第25讲 简单的三角恒等变换 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦简单的三角恒等变换核心知识点，系统梳理半角公式（含无理式与有理式表示）、万能公式、积化和差与和差化积公式及辅助角公式（推导与应用），知识点层层递进，为后续题型解决构建学习支架。 资料以知识点梳理为基础，通过半角公式应用、辅助角公式转化函数等经典题型，培养学生数学思维（推理能力、运算能力）与数学语言（模型观念），课中助力教师系统授课，课后学生可通过题型练习查漏补缺，强化知识应用。

第25讲、简单的三角恒等变换 目录 知识点1半角公式与万能公式… 1 知识点2积化和差与和差化积公式。 1 知识点3辅助角公式 2 题型一半角公式与万能公式的应用 .3 题型二积化和差与和差化积的应用3 题型三辅助角公式的简单应用4 题型四三角恒等变换综合化简….4 题型五三角恒等变换与三角函数结合.5 学习新知 知识点1半角公式与万能公式 1、半角公式 a 1-cosa a sin-=士 1+cosa cos 2 2 2 lang=土+cosa 1-cosa sina 1-cosa 2 1+cosa sina 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的， 2sin2a Sin a tan 1-cosa sina a 1-cosa 2 tan -tan cos 21+c0s 2 2 2sina sing sina 2 以上两个公式称作半角正切的有理式表示. 2、万能公式 a 2 tan 1-tan2a 2 tan sina = 2 cosa=- tan a = 1+tan2 1+tan2 1-tan 2 a 2 1 知识点2积化和差与和差化积公式 1、积化和差公式 sina cosB=[sin(a-B)+sin(+ cosa sin B=[sin(a+B)-sin(a-B)] cos a cos=lcos(a-B)+cos(+)] sin sin=cos(-cos() 2、和差化积公式 sinx+sin y=2sin 2 -cosx-y 2 sin x-y sin x-siny=2coss 2 2 Cosx+cosy=2cos x-y -cos- 2 2 -sin x-y cosx-cosy=-2sin x+s 2 2 知识点3辅助角公式 1、辅助角公式的推导 对于形如asinx+bcosx的式子，可变形如下： Va+b2 a b sinx.- +C0Sx· asinx+bcosx_ a2+b2 Va2+b2 a b 由于上式中Va2+b和Va2+b的平方和为1， a 6 C0S0= ，Sinp= 故令 Va2+b2 Va2+b2 asinx+bcosx(sinxcos+cosxsin)+sin(x+) 其中P角所在象限由a,b的符号确定，P角的值由 anp=b a确定， b sin = 0S0= 或由 Va2+b2和 √(2+b2共同确定. 2、辅助角公式的应用 利用辅助角公式将形如y=asinx+bcosx的函数变换为形如y=asin(ox+p)的函数， 进而研究其图象和性质，有时需要利用二倍角公式或两角和（或差）公式将已知函数转化为 2 y=asinx+bcosx的形式. 3 02 经典题型 题型一半角公式与万能公式的应用 000 1尼知cs专，3江求@。7的值 Q已知co89专，9为第三象限角，m作头，且m20 19日，求sin,co5 0.0 的值 a I 3已知os号4720<a<90,则sin等于( A.、6 4 B.-3 2 4 D.2 4若。为第三象限角，且sna= 5,则anc ) 1 A.-3 B.3 C.2 D.-2 题型二积化和差与和差化积的应用 5西数y=smx++n-的最大值是( 4 A.2 B.1 c.3 D.5 6.求下列各式的值： （0c0os29c0s31r2cas2 (2)cos 8 Tπ， sc ππ cos- 8 58 题型三辅助角公式的简单应用 7.求下列函数的周期，最大值和最小值： (1)=sincos x;(2)y=3sin x+4cos x. 8.已知fx)=sin2x-cos2x. (I)将x)化成y=Asin(ox+p)的形式； (2)求x)的最小正周期及最大值. 题型四三角恒等变换综合化简 5 cos10°(1+√3tanl0°) 9.化简： cos70°V1+cos40 10.求值os101+V3tan10）-2sin50 sin 5 (1+sina+cosa sin-cos 11.化简： 2 2 <a<2元. V2+2cos a 题型五三角恒等变换与三角函数结合 12.(多选)已知函数f(x)=cosx-2 sin xcosx--sinx,则( ) A.函数和的图象关于=子对称 B.西数了的图象关于点证，0)对称 c函数侧在区间[餐好上单调楼减D.函数满足：+孕闷 元、 1 13.己知函数f()=2V3 sinxcosx+sin2x-cos2x. (1)求f(x)的最小正周期： (2)求函数f()取最大值时x的取值集合： 6 π (3)设函数f(x)在区间2，上单调递减，求实数m的最大值. 14.已知函数f(x)=2sin'x+2√3sin(2π+x)cos(π-x)」 )求f)在0，上的最大值： π (2)若tana=2,求f(a)的值： ⑧诺f()-写B[低）.求om2g的， 7 第25讲、简单的三角恒等变换 目录 知识点1 半角公式与万能公式 1 知识点2 积化和差与和差化积公式 1 知识点3 辅助角公式 2 题型一 半角公式与万能公式的应用 3 题型二 积化和差与和差化积的应用 4 题型三 辅助角公式的简单应用 5 题型四 三角恒等变换综合化简 5 题型五 三角恒等变换与三角函数结合 6 01 学习新知 知识点1 半角公式与万能公式 1、半角公式 ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 2、万能公式 ； ； 知识点2 积化和差与和差化积公式 1、积化和差公式 2、和差化积公式 知识点3 辅助角公式 1、辅助角公式的推导 对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 2、辅助角公式的应用 利用辅助角公式将形如的函数变换为形如的函数，进而研究其图象和性质，有时需要利用二倍角公式或两角和(或差)公式将已知函数转化为的形式． 02 经典题型 题型一 半角公式与万能公式的应用 1. 已知|cos θ|=且<θ<3π，求sintan的值. 解　∵|cos θ|=<θ<3π，∴cos θ=-. ∴sin=-=- cos=-=- ∴tan=2. 2. 已知|cos θ|=θ为第二象限角，tan θ=-且sin<cos”，求sintan的值. 解　∵θ为第二象限角，且sin<cos∴为第三象限角，故sin <0，cos<0. ∵tan θ=-∴cos θ=-. ∴sin=-=- cos=-=- ∴tan=2. 3. 已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为，所以.故选：A 4. 若为第三象限角，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】为第三象限角，且，则， 得，故选：A 题型二 积化和差与和差化积的应用 5. 函数的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以的最大值为1.故选：B 6. 求下列各式的值： (1)cos 29°cos 31°-cos 2°； (2)cos+cos-2sin. 解　(1)cos 29°cos 31°-cos 2° =cos(29°+31°)+cos(29°-31°)]-cos 2° =cos 60°+cos(-2°)-cos 2°=. (2)cos+cos-2sin =2cos ·cos =2cos ==0. 题型三 辅助角公式的简单应用 7. 求下列函数的周期，最大值和最小值： (1)y=sin x+cos x；(2)y=3sin x+4cos x. 解　(1)y=sin x+cos x=2=2. 因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为-2. (2)设3sin x+4cos x=Asin(x+φ)，则 3sin x+4cos x=Asin xcos φ+Acos xsin φ. 于是Acos φ=3，Asin φ=4， 于是A2cos2φ+A2sin2φ=25，所以A2=25. 取A=5，则cos φ=. 由y=5sin(x+φ)可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为-5. 8. 已知f(x)=sin 2x-cos 2x. (1)将f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式； (2)求f(x)的最小正周期及最大值. 解　(1)f(x)=sin 2x-cos 2x= ==. (2)由f(x)=得， f(x)的最小正周期T==π，f(x)的最大值为. 题型四 三角恒等变换综合化简 9. 化简： ． 【答案】 【解析】由题 . 故答案为：. 10. 求值 ． 【答案】 【解析】 ， 又 ， 故. 故答案为： 11. 化简：π<α<2π). 解　原式= ==. 又∵π<α<2π，∴<π， ∴cos<0， ∴原式==cos α. 题型五 三角恒等变换与三角函数结合 12. （多选）已知函数，则（    ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数满足 【答案】BC 【解析】 ， 对于A，由，得的图象关于不对称，A错误； 对于B，由，得函数图象关于点对称，B正确； 对于C，当，即时，单调递减， 令，则函数在区间内单调递减，C正确； 对于D，取，则，，D错误. 故选：BC 13. 已知函数． (1)求的最小正周期： (2)求函数取最大值时的取值集合； (3)设函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为， 所以，函数的最小正周期为. （2）当时，即当时，函数取最大值， 故函数取最大值时的取值集合为. （3）当时，， 由于函数在区间上单调递减，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 14. 已知函数． (1)求在上的最大值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)2；(2)；(3) 【解析】（1） ， ， 则，故在上的最大值为； （2）； （3）由（1）当则， ， 故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $