1.5.2 利用二次函数解决距离、利润的最值问题 教学设计 2026——2027学年浙教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦利用二次函数解决距离、利润的最值问题，通过回顾二次函数最值计算和面积问题，结合商场衬衫降价的利润问题导入新课，搭建从旧知到新知的学习支架。 以实际问题为载体，两船距离问题用勾股定理抽象函数关系，饮料销售利润问题通过数量关系推理列表达式，培养数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识），分层练习提升学生应用能力，为教师提供结构化教学流程，助力高效课堂。

第2课时　利用二次函数解决距离、利润的最值问题 课题 第2课时　利用二次函数解决距离、利润的最值问题 授课人 教 学 目 标 1.继续经历利用二次函数解决实际生活中的最值问题的过程. 2.会综合运用二次函数和其他数学知识解决有关距离、利润等函数最值问题. 3.发展应用数学解决问题的能力,体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值. 教学 重点 　　利用二次函数的知识对实际问题进行数学分析. 教学 难点 　　通过问题中复杂的数量变化关系列出函数表达式. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.请求出下列二次函数的最大值或最小值: (1)y=2x2-4x-5;(2)y=-x2+3x. 2.用一根长为20 m的绳子围成一个矩形,求围成的矩形的最大面积. 师生活动:学生自主进行解答,教师做好指导和点评. 提示:对于第1题可指导学生运用两种不同的方法进行解答;对于第2题应先确定矩形的相邻两边长,再利用矩形面积公式列函数表达式,最后求面积的最值. 　　通过回顾二次函数的最值问题,为讲解新课提供铺垫. 复习运用二次函数解答面积问题,采用类比的方法让教学效果较为明显. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 某商场销售一批品牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.若商场销售该品牌衬衫平均每天盈利1200元,则每件衬衫应降价为多少元? 解:设每件衬衫降价x元. 根据题意,得 (40-x)(20+2x)=1200,解得x1=10,x2=20. 因为要尽快减少库存,所以x=20. 答:每件衬衫应降价20元. 追问:当降价多少元时,利润最大?怎么计算呢?这就是本节课要讲的内容,如何利用二次函数解决实际生活问题. 　　复习已经学过的知识,引入函数模型,为本节课所学的实际生活问题提供知识储备,培养学生解决问题的能力. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 距离问题 图1-5-17 如图1-5-17,B船位于A船正东26 km处.现在A,B两船同时出发,A船以12 km/h的速度朝正北方向行驶,B船以5 km/h的速度朝正西方向行驶.何时两船相距最近?最近距离是多少? 若设行驶时间为t. 追问1:A船走的路程用含t的代数式如何表示? 追问2:B船走的路程用含t的代数式如何表示? 追问3:根据题意,△A'AB'是什么三角形?如何求A'B'的长度? 师生活动:教师引导,学生带着问题思考并解答. 图1-5-18 解:设经过t(h)后,A,B两船分别到达A',B'处,则 A'B'====(t>0). 当13t-10=0,即t=时,(13t-10)2+576有最小值576, 所以当t= h时,A'B'==24(km). 答:经过 h,两船相距最近距离,最近距离为24 km. 　　解决二次函数求有关“距离”问题时,需要充分运用勾股定理、函数思想、数形结合思想. 活动 二: 探究 与 应用 利用二次函数是解决有关几何动点问题常用的方法.解题关键是利用勾股定理、面积公式及几何知识建立函数表达式,求函数的最大(小)值. 【探究2】 利润问题 某超市销售一种饮料,每瓶进价为9元.经市场调查表明,当售价在10元到14元之间(含10元,14元)浮动时,售价每增加0.5元,日均销售量减少40瓶;当售价为12元时,日均销售量为400瓶.问:销售价格定为多少元时,所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大?最大日均毛利润为多少元? 若设这种饮料的售价为每瓶x元,日均毛利润为y元. 师生活动: 学生先独立思考,教师给予引导. 师生共同分析以下问题: ①每瓶的利润为多少? ②销售量与每瓶的售价之间有什么关系? ③利润y与售价x之间的函数表达式是什么? ④变量x的取值范围是多少? ⑤如何求解最值? 师生共同列出函数表达式,教师利用多媒体展示解答过程,指导学生进行对比: 解:设售价为每瓶x元时,日均毛利润为y元. 由题意,得y=(x-9)(1360-80x)=-80x2+2080x-12240(10≤x≤14). -=-=13,在10≤x≤14的范围内. 所以当x=13时,y最大值=-80×132+2080×13-12240=1280(元). 答:售价定为每瓶13元时,所得日均毛利润最大,最大日均毛利润为1280元. 教师指导、点拨,重点强调: ①怎样用函数观点来认识问题; ②怎样建立函数模型; ③怎样找到两个变量之间的关系; ④从利润问题中体会函数模型对解决实际问题的价值. 师生总结: 教师指导学生总结解答问题的步骤和方法,学生代表进行说明,全班互相交流,师生共同确定解题思路:①确定自变量和函数;②利用“总利润=单个利润×数量”列函数表达式;③确定自变量的取值范围;④利用顶点坐标公式求出问题中的最大利润. 　　通过解答此题,让学生明确利润问题可以利用“总利润=单个利润×数量”列函数表达式.同时注意日常生活中的最值问题,需要满足实际意义. 【应用举例】 例1　某商店购进一批进价为20元/件的日用品,如果以30元/件的价格销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高售价会导致销售量的减少,即售价每提高1元/件,销售量相应减少20件.