3.4 函数的应用（一）教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数模型的应用，以一次函数、二次函数等已学知识为基础，通过回顾函数模型在生活中的应用导入新课，搭建从数学模型到实际问题的学习支架，引导学生掌握分段函数等模型的建立与求解。 资料以个税计算、货车速率-时间图象等真实情境为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过分析变量关系、确定定义域等环节发展数学思维，结合几何画板动态演示和投屏互动提升数学语言表达，助力学生形成建模能力，为教师提供直观高效的教学方案。

数学 教学设计-2026-2027学年 3.4 函数的应用（一） 高一 人教A版 必修第一册 一、教学设计 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 版本 人教A版 必修第一册 课题 函数的应用（一） 课型 新授课 1课时 章节 第三章 函数的概念与性质 节次 3.4 教学方式 讲授与探究结合 多媒体辅助 教学工具 网络多媒体教室 几何画板 投屏软件 授课对象 高一学生 40人 二、教材分析 本节课选自人教A版必修第一册第三章“函数的概念与性质”第3.4节“函数的应用（一）”。在此之前，学生已学习了一次函数、二次函数、幂函数等基本函数模型，以及函数的概念、表示方法和基本性质。本节课是函数知识的综合应用课，教材通过个人所得税计算、速率—时间图象等实际问题，引导学生经历“分析变量关系→建立函数解析式→利用函数性质求解→还原实际问题答案”的完整过程。个税税额=应纳税所得额×税率−速算扣除数，应纳税所得额=综合所得收入额−基本减除费用−专项扣除−专项附加扣除−依法确定的其他扣除，据此可按收入区间分段建立解析式。对于一个具体的问题，如果涉及函数，应当学会选择恰当的方法表示问题中的函数关系。本节课为后续学习函数模型拓展应用奠定基础。 三、学情分析 高一学生已掌握一次函数、二次函数、幂函数的图象与性质，具备基本的函数建模意识。但学生在将实际问题转化为函数模型时，往往忽视定义域的确定；在分段函数问题中，对分段点的归属和解析式的建立存在困难；在图象信息读取方面，缺乏将图象特征与实际意义对应的能力。教学中需通过具体情境引导学生逐步完成建模过程，关注定义域的合理性检验。 四、课程标准及目标分析 1. 能够从实际问题中分析变量关系，选择恰当的函数模型（包括分段函数），建立函数解析式并确定定义域，利用函数性质求解，最终将结果还原为实际问题的答案。 2. 能够利用一次函数、二次函数等已知模型进行计算求解；能够从图象中提取信息，解释图象的实际含义，建立函数关系并解决实际问题。 五、教学重难点 重点：将实际问题抽象为函数模型（尤其分段函数），确定定义域并求解。 难点：多段计费类问题中分段点的确定与解析式的建立；图象信息的读取与实际意义的解释。 六、网络多媒体教室 本节课在网络多媒体教室进行，配备投影设备和电脑，便于展示实际问题情境、函数图象和学生作品。教室支持投屏功能，可实时展示学生的解题过程，促进课堂互动与交流。 七、几何画板软件、投屏软件 利用几何画板软件动态展示函数图象的变化过程，帮助学生直观理解分段函数的图象特征。投屏软件用于展示学生练习成果，便于全班讨论与纠错。 八、教学过程 1. 复习引入 教师活动：教师提出问题——“我们学过哪些函数模型？它们在现实生活中有哪些应用？”引导学生回顾一次函数、二次函数、幂函数的解析式与图象特征。追问：“如何将一个实际问题转化为函数问题？” 学生活动：学生回忆已学函数模型，举例说明函数在生活中的应用，如电话费与通话时长的一次函数关系、抛物运动的二次函数轨迹等。预设学生回答：“需要先分析变量关系，再建立函数解析式，同时注意定义域。” 设计意图：唤醒已有知识，建立从数学模型到实际问题的桥梁，为新课学习做好铺垫。 2. 探究个人所得税问题 教师活动：教师呈现个人所得税计算规则与税率表，指出个税税额=应纳税所得额×税率−速算扣除数，引导学生分析应纳税所得额与个税税额之间的函数关系，建立分段函数解析式。 例1：根据个人所得税法规定，个税税额=应纳税所得额×税率−速算扣除数。税率表如下： 级数 全年应纳税所得额x（元） 税率 速算扣除数（元） 1 0 < x ≤ 36000 3% 0 2 36000 < x ≤ 144000 10% 2520 3 144000 < x ≤ 300000 20% 16920 (1) 写出个税税额 y（元）与应纳税所得额 x（元）之间的函数解析式；(2) 若某人全年应纳税所得额为80000元，求应缴纳的个税税额；(3) 若某人全年缴纳个税税额为5280元，求其全年应纳税所得额。 解：(1) 由税率表可知，y 是 x 的分段函数。当 0 < x ≤ 36000 时，y = 0.03x；当 36000 < x ≤ 144000 时，y = x − 2520；当 144000 < x ≤ 300000 时，y = 0.2x − 16920。 (2) 当 x = 80000 时，80000 ∈ (36000, 144000]，故 y = 0.1·80000 − 2520 = 8000 − 2520 = 5480（元）。 (3) 当 x = 36000 时，y = 0.03·36000 = 1080；当 x = 144000 时，y = 0.1·144000 − 2520 = 11880。因 1080 < 5280 < 11880，故该人处于第二档。由 x − 2520 = 5280，解得 x = 78000（元）。 学生活动：学生跟随教师分析税率表，尝试独立建立分段函数解析式，计算具体数值并验证结果。 设计意图：通过真实的个税问题，让学生体会分段函数模型在现实中的广泛应用，掌握分段函数的建立方法与求解策略。 3. 探究速率—时间图象问题 教师活动：教师呈现货车行驶的速率—时间问题，引导学生从图象中提取信息，建立速度函数和路程函数。追问：“图象中每段矩形面积的实际含义是什么？” 例2：一辆货车从仓库出发送货到商店，行驶过程中速度 v（km/h）与时间 t（h）的关系为：第0~1小时以50 km/h匀速行驶，第1~2小时以80 km/h匀速行驶，第2~3小时停车休息，第3~4小时以60 km/h匀速行驶到达商店。(1) 写出速度 v 关于时间 t 的函数解析式；(2) 求仓库到商店的总路程；(3) 写出货车行驶路程 s（km）关于时间 t（h）的函数解析式。 图中图象1、2、3、4分别对应速度50、80、0、60 km/h的四个时间段，每段矩形面积表示该时间段内行驶的路程。 解：(1) v(t) = 50，0 ≤ t < 1；v(t) = 80，1 ≤ t < 2；v(t) = 0，2 ≤ t < 3；v(t) = 60，3 ≤ t ≤ 4。 (2) 总路程等于各段路程之和：50·1 + 80·1 + 0·1 + 60·1 = 190（km）。 (3) s(t) = 50t，0 ≤ t ≤ 1；s(t) = 50 + 80(t−1)，1 < t ≤ 2；s(t) = 130，2 < t < 3；s(t) = 130 + 60(t−3)，3 ≤ t ≤ 4。验证：当 t = 4 时，s = 130 + 60·1 = 190（km），与(2)一致。 学生活动：学生观察图象，分析速度与时间的关系，建立分段函数，计算路程并验证。 设计意图：培养学生从图象中提取信息的能力，理解图象面积的实际含义（路程），掌握分段函数的建立与运用。 4. 例题讲解——利润函数模型 教师活动：教师呈现工厂生产问题，引导学生建立利润函数模型并求解。追问：“利润函数的定义域是什么？为什么？” 例3：某工厂生产一种产品，固定成本为2000元，每生产一件产品需增加成本50元。产品售价为每件100元。(1) 写出利润 y（元）与产量 x（件）之间的函数关系式；(2) 至少生产多少件才能不亏本？(3) 生产多少件时利润为3000元？ 解：(1) 收入 R(x) = 100x，成本 C(x) = 2000 + 50x，利润 y = 100x − (2000 + 50x) = 50x − 2000（x ∈ N*）。 (2) 令 y ≥ 0，得 50x − 2000 ≥ 0，解得 x ≥ 40。至少生产40件才能不亏本。 (3) 令 50x − 2000 = 3000，解得 x = 100。生产100件时利润为3000元。 学生活动：学生分析收入、成本与利润的关系，建立一次函数模型并求解，关注定义域的实际意义。 设计意图：巩固已知函数模型的应用，强调定义域的实际意义（x ∈ N*）。 5. 巩固练习 练习1：某市出租车收费标准为：起步价10元（3公里以内），超过3公里的部分每公里2元。(1) 写出车费 y（元）与行驶里程 x（公里）的函数关系式；(2) 某乘客乘车行驶了8公里，应付车费多少元？ 答案：(1) y = 10，0 < x ≤ 3；y = 2x + 4，x > 3。(2) y = 2·8 + 4 = 20（元）。 练习2：一个矩形花圃的面积为100 m²，花圃的一边长为 x m，周长为 y m。(1) 写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出定义域；(2) 当 x 取何值时，周长最小？最小值是多少？ 答案：(1) y = 2(x + )，x > 0。(2) y = 2x + ≥ 2 = 40，当 2x = 即 x = 10 时， = 40（m）。 学生活动：学生独立完成练习，小组互评，教师巡视指导。 设计意图：通过练习巩固分段函数与基本不等式的应用，检验学习效果。 6. 课堂小结 教师活动：教师引导学生回顾本节课的核心内容，梳理函数建模的基本步骤。 学生活动：学生总结以下要点：(1) 函数建模步骤：分析变量关系→建立解析式（注意定义域）→利用性质求解→还原实际答案；(2) 分段函数的建立需确定分段点，注意端点归属；(3) 图象的面积、斜率等几何特征具有实际意义。 设计意图：帮助学生形成系统的知识结构，提升归纳总结能力。 7. 作业布置 教师活动：教师布置课后作业，说明完成要求。 （一）必做作业：1. 教科书第127页习题3.4第1题。2. 教科书第127页习题3.4第2题。 （二）选做作业：3. 某手机套餐月租费为18元，包含通话100分钟，超出部分每分钟0.15元。写出月话费 y（元）与通话时间 x（分钟）的函数关系式，并计算通话200分钟时的话费。 答案：y = 18，0 ≤ x ≤ 100；y = 18 + 0.15(x−100)，x > 100。当 x = 200 时，y = 18 + 0.15·100 = 33（元）。 学生活动：学生记录作业要求，课后独立完成。 设计意图：巩固所学知识，选做作业满足不同层次学生的学习需求。 九、板书设计 黑板左侧：课题“3.4 函数的应用（一）”及函数建模步骤框架。黑板中央：例题的关键解析式与计算过程。黑板右侧：学生练习展示区。 十、教学反思 本节课通过个税计算、速率—时间图象等真实情境，引导学生经历完整的函数建模过程。学生对分段函数的建立掌握较好，但在端点归属和定义域确定上仍有疏漏，后续需加强专项训练。图象信息的读取环节学生参与度高，但部分学生对“面积=路程”的理解不够深入，下次教学可增加动态演示强化直观认识。整体教学节奏适中，例题梯度合理，目标达成度较高。 学科网（北京）股份有限公司 $