云南省昆明市云南师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期适应性月考卷（二） 数学试题

云南师大附中2027届高考适应性月考卷（二） 数学参考答案 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D B C C D B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 AD ACD BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）由及正弦定理，得． 因为， 所以，整理得． 因为，所以，即． 又，所以． （6分） （2）由，且，得． 由余弦定理，及， 得，所以（负值舍去）， 故的周长为． （13分） 16．（本小题满分15分） 解：（1）由频率分布直方图可得， 解得． （3分） （2）前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为， 设这1000名学生的这次考试数学成绩的上四分位数为， 则，解得． 设平均数为，则 ．（7分） （3）数学成绩位于、、的学生人数之比为， 所以，所抽取的10人中，数学成绩位于的学生人数为， 数学成绩位于的学生人数为人，数学成绩位于的学生人数为人， 由题意可知，随机变量的可能取值有0、1、2、3， 则，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 3 所以，． （15分） 17．（本小题满分15分） （1）证明：平面，平面，． 又，，，平面， 平面，平面，． ，，． 在中，，． ，，，四点共面，， 又平面，平面， 平面． （7分） （2）解：方法一：由（1）及，，，四点共圆，知． 以为原点，以，所在直线分别为，轴， 以过点且与平面垂直的直线为轴，建立如图2所示的空间直角坐标系． 设（）， 则，，，， ，， 设平面的法向量为，则 即 不妨令，则，，故． ，， 设平面的法向量为，则即 不妨令，则，，故． ∵二面角的正弦值为，∴平面与平面夹角的余弦值为， ，可得，． 所以四棱锥的体积为． （15分） 方法二：解：如图3所示，过点作于，过点作于，连接． 平面，平面，∴平面平面． 又平面平面，，平面． 又平面，，又，， 平面，得． 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，又为锐角，． 由（1）及，，，四点共圆，知． 设（），则， 由等面积法可得，，则， 又为等腰直角三角形，， 故，解得，即． 所以四棱锥的体积为． （15分） 18．（本小题满分17分） （1）解：由已知可得， 则椭圆的标准方程为． （4分） （2）证明：易知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得此时． 因为点为线段的中点，所以． 因为，同理得，所以（）， 所以的直线方程为，此时直线过定点， 当时，取，，则直线过定点； 当时，取，，则直线过定点， 综上，直线过定点． （10分） （3）解：如图4，因为点，分别为，的中点时， 由（2）知， 同理得，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 则面积的最小值为，此时直线的方程为． （17分） 19．（本小题满分17分） （1）解：因为曲线在点处的切线方程为， 所以，，， 则，． （3分） （2）证明：由（1）知（）， 为了表示方便，设为的2阶导函数，为的3阶导函数， 当，， ，， 故知当时，，单调递减，且此时； 当时，，单调递增，注意到， 故知当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，故恒成立，即在上单调递增， ，，故知，使得， 综上，在上有唯一零点． （9分） （3）解：由题意知，即，解得， 即为题中不等式恒成立的必要条件． 下证明亦为充分条件． 当时，欲证， 即证，即证． 令，设，，即证． 则对于二次函数，其对称轴为． 令，， 则． 令，，则， 故知在上单调递增，在上单调递减， 故， 故，即，故知在上单调递减， 故． 即对于二次函数，其对称轴，又， 故二次函数在上单调递增， 故． 令，， 则，． 设，，则，令，解得， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 则，即，则， 故， 对于，，故知， 故，即在上单调递增，注意到， 故知当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增， 故，故知，得证． 即当时，，恒成立， 故亦为充分条件． 综上，的取值范围为． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中2027届高考适应性月考卷（二） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知集合，，则 A． B． C． D．或 2．已知，则的虚部为 A． B． C． D． 3．已知，，则下列条件中使成立的充要条件是 A． B． C． D．（） 4．等差数列的前项和为，若，，则 A． B．6 C．1 D．0 5．已知，则 A． B． C． D． 6．已知抛物线：的准线为，为上的一点，为的焦点，直线与圆：相切于点，若，则点到的距离为 A． B． C． D．3 7．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，则甲不站在两端，丙和丁也不相邻的排法有 A．12种 B．24种 C．40种 D．48种 8．已知函数为偶函数，且满足，当时，．若，则 A．9 B．3 C．6 D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等比数列的公比为，，，是的前项和，则 A． B． C． D．的最小值是 10．已知函数，则 A．是的极小值点 B．有三个不同零点 C．的对称中心是 D．若过点存在3条直线与曲线相切，则实数 11．在平面直角坐标系中，点为双曲线：的右焦点，点，过的直线与的右支交于，两点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，，过点作交于点，过点作交于点，则下列结论正确的是 A．的渐近线方程为 B．点到的两渐近线的距离之积为 C． D．若的外心在轴上，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面向量，，若，则__________． 13．若函数既有极大值也有极小值，则的范围为__________． 14．在三棱锥中，是等边三角形，，，二面角的余弦值为，若三棱锥的外接球的表面积为，则的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长． 16．（本小题满分15分） 某校高三年级1000名学生某一次的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图1所示，其中成绩分组区间是、、、、、． （1）求图中的值； （2）根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的上四分位数和平均数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）； （3）从这次数学成绩位于、、的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间的人数记为，求的分布列及数学期望． 17．（本小题满分15分） 如图2，在四棱锥中，底面，，，，． （1）若，证明：平面； （2）若，，，四点共圆，且二面角的正弦值为，求四棱锥的体积． 18．（本小题满分17分） 已知椭圆：（）的离心率为，焦距为，以，，为三边的三角形面积为1．过左焦点的直线交于，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，、分别为，的中点． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：直线过定点，并求定点坐标； （3）设为直线与直线的交点，当的面积取到最小值时，求直线的方程． 19．（本小题满分17分） 已知函数（），曲线在点处的切线方程为． （1）求实数，； （2）当时，证明在上有唯一零点； （3）对，恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $