专题 3.2 圆心角（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本初中数学讲义聚焦圆心角核心知识点，从基本概念（圆心角、弦心距定义）出发，依托圆的旋转对称性，系统梳理圆心角定理（同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距关系）及弧与圆心角的度数关系，辅以要点提示构建知识支架。 资料以表格对比呈现概念增强几何直观，题型精析涵盖基础求值、证明、尺规作图等培养推理能力，同步检测分层设计助力应用意识养成。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生强化练习、查漏补缺。

专题 3.2 圆心角（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】基本概念 1 【知识点二】圆的旋转对称性 2 【知识点三】圆心角、弧、弦、弦心距关系（圆心角定理） 2 【知识点四】弧与圆心角的度数关系 2 【知识点五】要点提示 3 二.题型精析 3 【题型 1】圆心角与弧、弦基础求值 3 【题型 2】圆心角与弧、弦基础求值证明 4 【题型 3】弦心距的求值证明 5 【题型 4】圆心角与尺规作图 6 【题型 5】圆心角与弧的等量综合证明 8 【题型 6】圆心角与特殊四边形判定 9 三.同步检测 10 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 14 一.知识梳理与解读 【知识点一】基本概念 1. 圆心角：顶点在圆心，两边均与圆相交的角，叫做圆心角。圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 2. 弦心距：圆心到圆中弦的垂线段的长度，称为这条弦的弦心距，是圆的核心几何量之一。 类型 定义 表示 表示 圆心角 顶点在圆心，两边均与圆相交的角，叫做圆心角。 圆心角：∠AOB 弦心距 圆心到圆中弦的垂线段的长度，称为这条弦的弦心距。 弦心距：OE 【知识点二】圆的旋转对称性 圆是中心对称图形，圆心为对称中心；同时圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合。这一性质是圆心角、弧、弦等量等价关系的核心依据。 【知识点三】圆心角、弧、弦、弦心距关系（圆心角定理） ① 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等； ② 同圆或等圆中，在圆心角、弧、弦、弦心距四组量中，任意一组量相等，其余三组量对应相等。 类型 定义 表示 表示 定理 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等 ∵ ∠AOB=∠COD ∴ ，AB=CD，OE=OF 推论 同圆或等圆中，在圆心角、弧、弦、弦心距四组量中，任意一组量相等，其余三组量对应相等。 【知识点四】弧与圆心角的度数关系 周角为360°，将圆n等分，每一份弧对应的圆心角度数为360°/n，弧的度数等于其所对圆心角的度数。 【知识点五】要点提示 1. 所有等价结论必须满足同圆或等圆条件，半径不同的圆，相等圆心角对应的弧、弦、弦心距均不相等； 2. 弧相等需区分优劣弧，默认劣弧与劣弧对应、优弧与优弧对应，不可混淆对等； 3. 圆心向弦作垂线，可结合等腰三角形三线合一，同时实现平分弦、平分弦所对圆心角、平分弦所对弧； 4. 圆心角是衔接圆的角度、弧长、弦长计算的核心桥梁，是圆几何证明与计算的基础。 二.题型精析 【题型 1】圆心角与弧、弦基础求值 【例题1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长． 【变式1】（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川德阳·期末）如图，A、B是上的两点，，C是的中点，则四边形是（   ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A、B、C在上，D是的中点，若，求的度数． 【题型 2】圆心角与弧、弦基础求值证明 【例题2】（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，在中，，是直径，，求证：． 【变式1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西渭南·一模）如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 【变式3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点A、B、C、D在上，且． （1）求证：； （2）若的度数为，设与的交点为P，求：的大小． 【题型 3】弦心距的求值证明 【例题3】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为． （1）若，则的度数为________； （2）若⊙O的半径为5，，则的长为__________． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（   ） A． B． C．4 D．3 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）如图，在中，若，则与的大小关系是： ___________．（填“>”，“＜”或“=”） 【变式3】（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于． （1）求证：； （2）若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 【题型 4】圆心角与尺规作图 【例题4】（2024·山西·模拟预测）阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下： ①如图，已知，C是弦上一点，作线段的垂直平分线，分别交于点D，于点E，连接． ②以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接． 引理的结论：． （1）任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母． （2）任务二：请你完成引理结论的证明过程． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，A，B，C，D是上的四个点，连接，过点O分别作于点E，于点F．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东日照·一模）已知锐角如图，①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；②分别以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．根据以上作图过程及所作图形，若，则的度数为___________°． 【变式3】（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，射线交一圆于点，射线交该圆于点，且． （1）求证： （2）利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法）求证：平分 【题型 5】圆心角与弧的等量综合证明 【例题5】（24-25九年级上·全国·期中）如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E．求证： （1） （2）． 【变式1】（2025·福建厦门·二模）如图，已知，按以下步骤作图：①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点；②连接，分别以点、为圆心，长为半径作弧，交于点、；③连接，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（   ） A． B．点与点关于直线对称 C．若，则 D． 【变式2】（2025·陕西西安·一模）如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，中，弦，相交于点，． （1）比较与的长度，并证明你的结论； （2）求证：． 【题型 6】圆心角与特殊四边形判定 【例题6】（23-24九年级上·云南大理·期中）如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． （1）求证：； （2）若，，求面积． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·北京·阶段检测）如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论： ①， ②， ③四边形MCDN是正方形， ④MN＝AB， 所有正确结论的序号是______． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，以的顶点A为圆心，的长为半径作圆，分别交于点E，F，延长交于点G． （1）求证：． （2）若F为的中点，求的度数． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图所示，为的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，，是上的点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 5．（2026·河北唐山·二模）如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 6．（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 7．（2026·云南临沧·二模）如图，在中，直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·北京·阶段检测）已知是的直径，弦，分别过M，N作的垂线，垂足为C，D．有以下结论：①；②；③若四边形是正方形，则；④若M为的中点，则D为中点．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 10．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 _________． 11．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，如果，那么与线段相等的线段有_____，与相等的弧有_____． 13．（25-26九年级上·山西朔州·期末）如图，在中，，若，则的度数是_____． 14．（2025·山东烟台·一模）如图，以的半径为半径，自上的A点起，在圆上依次画弧截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为，连接FA，，则______． 15．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的选项是_______． 16．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，是半圆的直径，是的中点，是的中点，于点E，于点．在下列结论中：①；②；③；④．正确的有__________．    （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·江西·期末）如图，在中，，．求证： （1）； （2）． 18．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：． 19．（2026·广东广州·二模）某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了、、三点的位置，．已知点在劣弧上，且 （1）尺规作图：请在上确定点的位置，并连接、； （2）已知，求鲜花种植区域四边形的面积（请用含的式子表达） 20．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）小明在完成作业“如图1，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.2 圆心角（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】基本概念 1 【知识点二】圆的旋转对称性 2 【知识点三】圆心角、弧、弦、弦心距关系（圆心角定理） 2 【知识点四】弧与圆心角的度数关系 2 【知识点五】要点提示 3 二.题型精析 3 【题型 1】圆心角与弧、弦基础求值 3 【题型 2】圆心角与弧、弦基础求值证明 6 【题型 3】弦心距的求值证明 9 【题型 4】圆心角与尺规作图 13 【题型 5】圆心角与弧的等量综合证明 18 【题型 6】圆心角与特殊四边形判定 22 三.同步检测 27 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 27 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 33 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 40 一.知识梳理与解读 【知识点一】基本概念 1. 圆心角：顶点在圆心，两边均与圆相交的角，叫做圆心角。圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 2. 弦心距：圆心到圆中弦的垂线段的长度，称为这条弦的弦心距，是圆的核心几何量之一。 类型 定义 表示 表示 圆心角 顶点在圆心，两边均与圆相交的角，叫做圆心角。 圆心角：∠AOB 弦心距 圆心到圆中弦的垂线段的长度，称为这条弦的弦心距。 弦心距：OE 【知识点二】圆的旋转对称性 圆是中心对称图形，圆心为对称中心；同时圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合。这一性质是圆心角、弧、弦等量等价关系的核心依据。 【知识点三】圆心角、弧、弦、弦心距关系（圆心角定理） ① 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等； ② 同圆或等圆中，在圆心角、弧、弦、弦心距四组量中，任意一组量相等，其余三组量对应相等。 类型 定义 表示 表示 定理 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等 ∵ ∠AOB=∠COD ∴ ，AB=CD，OE=OF 推论 同圆或等圆中，在圆心角、弧、弦、弦心距四组量中，任意一组量相等，其余三组量对应相等。 【知识点四】弧与圆心角的度数关系 周角为360°，将圆n等分，每一份弧对应的圆心角度数为360°/n，弧的度数等于其所对圆心角的度数。 【知识点五】要点提示 1. 所有等价结论必须满足同圆或等圆条件，半径不同的圆，相等圆心角对应的弧、弦、弦心距均不相等； 2. 弧相等需区分优劣弧，默认劣弧与劣弧对应、优弧与优弧对应，不可混淆对等； 3. 圆心向弦作垂线，可结合等腰三角形三线合一，同时实现平分弦、平分弦所对圆心角、平分弦所对弧； 4. 圆心角是衔接圆的角度、弧长、弦长计算的核心桥梁，是圆几何证明与计算的基础。 二.题型精析 【题型 1】圆心角与弧、弦基础求值 【例题1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 连接，根据平行线的性质，得、，通过等腰三角形的性质，推得，利用圆心角、弧、弦的关系即可求解． 解：如图，连接， ， ，， ， ， ， ． 【变式1】（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 【变式2】（24-25九年级上·四川德阳·期末）如图，A、B是上的两点，，C是的中点，则四边形是（   ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质，菱形的判定和圆周角定理，连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到，则有，证明和都是等边三角形，由四边相等的四边形是菱形即可求解，解题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等及等边三角形的判定与性质，菱形的判定方法． 解：如图，连接， ∵是弧的中点， ∴； 又∵， ∴， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形是是菱形， 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A、B、C在上，D是的中点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，连接，求出，再利用圆周角定理可得结论． 解：如图，连接． ∵D是的中点， ∴，， ∴， ∴． 【题型 2】圆心角与弧、弦基础求值证明 【例题2】（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，在中，，是直径，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，先结合，得，又因为，则，得出，根据同位角相等，两直线平行，得，即可作答． 解：略 【变式1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 解：图中是圆心角 故选：A． 【变式2】（2026·陕西渭南·一模）如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 【答案】80 解：， . ， ． 【变式3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点A、B、C、D在上，且． （1）求证：； （2）若的度数为，设与的交点为P，求：的大小． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】本题主要考查弧、弦、圆心角与圆周角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角与圆周角的关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求证； （2）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 解：（1）证明：∵， ∴，即， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵，且的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型 3】弦心距的求值证明 【例题3】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为． （1）若，则的度数为________； （2）若⊙O的半径为5，，则的长为__________． 【答案】 6 【分析】（1）连接，证明和都是等腰直角三角形即可； （2）延长交于点，连接，则是的中位线，可以求出，然后根据垂直证明，根据圆周角相等则所对的弦相等得到． 解：（1）如图，连接， 是弦的弦心距， ， 和都是等腰直角三角形， ∵， ， 故答案为：； （2）如图，延长交于点，连接， 由，得是的中位线， ， 在中，， 由勾股定理得 ， ， ∵是的直径， ∴， ， ∵ ∴， ， 故答案为：6． 【点拨】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，圆心角与弧、弦的关系，三角形的中位线定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的=关系，垂径定理和三角形中位线性质． 作于，作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，再利用圆心角、弧、弦的关系得到，由，根据垂径定理得，可证为△的中位线，然后根据三角形中位线性质得到． 解：作于，作直径，连接，如图， ， 而， ， ， ， ， ， 而， 为△的中位线， ． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）如图，在中，若，则与的大小关系是： ___________．（填“>”，“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到．如图，连接、，根据题意知，，又由三角形三边关系得到得到：． 解：如图，连接、， 在中，若， ， 在中，． ． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于． （1）求证：； （2）若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 【答案】（1）证明见分析；（2）结论仍然成立，证明见分析 【分析】该题考查了角平分线的性质定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． （1）如图②过点作于点，于点，根据角平分线的性质定理得出，再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明； （2）同（1）的作图方法分为如图③，当点在上时，和如图④，当点在内时，根据角平分线的性质定理得出，再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明； 解：（1）证明：如图②过点作于点，于点， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：结论仍然成立． 理由如下：如图③，当点在上时，由（1）知． ∴， 如图④，当点在内时，由（1）知． ∴． 【题型 4】圆心角与尺规作图 【例题4】（2024·山西·模拟预测）阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下： ①如图，已知，C是弦上一点，作线段的垂直平分线，分别交于点D，于点E，连接． ②以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接． 引理的结论：． （1）任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母． （2）任务二：请你完成引理结论的证明过程． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）证明：垂直且平分， ， ． ， ． ， ， ， ． 【分析】（1）根据线段和线段垂直平分线的尺规作图方法结合题意作图即可； （2）先由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角得到，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义得到，再根据弦与圆周角的关系推出，则可证明，得到． 解：（1）略 （2）略 【点拨】本题主要考查了线段和线段垂直平分线的尺规作图，圆内接四边形的性质，弦与圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键. 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，A，B，C，D是上的四个点，连接，过点O分别作于点E，于点F．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的弦、弧、圆心角的关系与垂径定理，掌握在同圆中，弦相等则所对的弧、圆心角相等，结合垂径定理分析线段相等关系是解题的关键． 根据圆中弦、弧、圆心角的关系以及垂径定理，逐一分析每个选项的正确性． 解：A、在同圆中，相等的弦所对的劣弧相等，因为，所以，结论正确，不符合题意； B、由垂径定理，，因为，所以，又，故，结论正确，不符合题意； C、在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等，因为，所以，结论正确，不符合题意； D、没有条件能推出，结论错误，符合题意． 故选：D． 【变式2】（2025·山东日照·一模）已知锐角如图，①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；②分别以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．根据以上作图过程及所作图形，若，则的度数为___________°． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图以及圆的基本性质，解题的关键是根据等弧或等弦所对的圆心角相等得到是等边三角形．连接，根据作图，结合已知可得是等边三角形，进而根据作图可得，即可得到，即可求解． 解：如图，连接，由作图可知：， 又 是等边三角形， ， 由作图可知：， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，射线交一圆于点，射线交该圆于点，且． （1）求证： （2）利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法）求证：平分 【答案】（1）证明：如图，作，于Q，连接，，， ∵， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ． ， ， ，即； （2）解：作图如下： 证明：， ， ， 是的垂直平分线， ， ． 平分． 【分析】（1）作，于Q，连接，，，证，由，得后得证； （2）按照要求作出图形，根据得，由得得证． 解：（1）略 （2）略 【题型 5】圆心角与弧的等量综合证明 【例题5】（24-25九年级上·全国·期中）如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E．求证： （1） （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用． （1）首先得到，推出，然后等量代换得到，由三角形内角和得到，即可得到； （2）由得到，然后结合求解即可． 解：（1）证明：∵O为等腰三角形的底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． 【变式1】（2025·福建厦门·二模）如图，已知，按以下步骤作图：①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点；②连接，分别以点、为圆心，长为半径作弧，交于点、；③连接，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（   ） A． B．点与点关于直线对称 C．若，则 D． 【答案】C 【分析】根据等弧所对圆周角相等可以判断；根据平行线的判定可以判断；根据，，可得垂直平分，可以判断；根据，得，由，可得为等边三角形，进而可以判断． 解：由作法得， ， ，所以选项的结论正确； 连接， ， ， ，所以选项的结论正确； ，， 垂直平分， 点与点关于对称，所以选项的结论正确； ， ， ， 为等边三角形， ，所以选项的结论错误． 故选：． 【点拨】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理． 【变式2】（2025·陕西西安·一模）如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 【答案】/35度 【分析】此题考查弧、弦、圆心角的关系，等边对等角和三角形的外角． 根据等边对等角和三角形的外角可得，然后根据弧、弦、圆心角的关系解答即可． 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，中，弦，相交于点，． （1）比较与的长度，并证明你的结论； （2）求证：． 【答案】（1）相等，理由见分析；（2）见分析 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质． （1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到． （2）由证明，即可推出． 解：（1）解：与的长度相等，理由如下： ， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 【题型 6】圆心角与特殊四边形判定 【例题6】（23-24九年级上·云南大理·期中）如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． （1）求证：； （2）若，，求面积． 【答案】（1）见分析；（2）的面积为 【分析】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积计算，熟练掌握圆的弧与圆心角的关系、全等三角形判定定理是解题的关键． （1）通过连接辅助线 ，利用圆的半径相等及弧中点对应的圆心角相等，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而证得线段相等； （2）先确定相关角的度数，结合勾股定理求出三角形的高，再利用三角形的面积公式计算面积． 解：（1）证明：连接，如图： 为的中点， ， ，分别为半径，的中点，， ， 在和中， ， ． （2）解：如图：过点作于点， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 解：∵， ，，故A正确； ∴，故C正确； ，，故D正确； ∵和无法确定相等， 无法判断， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·北京·阶段检测）如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论： ①， ②， ③四边形MCDN是正方形， ④MN＝AB， 所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】连接OM、ON，如图，利用OC＝OD＝OM＝ON，则∠OMC＝∠OND＝30°，则利用∠COM＝∠DON＝∠MON＝60°可判断；通过证明MN＝OM和四边形CDNM为矩形可对①③④矩形判断． 解：连接OM、ON，如图， ∵MC⊥AB、ND⊥AB， ∴∠OCM＝∠ODN＝90°， ∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB， ∴OC＝OD＝OM＝ON， ∴∠OMC＝∠OND＝30°， ∴∠COM＝∠DON＝60°， ∴∠MON＝60°， ∴，所以②正确； ∴△OMN为等边三角形， ∴MN＝CD，∠OMN＝60° ∴MN∥CD， ∴四边形CDNM为矩形， ∴MC＝ND，所以①正确；③错误； ∵MN＝CD＝OA+OB＝AB， ∴④正确． 故答案为：①②④ 【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，以的顶点A为圆心，的长为半径作圆，分别交于点E，F，延长交于点G． （1）求证：． （2）若F为的中点，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，圆周角定理等知识点的应用，关键是求出． （1）要证明则要证明，由题干条件能够证明之； （2）根据F为的中点，可得，从而求得，继而得到，根据平行四边形得性质即可得到结论． 解：（1）证明：如图，连接． 四边形为平行四边形， ， ． ， ， ． （2）解：为的中点， ． ． 四边形为平行四边形， ． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图所示，为的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的半径相等（等腰三角形的判定）是解题的关键． 先根据圆的半径相等得出等腰三角形，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数． 解：∵、是的半径， ∴， ∴（等腰三角形两底角相等）， ∵在中，， ∴， 故选：． 2．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理（直径所对的圆周角为直角，圆周角的度数等于所对弧度数的一半），关键是利用直径的性质和圆周角与弧的度数关系求解． 解：如图，连接． ∵是半圆的直径， ∴． ∵， 在中，． ∴的度数为； 故选：C． 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，，是上的点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可． 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 5．（2026·河北唐山·二模）如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D 【分析】根据圆的性质，分析弦长随进度的变化规律，分和两种情况讨论即可判断甲、乙观点的正误 ． 解：设圆的半径为，线段为圆的一条弦， 当时，进度越大，圆心角越大，弦长越长， 此时若，则，甲的观点在此范围内成立； 当时，进度越大，弦所对的劣弧圆心角越小，弦长越短， 此时若，则，乙的观点在此范围内成立； 例如取，此时，但，甲、乙的观点均不成立； 则甲、乙的结果合在一起也不正确． 6．（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 7．（2026·云南临沧·二模）如图，在中，直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的内角和定理．试题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用和利用弧、弦、圆心角的关系求解．根据垂径定理得到，再根据圆周角定理，利用弧与圆心角的关系和三角形的内角和定理即可得到结论． 解：连接，如图， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 8．（24-25九年级上·北京·阶段检测）已知是的直径，弦，分别过M，N作的垂线，垂足为C，D．有以下结论：①；②；③若四边形是正方形，则；④若M为的中点，则D为中点．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，可得结论①②正确，证明，可得③错误；证明是等边三角形，可得④正确，从而可得答案． 解：如图所示，连接、， 、， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ，故②正确， ，， ，故①正确， 当四边形是正方形时，， ， ，故③错误， 若是的中点，连接，而   ， ， 是等边三角形， ， ，故④正确． 故选：C． 【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案． 解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 _________． 【答案】/度 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出的度数，根据等边对等角得出的度数，然后根据三角形外角的性质得出的度数，则结果可得． 解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，弧的度数，熟练掌握相关知识点是解本题的关键． 11．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，如果，那么与线段相等的线段有_____，与相等的弧有_____． 【答案】 ，，，，， ， 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，由是的直径得，从而得出，，是全等的等边三角形，再根据性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵是的直径，， ∴； 又∵， ∴，，是全等的等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：，，，，，；，． 13．（25-26九年级上·山西朔州·期末）如图，在中，，若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，根据圆周角写出圆心角是解题的关键． 首先根据圆周角定理得出的度数，进而求解的度数即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．（2025·山东烟台·一模）如图，以的半径为半径，自上的A点起，在圆上依次画弧截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为，连接FA，，则______． 【答案】75°/75度 【分析】连接OA，OF，OE，根据等边三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦关系，求得∠AFE=120°，再根据正方形的性质求得∠O1FE=45°，计算角的差即可解答； 解：如图，连接OA，OF，OE， ∵FE=OF=OE，∴△OFE是等边三角形，∴∠OFE=60°，∴弧FE=60°， 由圆心角、弧、弦关系可得弧FE=弧ED=弧DC=弧CB=弧BA=60°， ∴弧AF=360°-60°×5=60°，∴∠AOF=60°， ∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AFO=60°， ∴∠AFE=∠AFO+∠OFE=120°， ∵O1是正方形的中心，∴∠O1FE=45°， ∴∠AFO1=∠AFE-∠O1FE=75°， 故答案为：75°； 【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；等边三角形的判定和性质；正方形的性质；掌握相关性质是解题关键． 15．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的选项是_______． 【答案】①③④ 【分析】利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据圆周角定理，等弧和等弦的关系及等腰三角形的性质可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 解：∵点是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 如图，连接，， ∵点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②不正确；    ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，故③正确； ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴一定正确的是①③④， 故答案为：①③④． 【点拨】本题考查三角形内心，圆周角定理，等弧与等弦的关系，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与三角形外角的性质．掌握三角形的内心的定义是解题的关键． 16．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，是半圆的直径，是的中点，是的中点，于点E，于点．在下列结论中：①；②；③；④．正确的有__________．    【答案】①②③ 【分析】连接、、，证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，解直角三角形，逐一判断即可得到答案． 解：连接、、， 是的中点，是的中点，于点E，于点， 垂直平分，垂直平分， ，， ， ，， 都是等边三角形， ， ， ， ，故①正确， 于点E，于点， ， ，，， ，故②正确， ， ，故③正确， ，故④错误， 故答案为：①②③． 【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·江西·期末）如图，在中，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）可证明，则可证明； （2）先证明，再利用证明，则可证明． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 18．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：． 【答案】见分析 【分析】此题主要考查了在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”证明即可． 解：证明：∵， ∴ ∴ ， ∴， ∴， ∴． 19．（2026·广东广州·二模）某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了、、三点的位置，．已知点在劣弧上，且 （1）尺规作图：请在上确定点的位置，并连接、； （2）已知，求鲜花种植区域四边形的面积（请用含的式子表达） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意作，即可求解； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据四边形的面积，即可求解． 解：（1）略 （2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 由（1）可得， ∵ ∴， 在，中， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形的面积 20．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）小明在完成作业“如图1，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 【答案】证明见分析 【分析】尝试：当时，先根据弧的三等分性质得到等弧，进而推出等弦；再通过等腰三角形内角计算，证明，得出，同理证明，最终得到； 猜想：同理，对的情况，通过计算等腰三角形的内角，证明，得出，同理，结合等弧对等弦的性质完成证明． 解：尝试：证明：如图，连接、， 是的三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 猜想：证明：如图，连接、， 是的三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $