专题02 二次函数的图象综合（题型专练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以二次函数图象形式为脉络，构建从基础到综合的方法体系，通过“知识+路径+易错”三维提炼，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型01-04|4题/题型|解析式→开口/顶点/对称轴判定，配方法转化|从y=ax²到一般式，逐步叠加参数，构建图象要素认知链| |题型05-08|4题/题型|“左同右异”定系数符号，平移口诀“左加右减”|从系数符号推理到多函数综合、图象变换，形成问题解决闭环|

专题02 二次函数的图象综合 （题型突破·举一反三） 题型01 y＝ax2的图象 题型02 y＝ax2＋k的图象 题型03 y＝a(x－h)2＋k的图象 题型04 y＝ax2＋bx＋c的图象 题型05 二次函数图象与各项系数符号 题型06 根据二次函数图象判断式子符号 题型07 多个函数图像综合判断 题型08 二次函数图象的平移 ▌题型01 y＝ax2的图象 【典例1】【答案】下 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】【答案】 ▌题型02 y＝ax2＋k的图象 【典例2】【答案】 【变式2-1】【答案】> 【变式2-2】【答案】 【变式2-3】【答案】 ▌题型03 y＝a(x－h)2＋k的图象 【典例3】【答案】 【变式3-1】【答案】B 【变式3-2】【答案】D 【变式3-3】【答案】A ▌题型04 y＝ax2＋bx＋c的图象 【典例4】【答案】C 【变式4-1】【答案】A 【变式4-2】【答案】C 【变式4-3】【答案】 ▌题型05 二次函数图象与各项系数符号 【典例5】【答案】D 【变式5-1】【答案】C 【变式5-2】【答案】B 【变式5-3】【答案】B ▌题型06 根据二次函数图象判断式子符号 【典例6】【答案】①③⑤ 【变式6-1】【答案】D 【变式6-2】【答案】D 【变式6-3】【答案】B ▌题型07 多个函数图像综合判断 【典例7】【答案】 【变式7-1】【答案】A 【变式7-2】【答案】D 【变式7-3】【答案】A ▌题型08 二次函数图象的平移 【典例8】【答案】A 【变式8-1】【答案】B 【变式8-2】【答案】C 【变式8-3】【答案】C / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的图象综合 （题型突破·举一反三） 题型01 y＝ax2的图象 题型02 y＝ax2＋k的图象 题型03 y＝a(x－h)2＋k的图象 题型04 y＝ax2＋bx＋c的图象 题型05 二次函数图象与各项系数符号 题型06 根据二次函数图象判断式子符号 题型07 多个函数图像综合判断 题型08 二次函数图象的平移 ▌题型01 y＝ax2的图象 基础知识：图象是以原点(0,0)为顶点、y轴（直线）为对称轴的抛物线。开口向上，有最低点；开口向下，有最高点。∣a∣越大，开口越窄；∣a∣越小，开口越宽。 思维路径：给定解析式→看a的正负定开口→看∣a∣的大小定宽窄→抓住顶点(0,0)及对称点。 易错提醒：比较与的开口宽窄，只看∣a∣与∣b∣的大小，与a,b本身的符号无关。 【典例1】（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【答案】下 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向； 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下； 【变式1-1】（2022·贵州贵阳·一模）如图6，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径、均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分面积是（　　） A． B． C． D．条件不足，无法求解 【答案】B 【分析】观察图形在y轴两边阴影部分面积，将y轴左边的阴影对称到右边得到一个半圆的阴影，就是所求的图中阴影面积． 【详解】解：∵半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径、均和x轴垂直， ∴半圆A和半圆B关于y轴对称， ∵两条抛物线的顶点是原点O， ∴两条抛物线的对称轴是y轴， ∴y轴左右两边的花瓣形关于y轴对称，其面积相等， ∴阴影面积等于半圆的面积，半圆的半径， 则． 【变式1-2】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 【变式1-3】（2026·山东东营·模拟预测）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（、2、…）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，则的值为________． 【答案】 【分析】根据点的坐标确定和的横坐标，代入函数解析式求出纵坐标，进而表示出线段的长度． 【详解】解：点的坐标为，且轴， 点和的横坐标均为， 点在抛物线上，点在直线上， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， ． ▌题型02 y＝ax2＋k的图象 基础知识：由向上（）或向下（）平移∣k∣个单位得到。顶点为，对称轴为y轴。上下平移只改变顶点的纵坐标，不改变开口方向和宽窄。 思维路径：对比→确定平移方向（看k的正负）→确定平移距离（看∣k∣）→新顶点为，形状、对称轴不变。 易错提醒：k是顶点坐标的纵坐标，不是平移的单位长度符号。如是由向上平移3个单位，顶点是(0,3)，不是(0,−3)。 【典例2】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 【变式2-1】（2026·山西朔州·模拟预测）已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 【变式2-2】（2026·吉林·模拟预测）若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据已知条件判断点A和点B到对称轴的距离大小，根据二次函数的性质比较和的大小． 【详解】解：对于二次函数， ， 抛物线开口向上，对称轴为轴（即直线），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，点到轴的距离为横坐标的绝对值，因此比较与的大小， ，， ， 当时，，可得，即； 当时，，可得，即， 综上可得，即点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，又抛物线开口向上，故． 【变式2-3】（2026·吉林长春·模拟预测）已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据点在抛物线上得到与的表达式，对和作差，结合已知条件和判断差的符号，即可比较和的大小． 【详解】解：∵，是抛物线上的两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． ▌题型03 y＝a(x－h)2＋k的图象 基础知识：顶点式为二次函数的核心形式。顶点坐标为，对称轴为直线。a决定开口方向和宽窄，h决定左右位置，k决定上下位置。 思维路径：读顶点式→直接写出顶点和对称轴→由a的正负定开口→画草图（先定顶点，再对称取点）。 易错提醒：括号内是“”，顶点横坐标是h，不是−h。如的顶点是(3,1)，对称轴是，不是。 【典例3】（25-26八年级下·福建莆田·期末）抛物线的顶点坐标为_______ 【答案】 【详解】抛物线的顶点坐标为． 【变式3-1】（25-26八年级下·北京·期末）抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次函数顶点式的顶点坐标为． 【详解】解：抛物线顶点坐标为． 【变式3-2】（25-26八年级下·北京·期末）二次函数的顶点的横坐标为（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，即横坐标为． 【变式3-3】（25-26八年级下·北京·期末）若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口向下的抛物线的性质比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的y值越小， 点A到对称轴的距离：， 点B到对称轴的距离：， 点C到对称轴的距离：， ∵， ∴． ▌题型04 y＝ax2＋bx＋c的图象 基础知识：一般式需通过配方转化为顶点式来研究图象。对称轴公式为，顶点坐标为，与y轴交点为。 思维路径：给定一般式→利用公式求对称轴和顶点→确定与y轴交点→结合a的符号画草图。也可通过求与x轴的交点（若有）辅助画图。 易错提醒：配方过程易出错，建议优先使用对称轴公式和顶点纵坐标公式直接计算，减少失误。 【典例4】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 【变式4-1】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将、两点坐标代入抛物线解析式，用含的代数式表示、，结合的取值范围推导函数值的大小关系． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【变式4-2】（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干分析出、、的符号，再判断各选项即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴，故A错误； 对于B与D，由已知条件无法判断代数式的符号； ∵，， ∴，故C正确． 【变式4-3】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【答案】 【分析】根据题意判断出的符号，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，比较大小即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，， ∵， ∴． ▌题型05 二次函数图象与各项系数符号 基础知识：a定开口（向上，向下）；c定与y轴交点（交于）；b与对称轴位置相关，遵循“左同右异”原则（对称轴在y轴左侧⇔a,b同号；对称轴在y轴右侧⇔a,b异号）。 思维路径：看开口→定a；看与y轴交点→定c；看对称轴的位置→结合a的符号推b的符号。 易错提醒：“左同右异”是指对称轴在y轴左侧时a与b同号，右侧时a与b异号，不是单纯看b的正负。 【典例5】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】开口向下，则，与轴正半轴相交，则，再根据对称轴为直线，得到，则可得到，通过时y大于0得到含有a、b、c的不等式，再替换掉b，得到a、c之间的关系，由对称轴为直线可知，当时，y取得最大值，则可判断D选项的正误． 【详解】解：根据题意可得，， ， ， ，， A选项错误； ∵对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等， 当时，， ∴当时，，即，故选项B错误； ∴即，故选项C错误； 对称轴为直线， ， D选项正确． 【变式5-1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴负半轴相交，得到，可得出，选项①错误；②把代入中得，所以②正确；③当时，，即， 当时，，即，即可判断选项③正确；④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，①错误； ②当时，， ∴， ∵， ∴， 把代入中得，所以②正确； ③由图象可知，当时，，即， 当时，，即， ， 即，所以③正确 ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴， 即，所以④正确． 综上所述，结论正确的有②③④，共3个． 【变式5-2】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个． 【变式5-3】（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． ▌题型06 根据二次函数图象判断式子符号 基础知识：特殊点的函数值：当时，；当时，。根据图象上这些点的位置，判断代数式的正负。顶点纵坐标的符号由最值和a共同决定。 思维路径：观察图象上横坐标为特定值（如1,−1,2）的点在x轴上方还是下方→对应代数式的值大于0还是小于0。观察顶点位置（最高点或最低点）判断的符号。 易错提醒：判断2a＋b的符号，可先由对称轴＞1或＜1，再结合a的正负不等式两边同乘2a（注意不等号方向）推导，避免直接臆断。 【典例6】（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 【变式6-1】（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 【变式6-2】（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 【变式6-3】（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． ▌题型07 多个函数图像综合判断 基础知识：若一次函数与二次函数共存于同一坐标系，两者的a和b必须保持一致。a同时决定二次函数开口方向和一次函数的增减性。 思维路径：先从一个函数图象读取a,b的信息（如二次函数开口向上则，一次函数递增则k＝a＞0）→验证另一函数图象是否符合该a,b的特征→排除矛盾选项。 易错提醒：注意区分不同函数解析式中的系数字母，如一次函数y＝kx＋m中的k对应二次函数中的a，但m对应c，不要混淆。 【典例7】（25-26九年级上·安徽六安·期中）二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合题意，可知两个二次函数图象的开口向下，那么，当时，，从而得到，最后解得答案． 【详解】解：由题意可知，两个二次函数图象的开口向下，那么， 解得，； 根据图象，可知当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，； 故答案为：． 【变式7-1】（25-26九年级上·北京东城·期中）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； C． 根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； D． 根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； 【变式7-2】（25-26八年级下·福建福州·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 【变式7-3】（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． ▌题型08 二次函数图象的平移 基础知识：平移口诀：“左加右减自变量（x），上加下减常数项（y）”。平移前后a的值不变。核心规律：图象平移的本质是顶点平移。 思维路径：将原函数解析式化为顶点式→根据平移要求调整顶点坐标→代入顶点式得新解析式。 易错提醒：“左加右减”是针对x本身，不是针对h。 如向左平移3个单位，应变为。 【典例8】（25-26八年级下·云南昆明·期末）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律求解即可． 【详解】解：先向左平移2个单位，可得解析式为， 再向下平移3个单位，可得解析式为． 【变式8-1】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出结果． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是． 【变式8-2】（25-26八年级下·山东济南·期末）将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 【变式8-3】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ∵抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为 再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02二次函数的图象综合 (题型突破举一反三) 目录 题型01y=ax2的图象 题型02y=ax2+k的图象 题型03y=a(c-)+k的图象 题型04y=x2+bx+c的图象 题型05二次函数图象与各项系数符号 题型06根据二次函数图象判断式子符号 题型07多个函数图像综合判断 题型08二次函数图象的平移 题型01 y=ax2的图象 解题必备 基础知识：图象是以原点(0,0)为顶点、y轴（直线x=0)为对称轴的抛物线。a>0开口向上，有最低点： a<0开口向下，有最高点。|a越大，开口越窄；Ia|越小，开口越宽。 思维路径：给定解析式→看a的正负定开口→看|a|的大小定宽窄→抓住顶点(0,0)及对称点。 易错提醒：比较y=ar与y=br2的开口宽窄，只看|Q|与1b|的大小，与a,b本身的符号无关。 目 典例精析 【典例1】(25-26八年级下福建福州期末)二次函数y=-4x2 的图象开口向 (填 “上”或“下”) 举一反三 【变式11】(2022贵州贵阳一模)如图6，半圆A和半圆B均与y轴相切于O,其直径CD、EF均 和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F,则图中阴影部分面积是() 1/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. π C.3π D.条件不足，无法求解 【变式12】(2026内蒙古通辽二模)如图，四边形OABC是正方形，且点A、C恰好在抛物线 y=x2上，点B在y轴上，则OB的长为() B A.2 B.25 C.4 .号 【变式13】(2026山东东营·模拟预测)观察规律1×2 =1-11-111=11 2’2x323,3×434,…,运用 你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点P(n,0)(n=1、2、)作x轴的垂线，交y=x2的图 11 1 象于点4，交直线y=-x于点B。'则4B4,B, 4 o的值为 A P… B 1题型02 y=x2+k的图象 E 解题必备 基础知识：由y=ax向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得到。顶点为(0，k),对称轴为y轴。 上下平移只改变顶点的纵坐标，不改变开口方向和宽窄。 2/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 思维路径：对比y=a→确定平移方向（看k的正负）→确定平移距离（看1k|)→新顶点为(0，k),形状、 对称轴不变。 易错提醒：是顶点坐标的纵坐标，不是平移的单位长度符号。如y=x+3是由y=向上平移3个单位， 顶点是(0,3)，不是(0，-3)。 典例精析 【典例2)(25-26八年级下辽宁盘锦期末)对于二次函数y=-2x2+5,当-2<x≤1时，y的取值范 围是 举一反三 【变式21】(2026山西朔州模拟预测)已知点A(6,),B(x,2)在抛物线y=-x2-1上，且 x2>x>0,则 2（填“><”或“=”). 【变式2-2】(2026吉林模拟预测)若点A(x,乃)、B(x,乃)是函数y=a2+c(a>0)上的两点，若 x>x3且x+x2>0,则出 2.(填“>”、“<”或“=”) 【变式2-3】(2026吉林长春模拟预测)已知A(:,)、B(x,2)是抛物线y=x2+c上的两点.若 x+x2>0且X>x2,则y2.(填“>”、“<”或“=”) 题型03 y=a(c-h)2+k的图象 解题必备 基础知识：顶点式为二次函数的核心形式。顶点坐标为(h,K),对称轴为直线x=h。α决定开口方向和宽窄， h决定左右位置，k决定上下位置。 思维路径：读顶点式一直接写出顶点(h,k)和对称轴x=h一由a的正负定开口→画草图（先定顶点，再对称 取点)。 易错提醒：括号内是“x-h”,顶点横坐标是九，不是-。如y=2(x-3+1的顶点是3,1)，对称轴是 x=3,不是x=-3。 典例精析 【典例3】(25-26八年级下·福建莆田·期末)抛物线y= 2（x-4+3的顶点坐标为 举一反三 3/11 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式3-1】 (25-26八年级下北京期末)抛物线y=-3(x-2}-3的顶点坐标为() A.(2,3) B.(2,-3) c.（-2,3) D.（-2,-3) 【变式32】(25-26八年级下北京期末)二次函数y=(x+3-2的顶点的横坐标为() A.2 B.-2 C.3 D.-3 【变式33】(25-26八年级下北京期末)若A(-2y),8),c3)均在抛物线y=-(x-上， 则，2，的大小关系为() A.2>>yB.y2>>y3 C.y>2> D.y>y2>y3 题型04 ,y=x2+bx+C的图象 解题必备 b 基础知识：一般式需通过配方转化为顶点式来研究图象。对称轴公式为x=2a,顶点坐标为 b 4ac-b2 2a 与y轴交点为(0，c)° 思维路径：给定一般式→利用公式求对称轴和顶点→确定与y轴交点→结合α的符号画草图。也可通过求与 x轴的交点（若有）辅助画图。 易错提醒：配方过程易出错，建议优先使用对称轴公式x= 2a和顶点纵坐标公式y=4ac-b 4a一直接计算， 减少失误。 典例精析 【典例4】(2026江苏徐州模拟预测)已知抛物线y=+br+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论 正确的是() A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a+b+c>0 举一反三 4/11 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式41】(2026江苏徐州模拟预测)已知点A(4,),B(3,2)在抛物线y=x2+bx+2上，若 2<b<4,则下列判断正确的是() A.2<y<2 B.y<2<2 C.2<y2<y D.y2<2< 【变式42】(2026安徽芜湖三模)已知二次函数y=ar+br+c(a≠0)的图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是() A.abc<0 B.2a+b>0 C.2a-c>0 D.a-b+c>0 【变式43】(25-26八年级下·重庆·期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ar2+bx+C(a≠0)的图象上有点A(-2,y),B(0,),C(5,),则出，，的大小关系是 (请用“<”符号连接) 题型05二次函数图象与各项系数符号 解题必备 基础知识：a定开口(a>0向上，a<0向下)；c定与y轴交点（交于(0，c);b与对称轴位置相关，遵循 “左同右异”原则（对称轴在y轴左侧日a,b同号；对称轴在y轴右侧日a,b异号）。 b 思维路径：看开口一定a,看与y轴交点→定c;看对称轴x=一2a的位置→结合a的符号推b的符号。 易错提醒：“左同右异”是指对称轴在y轴左侧时a与b同号，右侧时a与b异号，不是单纯看b的正负。 三典例精析 【典例5】(25-26八年级下重庆期末)如图，已知二次函数y=ax2+bx+C的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C,其对称轴为直线x=1,则下列结论正确的是() 5/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 YA B3 A.abc>0 B.a-b+c=0 b+c>0 3 C.- D.ar2+bx+c≤a+b+C 举一反三 【变式51】(25-26九年级上·北京阶段检测)二次函数y=a心2+br+c的图象如图所示，对称轴是直 线x=1.下列结论：①abc<0;②3a+c>0:③(a+c)-b<0;④a+b≤m(am+b)(m为实数).其 中结论正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式52】(25-26八年级下辽宁盘锦期末)如图，抛物线y=ax'+br+c(a≠0)与x轴交于点 A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C.下列说法：①abc<0:②抛物线的对称轴为直线x=-1;③当 -3<x<0时，ax2+bx+c>0;④当x>1时，y随x的增大而增大：⑤am2+bm≤a-b(m为任意实 数)，其中正确的个数是() VA B A.2 B.3 C.4 D.5 【变式3】(2026山东中考真题)如图，点P是抛物线y=am'+br+c(a≠0)的顶点.下列结论 正确的是() 6/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2a+b=0 3 1 B.4<a<-2 C.对任意实数t,at2+bt<4a+2b总成立 D.若点A1-m,),B(1+m,)在抛物线上，则<2 题型06根据二次函数图象判断式子符号 解题必备 基础知识：特殊点的函数值：当x=I时，y=a+b+C;当x=-I时，y=a-b+C。根据图象上这些点的位 置，判断代数式的正负。顶点纵坐标y= 4ac-b2 4a的符号由最值和a共同决定。 思维路径：观察图象上横坐标为特定值（如1，一1,2）的点在x轴上方还是下方→对应代数式的值大于0还是 小于0。观察顶点位置（最高点或最低点）判断y=4如c 4a的符号。 易错提露：判断2a+6的符号，可先由对称轴x=品>1或<1.再结合4的正负不等式两边同乘2a(注意 b 不等号方向)推导，避免直接臆断。 三 典例精析 【典例6】(25-26八年级下北京期末)如图，己知二次函数y=ax+br+c(a≠0)的图象与x轴交于 点A(1,0),与y轴的交点B在(0，-2)和(0，-)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1.下列结论： 1 1 ①abc>0:②4a+2b+c>0:③4ac-<-4a:④3<a<2:⑤b>c:其中正确结论有一（填 写所有正确结论的序号)· 7/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y 举一反三 【变式61】(2026四川凉山中考真题)己知抛物线y=ar2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示， 则下列结论中正确的是() -5 A.abe>0 B.b+4a=0 C.5a+c>0 D.当x<-5或x>1时，y>0 【变式62】(2026宁夏银川三模)二次函数y=x+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的 下列四个结论：①a<0;②c>0;③b2-4ac>0:④3a+b=0,其中，正确的有(). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式63】(2026四川眉山中考真题)如图，抛物线y=2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐 2 标(1，m),与y轴的交点在(0，-2)，(0，-3)之间（包含端点），下列结论：①3a+b<0:②3≤a≤1： ③对于任意实数m,a+b≤m(am+b)总成立；④关于x的方程a2+br+c=n-1有两个不相等的实数 根.其中正确结论的个数为() 8/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型07多个函数图像综合判断 解题必备 基础知识：若一次函数y=a+b(k≠0)与二次函数y=ar2+bx+c共存于同一坐标系，两者的a和b必须保 持一致。α同时决定二次函数开口方向和一次函数的增减性。 思维路径：先从一个函数图象读取a,b的信息（如二次函数开口向上则a>0,一次函数递增则k=a>0)→ 验证另一函数图象是否符合该α，b的特征→排除矛盾选项。 易错提醒：注意区分不同函数解析式中的系数字母，如一次函数y=十m中的k对应二次函数中的a,但m 对应c,不要混淆。 典例精析 【典例7】(25-26九年级上安徽六安期中)二次函数以=1-m)x2,片=(m-2)x2的图象在同一平面 直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是 举一反三 【变式71】(25-26九年级上·北京东城期中)抛物线y=ax2+br和直线y=ax+b在同一坐标系的图 象可能是() 9/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式7-2】(25-26八年级下福建福州期末)函数y=ax2-a与y=ar-a(a≠0)在同一平面直角坐标 系中的图象可能是() 【变式7-3】(2026安徽滁州二模)已知与2是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数 y=y-2的图象可能是()， 题型08二次函数图象的平移 10/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解题必备 基础知识：平移口诀：“左加右减自变量(x),上加下减常数项(y)”。平移前后α的值不变。核心规律： 图象平移的本质是顶点平移。 思维路径：将原函数解析式化为顶点式y=(x-h)+k→根据平移要求调整顶点坐标→代入顶点式得新解 析式。 易错提醒：“左加右减”是针对x本身，不是针对h。 如y=2(x-1)}向左平移3个单位，应变为y=2(x-1+3)=2(x+2}. 典例精析 【典例8】(25-26八年级下云南昆明期末)将抛物线y=x+1向左平移2个单位，再向下平移3个单 位，所得的抛物线解析式是() A.y=(x+22-2 B.y=(x+2)2+2 C.y=(x-2)2-3 D.y=(x-2)2+3 E举一反目 【变式81】(25-26八年级下·湖南长沙期末)将抛物线y=x-2向右平移1个单位长度，所得图象的 函数解析式是() A.y=x2-3 B.y=(x-12-2 C.y=x2-1 D.y=(x+1)2-2 【变式82】(25-26八年级下山东济南期末)将抛物线y=x+2x向左平移2个单位，向上平移1个 单位，所得抛物线的表达式是() A.y=x2+1 B.y=(x-1)2 C.y=(x+3)2 D.y=(x+2)+1 【变式83】(2026黑龙江哈尔滨三模)将抛物线y=x向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得 到的抛物线解析式是() A.y=(x-2)2-3 B.y=(x-2)2+3 C.y=(x+2)2-3 D.y=(x+2)2+3 11/11