4.3 认识相似三角形 同步讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦相似三角形的认识，系统梳理相似三角形的定义、性质（对应角相等、对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比平方，对应线段比等于相似比）及相似变换作图方法，构建从定义到性质推导再到应用实践的学习支架。 资料通过典例解析、变式训练与过关验收分层设计，突出作图题对几何直观与空间观念的培养（如格点三角形相似作图），性质推导强化推理意识（如面积比公式推导），应用问题提升应用意识（如动点相似问题）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、弥补薄弱环节。

4.3 认识相似三角形 内 容 导 航 题型1 相似三角形的性质 题型2 作图-相似变换 考 点 演 练 题型1 相似三角形的性质 解｜题｜知｜识 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【典例1】如图，在△ABC中，∠A＝36°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△EBD．若点C的对应点D恰好落在AC上，且△ABC∽△BDC，则∠EBD＝（　　） A．70° B．72° C．66° D．75° 【变式1】如果两个相似三角形的周长比为1：3，那么它们的对应中线的比为（　　） A． B．1：3 C．1：9 D．1：81 【变式2】用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（　　） A．三角形的周长 B．三角形的内角大小 C．三角形的面积 D．三角形各边的长度 【变式3】已知△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则对应周长的比和对应面积的比分别为（　　） A．2：3，2：3 B．2：3，4：9 C．4：9，2：3 D．4：9，4：9 题型2 作图-相似变换 解｜题｜知｜识 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 【典例1】如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图． （1）在图1中的线段AC上找一个点D，使CDAC； （2）在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似． 【变式1】如图，△ABC的顶点均为网格中的格点． （1）选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不为1）． （2）在图2中画一个△EFG，使其与△ABC相似，且面积为2． 【变式2】如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，E为BC的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，在BD上作一点F，连接EF，使得△BEF∽△BCD． （2）如图2，在CD上作一点G，连接EG，使得△ECG∽△BCD． 【变式3】如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图． （1）在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC． （2）在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使CQ＝2AQ． 过 关 验 收 1．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，且相似比为3：5，则（　　） A． B． C． D． 2．已知△ABC的三边长分别是2，5，6，△DEF的三边长如以下四个选项所列，若要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边长分别是（　　） A．3，6，7 B．18，6，15 C．3，8，9 D．10，12，8 3．△ABC∽△DEF，若AB＝1，DE＝2，则△ABC与△DEF的周长比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2 4．如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE＝1：3，那么下列等式一定成立的是（　　） A．BC：DE＝1：3 B．△ABC的面积：△DEF的面积＝1：3 C．∠A的度数：∠D的度数＝1：3 D．△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3 5．如果两个相似三角形的对应边长之比为3：2，则它们的面积之比为（　　） A．3：2 B．2：3 C．9：4 D．4：9 6．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的周长比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A． B．2：3 C．4：9 D．3：2 7．若△ABC∽△DEF，且对应高线比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．16：81 8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，如果△OBC∽△CBD，那么BD：BC的比值为（　　） A． B． C．2 D． 9．如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是 　 　 ． 10．如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为65°和80°，那么另一个三角形中最小内角的度数为 　 　 °． 11．如果两个相似三角形的周长之比，那么它们的面积之比为　　 　． 12．两个相似三角形的面积比是9：25，其中一个三角形的周长为30cm，则另一个三角形的周长是　　　 　 cm． 13．两个相似三角形的最长边分别是10和6，并且它们的面积之和为68，那么较大三角形的面积是　　　 　 ． 14． 两个相似三角形对应中线之比是2：5，它们的面积差是63cm2，则较大三角形的面积是 　　　 　 cm2． 15．已知：两个相似三角形的面积的比为4：9，那么这两个相似三角形的对应角的角平分线的比为　　 ． 16．若△ABC∽△DEF，且相似比为，则△ABC和△DEF对应边上的中线比为　　 ． 17．在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，将线段AD绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，ED与边AB交于点F，且，如果△AFE与△DFB相似，那么的值为 　　　 　 ． 18．Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，P、Q分别为AC，AB上的两动点，P从点C开始以1cm/s的速度向点A运动，Q从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，当一点到达终点时，P、Q两点就同时停止运动．设运动时间为ts． （1）用t的代数式分别表示AQ和AP的长； （2）设△APQ的面积为S， ①求△APQ的面积S与t的关系式； ②当t＝2s时，△APQ的面积S是多少？ （3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1） （1）求直线AD的解析式； （2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标． 20．如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 　　　 ． 21．如图是由边长为1的小正方形组成的5×5的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图任务． （1）在图1中，画△ADE，使点D，E在格点上，且△ADE与△ABC相似；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段AC上找一点P，使AP：PC＝1：2．（保留作图痕迹） 22．如图，在7×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点A、B、C均在格点上，仅用无刻度的直尺作图． （1）在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； （2）在图②中的线段AC上找一个点E，使． 23．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，分别在边AB、AC上画点D、E，连接DE，使△ADE∽△ABC，且； （2）在图②中，分别在边BC、AB上画点F、G，连接FG，使△BFG∽△BCA，且． 24．如图，在6×6的正方形网格中，A，B，C均为格点，请利用正方形网格及无刻度的直尺画出符合条件的图形（保留必要的痕迹）． （1）在图1中，画出△ADE，使得△ADE∽△ABC，相似比是1：2． （2）在图2中，过点A作BC边上的高AD． 25．在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． （1）在图1网格中画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC，相似比为1：2，且各顶点都在格点上． （2）在图2的网格中作出与△ABC相似的最小格点△FGH． 26．如图是由边长为1的小正方形组成的4×4的网格，每个小正方形的顶点叫做格点△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． （1）在图1中，画△EAC，使点E在格点上，且△EAC与△ABC相似；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段AB上找一点D，使BD：DA＝1：2． 27．如图是由边长为1的小正方形组成的4×4的网格，已知格点△ABC，即三个顶点都在小正方形顶点处的三角形，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成下列各题（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）． （1）在图1中，画△EAC，使点E在格点上，且△EAC与△ABC相似；（只需画出一种即可） （2）在图2中，线段AB上找一点D，使BD：DA＝1：3． 28．如图是由边长为1的小正方形组成的4×4的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． （1）在图1中，画△EAC，使点E在格点上，且△EAC与△ABC相似，且相似比为2；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段AB上找一点P，使BP：PA＝2：1（保留作图痕迹）． 29．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的各顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）在图①中画线段EF，点E，F分别在AC，BC边上，且． （2）在图②中作格点△AMN与△ABC相似，使△AMN与△ABC的相似比． 30．如图，由边长为1的小正方形组成的6×6网格中，△ABC顶点在网格上，点D在BC边上，且BD＝2CD．请你仅用无刻度的直尺在边AB上找点E，使得△BDE与△ABC相似．（要求画出两种情形） 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 认识相似三角形 内 容 导 航 题型1 相似三角形的性质 题型2 作图-相似变换 考 点 演 练 题型1 相似三角形的性质 解｜题｜知｜识 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【典例1】如图，在△ABC中，∠A＝36°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△EBD．若点C的对应点D恰好落在AC上，且△ABC∽△BDC，则∠EBD＝（　　） A．70° B．72° C．66° D．75° 【答案】B 【解答】解：∵△ABC∽△BDC，′ ∴∠CBD＝∠CAB＝36°， 由旋转的性质得到：BD＝BC，∠EBD＝∠ABC， ∴∠C＝∠BDC（180°﹣36°）＝72°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°， ∴∠EBD＝72°． 故选：B． 【变式1】如果两个相似三角形的周长比为1：3，那么它们的对应中线的比为（　　） A． B．1：3 C．1：9 D．1：81 【答案】B 【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：3， ∴它们的相似比为1：3． ∴它们的对应中线的比为1：3， 故选：B． 【变式2】用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（　　） A．三角形的周长 B．三角形的内角大小 C．三角形的面积 D．三角形各边的长度 【答案】B 【解答】解：相似三角形的形状不变，内角大小不变， 但各边长度、周长和面积都会按比例放大或缩小，所以选项A、C、D错误，不符合题意； 一定不发生变化的是三角形的内角大小，所以选项B正确，符合题意； 故选：B． 【变式3】已知△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则对应周长的比和对应面积的比分别为（　　） A．2：3，2：3 B．2：3，4：9 C．4：9，2：3 D．4：9，4：9 【答案】B 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：3， ∴△ABC与△DEF对应周长的比为2：3，对应面积的比＝22：32＝4：9． 故选：B． 题型2 作图-相似变换 解｜题｜知｜识 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 【典例1】如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图． （1）在图1中的线段AC上找一个点D，使CDAC； （2）在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似． 【答案】见解析． 【解答】解：（1）如图1，点D即为所求； （2）如图2，△CEF即为所求． 【变式1】如图，△ABC的顶点均为网格中的格点． （1）选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不为1）． （2）在图2中画一个△EFG，使其与△ABC相似，且面积为2． 【答案】（1）作图见解答过程； （2）作图见解答过程． 【解答】解：（1）如图所示：△ADE即为所求； 设小正方形的边长为：1，由图可知：AB＝1，DE＝4， 由勾股定理得：， ， ， ， ∴，，， ∴， ∴△ADE∽△ABC． （2）∵S△ABC1×2＝1，S△EFG＝2，且△ABC∽△EFG， 则， ∴△ABC∽△EFG的相似比为1：， 则EFAB，EGAC，FGBC＝4， 如图所示，△EFG即为所求． 【变式2】如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，E为BC的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，在BD上作一点F，连接EF，使得△BEF∽△BCD． （2）如图2，在CD上作一点G，连接EG，使得△ECG∽△BCD． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】解：（1）使得△BEF∽△BCD的点F，如图1即为所求； （2）使得△ECG∽△BCD的点G，如图2即为所求． 【变式3】如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图． （1）在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC． （2）在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使CQ＝2AQ． 【答案】见解答． 【解答】解：（1）如图1所示，△ADE即为所求； （2）如图2所示，线段BP即为所求． 过 关 验 收 1．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，且相似比为3：5，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵△ADE∽△ABC，且相似比为3：5， ∴（）2， ∴． 故选：A． 2．已知△ABC的三边长分别是2，5，6，△DEF的三边长如以下四个选项所列，若要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边长分别是（　　） A．3，6，7 B．18，6，15 C．3，8，9 D．10，12，8 【答案】B 【解答】解：∵△ABC的三边长分别为2，5，6，且， ∴要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边长分别为6，15，18． 故选：B． 3．△ABC∽△DEF，若AB＝1，DE＝2，则△ABC与△DEF的周长比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2 【答案】A 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴， 即相似比为1：2； 故选：A． 4．如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE＝1：3，那么下列等式一定成立的是（　　） A．BC：DE＝1：3 B．△ABC的面积：△DEF的面积＝1：3 C．∠A的度数：∠D的度数＝1：3 D．△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3 【答案】D 【解答】解：A、BC与EF是对应边，所以，BC：DE＝1：3不一定成立，故本选项错误； B、△ABC的面积：△DEF的面积＝1：9，故本选项错误； C、∠A的度数：∠D的度数＝1：1，故本选项错误； D、△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3正确，故本选项正确． 故选：D． 5．如果两个相似三角形的对应边长之比为3：2，则它们的面积之比为（　　） A．3：2 B．2：3 C．9：4 D．4：9 【答案】C 【解答】解：∵两个相似三角形的对应边长之比为3：2， ∴相似比为3：2， ∴面积比为9：4． 故选：C． 6．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的周长比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A． B．2：3 C．4：9 D．3：2 【答案】C 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的周长比为2：3， ∴其相似比为2：3， ∴其面积比＝22：32＝4：9， 故选：C． 7．若△ABC∽△DEF，且对应高线比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．16：81 【答案】C 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且对应高线比为2：3， ∴△ABC与△DEF的面积比为4：9． 故选：C． 8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，如果△OBC∽△CBD，那么BD：BC的比值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OBBD， ∵△OBC∽△CBD， ∴， ∴BC2＝OB•BDBD2， ∴BD2＝2BC2， ∴BDBC， ∴BD：BC； 故选：A． 9．如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是 　 　 ． 【答案】1：4 【解答】解：∵两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4， ∴那么它们的周长之比是1：4． 故答案为：1：4． 10．如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为65°和80°，那么另一个三角形中最小内角的度数为 　 　 °． 【答案】35． 【解答】解：∵一个三角形的两个内角分别为65°、80°， ∴另一个内角的度数为：180°﹣65°﹣80°＝35°． ∵两个三角形相似， ∴另一个三角形中最小的内角为35°． 故答案为：35． 11．如果两个相似三角形的周长之比，那么它们的面积之比为　　 　． 【答案】 【解答】解：由题意可知两个相似三角形的相似比为， ∴它们的面积之比为． 故答案为：． 12．两个相似三角形的面积比是9：25，其中一个三角形的周长为30cm，则另一个三角形的周长是　　　 　 cm． 【答案】50或18． 【解答】解：设相似比为k，则面积比为， 解得（负值舍去），即周长比也为， 若30cm为较小三角形的周长， ，则另一个三角形的周长为50cm， 若30cm为较大三角形的周长， 则，即另一个三角形的周长为18cm， 综上所述，另一个三角形的周长是50cm或18cm， 故答案为：50或18． 13．两个相似三角形的最长边分别是10和6，并且它们的面积之和为68，那么较大三角形的面积是　　　 　 ． 【答案】50． 【解答】解：由题意可得：相似比为， ∴面积比为， ∴可设较大三角形面积为25k，较小三角形面积为9k， 则25k+9k＝34k＝68， 解得k＝2， ∴较大三角形面积为25×2＝50． 故答案为：50． 14． 两个相似三角形对应中线之比是2：5，它们的面积差是63cm2，则较大三角形的面积是 　　　 　 cm2． 【答案】75． 【解答】解：∵两个相似三角形对应中线之比是2：5， ∴面积比为4：25， 设较小三角形的面积为4kcm2，则较大三角形的面积为25kcm2， ∵它们的面积差是63cm2， ∴25k﹣4k＝63， 21k＝63， k＝3， ∴25k＝25×3＝75． ∴较大三角形的面积是75cm2． 故答案为：75． 15．已知：两个相似三角形的面积的比为4：9，那么这两个相似三角形的对应角的角平分线的比为　　 ． 【答案】2：3． 【解答】解：∵两个相似三角形的面积的比为4：9， ∴它们的相似比为2：3， ∴这两个相似三角形的对应角的角平分线的比为2：3． 故答案为：2：3． 16．若△ABC∽△DEF，且相似比为，则△ABC和△DEF对应边上的中线比为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为， ∴△ABC与△DEF对应边上中线的比是， 故答案为：． 17．在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，将线段AD绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，ED与边AB交于点F，且，如果△AFE与△DFB相似，那么的值为 　　　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意得：只能△AFE∽△DBF， 过点D作DG⊥AE于点G，交AB于点H， 设AD＝DE＝a，AB＝AC＝b，则EF，， ∵∠CAE＝∠DGE＝90°， ∴DG∥AC， ∵∠BAD＝∠CAD＝∠ADG， ∴AH＝DH， ∵∠ADG＝∠EDG， ∴， ∴，BF＝AB﹣AH﹣FH， ∵△AFE∽△DBF， ∴EF•DF＝AF•BF， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，P、Q分别为AC，AB上的两动点，P从点C开始以1cm/s的速度向点A运动，Q从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，当一点到达终点时，P、Q两点就同时停止运动．设运动时间为ts． （1）用t的代数式分别表示AQ和AP的长； （2）设△APQ的面积为S， ①求△APQ的面积S与t的关系式； ②当t＝2s时，△APQ的面积S是多少？ （3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）用t的代数式分别表示AQ＝2t，AP＝6﹣t；（2分） （2）设△APQ的面积为S， ①△APQ的面积S与t的关系式为：SAQ•AP2t×（6﹣t）＝6t﹣t2，即S＝6t﹣t2， ②当t＝2s时，△APQ的面积SAQ•AP[2×2×（6﹣2）]＝8（cm2）；（6分） （3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似， ①当时，∴t＝2.4（s）； ②当时，∴t（s）； 综上所述，当t为2.4秒或时， 以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1） （1）求直线AD的解析式； （2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设直线AD的解析式为y＝kx+b， 将A（，），D（0，1）代入得：， 解得：． 故直线AD的解析式为：yx+1； （2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0）， ∴OB＝2， ∵点D的坐标为（0，1）， ∴OD＝1， ∵y＝﹣x+3与x轴交于点C（3，0）， ∴OC＝3， ∴BC＝5． 过点E作EF垂直于BC于F， ∵△BOD与△BEC相似， ∴①， ∴， ∴BE＝2，CE， ∵BC•EF＝BE•CE， ∴EF＝2，CF1， ∴E（2，2）， ②， ∴， ∴CE， ∴E（3，）． 即：E（2，2），或（3，）． 20．如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 　　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，△EFC即为所求，面积1×1． 故答案为：． 21．如图是由边长为1的小正方形组成的5×5的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图任务． （1）在图1中，画△ADE，使点D，E在格点上，且△ADE与△ABC相似；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段AC上找一点P，使AP：PC＝1：2．（保留作图痕迹） 【答案】（1）与△ABC相似的△ADE，如图1即为所求； （2）使AP：PC＝1：2的点P，如图2即为所求． 【解答】解：（1）与△ABC相似的△ADE，如图1即为所求； 证明：由勾股定理得：， 又BC＝2，DE＝4， ∵， ∴， ∴△ABC∽△ADE； （2）使AP：PC＝1：2的点P，如图2即为所求； 证明：∵AQ∥BC， ∴∠PAQ＝∠PCB，∠PQA＝∠PBC， ∴△APQ∽△CPB， ∴AP：PC＝AQ：BC＝1：2． 22．如图，在7×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点A、B、C均在格点上，仅用无刻度的直尺作图． （1）在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； （2）在图②中的线段AC上找一个点E，使． 【答案】（1）如图①，△BCG即为所求； （2）在线段AC上使的点E，如图②即为所求． 【解答】解：（1）如图①，△BCG即为所求； （2）在线段AC上使的点E，如图②即为所求． 23．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，分别在边AB、AC上画点D、E，连接DE，使△ADE∽△ABC，且； （2）在图②中，分别在边BC、AB上画点F、G，连接FG，使△BFG∽△BCA，且． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． 【解答】解：（1）∵△ADE∽△ABC， ∴∠ADE＝∠ABC， ∴DE∥BC． 如图①，在AB上取点D，使AD：AB＝3：4，再过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则点D、E即为所求． （2）∵△BFG∽△BCA， ∴． 如图②，在BC上取格点F，使BF＝2，再取格点M，N，使BM：AN＝2：1，且BM∥AN，连接MN交AB于点G， 此时△AGN∽△BGM， ∴， ∴， 则点F、G即为所求． 24．如图，在6×6的正方形网格中，A，B，C均为格点，请利用正方形网格及无刻度的直尺画出符合条件的图形（保留必要的痕迹）． （1）在图1中，画出△ADE，使得△ADE∽△ABC，相似比是1：2． （2）在图2中，过点A作BC边上的高AD． 【答案】（1）△ADE即为所求作； （2）AD即为所求作． 【解答】解：（1）如图，△ADE即为所求作； （2）如图，AD即为所求作． 25．在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． （1）在图1网格中画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC，相似比为1：2，且各顶点都在格点上． （2）在图2的网格中作出与△ABC相似的最小格点△FGH． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． 【解答】解：（1）如图1，△ADE即为所求． （2）如图2，△FGH即为所求． 26．如图是由边长为1的小正方形组成的4×4的网格，每个小正方形的顶点叫做格点△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． （1）在图1中，画△EAC，使点E在格点上，且△EAC与△ABC相似；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段AB上找一点D，使BD：DA＝1：2． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】解：（1）点E即为所求作的点，如图1.1，1.2： ∵，∠BCA＝∠CAE＝90°， ∴△ABC∽△ECA； ∵，∠BCA＝∠ACE＝90°， ∴△ABC∽△EAC； （2）点D即为所求作的点，如图2： ∵AE∥BC， ∴△ADE∽△BDC， ∴， 即BD：DA＝1：2． 27．如图是由边长为1的小正方形组成的4×4的网格，已知格点△ABC，即三个顶点都在小正方形顶点处的三角形，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成下列各题（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）． （1）在图1中，画△EAC，使点E在格点上，且△EAC与△ABC相似；（只需画出一种即可） （2）在图2中，线段AB上找一点D，使BD：DA＝1：3． 【答案】（1）如图1所示，△EAC即为所求（答案不唯一）； （2）如图2所示，点D即为所求． 【解答】解：（1）如图1所示，△EAC即为所求（答案不唯一）； （2）如图2所示，点D即为所求． 28．如图是由边长为1的小正方形组成的4×4的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． （1）在图1中，画△EAC，使点E在格点上，且△EAC与△ABC相似，且相似比为2；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段AB上找一点P，使BP：PA＝2：1（保留作图痕迹）． 【答案】（1）与△ABC相似，且相似比为2的△EAC，如图1即为所求； （2）使BP：PA＝2：1的点P，如图2即为所求． 【解答】解：（1）与△ABC相似，且相似比为2的△EAC，如图1即为所求； ∵，∠BCA＝∠CAE＝90°， ∴△ECA∽△ABC，且相似比为2； （2）使BP：PA＝2：1的点P，如图2即为所求； 由图可知，四边形ABED为平行四边形， ∴， ∵AE∥BC， ∴△BCP∽△AFP， ∴， 即BP：PA＝2：1． 29．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的各顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）在图①中画线段EF，点E，F分别在AC，BC边上，且． （2）在图②中作格点△AMN与△ABC相似，使△AMN与△ABC的相似比． 【答案】（1） （2） 【解答】解：（1）线段EF如图所示： （2）△AMN如图所示： 30．如图，由边长为1的小正方形组成的6×6网格中，△ABC顶点在网格上，点D在BC边上，且BD＝2CD．请你仅用无刻度的直尺在边AB上找点E，使得△BDE与△ABC相似．（要求画出两种情形） 【答案】如图，△BDE即为所求． 【解答】解：如图，△BDE即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $