云南省宣威市第三中学2023-2024学年高三上学期开学收心考试数学试题

高三年级上学期开学收心测试卷 数 学 时间:120分钟 满分:150分 一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.若集合,,则等于( ) A. B. C. D. 2.的实部与虚部之和为( ) A. B. C. D. 3.记为等差数列的前n项和。若,,则( ) A.4 B.24 C.30 D.32 4.已知向量,,,若,则( ) A. B. C.3 D.0 5.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水。天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸。若盆中积水体积为盆体积的一半,则平地降雨量约是( )寸。(结果四舍五入取整数)(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知,则( ) A. B.3 C. D. 7.用五个5和两个2组成一个7位数,则组成的7位数中两个2不相邻的概率为( ) A. B. C. D. 8. ,,,则,,的大小关系是( ) A.c>b>a B.b>c>a C.c>a>b D.a>b>c 二､多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分。 9.若,则( ) A. B. C. D. 10.已知函数的图象关于直线轴对称,则( ) A.函数的图象关于点中心对称 B.函数在区间上是增函数 C.函数的导函数为 D.函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 11.已知O为坐标原点,抛物线C:的准线方程为,过焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,则( ) A.若,则 B.若,则直线l的斜率为1 C. D.ΔOAB面积的最小值为2 12.已知正三棱锥的四个顶点在球的球面上,E,F分别是PA,AB的中点,且,与该三棱锥的四个面都相切的球记为球,则( ) A.三棱锥的表面积为 B.球的表面积为 C.球的体积为 D.球的半径为 三､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。 13.在的展开式中,的系数为 。(用数字作答) 14.圆C:的圆心到直线l:的距离为,则a的值为 。 15.经过原点与曲线相切的切线方程为 。 16.过双曲线的左焦点作一条直线l交双曲线左支于P､Q两点,若,是双曲线的右焦点,则的周长是 。 四､解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤。 17.(10分)ΔABC内角的对边分别为,且。 (1)求角; (2)若,ΔABC的面积为,求ΔABC的周长。 18.(12分)某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的120名观众,对他们是否喜欢这部影片进行了调查,得到如下数据(单位:人): 喜欢 不喜欢 合计 男性 40 30 70 女性 35 15 50 合计 75 45 120 根据上述信息,解决下列问题: (1)根据小概率值的独立性检验,分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关; (2)从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法,随机抽取6人。现从6人中随机抽取2人,若所选2名观众中女性人数为X,求X的分布列及数学期望。 附:,其中。 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 19.(12分)在等差数列中,,。 (1)求数列的通项公式; (2)设,为数列的前n项和,若,求n的值。 20.(12分)已知正四棱柱中,。 (1)求证:; (2)求直线与所成角的余弦值; (3)求直线与平面夹角的正弦值。 21.(12分)已知椭圆C:()离心率为,短轴长为2,双曲线E:的离心率为,且。 (1)求椭圆C的标准方程; (2)过椭圆C的右焦点的直线交椭圆于A,B两点,线段的垂直平分线交直线l:于点M,交直线于点N,当最小时,求直线的方程。 22.(12分)已知函数。 (1)若函数在上单调递增,求的取值范围; (2)若,证明:当时,。 参考数据:,。 1.C 【分析】解不等式,可得集合A与集合B,根据交集运算即可得解. 【详解】集合, 解不等式,可得, 所以 所以选C 【点睛】本题考查了一元二次不等式、分式不等式解法,集合交集运算,注意分式不等式分母不为0的限制要求,属于基础题. 2.A 【分析】根据复数的除法运算化简,确定实部和虚部,即可得答案. 【详解】由题意得, 故的实部与虚部之和为, 故选:A 3.C 【分析】由等差数列通项公式和前n项和公式,列方程组解出数列首项和公差,可求的值. 【详解】设等差数列公差为,则有, 解得,所以. 故选:C 4.B 【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示,列方程求的值. 【详解】, ,则有,