当每件日用品的售价定为多少时,才能在半个月内获得最大利润?最大利润是多少? 师生活动:学生自主进行解答,教师巡视、指导、点评. 解:设每件日用品的售价提高x元,半个月内获得的利润为y元. 根据题意,得y=(30+x-20)(400-20x)=-20x2+200x+4000(0≤x≤20).-=-=5,在0≤x≤20范围内.所以当x=5时,y最大值=-20×52+200×5+4000=4500. 30+x=35. 答:当每件日用品的售价定为35元/件时,才能在半个月内获得最大利润,最大利润为4500元. 师生总结:(1)确定自变量和函数;(2)表示出单个利润和销售数量;(3)利用利润公式列出函数表达式;(4)运用顶点坐标公式求出问题中的最大利润. 　　应用举例是对课堂学习的针对性练习. 活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例2　某水果经销商销售进价为40元/箱的苹果,物价部门规定每箱苹果的售价不得高于55元.经市场调查发现,若每箱苹果以45元的价格销售,则平均每天销售105箱;若每箱苹果以50元的价格销售,则平均每天销售90箱.若每天的销售量y(箱)与售价x(元/箱)之间满足一次函数关系. (1)求每天的销售量y(箱)与售价x(元/箱)之间的函数表达式; (2)求该经销商平均每天的销售利润w(元)与售价x(元/箱)之间的函数表达式; (3)当每箱苹果的售价为多少时,每天可获得最大利润?最大利润是多少? 师生活动:学生小组内讨论、交流,教师参与小组合作,并引导学生理清解题思路. 教师做好总结和展示: 解:(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0). 当x=45时,y=105;当x=50时,y=90, 所以解得所以y=-3x+240. (2)由题意,得w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600. (3)在w=-3x2+360x-9600中,-=-=60,在40≤x≤55的范围内,w随x的增大而增大,所以当x=55时,w的值最大,为1125. 故当每箱苹果的售价为55元时,每天可获得最大利润,最大利润是1125元. 　　拓展提升是对基础知识的提高和应用,培养学生的实际应用能力和提升思维能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.童装专卖店销售一种品牌的童装,已知这种童装每天的销售利润y(元)与售价x(元/件)满足y=-x2+50x-500,要想每天获得最大利润,售价应定为(　B　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.20元/件 B.25元/件 C.30元/件 D.40元/件 2.服装店将每件进价为100元的服装按每件x(x≥100)元的价格出售,每天可销售(200-x)件,若想每天获得最大利润,则x应定为 (　A　) A.150 B.160 C.170 D.180 3.某产品进价为90元/个,当售价为100元/个时,每个月能售出500个.如果这种商品的售价每个每上涨1元,每月的销售量就减少10个,那么为使每月获得最大利润,其售价应定为 (　B　) A.130元/个 B.120元/个 C.110元/个 D.100元/个 4.上午7:00,小王在A地正北方向的60 km处以30 km/h的速度骑自行车驶向A地.同时,小马在A地正东方向的30 km处以同样的速度往正西方向骑行.假设两人骑行的速度和方向都保持不变,问: (1)两人何时距离最近?最近距离是多少? (2)两人距离最近时,小马在什么位置? 解:(1)如图1-5-19,设经过t h,小王在点C处,小马在点B处,两人之间的距离为y km. 由题意,得AC=(60-30t)km,AB=|30-30t|km. 在Rt△ABC中,BC2=AC2+AB2=(60-30t)2+(30-30t)2=1800t-2+450(t≥0). 活动 三: 课堂 总结 反思 图1-5-19 因为a=1800>0, 所以当t=时,BC之间的距离最小,此时BC=15 km,即当8:30时,两人距离最近,最近距离是15 km. (2)当t=时,小马骑行的距离为30×=45(km). 因为45>30, 所以此时小马已过A地,在A地正西方向15 km处. 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　针对本课时的主要问题,从多个角度、分层次进行检测,达到学有所成、了解课堂学习效果的目的. 【课堂小结】 1.课堂总结: (1)你在本节课中有哪些收获?哪些进步? (2)学习本节课后,还存在哪些困惑? 2.布置作业: 教材第39页作业题T1-T5. 　　课堂小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力. 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在创设情境和探究新知环节中,通过解决实际生活中的距离问题和利润问题,得到解决此类问题的一般方法:构建函数模型.在课堂训练环节中,教师给予学生充分的自由讨论时间,提高学生解答问题的积极性. ②[讲授效果反思]  　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　 　　　　   　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　 　　　　 ③[师生互动反思] 从课堂发言和练习来看,借助实际问题和开放自由的讨论给予课堂活力,使学生能够充分理解利润问题的函数模型. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　 　 错题题号　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $