2.3 用频率估计概率 同步讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦“用频率估计概率”核心知识点，系统梳理频率稳定性定理（大量重复实验中频率趋稳可估计概率），衔接古典概型，拓展至结果非有限或可能性不等的情况，通过解题知识、典例（摸球试验数据）、变式（头盔质检、转盘）及过关验收构建完整学习支架。 资料以真实情境（摸球、头盔质检等）设计问题，培养学生用数学眼光观察数据规律，通过频率估算概率、推理球数等发展数学思维，用数据表格与实际应用强化数学语言。课中助教师情境化教学，课后分层练习助学生巩固，查漏补缺。

2.3 用频率估计概率 内 容 导 航 题型1 利用频率估计概率 考 点 演 练 题型1 利用频率估计概率 解｜题｜知｜识 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【典例1】在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 （1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为 　　 （精确到0.1）． （2）估算盒子里有白球 　　 个． （3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据表中的数据可知，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6； 故答案为：0.6； （2）估算盒子里约有白球40×0.6＝24（个）， 故答案为：24； （3）根据题意知，24+1＝0.5（40+x）， 解得x＝10， 答：可以推测出x最有可能是10． 【变式1】“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 490 984 1470 1966 2946 3932 合格品频率 0.980 0.984 0.980 a 0.982 0.983 （1）求出表中a＝　 　 ，估计这批头盔中任意抽取一顶头盔是合格品的概率是　 　 （精确到0.01）； （2）如果该厂生产的一批头盔共有50000顶，请估计这批头盔中合格的有多少顶？ （3）这批头盔共有红、白、蓝三种颜色，小明的妈妈把这三种颜色的头盔各买了一个．周末，小明和姐姐出门玩，随机各取了一个，请用列表或画树状图的方法求出刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率是多少？ 【答案】（1）0.983，0.98； （2）49000顶； （3）． 【解答】解：（1）由表格中的数据可知，a＝1966÷2000＝0.983， 由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在0.98附近波动，所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是0.98， 故答案为：0.983，0.98； （2）∵该厂生产的一批头盔共有50000顶， ∴0.98×50000＝49000， 答：估计这批头盔中合格品的有49000顶头盔； （3）画出树状图： 根据树状图可知，共有6种可能情况，刚好一人取到蓝色，一人取到红色有2种可能情况， ∴刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率． 【变式2】在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 2048 4040 10000 12000 24000 摸到白球的次数m 1061 2048 4979 6019 12012 摸到白球的频率 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　 ；（精确到0.1） （2）试估算口袋中白球有多少个？ （3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题可得，当n很大时，摸到白球的频率接近0.5； 故答案为：0.5； （2）由（1）摸到白球的概率为0.5， 所以可估计口袋中白种颜色的球的个数＝4×0.5＝2（个）； （3）列表得： 第二次 第一次 白1 白2 黑1 黑2 白1 （白1，白1） （白1，白2） （白1，黑1） （白1，黑2） 白2 （白2，白1） （白2，白2） （白2，黑1） （白2，黑2） 黑1 （黑1，白1） （黑1，白2） （黑1，黑1） （黑1，黑2） 黑2 （黑2，白1） （黑2，白2） （黑2，黑1） （黑2，黑2） 由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有8种可能． ∴P（颜色相同）． 【变式3】有一个圆形转盘，分黑色、白色两个区域． （1）某人转动转盘，对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验，得到数据如下表： 实验次数n（次） 10 100 2000 5000 10000 50000 100000 白色区域次数m（次） 3 34 680 1600 3405 16500 33000 落在白色区域频率 0.3 0.34 0.34 0.32 0.34 0.33 0.33 请你利用上述实验，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为　 　 （精确到0.01）； （2）若该圆形转盘白色扇形的圆心角为120°，黑色扇形的圆心角为240°，转动转盘两次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据表格数据可知： 估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为0.33． 故答案为：0.33； （2）∵白色扇形的圆心角为120°，黑色扇形的圆心角为240°， 设白色扇形区域为白，黑色扇形区域为黑1，黑2， 树状图为： 从树状图可知： 共有9种等可能的结果， 其中指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的有4种， ∵P（一白一黑）． 答：指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率为． 过 关 验 收 1．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【答案】B 【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90． 故选：B． 2．为了估计椭圆的面积，小实在面积为200cm2的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，则据此估计图中椭圆的面积为（　　） A．0.4cm2 B．0.6cm2 C．180cm2 D．120cm2 【答案】D 【解答】解：经过大量重复试验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计椭圆的面积为200×0.6＝120（cm2）． 故选：D． 3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（　　） A．5 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【解答】解：设袋子中红球有x个， 根据题意，得：0.25， 解得x＝5， ∴袋子中红球的个数最有可能是5个， 故选：A． 4．一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共100个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是0.2、0.5．则可估计袋中白球的个数是（　　） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【解答】解：已知红球的频率为0.2，黄球的频率为0.5，总频率为1， 因此白球的频率为：1﹣0.2﹣0.5＝0.3． 设袋中白球有x个， 根据频率公式：． 解得：x＝30． 因此，袋中白球的个数估计为30个， 故选：C． 5．一个盒子中装有a个白球和4个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%，估计a的值为（　　） A．40 B．30 C．16 D．50 【答案】C 【解答】解：由题意可得，， 解得，a＝16． 经检验，a＝16是分式方程的解且符合题意， 故选：C． 6．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他区别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（　　） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 【答案】C 【解答】解：由折线统计图知，该球出现的频率逐渐稳定于0.2，即该球出现的概率约为， 而从袋子中随机取出一个球，是黑球的概率为，红球的概率为，黄球的概率为，白球的概率为， 故选：C． 7．如图1，边长为10cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（　　） A．50cm2 B．35cm2 C．30cm2 D．25cm2 【答案】C 【解答】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.3，于是把0.3作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有， 解得：x＝30， 即不规则图案的面积为30cm2． 故选：C． 8．某植物科学研究院为研究一类新品种脐橙树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数n 50 200 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数m 47 185 369 690 1374 3234 6454 9220 12894 成活率 94.0% 92.5% 92.3% 92.0% 91.6% 92.4% 92.2% 92.2% 92.1% 估计这一类新品种脐橙树成活的概率为（　　） A．94% B．90% C．91% D．92% 【答案】D 【解答】解：由表格数据可知，随着移植总数的增加，成活率逐渐稳定在92%左右， 因此估计这一类新品种脐橙树成活的概率为92%． 故选：D． 9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到0.01）： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80 根据频率的稳定性，则这名运动员“射击9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（　　） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【解答】解：由表格中的数据可知，随着实验次数的增加，从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近， ∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8． 故选：C． 10．如图（1），地面上有一个不规则图案，为了求出图案的面积，我们采用以下方法：用一个长为a的正方形，将不规则图案围起来，然后在正方形中随机投掷小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或正方形区域外不计试验结果），现将大量有效试验结果绘制成如图（2）所示的折线图，由此估计不规则图案的面积约为（　　） A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 【答案】C 【解答】解：设不规则图案面积为x， 由已知得：正方形面积为a2， 由折线图可估计小球落在不规则图案的概率大约为0.45， 即：0.45， 解得xa2， ∴估计不规则图案的面积约为a2． 故选：C． 11．在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白球12个，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋子里红球的个数估计是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵摸到红球的频率稳定在0.2， ∴摸到红球的概率约为0.2， ∴摸到白球的概率约为1﹣0.2＝0.8， ∵白球有12个， ∴总球数约为12÷0.8＝15， ∴红球个数约为15﹣12＝3， 故选：B． 12．数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率．当他把一枚硬币抛掷24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（　　） A．11011 B．12012 C．13013 D．14014 【答案】B 【解答】解：∵抛掷硬币实验中，正面朝上的概率为， ∴抛掷硬币24000次时，正面朝上约为2400012000次， 只有B选项最接近， 故选：B． 13．如图，是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果，下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（　　） A．当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的次数是620 B．当投掷第1000次时，“钉尖向上”的概率是0.620 C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于0.618，故可以估计其概率是0.618 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620 【答案】C 【解答】解：当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的次数不一定是620，选项A不符合题意； 当投掷次数是1000时，此时“钉尖向上”的频率是0.620，但“钉尖向上”的概率不一定是0.620，选项B不合题意； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．选项C符合题意； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，但不一定是0.620，选项D不符合题意． 故选：C． 14．在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有3个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为30%，由此可以推算出数m约为（　　） A．16 B．13 C．10 D．7 【答案】C 【解答】解：由题意可得，100%＝30%， 解得：m＝10． 故估计m大约有10个． 故选：C． 15．一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，口袋中白球最有可能有（　　）个． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解答】解：设口袋中白球可能有x个， ∵摸到红球的频率稳定在20%附近， ∴口袋中摸到红色球的概率为20%， ∴20%， 解得：x＝8， 经检验x＝8是原方程的根， 故选：B． 16．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（　　） A．5个 B．10个 C．15个 D．25个 【答案】B 【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意得： 0.6， 解得：x＝10， 经检验：x＝10是分式方程的解， 答：袋中白球约有10个． 故选：B． 17．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下： 组别（cm） x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180 人数 5 38 42 15 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（　　） A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15 【答案】D 【解答】解：样本中身高不低于180cm的频率0.15， 所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于180cm的概率是0.15． 故选：D． 18．某口袋里装有红色、蓝色玻璃球共60个，它们除颜色外都相同，小明通过多次摸球试验发现摸到红球的频率稳定在15%左右，则可估计口袋中红色玻璃球的个数为（　　） A．5 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【解答】解：∵摸到红色球的频率稳定在15%左右， ∴口袋中红色球的频率为15%，故红球的个数为60×15%＝9个． 故选：B． 19．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表： 估计该麦种的发芽概率为　 　 ．（精确到0.01） 试验种子数n/粒 50 100 500 1000 2000 3000 发芽频数m 45 92 476 952 1902 2853 发芽频率 0.9 0.92 0.952 0.952 0.951 0.951 【答案】0.95． 【解答】解：∵随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定在0.951或0.952附近， ∴估计该麦种的发芽概率约为0.95． 故答案为：0.95． 20．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有2000个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球．将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，则盒子中的黑球约有　 　 个． 【答案】400． 【解答】解：由图象可知通过大量实验“摸出黑球”的概率稳定在0.2， 所以从布袋中“摸出黑球”的概率约为0.2； 则布袋中的黑球约有2000×0.2＝400（个）， 故答案为：400． 21．一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，则n的值为　 　 ． 【答案】16． 【解答】解：根据题意，可估计摸到红球的概率为20%， ∵袋中球的总个数约为4÷20%＝20（个）， ∴n＝20﹣4＝16． 故答案为：16． 22．“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为 　 ． 【答案】0.960． 【解答】解：∵头盔的合格频率稳定在0.960附近， ∴抽查一个头盔，合格的概率约为0.960． 故答案为：0.960． 23．如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为10cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积的为　　 cm2． 【答案】75． 【解答】解：可以估计黑色部分的总面积为10×10×0.75＝75（cm2）， 故答案为：75． 24．在一个不透明的纸箱中装12个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则纸箱中白球最可能为　　 个． 【答案】8 【解答】解：纸箱中白球个数约为12÷（1﹣0.4）﹣12＝20﹣12＝8（个）， 故答案为：8． 25．为了解某花卉种子的发芽情况，研究所的工作人员在相同条件下，对该花卉种子进行发芽试验，根据数据可知该花卉种子发芽的频率稳定在0.9，若在相同条件下种下该种花卉种子230颗，其中能发芽的种子约有　 　 颗． 【答案】207． 【解答】解：由题意可知，该花卉种子发芽的频率稳定在0.9，即发芽概率为0.9． 种下230颗种子，能发芽的种子数量约为230×0.9＝207（颗）． 故答案为：207． 26．在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子数m（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数n 953 1896 2856 3804 4750 发芽频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为　 　 ．（精确到0.01） 【答案】0.95． 【解答】解：从频数表可知，发芽频率分别为0.953，0.948，0.952，0.951，0.950，这些值稳定在0.95附近，根据频率的稳定性，大量重复试验时频率接近概率，故该稻种的发芽概率约为0.95．故答案为：0.95． 27．一个盒子中装有a个白球和6个红球，这些球除颜色外完全相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在60%，估计a的值为 　　 ． 【答案】9． 【解答】解：由题意可得，60%， 解得，a＝9． 经检验，a＝9是分式方程的解且符合题意， 故答案为：9． 28．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 1 4 45 92 188 476 952 1900 2850 发芽频率 1 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.952 0.95 0.95 估计该麦种的发芽概率约为　 　 ． 【答案】0.95． 【解答】解：∵种子粒数3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95， ∴估计种子发芽的概率为0.95． 故答案为：0.95． 29．在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有　　 个． 【答案】12． 【解答】解：设袋中红球有x个， 根据题意，得：0.8， 解得：x＝12， 经检验：x＝12是分式方程的解， 所以袋中红球有12个， 故答案为：12． 30．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为 　　 ． 【答案】12 【解答】解：由题意可得，100%＝20%， 解得a＝12． 经检验：a＝12是原分式方程的解， 所以a的值约为12， 故答案为：12． 31．在不透明袋子里装有颜色不同的8个球，这些球除颜色外完全相同．每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.25，估计袋中白球有 　　 个． 【答案】2 【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意得：0.25， 解得：x＝2， 故袋中白球有2个． 故答案为：2． 32．某市林业局考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了统计图．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）这种花卉成活的频率稳定在　　 附近，估计成活的概率为　　 （精确到0.1）； （2）该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉．估计还需要移植多少棵？ 【答案】（1）0.9，0.9； （2）①18000棵； ②80000棵． 【解答】解：（1）由图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9； 故答案为：0.9，0.9； （2）①20000×0.9＝18000（棵）， 答：估计这批花卉成活的棵数为18000棵； ②90000÷0.9﹣20000＝80000（棵）， 答：估计还需要移植80000棵． 33．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 484 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）求出表中a＝　 　 ，b＝　 ． （2）估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　 （精确到0.1），此口袋里白球有　　 只； （3）若从口袋里再拿出去a个白球，这时从口袋里任意摸出一球是白球的概率为，求a的值． 【答案】（1）0.58，116； （2）0.6，12； （3）8． 【解答】解：（1），b＝200×0.58＝116， 故答案为：0.58，116； （2）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， 此口袋里白球有20×0.6＝12只， 故答案为：0.6，12； （3）由题意可得， 解得a＝8， 经检验：a＝8为原分式方程的解， 即a的值为8． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 用频率估计概率 内 容 导 航 题型1 利用频率估计概率 考 点 演 练 题型1 利用频率估计概率 解｜题｜知｜识 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【典例1】在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 （1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为 　 　 （精确到0.1）． （2）估算盒子里有白球 　 　 个． （3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 【变式1】“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 490 984 1470 1966 2946 3932 合格品频率 0.980 0.984 0.980 a 0.982 0.983 （1）求出表中a＝　 　 ，估计这批头盔中任意抽取一顶头盔是合格品的概率是　 　 （精确到0.01）； （2）如果该厂生产的一批头盔共有50000顶，请估计这批头盔中合格的有多少顶？ （3）这批头盔共有红、白、蓝三种颜色，小明的妈妈把这三种颜色的头盔各买了一个．周末，小明和姐姐出门玩，随机各取了一个，请用列表或画树状图的方法求出刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率是多少？ 【变式2】在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 2048 4040 10000 12000 24000 摸到白球的次数m 1061 2048 4979 6019 12012 摸到白球的频率 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　 ；（精确到0.1） （2）试估算口袋中白球有多少个？ （3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率． 【变式3】有一个圆形转盘，分黑色、白色两个区域． （1）某人转动转盘，对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验，得到数据如下表： 实验次数n（次） 10 100 2000 5000 10000 50000 100000 白色区域次数m（次） 3 34 680 1600 3405 16500 33000 落在白色区域频率 0.3 0.34 0.34 0.32 0.34 0.33 0.33 请你利用上述实验，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为　 　 （精确到0.01）； （2）若该圆形转盘白色扇形的圆心角为120°，黑色扇形的圆心角为240°，转动转盘两次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率． 过 关 验 收 1．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 2．为了估计椭圆的面积，小实在面积为200cm2的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，则据此估计图中椭圆的面积为（　　） A．0.4cm2 B．0.6cm2 C．180cm2 D．120cm2 3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（　　） A．5 B．10 C．12 D．15 4．一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共100个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是0.2、0.5．则可估计袋中白球的个数是（　　） A．20 B．25 C．30 D．35 5．一个盒子中装有a个白球和4个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%，估计a的值为（　　） A．40 B．30 C．16 D．50 6．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他区别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（　　） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 7．如图1，边长为10cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（　　） A．50cm2 B．35cm2 C．30cm2 D．25cm2 8．某植物科学研究院为研究一类新品种脐橙树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数n 50 200 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数m 47 185 369 690 1374 3234 6454 9220 12894 成活率 94.0% 92.5% 92.3% 92.0% 91.6% 92.4% 92.2% 92.2% 92.1% 估计这一类新品种脐橙树成活的概率为（　　） A．94% B．90% C．91% D．92% 9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到0.01）： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80 根据频率的稳定性，则这名运动员“射击9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（　　） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 10．如图（1），地面上有一个不规则图案，为了求出图案的面积，我们采用以下方法：用一个长为a的正方形，将不规则图案围起来，然后在正方形中随机投掷小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或正方形区域外不计试验结果），现将大量有效试验结果绘制成如图（2）所示的折线图，由此估计不规则图案的面积约为（　　） A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 11．在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白球12个，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋子里红球的个数估计是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 12．数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率．当他把一枚硬币抛掷24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（　　） A．11011 B．12012 C．13013 D．14014 13．如图，是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果，下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（　　） A．当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的次数是620 B．当投掷第1000次时，“钉尖向上”的概率是0.620 C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于0.618，故可以估计其概率是0.618 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620 14．在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有3个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为30%，由此可以推算出数m约为（　　） A．16 B．13 C．10 D．7 15．一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，口袋中白球最有可能有（　　）个． A．6 B．8 C．10 D．12 16．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（　　） A．5个 B．10个 C．15个 D．25个 17．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下： 组别（cm） x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180 人数 5 38 42 15 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（　　） A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15 18．某口袋里装有红色、蓝色玻璃球共60个，它们除颜色外都相同，小明通过多次摸球试验发现摸到红球的频率稳定在15%左右，则可估计口袋中红色玻璃球的个数为（　　） A．5 B．9 C．10 D．12 19．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表： 估计该麦种的发芽概率为　 　 ．（精确到0.01） 试验种子数n/粒 50 100 500 1000 2000 3000 发芽频数m 45 92 476 952 1902 2853 发芽频率 0.9 0.92 0.952 0.952 0.951 0.951 20．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有2000个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球．将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，则盒子中的黑球约有　 　 个． 21．一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，则n的值为　 　 ． 22．“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为 　 　 ． 23．如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为10cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积的为　 　 cm2． 24．在一个不透明的纸箱中装12个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则纸箱中白球最可能为　 　 个． 25．为了解某花卉种子的发芽情况，研究所的工作人员在相同条件下，对该花卉种子进行发芽试验，根据数据可知该花卉种子发芽的频率稳定在0.9，若在相同条件下种下该种花卉种子230颗，其中能发芽的种子约有　 　 颗． 26．在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子数m（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数n 953 1896 2856 3804 4750 发芽频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为　 　 ．（精确到0.01） 27．一个盒子中装有a个白球和6个红球，这些球除颜色外完全相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在60%，估计a的值为 　 　 ． 28．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 1 4 45 92 188 476 952 1900 2850 发芽频率 1 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.952 0.95 0.95 估计该麦种的发芽概率约为　 　 ． 29．在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有　 　 个． 30．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为 　 　 ． 31．在不透明袋子里装有颜色不同的8个球，这些球除颜色外完全相同．每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.25，估计袋中白球有 　 　 个． 32．某市林业局考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了统计图．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）这种花卉成活的频率稳定在　 　 附近，估计成活的概率为　 　 （精确到0.1）； （2）该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉．估计还需要移植多少棵？ 33．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 484 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）求出表中a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　 （精确到0.1），此口袋里白球有　 　 只； （3）若从口袋里再拿出去a个白球，这时从口袋里任意摸出一球是白球的概率为，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $