3.2 圆心角 同步讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦“圆心角、弧、弦的关系”核心知识点，系统阐述定理及推论，明确“同圆或等圆中，圆心角、弧、弦知一推二”的原理，作为圆的性质学习的关键支架，承接圆的基本概念，为后续圆周角等知识奠定基础。 资料通过典例引领、变式拓展和分层验收构建学习路径，典例1及4个变式题从基础证明到综合应用，培养推理意识，18道过关验收题覆盖选择、填空、解答，强化应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

3.2 圆心角 内 容 导 航 题型1 圆心角、弧、弦的关系 考 点 演 练 题型1 圆心角、弧、弦的关系 解｜题｜知｜识 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 【典例1】如图，在⊙O中，，CD⊥AO于点D，CE⊥OB于点E． （1）求证：AD＝BE． （2）若AD＝DO，r＝3，求CD长． 【变式1】如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB． 【变式2】如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝AD，AC交BD于点E，已知∠BOC＝45°． （1）求∠AED的度数； （2）若BE＝2，求OE的长． 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE． （1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长． 【变式4】如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC．求证：∠1＝∠2． 过 关 验 收 1．如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 2．如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD 3．如图，在△ABC中，以B为圆心，BA为半径画分别交AC，BC于点D，E，若CD＝AB，∠B＝87°，则的度数为（　　） A．30° B．31° C．32° D．33° 4．如图，△ABC内接于直径为的圆O，，，若AC＝3，则△ABE的面积为（　　） A． B． C． D． 5．如图1，已知AB，CD是⊙O中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦AB＝x，CD2＝y，y关于x的函数图象如图2所示，当CD＝2AB时，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于P，连接BD，AD．已知BD＝AD＝4，PC＝6，那么CD的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 7．如图，AB是⊙O的直径，，若∠COD＝35°，则∠AOE的度数是（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 8．如图所示，已知在⊙O中，BC是直径，，则下列结论不一定成立的是（　　） A．∠AOB＝∠COD B．OA＝OB＝AB C．AB＝CD D．O到AB、CD的距离相等 9．如图，AB、CD是⊙O的直径，AB∥ED，则（　　） A．AC＝AE B．AC＞AE C．AC＜AE D．AC与AE的大小关系无法确定 10．如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，分别交AB、BO于C、D．若∠B＝40°，则的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 11．如图，在⊙O中，，有下列结论：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④，其中正确的有（　　） A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③ 12．下列说法中，正确的是（　　） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 13．如图，AB是⊙O的直径．若，∠COD＝34°，则∠AOE的度数为（　　） A．51° B．54° C．68° D．78° 14．如图，在⊙O中，半径OC交弦AB于点D，点C为中点，若AB＝8，OC＝5，则OD的长为（　　） A．8 B．5 C．4 D．3 15．如图，在⊙O中，直径MN＝20，正方形ABCD的四个顶点都分别在半径OP、OM及⊙O上，且∠POM＝45°，则AB＝（　　） A．4 B． C． D．6 16．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．如图是同一个任多进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（　　） A．当x1＜x2时，d（x1）＜d（x2） B．当d（x1）＜d（x2）时，x1＜x2 C．当x1＝2x2时，d（x1）＝2d（x2） D．当x1+x2＝1时，d（x1）＝d（x2） 17．已知⊙O中，3，则弦AB和3CD的大小关系是（　　） A．AB＞3CD B．AB＝3CD C．AB＜3CD D．不能确定 18．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 19．如图所示，在⊙O中，，则在①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④中，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 20．如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝38°，则∠AOD的度数是 　 　 ． 21．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角度数是 　 　 ． 22．如图，AB是⊙O的直径，，∠AOE＝54°，则∠COD＝ 　 　　 ． 23．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，，则⊙O的半径为　　 　 ． 24．如图，点A，B，C都在⊙O上，B是的中点，∠OBC＝50°，则∠AOB等于 　　 　　 °． 25．如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝ 　 　　 ． 26．在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，则∠AOB的度数 　 　　 ． 27．如图，已知AB为⊙O的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径AB所在的直线上找一点P，连接CP交⊙O于点Q（异于点P），使PQ＝OQ，则∠CPO＝ 　 　 　 ． 28．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OE，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝25°，则∠EOB的度数为 　 　　 ． 29． 已知，是同圆的两段弧，且2，则弦CD与2AB之间的数量关系为CD 　 　 　 2AB．（填“＞”，“＝”，“＜”） 30．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证：． 31．如图，AB是圆O的弦，C、D是AB上两点，AC＝BD，求证：． 32．将一个圆分成4个扇形，已知扇形AOB、AOD、BOD的圆心角的度数之比为2：3：4，OC为∠BOD的角平分线，求这4个扇形的圆心角度数． 33．如图，在⊙O中，已知弦AB所对的劣弧为圆的，⊙O的半径为R，求弦AB的长． 34．如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽BC＝10米，矩形部分高AB＝3米，抛物线的最高点E离地面OE＝6米，按如图建立以BC所在直线为x轴，OE所在直线为y轴的直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高4.5米、宽3米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，E为弧AD的中点，其余条件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由． 35．如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD． （1）求证：． （2）若的度数为58°，求∠AOD的度数． 36．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且． （1）求证：AO平分∠BAC； （2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长． 37．如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结AB，CD，AC＝BD．设AC，BD交于点E． （1）求证：AE＝DE． （2）若100°，AB＝ED，求的度数． 38．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，连结AC，BD，求证：AC＝BD． 40．如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8． （1）求证：； （2）若E为AC的中点，求BE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 圆心角 内 容 导 航 题型1 圆心角、弧、弦的关系 考 点 演 练 题型1 圆心角、弧、弦的关系 解｜题｜知｜识 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 【典例1】如图，在⊙O中，，CD⊥AO于点D，CE⊥OB于点E． （1）求证：AD＝BE． （2）若AD＝DO，r＝3，求CD长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OC， ∵， ∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB， ∴CD＝CE， 在△COD和△COE中， ， ∴OD＝OE， ∵OA＝OB， ∴AD＝BE； （2）解：∵AD＝DO，r＝3， ∴AD＝DO， ∵CD⊥OA， ∴CD． 【变式1】如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AD＝BC， ∴， ∴， 即， ∴DC＝AB． 【变式2】如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝AD，AC交BD于点E，已知∠BOC＝45°． （1）求∠AED的度数； （2）若BE＝2，求OE的长． 【答案】（1）67.5°； （2）． 【解答】解：（1）∵BD是⊙O的直径，点A在⊙O上， ∴∠BAD＝90°， ∵AB＝AD， ∴∠B＝∠D＝45°， ∵∠BOC＝45°， ∴∠BAC∠BOC＝22.5°， ∴∠AED＝∠BAC+∠B＝45°+22.5°＝67.5°； （2）设OE＝x，则OB＝OC＝x+2， ∴BD＝2x+4， ∴ABx+2， ∵∠ABC＝∠BOC＝45°， ∴AB∥OC， ∴△COE∽△ABE， ∴， 即， ∴x， ∴OE． 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE． （1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，连接AD． ∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°， ∴∠ACD＝70°． ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝70°， ∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°． 又∵AD＝AE， ∴． （2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F． ∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4， ∴BC＝5． 又∵•AF•BC•AC•AB， ∴， ∴． ∵AC＝AD，AF⊥CD， ∴． 【变式4】如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC．求证：∠1＝∠2． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：连接OB、OC． ∵AB＝AC，OC＝OB，OA＝OA， ∴△AOB≌△AOC（SSS）． ∴∠1＝∠2． 过 关 验 收 1．如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【答案】D 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°， 故选：D． 2．如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD 【答案】D 【解答】解：∵AB＝CD， ∴， ∴， 即， ∴AC＝BD， ∵和无法确定相等， ∴无法判断AD＝BD， 故选：D． 3．如图，在△ABC中，以B为圆心，BA为半径画分别交AC，BC于点D，E，若CD＝AB，∠B＝87°，则的度数为（　　） A．30° B．31° C．32° D．33° 【答案】B 【解答】解：连接BD， 由题意得，AB＝BD， ∴∠DAB＝∠ADB， ∵CD＝AB， ∴CD＝BD， ∴∠DBC＝∠C， ∵∠ADB＝∠DBC+∠C， ∴∠DAB＝∠ADB＝2∠DBC＝2∠C， ∵∠ABC＝87°，∠BAC+∠C+∠ABC＝180°， ∴3∠DBC＝93°， ∴∠DBC＝31°， ∴的度数为31°． 故选：B． 4．如图，△ABC内接于直径为的圆O，，，若AC＝3，则△ABE的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：过A，O作圆的直径AF，连接DF，CD， ∴∠ADF＝90°， ∵，直径为， ∴∠B＝∠AFD，AD＝AC＝3，根据勾股定理得DF， ∵，∠B+∠BAD＝90°， ∴∠AEB＝90°，∠ADF＝∠AEB＝90°， ∴△AEB∽△ADF， ∴， ∴AE＝3BE，设BE＝x，则AE＝3x，DE＝3﹣3x， ∵， ∴∠BAD＝∠BCD，又∠AEB＝∠CED， ∴△AEB∽△CED， ∴，即， ∴EC＝9﹣9x，在Rt△AEC中，根据勾股定理得，9x2+（9﹣9x）2＝9， 解得，当x＝1时，AE＝3，与题意不符， ∴BE，AE， ∴△ABE的面积为， 故选：A． 5．如图1，已知AB，CD是⊙O中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦AB＝x，CD2＝y，y关于x的函数图象如图2所示，当CD＝2AB时，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥CD于点E，OF⊥AB于点F，则，，，， 由条件可知∠AOB+∠COD＝180°， ∴， ∵∠AOF+∠FAO＝90°， ∴∠DOE＝∠FAO， ∵∠DEO＝∠AFO＝90°，OD＝OA， ∴△OED≌△AFO（AAS）， ∴， ∵CD＝2AB， ∴， 由函数图象可知，当x＝0时，y＝9，此时CD为直径， ∴⊙O的直径为， ∴， 设OE＝x，则DE＝2x， 由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于P，连接BD，AD．已知BD＝AD＝4，PC＝6，那么CD的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解答】解：连接AC， 由圆周角定理知，∠C＝∠B， ∵AD＝BD ∴∠B＝∠DAB， ∴∠DAP＝∠C ∴△DAP∽△DCA， ∴AD：CD＝DP：AD， 得AD2＝DP•CD＝CD•（CD﹣PC）， 把AD＝4，PC＝6代入得，CD＝8． 故选：B． 7．如图，AB是⊙O的直径，，若∠COD＝35°，则∠AOE的度数是（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 【答案】A 【解答】解：∵，∠COD＝35°， ∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°， ∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝75°． 故选：A． 8．如图所示，已知在⊙O中，BC是直径，，则下列结论不一定成立的是（　　） A．∠AOB＝∠COD B．OA＝OB＝AB C．AB＝CD D．O到AB、CD的距离相等 【答案】B 【解答】解：对于选项A， ∵， ∴∠AOB＝∠COD， 故选项A一定成立，不合题意； 对于选项B， ∵BC是⊙O的直径，弧AB＝弧DC， ∴OA＝OB， ∴当∠AOB＝∠COD＝60°时，OA＝OB＝AB， 根据题意可知∠AOB与∠COD不一定等于60°， ∴OA＝OB＝AB不一定成立， 故选项B不一定成立，合题意； 对于选项C， ∵BC是⊙O的直径，， ∴OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠COD， 在△OAB和△ODC中， ， ∴△OAB≌△ODC（SAS）， ∴AB＝CD， 故选项C一定成立，不合题意； 对于选项D， ∵△OAB≌△ODC， ∴S△OAB＝S△ODC， 又∵AB＝CD， ∴点O到AB、CD的距离相等， 故选项D一定成立，不合题意， 故选：B． 9．如图，AB、CD是⊙O的直径，AB∥ED，则（　　） A．AC＝AE B．AC＞AE C．AC＜AE D．AC与AE的大小关系无法确定 【答案】A 【解答】解：连接OE，如图， ∵OE＝OD， ∴∠1＝∠D， ∵AB∥DE， ∴∠COA＝∠D，∠1＝∠AOE， ∴∠COA＝∠AOE， ∴AC＝AE． 故选：A． 10．如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，分别交AB、BO于C、D．若∠B＝40°，则的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】A 【解答】解：如图所示，连接OC， 由条件可知∠A＝90°﹣40°＝50°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠A＝50°， ∴∠AOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∴∠COD＝10°， ∴的度数是10°； 故选：A． 11．如图，在⊙O中，，有下列结论：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④，其中正确的有（　　） A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】B 【解答】解：∵在⊙O中，， ∴AB＝CD，故①正确； ∵为公共弧， ∴， ∴AC＝BD，∠AOC＝∠BOD，故②③④正确， ∴正确的有①②③④． 故选：B． 12．下列说法中，正确的是（　　） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 【答案】B 【解答】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意． B、正确，本选项符合题意． C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意． D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意． 故选：B． 13．如图，AB是⊙O的直径．若，∠COD＝34°，则∠AOE的度数为（　　） A．51° B．54° C．68° D．78° 【答案】D 【解答】解：∵， ∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝34°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOC﹣∠COD﹣∠DOE＝78°． 故选：D． 14．如图，在⊙O中，半径OC交弦AB于点D，点C为中点，若AB＝8，OC＝5，则OD的长为（　　） A．8 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解答】解：连接OA，OB， ∵点C为中点， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵OA＝OB， ∴OC⊥AB，BDAB， ∵AB＝8， ∴BD＝4， ∵OB＝OC＝5， ∴OD3． 故选：D． 15．如图，在⊙O中，直径MN＝20，正方形ABCD的四个顶点都分别在半径OP、OM及⊙O上，且∠POM＝45°，则AB＝（　　） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【解答】解：连接OA， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠DCO＝180°﹣∠BCD＝180°﹣90°＝90°， ∵∠POM＝45°， ∴∠CDO＝90°﹣∠POM＝90°﹣45°＝45°， ∴∠CDO＝∠POM， ∴CO＝CD， ∵MN＝20， ∴， 设AB＝BC＝CD＝CO＝x， 则BO＝BC+CO＝2x， ∵AB2+BO2＝OA2， 即x2+（2x）2＝102， 解得或（舍去）， ∴． 故选：B． 16．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．如图是同一个任多进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（　　） A．当x1＜x2时，d（x1）＜d（x2） B．当d（x1）＜d（x2）时，x1＜x2 C．当x1＝2x2时，d（x1）＝2d（x2） D．当x1+x2＝1时，d（x1）＝d（x2） 【答案】D 【解答】解：当x1＝20%，x2＝80%时，d（x1）＝d（x2），故A错误； 当x1＝80%，x2＝50%时，满足d（x1）＜d（x2），但x1＞x2，故B错误； 当x1＝100%，x2＝50%时，满足x1＝2x2，但d（x1）＝0，d（x2）＝直径，d（x1）≠2d（x2），故C错误； 当x1+x2＝1时，此时线段MN的长度是一样的，故d（x1）＝d（x2），故D正确． 故选：D． 17．已知⊙O中，3，则弦AB和3CD的大小关系是（　　） A．AB＞3CD B．AB＝3CD C．AB＜3CD D．不能确定 【答案】C 【解答】 解： ∵⊙O中，3， ∴设弧AE＝弧EF＝弧BF＝弧CD， 连接AE、EF、BF， ∴CD＝AE＝EF＝BF， ∵AB＜AE+EF+BF， ∴AB＜3CD， 故选：C． 18．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解答】解：连接AC， 由圆周角定理知，∠C＝∠B， ∵AD＝BD ∴∠B＝∠DAB， ∴∠DAP＝∠C ∴△DAP∽△DCA， ∴AD：CD＝DP：AD， 得AD2＝DP•CD＝CD•（CD﹣PC）， 把AD＝4，PC＝6代入得，CD＝8． 故选：C． 19．如图所示，在⊙O中，，则在①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④中，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：∵在⊙O中，， ∴AB＝CD，故①正确； ∵BC为公共弧， ∵弧AC＝弧BD，故④正确； ∴AC＝BD，故②正确； ∴③∠AOC＝∠BOD，故③正确． 故选：D． 20．如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝38°，则∠AOD的度数是 　 　 ． 【答案】71°． 【解答】解：∵∠COB＝38°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝142°， ∵， ∴∠AOD＝∠COD， ∴． 故答案为：71°． 21．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角度数是 　 　 ． 【答案】90°． 【解答】解：如图，作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接AQ，CQ，AC， 由图可得圆心为点Q， ∵AQ2＝12+22＝5，QC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10， ∴AQ2+QC2＝AC2， ∴△AQC为等腰直角三角形， ∴所对的圆心角度数90°， 故答案为：90°． 22．如图，AB是⊙O的直径，，∠AOE＝54°，则∠COD＝ 　 　　 ． 【答案】42°． 【解答】解：∵， ∴OC＝∠COD＝∠EOD， ∴， ∵∠AOE＝54°， ∴∠EOB＝180°﹣54°＝126°， ， 故答案为：42°． 23．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，，则⊙O的半径为　　 　 ． 【答案】 【解答】解：如图，作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于点F，连接BE， ∵∠DOC＝90°，∠AOE＝90°， ∴∠DOE＝∠AOC， ∴DE＝AC＝2， ∵OD＝OE，OD＝OB， ∴∠ODE（180°﹣∠DOE），∠ODB（180°﹣∠DOB）， ∴∠BDE＝180°90°＝135°， ∴∠BDF＝45°， ∴DF＝BFBD＝2， ∴EF＝4， 由勾股定理得：BE2， ∴OB＝OEBE， 故答案为：． 24．如图，点A，B，C都在⊙O上，B是的中点，∠OBC＝50°，则∠AOB等于 　　 　　 °． 【答案】80． 【解答】解：∵OB＝OC， ∴∠B＝∠C＝50°， ∴∠BOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∵B是的中点， ∴∠AOB＝∠BOC＝80°． 故答案为：80． 25．如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝ 　 　　 ． 【答案】20°． 【解答】解：如图，连接AO，BO， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB，∠OAB＝∠OBA， ∵AB＝BC， ∴∠BOC＝∠AOB， ∴∠OBA（180°﹣∠AOB）（180°﹣∠BOC）＝∠OBC， ∵∠ABC＝40°，OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝20°． 故答案为：20°． 26．在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，则∠AOB的度数 　 　　 ． 【答案】60°或300°． 【解答】解：∵⊙O的半径为1， ∴OA＝OB＝1， ∵弦AB的长为1， ∴OA＝OB＝AB＝1， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°或∠AOB＝360°﹣60°＝300°， \故答案为：60°或300°． 27．如图，已知AB为⊙O的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径AB所在的直线上找一点P，连接CP交⊙O于点Q（异于点P），使PQ＝OQ，则∠CPO＝ 　 　 　 ． 【答案】15°或30°或45°或105° 【解答】解：当P在直线AB延长线上时，如图所示： 连接OC， 设∠CPO＝x°， ∵PQ＝OQ， ∴∠QOP＝∠CPO＝x°， ∴∠CQO＝2x°， ∵OQ＝OC， ∴∠OCQ＝∠CQO＝2x°， ∵点C为半圆上的四等分点， ∴∠AOC＝45°或∠AOC＝90°（此时点C亦为半圆的二等分点）， ∴x+2x＝45或x+2x＝90， ∴x＝15或x＝30， ∴∠CPO＝15°或∠CPO＝30°， 当P在直线BA延长线上，PC是切线时，点C与点Q重合，此时∠CPO＝45°． 同理可得，当P在线段AB上时，∠CPO＝105°． 故答案为：15°或30°或45°或105°． 28．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OE，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝25°，则∠EOB的度数为 　 　　 ． 【答案】75° 【解答】解：∵CD＝OE，OE＝OD， ∴CD＝OD， ∵∠C＝25°， ∴∠DOC＝∠C＝25°， ∴∠EDO＝∠C+∠DOC＝50°， ∵OD＝OE， ∴∠E＝∠EDO＝50°， ∴∠DOE＝180°﹣∠E﹣∠EDO＝80°， ∵∠DOC＝25°， ∴∠EOB＝180°﹣∠DOC﹣∠DOE＝180°﹣25°﹣80°＝75°， 故答案为：75°． 29． 已知，是同圆的两段弧，且2，则弦CD与2AB之间的数量关系为CD 　 　 　 2AB．（填“＞”，“＝”，“＜”） 【答案】＜． 【解答】解：如图，取的中点E，连接CE，DE， 则， ∴CE＝DE，， ∵，∴， ∴AB＝CE， ∵CD＜CE+DE＝2CE， ∴CD＜2AB． 故答案为：＜． 30．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证：． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H． ∵OE＝OF，OG⊥EF于点G， ∴∠EOG＝∠FOG， ∴． 又∵OG⊥AB于点G， ∴， ∴， 即． 31．如图，AB是圆O的弦，C、D是AB上两点，AC＝BD，求证：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B， 在△OAC和△OBD中， ， ∴△OAC≌△OBD， ∴∠AOE＝∠BOF， ∴， ∴． 32．将一个圆分成4个扇形，已知扇形AOB、AOD、BOD的圆心角的度数之比为2：3：4，OC为∠BOD的角平分线，求这4个扇形的圆心角度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵OC为∠BOD的角平分线， ∴， ∵扇形AOB、AOD、BOD的圆心角的度数之比为2：3：4， ∴∠AOB：∠AOD：∠COD：∠BOC＝2：3：2：2， ∵∠AOB+∠AOD+∠COD+∠BOC＝360°， ∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝80°，∠AOD＝120°． 33．如图，在⊙O中，已知弦AB所对的劣弧为圆的，⊙O的半径为R，求弦AB的长． 【答案】R． 【解答】解：过O作OC⊥AB于点C， ∴AB＝2AC， ∵弦AB所对的劣弧为圆的， ∴ 的度数为360°＝120°， ∴∠AOB＝120°， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B＝30°， ∴OCOAR， ∴ACOCR， ∴ABR． 34．如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽BC＝10米，矩形部分高AB＝3米，抛物线的最高点E离地面OE＝6米，按如图建立以BC所在直线为x轴，OE所在直线为y轴的直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高4.5米、宽3米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，E为弧AD的中点，其余条件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为：yx2+6； （2）这辆货运卡车能顺利通过隧道， 理由：当x＝3时，y32+6＝44.5， ∴这辆货运卡车能顺利通过隧道； （3）这辆货运卡车能顺利通过隧道， 理由：设圆弧所在圆的圆心为点O′，则点O′在OE上，连接O′A，作MN⊥OE于点N，设MN＝3，圆弧所在圆的半径为r，连接O′M， 由题意得：∠AFO′＝90°，AF＝5，EF＝6﹣3＝3， ∴AF2+O′F2＝O′A2， ∴52+（r﹣3）2＝r2， 解得：r， ∴OO′＝6， ∴O′N， ∴ON4.5， ∴这辆货运卡车能顺利通过隧道． 【解答】解：（1）设抛物线的函数表达式为：y＝ax2+k， 由题意得：点A坐标为（﹣5，3），点E的坐标为（0，6）， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：yx2+6； （2）这辆货运卡车能顺利通过隧道， 理由：当x＝3时，y32+6＝44.5， ∴这辆货运卡车能顺利通过隧道； （3）这辆货运卡车能顺利通过隧道， 理由：设圆弧所在圆的圆心为点O′，则点O′在OE上，连接O′A，作MN⊥OE于点N，设MN＝3，圆弧所在圆的半径为r，连接O′M， 由题意得：∠AFO′＝90°，AF＝5，EF＝6﹣3＝3， ∴AF2+O′F2＝O′A2， ∴52+（r﹣3）2＝r2， 解得：r， ∴OO′＝6， ∴O′N， ∴ON4.5， ∴这辆货运卡车能顺利通过隧道． 35．如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD． （1）求证：． （2）若的度数为58°，求∠AOD的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接OC．∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACO． ∵AC∥OD， ∴∠OAC＝∠BOD． ∴∠DOC＝∠ACO． ∴∠BOD＝∠COD， ∴． （2）∵， ∴ ∴∠BOD∠BOC（180°﹣58°）＝61°． ∴∠AOD＝58°+61°＝119° 36．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且． （1）求证：AO平分∠BAC； （2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）连接OB、OC， ∵． ∴AB＝AC， ∵OC＝OB，OA＝OA， 在△AOB与△AOC中， ． ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠1＝∠2， ∴AO平分∠BAC； （2）连接AO并延长交BC于E，连接OB， ∵AB＝AC，AO平分∠BAC， ∴AE⊥BC， 设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2， 可得：，x2＝OE2+42，OE+x＝8， 解得：x＝5，OE＝3， ∴半径OA的长＝5． 37．如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结AB，CD，AC＝BD．设AC，BD交于点E． （1）求证：AE＝DE． （2）若100°，AB＝ED，求的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AC＝BD， ∴， ∴（两边都减去）， ∴AB＝DC， 由圆周角定理得：∠B＝∠C，∠A＝∠D， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（ASA）， ∴AE＝DE； （2）解：由（1）知：AB＝DC， ∵AB＝ED， ∴DE＝DC， ∵100°， ∴∠DCE＝∠DEC， ∴∠D＝180°﹣∠DCE﹣∠DEC＝80°， ∴的度数是2×80°＝160°， ∵AB＝DC， ∴， ∴的度数是（360°﹣100°﹣160°）＝50°． 38．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，连结AC，BD，求证：AC＝BD． 【答案】证明过程见解答． 【解答】证明：∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴AC＝BD． 39．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆分别交AC，BC边于点D，E，连接BD， （1）求证：点E是的中点； （2）当BC＝12，且AD：CD＝1：2时，求⊙O的半径． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接AE，DE ∵AB是直径， ∴AE⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BE＝EC， ∵∠CDB＝90°，DE是斜边BC的中线， ∴DE＝EB， ∴， 即点E是的中点； （2）设AD＝x，则CD＝2x， ∴AB＝AC＝3x， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD2＝（3x）2﹣x2＝8x2， 在Rt△CDB中， （2x）2+8x2＝122， ∴， ∴， 即⊙O的半径是3． 40．如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8． （1）求证：； （2）若E为AC的中点，求BE的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）2． 【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD， ∴； （2）解：∵BD＝8， ∴AC＝8， ∵E为AC的中点， ∴OB⊥AC，AEAC＝4， ∴OE3， ∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $