2.3 二次根式 预习自测2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次根式概念-性质-运算-应用逻辑链，通过分层题型系统提炼定义识别、化简技巧、混合运算等方法，渗透抽象能力与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|单选1-2|定义双重条件判断、最简二次根式特征分析|从二次根式定义生成，构建概念识别标准| |性质应用|单选3-5/填空11-13|被开方数非负性、化简规则、新定义运算转化|由性质推导取值范围与化简方法，关联有理数运算| |运算求解|单选6-8/填空12/解答16|乘除法则、平方差/完全平方公式应用|运算规则基于性质拓展，形成混合运算体系| |综合拓展|单选9-10/填空14-15/解答17-20|比较大小技巧、实际问题建模、规律探究|从数学内部运算延伸至实际应用与逻辑推理，发展模型意识|

2.3 二次根式 预习自测2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．当时，二次根式的值是（      ） A． B．2 C．4 D．16 4．化简的结果为（   ） A． B． C．7 D． 5．要使代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 7．下列各组二次根式是同类二次根式的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．计算：（ ） A．1 B．2 C． D．3 9．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 10．根据刹车后车轮滑过的距离可以估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示重力加速度，取，表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），表示摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得，，该汽车的车速（单位：）最接近的数值为（     ） A．17 B．18 C．19 D．20 二、填空题 11．如果是有理数，那么正整数的最小值是__________． 12．计算：______． 13．定义运算“@”的运算法则为：，则______． 14．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 15．已知，求代数式的值是_____． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．已知与最简二次根式可以加减合并，是27的立方根，． (1)求的值； (2)判断以为边的三角形的形状，并说明理由． 18．根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 19．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 20．先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C B B D A B C 1．【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、二次根式的识别、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数是非负数，据此逐一判断选项即可 【详解】解：二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需同时满足根指数为2，被开方数为非负数两个条件 选项A中，当时，无意义，不一定是二次根式，不符合要求； 选项B中，被开方数，无意义，不是二次根式，不符合要求； 选项C中，根指数为2，被开方数，满足二次根式的所有条件，一定是二次根式，符合要求； 选项D中，根指数为3，是三次根式，不是二次根式，不符合要求 2．【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【详解】解：∵ ，，，均能化简，∴ B、C、D都不是最简二次根式， ∵ 不能再化简，∴ A是最简二次根式． 3．【答案】B 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查了二次根式求值；把a的值代入二次根式求值即可． 【详解】解：时，； 故选：B． 4．【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的平方运算，掌握积的乘方规则以及二次根式的平方等于其被开方数是解题的关键． 平方运算会使负号消失，因为负数的平方是正数，且平方根平方后得到原数． 【详解】解：∵， ∴结果为7． 故选：C． 5．【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，计算即可得出结果． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：． 6．【答案】B 【知识点】二次根式的乘法 【详解】． 7．【答案】D 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】所有二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式． 【详解】解：选项A：∵ ，的被开方数为，的被开方数为，，∴ A错误； 选项B：∵ ，，不是同类二次根式，∴ B错误； 选项C：∵ ，，被开方数，∴ C错误； 选项D：∵ ，化简后与的被开方数均为，∴ 二者是同类二次根式，D正确． 8．【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，该表达式符合平方差公式的形式，直接应用公式计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 9．【答案】B 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】两个数都是正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，正数的平方越大，原数越大． 【详解】解： ， ，，， ∵， ∴． 10．【答案】C 【知识点】二次根式的应用、无理数的大小估算 【分析】将已知数值代入公式求出被开方数，再通过比较平方数估算车速即可． 【详解】解：， 将，，代入公式， ， 得， ，， ∴， 最接近． 11．【答案】5 【知识点】利用二次根式的性质化简、求二次根式中的参数 【分析】本题考查了根式的化简．熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 根据是有理数，得是平方数，得是平方数，即得正整数的最小值． 【详解】解：∵是有理数， ∴是平方数， ∵， ∴是平方数， ∴正整数的最小值是5， 故答案为：5． 12．【答案】2 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，按顺序计算即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：2． 13．【答案】7 【知识点】新定义下的实数运算、求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了实数的新定义运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据定义的运算法则，逐步计算先求，再求其结果与5的运算． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：7． 14．【答案】63 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为． 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 15．【答案】14 【知识点】已知条件式，化简求值、二次根式的混合运算 【分析】根据，整体代入计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：14． 16．【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】运用平方差公式进行运算、负整数指数幂、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的化简等知识点，解题的关键是掌握各运算法则． （1）先对二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可； （2）利用二次根式的乘除进行运算即可； （3）利用二次根式的化简，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的化简等运算法则进行计算即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．【答案】(1)，， (2) 解：直角三角形，理由如下： ， ∴以为边的三角形是直角三角形． 【知识点】同类二次根式、判断三边能否构成直角三角形、求一个数的立方根、化为最简二次根式 【分析】本题考查了二次根式的化简，最简二次根式，勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先化简，然后根据同类二次根式的定义求出，再根据立方根和算术平方根的定义求解； （2）根据勾股定理逆定理证明即可． 【详解】（1）解：， 由题意，得：，解得， ∵是27的立方根， ； ∴； （2）略 18．【答案】6分钟 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式是关键． 先求出当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内经过的时间，即可求解地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内经过的时间． 【详解】解：依题意，当地面时间经过10分钟即600秒时，， 飞船内经过的时间为秒，即6分钟 答：当地面经过10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了6分钟． 19．【答案】的值为7或 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 20．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知两个连续的正整数的平方的倒数之和加上1的算术平方根等于1加上较小的正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律可得答案； （3）根据（1）（2）的规律把所求式子裂项计算，再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $