专题07圆心角与垂径定理精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学圆心角与垂径定理核心知识点，以圆的旋转不变性和轴对称性为理论根基，系统梳理圆心角“四量知一推三”、垂径定理“五要素知二推三”的核心结论，构建从性质到定理再到证明计算的学习支架。 该资料亮点在于结构化知识体系与精准教学设计，通过“四量”“五要素”模型培养推理能力，结合月洞门、隧道截面等实际问题发展几何直观与模型意识。课中适配板书与复习，课后助力学生通过分层题型查漏补缺，强化解题规范。

专题07圆心角与垂径定理精讲学案 课堂核心立意 以圆的旋转不变性、轴对称性为理论根基，掌握圆心角「四量知一推三」、垂径定理「五要素知二推三」核心结论，形成圆中弦、弧、角度、弦心距的证明、计算标准化解题套路，是圆章节几何计算题、证明题、圆弧作图题的基础核心考点，适配新课板书、课堂复习、学生预习使用。 圆的两大固有性质（定理底层依据） 1.旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度，能够与自身完全重合，是圆心角及四量等量定理的推导来源。 2.轴对称性：任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，沿直径折叠圆两侧完全重合，支撑垂径定理的证明。 圆心角板块核心要点 1.圆心角定义：顶点位于圆心，两条边与圆周相交的角；核心换算规则：圆心角的度数 = 它所对弧的度数，可直接完成角度与弧度数互相转化。 2.同圆、等圆四量等量定理 硬性前提：必须是同圆或者等圆，定理才可生效。 四类对应量：圆心角、角所对的弧、角所对的弦、弦的弦心距。 核心结论：四组量中任意一组量相等，剩余三组量全部对应相等（知一推三）。 关键提醒：半径不相等的两个圆，即便圆心角度数相同，弦长、弧长一定不相等，不能直接等量替换。 垂径定理板块核心要点 1.垂径定理原文拆解 必备两个条件：直线经过圆心、直线与弦互相垂直； 直接得到三个结论：平分这条弦、平分弦对应的劣弧、平分弦对应的优弧。 2.垂径定理推论（五要素知二推三） 五大条件要素：①直线过圆心 ②直线垂直于弦 ③平分弦（弦不能是直径） ④平分弦所对劣弧 ⑤平分弦所对优弧。 使用规则：满足任意两个要素，直接推出剩余三个要素。 硬性限制：若被平分的弦是圆的直径，两条直径互相平分无法推出垂直关系，推论禁止使用。 3.垂径定理计算固定直角三角形模型 辅助线作法：过圆心向弦作垂线段，直接构造直角三角形。 边长对应关系：斜边为圆的半径R，两条直角边分别是圆心到弦的垂距d、弦长的一半。 勾股定理关系式：R2=d2+()2，已知两个数值，直接求解第三个量，是弦长、半径、弦心距计算万能公式。 两大定理综合应用方向 1.证明两段弧相等：可证明圆心角相等、弦长相等、弦心距相等、直径垂直平分弦四种路径。 2.证明两条弦相等：利用弧、圆心角、弦心距其中一组等量关系反向推导。 3.圆弧实操作图：作圆弧两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧圆心，可用来确定弧中点、圆弧对称轴、复原破损圆形。 1.运用圆心角四量定理时，省略「同圆或等圆」前提，直接判定弦、弧长度相等，属于概念性失分。 2.垂径定理推论错误套用在直径上，由两条直径互相平分直接判定直径相互垂直。 3.垂径定理勾股计算时，直接使用整条弦长代入公式，没有取弦长的二分之一，整体计算结果错误。 4.概念混淆，把圆心到弦端点的线段长度，当成圆心到弦的垂直距离。 5.使用垂径定理只满足直线垂直弦，忽略直线经过圆心的必要条件，强行得出平分弦、平分弧的结论。 题型 考察方向 难度 题型一 圆心角概念辨析及简单运算 ★ 题型二 求圆弧的度数 ★★ 题型三 1. 利用弧、弦、圆心角的关系求解 ★★★ 题型四 2. 利用弧、弦、圆心角的关系求证 ★★★ 题型五 3. 利用垂径定理求值 ★★★★ 题型六 利用垂径定理求平行弦问题 ★★★★ 题型七 利用垂径定理求同心圆问题 ★★★ 题型八 利用垂径定理求解其他问题 ★★★ 题型九 4. 垂径定理的推论 ★★★★ 题型十 5. 垂径定理的实际应用 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频易错；★★★★考试重难点 题型一：圆心角概念辨析及简单运算 解题思路 ① 判断圆心角：顶点必须在圆心，两边和圆周相交；顶点不在圆心，一定不是圆心角。 ② 核心性质：圆心角的度数 = 它所对弧的度数。 ③ 简单运算：利用角的和差进行角度计算。 易错提醒：不要把圆周角当作圆心角。 1．图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 【详解】解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 2．如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D 【分析】根据圆的性质，分析弦长随进度的变化规律，分和两种情况讨论即可判断甲、乙观点的正误 ． 【详解】解：设圆的半径为，线段为圆的一条弦， 当时，进度越大，圆心角越大，弦长越长， 此时若，则，甲的观点在此范围内成立； 当时，进度越大，弦所对的劣弧圆心角越小，弦长越短， 此时若，则，乙的观点在此范围内成立； 例如取，此时，但，甲、乙的观点均不成立； 则甲、乙的结果合在一起也不正确． 3．一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 题型二：求圆弧的度数 解题思路 ① 弧的度数等于它所对圆心角的度数；求弧度数，本质就是找对应圆心角。 ② 可利用整圆360，用360减去其余几段弧的度数，间接求目标弧度数。 易错提醒：不能用圆周角直接当作弧的度数。 4．如图，是半圆的直径，点C，D在半圆上，且D为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系．先利用直径所对的圆周角是直角可得：，从而可得，然后利用圆内接四边形对角互补可得，再求得，最后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是半的内接四边形， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是_____． 【答案】/90度 【分析】本题考查了勾股定理的应用，判断出圆心的位置是解决本题的关键． 作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，分别表示出的长，可得为等腰直角三角形，进而即可得解． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，如图， 由图可得圆心为点Q， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴弧的度数是， 故答案为：． 6．如图，为等边三角形，点O在过点A且平行于的直线上运动，以的高为半径的分别交线段、于点E、F，则所对的圆周角的度数__________ 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，注意数形结合思想的应用．根据是等边三角形，得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵点O在过点A且平行于的直线上运动， ∴， 作关于直线的对称点，在圆上，连接，， 则， ∴，， ∴， ∴B，A，G三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴所对的圆周角的度数是， 故答案为：． 7．如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，作辅助线是解答本题的关键． 作D关于的对称点E，连接，则，然后再根据的度数为知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，即可解答． 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接，则, ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 题型三：利用弧、弦、圆心角的关系求解 解题思路 ① 大前提：同圆或等圆才可以使用定理。 ② 四量：圆心角、弧、弦、弦心距，知一推三，一组相等，其余三组都相等。 ③ 从题干找到已知相等的量，推出其它弧、弦、角度，再进行线段、角度计算。 易错提醒：不同大小的圆，圆心角相等，弦、弧不一定相等。 8．如图，在中，请添上一个条件：_______，使得． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：添加， 则． 故答案为：． 9．如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据弧，弦，圆心角的关系得出，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴． 10．如图，点A在半圆O上，为直径，若，，则的长是_____． 【答案】 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 11．如图，是的半径，分别以点A、点O为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接是上不与点重合的点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，证明为等边三角形，可得，根据弧、圆心角的关系求出，再由圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接， 作图知垂直平分， ∴，弧弧， 为等边三角形， ， 弧弧， ， ． 题型四：利用弧、弦、圆心角的关系求证 解题思路 ① 证弧相等：证对应的圆心角相等 / 弦相等 / 弦心距相等。 ② 证弦相等：证对应的弧相等 / 圆心角相等 / 弦心距相等。 ③ 书写证明，务必写上条件“在同圆或等圆中”。 易错提醒：漏掉“同圆或等圆”，证明直接扣分。 12．如图，在同圆中，若，则______．（“”“”或“”） 【答案】 【分析】取的中点E，根据圆心角、弦的关系、三角形三边关系求解即可． 【详解】解：取的中点E，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 13．如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 14．如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键． 直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答． 【详解】解：取的中点，连接， ， ， ∵， ， ， ∵， ∴，故C正确； 故选：C． 题型五：利用垂径定理求值 解题思路 ① 辅助线套路：过圆心作弦的垂线。 ② 构造直角三角形：斜边为半径R，直角边分别为圆心到弦距离d、弦长。 ③ 套用勾股：R2=d2+()2，知二求一，求半径、弦长、弦心距。 易错提醒：代入公式必须用弦长的一半，不能直接用整条弦长。 15．已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 【答案】5 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵，是的弦， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即此圆的半径为． 16．如图，是的弦，于点，若，，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理以及解直角三角形，难度不大，掌握相关性质定理是解题关键．在中，由，解直角三角形求得，然后利用垂径定理解答即可． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 17．所学即所用，所用即所得，周末邓紫展同学利用所学测算如图①所示的厨房锅盖直径，图②是其截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，锅盖最低点到的距离是，则______． 【答案】32 【分析】根据题意设锅盖的圆心为，与交于点，连接，进而构造直角三角形，运用已知条件及勾股定理求出，由垂径定理可得的长． 【详解】解：如图，锅盖的圆心为，与交于点，连接， 由题意知，，， ∴，． ∴在中，， ∴． 18．如图，在中，是直径，连接，若，于点，，则的长是_____________． 【答案】6 【分析】根据垂径定理求出，根据勾股定理列式求出，根据三角形中位线定理求出结果即可． 【详解】解：，为的半径，， ， 在中，， ，即， ， ， ， ． 题型六：利用垂径定理求平行弦问题 解题思路 ① 两条平行弦，分别过圆心作两条弦的垂线段。 ② 分类讨论：圆心在两弦之间、圆心在两弦同一侧，两种情况。 ③ 分别用勾股算出圆心到两条弦的距离，再相加或相减得到两弦之间距离。 易错提醒：容易漏掉其中一种情况，只算一个答案。 19．半径为10的⊙O中，两条平行弦AB、CD的长分别为12和16，则AB与CD距离为______． 【答案】2或14/14或2 【分析】过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质得OF⊥CD，则根据垂径定理得到AE＝BE＝AB＝6，CF＝DF＝CD＝8，再利用勾股定理计算出OE＝8，OF＝6，然后分类讨论：当点O在AB和CD之间时，EF＝OE＋OF＝14，当点O不在AB和CD之间时，EF＝OE−OF＝2． 【详解】解：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴AE＝BE＝AB＝6，CF＝DF＝CD＝8， 在Rt△AOE中，OE＝＝8， 在Rt△OCF中，OF＝， 当点O在AB和CD之间时，EF＝OE＋OF＝8＋6＝14， 当点O不在AB和CD之间时，EF＝OE−OF＝8−6＝2， ∴AB、CD之间的距离为2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论思想的应用． 20．在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为___________． 【答案】或/7或1 【分析】如图，，，过点作于，交于点，连，根据垂径定理得，由于，，则，根据垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出，再进行讨论即可求解． 【详解】解：如图，，， 过点作于，交于点，连， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ， 同理可得， 当圆心在与之间时，与的距离； 当圆心不在与之间时，与的距离． 故答案为7或1． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 21．已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是__________． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 22．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 题型七：利用垂径定理求同心圆问题 解题思路 ① 大圆的弦同时是小圆的割线，过共同圆心作这条弦的垂线。 ② 一条垂线同时垂直大小圆的弦，两次使用垂径定理。 ③ 结合大小圆半径，勾股计算线段差，求弦段长度。 技巧：共用一条垂线段，不用重复作多条辅助线。 23．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 24． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 25．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 题型八：利用垂径定理求解其他问题 解题思路 ① 常见考法：求弧中点、证明线段相等、角度转化。 ② 看到弧中点，立刻联想垂径定理：弧中点和圆心连线垂直平分对应弦。 ③ 有弦就过圆心做垂线，把弧的条件转化为垂直、平分的条件。 26．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为______． 【答案】 【分析】连接，由可知当最小时，最大；又，故当最小时，最大；所以当时满足题意，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， 为的半径，其值一定， ∴当最小时，最大， ∵ ∴当最小时，最大， ∵点C在上移动， ∴当时，最小 此时，点与点（或点）重合，点与点（或点）重合， ∴的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理的相关知识点，得出当时，最小，最大，也最大是解题关键． 27．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为______，半径为______． 【答案】 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示， 则圆心是． 根据勾股定理得，． ∴半径为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 28．如图，⊙P与y轴相切于点，与x轴相交于点，．直线恰好平分的面积，那么的值是 __________________． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，根据切线的性质可知轴，故可得出四边形是矩形，所以，再求出的长，由垂径定理可得出的长，故可得出的长，进而得出点坐标，再把点坐标代入直线即可得出结论． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵与轴相切于点，∴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，∴， ∴， ∴， ∴，∵直线恰好平分的面积， ∴点在直线上， ∴，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出点坐标即可得出结论． 29．如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质等知识，正确理解和应用垂径定理是解题的关键． 由是的直径，是弦，，根据垂径定理得，可判断不符合题意；连接、，因为垂直平分，而但不一定平分，所以，而与不一定相等，可判断B符合题意，不符合题意；由、都是的半径，得，可判断不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的直径，是弦，， ， 故A不符合题意； 连接、， 垂直平分，而但不一定平分， ，而与不一定相等， 故B符合题意，不符合题意； 、都是的半径， ， 故C不符合题意， 故选：B． 题型九：垂径定理的推论 解题思路 ① 五要素：①过圆心 ②垂直弦 ③平分弦（弦≠直径）④平分劣弧 ⑤平分优弧；知二推三。 ② 关键限制：如果被平分的弦是直径，不能推出垂直。 ③ 做题先核对条件，满足两个要素，才可以用推论得到剩下结论。 易错提醒：两条直径互相平分，不能直接得出互相垂直。 30．如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为（   ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【答案】B 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆的性质、垂径定理的推论、勾股定理等知识，根据题意可得，在中，由勾股定理可得，由圆的半径均相等，结合代值求解即可得到答案． 【详解】解：是的半径，交于点，， ， 在中，，则由勾股定理可得， ， 故选：B． 31．如图，在中，是的外接圆，，对角线相交于点E，则点E在______．（填“圆内”、“圆上”、“圆外”） 【答案】圆内 【分析】连接，根据平行四边形对角线互相平分得出为中点，利用垂径定理得，根据垂线段最短，所以，从而可得点在内． 【详解】解：连接． 四边形是平行四边形， 点是的中点， ∴， ∴， 点在内． 32．如图，内接于，，点在上，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，令的交点为，先求出，再利用垂径定理及三角形内角和定理得到，最后求出等腰三角形的底角的度数即可. 【详解】解：连接， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴即：， ∴， ∵， ∴. 题型十：垂径定理的实际应用 解题思路 ① 常见模型：桥拱、管道截面、破损圆形。 ② 把实际图形抽象成圆，弦对应实际物体宽度，拱高对应半径减去弦心距。 ③ 画圆，设半径为R，构造直角三角形，列勾股方程解方程。 技巧：通常设半径为未知数，建立方程求解。 33．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 【答案】 【分析】设月洞门所在圆的半径为，则，，由垂径定理得到，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 设月洞门所在圆的半径为，则， ∴， 由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴月洞门所在圆的半径为． 34．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（    ） A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 【答案】D 【分析】连接，设的半径为寸，则寸，寸，先根据垂径定理得到寸，再利用勾股定理得到，然后解方程求出．本题考查了垂径定理的应用：把垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 【详解】连接， 设的半径为寸，则寸，寸， 寸， 在中，， 解得， 故选：D． 35．如图，平面直角坐标系中，点，，，则过三点的圆的圆心坐标为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由，可知圆心在直线上，设圆心的坐标为，进而根据勾股定理列出方程解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴过点的圆的圆心在直线上， 设圆心的坐标为，则， 解得， ∴圆心的坐标为， 故答案为：． 36．盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”，我国盾构机已实现从依赖进口到全球领跑的跨越．如图，高速公路隧道的有效高度为，隧道入口宽为，该隧道所在圆的圆心为，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理． 连接，设，则，根据勾股定理可得，解方程即可求出圆的半径． 【详解】解：如下图所示，连接， 设，则， ， ， 在中，， ， 解得：， 圆的半径为． 故选：B． 解答题 1．如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到． 【详解】解：连接，如图， ∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弦， ∴． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 2．如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1) 证明：连接， ， ． ， ，． ． ； (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系．要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系． （1）欲证弧弧，只需证明它们所对的圆心角相等，即． （2）利用圆周角、弧，弦的关系得，则． 【详解】（1）略 （2）解：的度数是， ． ． ， ， ． 3．如图，是的直径，点P为外一点，交于点E． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线交于点C．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用尺规作图作出的平分线即可； （2）利用角平分线的定义求得，即可，利用即可证明． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： ； （2）证明：如图， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高，现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 解答下列问题： (1)如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)如图， (2)的半径长为 【分析】（1）作的垂直平分线交于点D，以点D为圆心，a为半径画弧交于点C，连接，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径画弧； （2）如图，连接，设的半径为，则，，由垂径定理得到，然后在直角中利用勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，设的半径为，则，， 由题意可知，垂直平分， ，， 在直角中，， ， 解得． 答：的半径长为． 5．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，． (1)求的半径； (2)已知点为线段上一点，过点作并交于点、，若的长为，求平行线与之间的距离． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）根据垂径定理的推论，得，然后根据勾股定理即可求解； （2）分两种情况进行讨论：①当在点上方时，如图所示；②当在点下方时，如图所示；然后利用垂径定理与勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图1所示， 设，， 则， 是中弦的中点，经过圆心交于点， ， ， ， 在中，， 解得； 故的半径为； （2）解：设交于，连接，则， ①当在点上方时，如图所示， ， ， ， ， ， ， ， 平行线与之间的距离为； ②当在点下方时，如图所示， 同理可得：， 平行线与之间的距离为； 综上所述，平行线与之间的距离为或． 【点睛】此题考查了垂径定理及其推论、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理以及它的推论、运用勾股定理解直角三角形是解答此题的关键． 6．如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 即； (2) 【分析】（）过点作于点，由垂径定理得，，进而即可求证； （）连接、，可得，，即得，设，则，，利用勾股定理求出的值进而即可求解； 本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 即小圆半径的值为． 7．综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图，外形参数如图所示．装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的圆弧组成．抛物线的高度为，矩形的边，，圆弧的拱高为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在圆弧上，点，在抛物线上，轴． 问题解决：如图，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)分别求出抛物线的函数表达式和圆弧所在圆的半径． (2)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要到的水平距离为，求此时矩形的面积． 【答案】(1)的函数表达式为； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，可知，，，，设中点为P，则，由题干图可知，抛物线的顶点为，设表达式为：，代入求解即可；设圆弧所在圆的半径为，圆心为，连接，根据垂径定理的推论可知，根据勾股定理计算即可； （2）连接，则，作交于点Q，根据矩形的性质得到轴，轴，可知H、G纵坐标相同，即H、G关于抛物线对称轴对称，进而可知到抛物线对称轴的距离与到抛物线对称轴的距离相同，根据可知在抛物线对称轴上，则到抛物线对称轴的距离为，即，根据矩形的判定和性质求出，，根据勾股定理求出，将代入求出点坐标为，可知，根据矩形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵矩形的边，， ∴，， 可知，，，， 设中点为P，则， 由题干图可知，抛物线的顶点为，即， 设表达式为：， 代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； 如图，设圆弧所在圆的半径为，圆心为，连接， ∵为的中点 ∴， ∵圆弧的拱高为，即， 在中，， 解得； （2）解：如图，连接，则，作交于点Q， ∵矩形， ∴， ∵轴， ∴轴，轴， ∴抛物线对称轴，H、G纵坐标相同， ∵H、G在抛物线上， ∴H、G关于抛物线对称轴对称， 即到抛物线对称轴的距离与到抛物线对称轴的距离相同． ∵，P在抛物线对称轴上， ∴在抛物线对称轴上， 即到抛物线对称轴的距离为， ∴， 由题意可知，， ∴， ∵轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 将代入的函数表达式得，， ∴点坐标为， ∴， 则矩形的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07圆心角与垂径定理精讲学案 课堂核心立意 以圆的旋转不变性、轴对称性为理论根基，掌握圆心角「四量知一推三」、垂径定理「五要素知二推三」核心结论，形成圆中弦、弧、角度、弦心距的证明、计算标准化解题套路，是圆章节几何计算题、证明题、圆弧作图题的基础核心考点，适配新课板书、课堂复习、学生预习使用。 圆的两大固有性质（定理底层依据） 1.旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度，能够与自身完全重合，是圆心角及四量等量定理的推导来源。 2.轴对称性：任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，沿直径折叠圆两侧完全重合，支撑垂径定理的证明。 圆心角板块核心要点 1.圆心角定义：顶点位于圆心，两条边与圆周相交的角；核心换算规则：圆心角的度数 = 它所对弧的度数，可直接完成角度与弧度数互相转化。 2.同圆、等圆四量等量定理 硬性前提：必须是同圆或者等圆，定理才可生效。 四类对应量：圆心角、角所对的弧、角所对的弦、弦的弦心距。 核心结论：四组量中任意一组量相等，剩余三组量全部对应相等（知一推三）。 关键提醒：半径不相等的两个圆，即便圆心角度数相同，弦长、弧长一定不相等，不能直接等量替换。 垂径定理板块核心要点 1.垂径定理原文拆解 必备两个条件：直线经过圆心、直线与弦互相垂直； 直接得到三个结论：平分这条弦、平分弦对应的劣弧、平分弦对应的优弧。 2.垂径定理推论（五要素知二推三） 五大条件要素：①直线过圆心 ②直线垂直于弦 ③平分弦（弦不能是直径） ④平分弦所对劣弧 ⑤平分弦所对优弧。 使用规则：满足任意两个要素，直接推出剩余三个要素。 硬性限制：若被平分的弦是圆的直径，两条直径互相平分无法推出垂直关系，推论禁止使用。 3.垂径定理计算固定直角三角形模型 辅助线作法：过圆心向弦作垂线段，直接构造直角三角形。 边长对应关系：斜边为圆的半径R，两条直角边分别是圆心到弦的垂距d、弦长的一半。 勾股定理关系式：R2=d2+()2，已知两个数值，直接求解第三个量，是弦长、半径、弦心距计算万能公式。 两大定理综合应用方向 1.证明两段弧相等：可证明圆心角相等、弦长相等、弦心距相等、直径垂直平分弦四种路径。 2.证明两条弦相等：利用弧、圆心角、弦心距其中一组等量关系反向推导。 3.圆弧实操作图：作圆弧两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧圆心，可用来确定弧中点、圆弧对称轴、复原破损圆形。 1.运用圆心角四量定理时，省略「同圆或等圆」前提，直接判定弦、弧长度相等，属于概念性失分。 2.垂径定理推论错误套用在直径上，由两条直径互相平分直接判定直径相互垂直。 3.垂径定理勾股计算时，直接使用整条弦长代入公式，没有取弦长的二分之一，整体计算结果错误。 4.概念混淆，把圆心到弦端点的线段长度，当成圆心到弦的垂直距离。 5.使用垂径定理只满足直线垂直弦，忽略直线经过圆心的必要条件，强行得出平分弦、平分弧的结论。 题型 考察方向 难度 题型一 圆心角概念辨析及简单运算 ★ 题型二 求圆弧的度数 ★★ 题型三 1. 利用弧、弦、圆心角的关系求解 ★★★ 题型四 2. 利用弧、弦、圆心角的关系求证 ★★★ 题型五 3. 利用垂径定理求值 ★★★★ 题型六 利用垂径定理求平行弦问题 ★★★★ 题型七 利用垂径定理求同心圆问题 ★★★ 题型八 利用垂径定理求解其他问题 ★★★ 题型九 4. 垂径定理的推论 ★★★★ 题型十 5. 垂径定理的实际应用 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频易错；★★★★考试重难点 题型一：圆心角概念辨析及简单运算 解题思路 ① 判断圆心角：顶点必须在圆心，两边和圆周相交；顶点不在圆心，一定不是圆心角。 ② 核心性质：圆心角的度数 = 它所对弧的度数。 ③ 简单运算：利用角的和差进行角度计算。 易错提醒：不要把圆周角当作圆心角。 1．图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 3．一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 题型二：求圆弧的度数 解题思路 ① 弧的度数等于它所对圆心角的度数；求弧度数，本质就是找对应圆心角。 ② 可利用整圆360，用360减去其余几段弧的度数，间接求目标弧度数。 易错提醒：不能用圆周角直接当作弧的度数。 4．如图，是半圆的直径，点C，D在半圆上，且D为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是_____． 6．如图，为等边三角形，点O在过点A且平行于的直线上运动，以的高为半径的分别交线段、于点E、F，则所对的圆周角的度数__________ 7．如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 题型三：利用弧、弦、圆心角的关系求解 解题思路 ① 大前提：同圆或等圆才可以使用定理。 ② 四量：圆心角、弧、弦、弦心距，知一推三，一组相等，其余三组都相等。 ③ 从题干找到已知相等的量，推出其它弧、弦、角度，再进行线段、角度计算。 易错提醒：不同大小的圆，圆心角相等，弦、弧不一定相等。 8．如图，在中，请添上一个条件：_______，使得． 9．如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，点A在半圆O上，为直径，若，，则的长是_____． 11．如图，是的半径，分别以点A、点O为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接是上不与点重合的点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型四：利用弧、弦、圆心角的关系求证 解题思路 ① 证弧相等：证对应的圆心角相等 / 弦相等 / 弦心距相等。 ② 证弦相等：证对应的弧相等 / 圆心角相等 / 弦心距相等。 ③ 书写证明，务必写上条件“在同圆或等圆中”。 易错提醒：漏掉“同圆或等圆”，证明直接扣分。 12．如图，在同圆中，若，则______．（“”“”或“”） 13．如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 14．如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五：利用垂径定理求值 解题思路 ① 辅助线套路：过圆心作弦的垂线。 ② 构造直角三角形：斜边为半径R，直角边分别为圆心到弦距离d、弦长。 ③ 套用勾股：R2=d2+()2，知二求一，求半径、弦长、弦心距。 易错提醒：代入公式必须用弦长的一半，不能直接用整条弦长。 15．已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 16．如图，是的弦，于点，若，，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 17．所学即所用，所用即所得，周末邓紫展同学利用所学测算如图①所示的厨房锅盖直径，图②是其截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，锅盖最低点到的距离是，则______． 18．如图，在中，是直径，连接，若，于点，，则的长是_____________． 题型六：利用垂径定理求平行弦问题 解题思路 ① 两条平行弦，分别过圆心作两条弦的垂线段。 ② 分类讨论：圆心在两弦之间、圆心在两弦同一侧，两种情况。 ③ 分别用勾股算出圆心到两条弦的距离，再相加或相减得到两弦之间距离。 易错提醒：容易漏掉其中一种情况，只算一个答案。 19．半径为10的⊙O中，两条平行弦AB、CD的长分别为12和16，则AB与CD距离为______． 20．在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为___________． 21．已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是__________． 22．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 题型七：利用垂径定理求同心圆问题 解题思路 ① 大圆的弦同时是小圆的割线，过共同圆心作这条弦的垂线。 ② 一条垂线同时垂直大小圆的弦，两次使用垂径定理。 ③ 结合大小圆半径，勾股计算线段差，求弦段长度。 技巧：共用一条垂线段，不用重复作多条辅助线。 23．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 24． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm 25．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 题型八：利用垂径定理求解其他问题 解题思路 ① 常见考法：求弧中点、证明线段相等、角度转化。 ② 看到弧中点，立刻联想垂径定理：弧中点和圆心连线垂直平分对应弦。 ③ 有弦就过圆心做垂线，把弧的条件转化为垂直、平分的条件。 26．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为______． 27．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为______，半径为______． 28．如图，⊙P与y轴相切于点，与x轴相交于点，．直线恰好平分的面积，那么的值是 __________________． 29．如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 题型九：垂径定理的推论 解题思路 ① 五要素：①过圆心 ②垂直弦 ③平分弦（弦≠直径）④平分劣弧 ⑤平分优弧；知二推三。 ② 关键限制：如果被平分的弦是直径，不能推出垂直。 ③ 做题先核对条件，满足两个要素，才可以用推论得到剩下结论。 易错提醒：两条直径互相平分，不能直接得出互相垂直。 30．如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为（   ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 31．如图，在中，是的外接圆，，对角线相交于点E，则点E在______．（填“圆内”、“圆上”、“圆外”） 32．如图，内接于，，点在上，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十：垂径定理的实际应用 解题思路 ① 常见模型：桥拱、管道截面、破损圆形。 ② 把实际图形抽象成圆，弦对应实际物体宽度，拱高对应半径减去弦心距。 ③ 画圆，设半径为R，构造直角三角形，列勾股方程解方程。 技巧：通常设半径为未知数，建立方程求解。 33．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 34．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（    ） A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 35．如图，平面直角坐标系中，点，，，则过三点的圆的圆心坐标为_____ ． 36．盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”，我国盾构机已实现从依赖进口到全球领跑的跨越．如图，高速公路隧道的有效高度为，隧道入口宽为，该隧道所在圆的圆心为，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C． D． 解答题 1．如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 2．如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 3．如图，是的直径，点P为外一点，交于点E． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线交于点C．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求证：． 4．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高，现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 解答下列问题： (1)如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的半径长． 5．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，． (1)求的半径； (2)已知点为线段上一点，过点作并交于点、，若的长为，求平行线与之间的距离． 6．如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 7．综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图，外形参数如图所示．装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的圆弧组成．抛物线的高度为，矩形的边，，圆弧的拱高为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在圆弧上，点，在抛物线上，轴． 问题解决：如图，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)分别求出抛物线的函数表达式和圆弧所在圆的半径． (2)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要到的水平距离为，求此时矩形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $