时，； 即当实数a不等于零时，的值是1或； （3）当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的值为2或0或． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $