3.3 垂径定理 同步讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“垂径定理”核心知识点，系统梳理垂直于弦的直径平分弦及弧的定理内容，延伸出平分弦（非直径）的直径垂直弦等三大推论，构建“定理-推论-应用”的完整知识链，通过解题知识、典例解析与变式训练形成学习支架。 资料以分层题型设计为特色，基础题型巩固定理理解，应用题型结合钢珠测孔、弓形桥洞等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。强调垂径定理与勾股定理结合的几何代数解，发展推理意识与模型观念，课中辅助教师高效授课，课后通过丰富过关验收题帮助学生查漏补缺。

3.3 垂径定理 内 容 导 航 题型1 垂径定理 题型2 垂径定理的应用 考 点 演 练 题型1 垂径定理 解｜题｜知｜识 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【典例1】如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 【变式2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，PA＝8，PB＝2，则CD的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3】如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 题型2 垂径定理的应用 解｜题｜知｜识 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 【典例1】工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 　　 mm． 【变式1】一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦AB是水底，弦CD表示水面，EF过圆心O且EF⊥AB，EF＝AB＝24米，CD∥AB． （1）求桥洞所在圆的半径； （2）当水深GF为19米时，求此时水面CD的宽． 【变式2】如图1是中式圆弧形门洞，门洞由圆弧和矩形两部分组成，图2是其示意图，已知矩形ABCD的边AB＝80cm，BC＝160cm．某学习小组用一根长为220cm的笔直竹竿PQ测门洞大小，调整竹竿位置使点Q在边BC上，点P在圆弧上，且PQ⊥BC．测得BQ＝20cm．记圆心为点O． （1）求圆心O到竹竿的距离OE的长． （2）求门洞⊙O的半径． 【变式3】如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m． （1）求圆弧形拱桥的半径； （2）当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 过 关 验 收 1．如图，已知点A，C，D在⊙O上，点B在⊙O内，∠B和∠C均为直角，AB＝2，BC＝6，CD＝4，则⊙O的半径为（　　） A．5 B． C． D． 2．如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　） A．16cm B．8cm C．6cm D．4cm 3．如图，在⊙O中，半径长为10，圆心O到弦AB的距离OE＝6，则弦AB的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若BE＝10，CD＝8，则⊙O的半径为（　　） A．4.2 B．5 C．5.8 D．6 5．已知在⊙O中，半径r＝13，弦AB∥CD，且AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离为（　　） A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 6．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（　　） A．6 B．9 C． D．25﹣3 7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是（　　） A． B．2 C．6 D．8 8．游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤OB以O为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动1次的运动轨迹可以看作，连接AC，交OB于点D，已知OB⊥AC，且点B为的中点，AC＝16m，BD＝4m，则大摆锤的长度为（　　） A．8m B．12m C．10m D．9m 9．如图，⊙O的直径CD＝14，弦AB⊥CD于点E，若OE＝4，则AB的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．2 10．下列命题中，真命题有（　　）个． ①三点确定一个圆； ②相等的弦所对的弧相等； ③度数相等的弧是等弧； ④平分弦的直径垂直这条弦． A．0 B．1 C．2 D．3 11．如图，在平面直角坐标系中，以点G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则点E在⊙G上运动过程中，线段FG的长的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 12．如图，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝12cm，OC⊥AB于点C，则OC的长度是（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 13．在半径为的⊙O中，一条弦AB把另一条弦CD分为1和5，两条弦相交成75°，则AB的长为（　　） A． B． C．或 D．或 14．如图，直角坐标系中，一条圆弧经过点A（0，4），B（4，4），C（6，2），则该圆弧所在圆的圆心为（　　） A．（2，0） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，1） 15．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM最大值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 16．如图，在圆O中，直径AB＝10，弦CD交AB于点E，且CE＝DE，若BE＝2，则CD＝ 　　 ． 17．已知⊙O的半径为10cm，弦AB∥弦CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离为　 　 cm． 18．如图，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，则OD＝　　 ． 19．如图，点A、B、D、C都在圆上，AD是⊙O的直径，OB⊥AC交AC于点E． （1）求证：AB＝BC； （2）若AE＝4，CD＝6，求BE． 20．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C． （1）求证：D是AC的中点； （2）若AB＝6，，求⊙O的半径． 21．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD． （2）若OF＝2EF，CD＝8，求⊙O直径的长． 22．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度CD＝7cm，则截面圆中弦AB的长为（　　） A．4cm B． C． D． 23．一个圆柱形管件，其横截面如图，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽AB为8cm，水的最大深度CD为2cm，则此管件的直径为（　　） A．5cm B．8cm C． D．10cm 24．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长4m，轮子的吃水深度CD为1m，则该桨轮船的轮子直径为（　　） A． B．4m C．5m D．6m 25．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 26．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（　　） A．4cm B． C．6cm D．8cm 27．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 28．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于点E，ED＝1寸，AB＝10寸，求半径OD的长（　　） A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 29．竹子生长迅速，竹制品也因美观、耐用等特点受到人们的青睐．粗壮的圆柱形竹筒可以改造成生活用具，如图1是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面示意图．已知该截面圆的半径为10cm，开口AB宽为16cm，这个水容器所能装水的最大深度是（　　） A．6cm B．8cm C．16cm D．18cm 30．某圆形干果盘示意图如图所示，四条隔板AB，CD，EF，GH长度均为24cm，横纵隔板互相垂直，交于隔板的三等分点，则该干果盘的直径为（　　） A．26cm B． C． D． 31．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的小上方，⊙O被水面截得的弦AB长为8米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，则⊙O的半径长为（　　） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 32．如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，O为圆形框架的圆心，弦AB和所围成的区域为种植区．已知AB＝30，⊙O的半径为17，则种植区的最大深度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 33．如图，是一个底部呈球形的蒸馏瓶，球的半径为6cm，瓶内液体的最大深度CD＝3cm，则截面圆中弦AB的长为（　　） A． B． C． D．8cm 34．月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径AB为1.8米，水平木条BD和铅锤木条CD长都为0.3米，点C恰好落在⊙O上，则此月亮门的半径为（　　） A．1.8米 B．1.6米 C．1.5米 D．1.4米 35．杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若D是弦AB的中点，CD经过圆心O交优弧ACB于点C，且AB＝8m，CD＝8m，则⊙O的半径为（　　） A．5m B．6.5m C．7.5m D．8m 36．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则⊙O的半径OA为（　　） A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm 37．如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦AB长为8m，轮子的吃水深度CD为2m，半径OC⊥AB于点D，则该桨轮船的轮子直径为　　 m． 38．在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为10cm，如果再注入一些水后，水面上升7cm，此时水面宽度变为24cm．则该水槽截面半径为 　 ． 39．如图所示为圆形拱门的示意图，其最下端的线段AB位于地面之上，点D为线段AB的中点，点C为拱门的最高点，且线段CD经过拱门所在圆的圆心．若线段AB的长度为2m，线段CD的长度为5m，则拱门所在圆的半径长度为　 ． 40．如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为 　　 cm． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 垂径定理 内 容 导 航 题型1 垂径定理 题型2 垂径定理的应用 考 点 演 练 题型1 垂径定理 解｜题｜知｜识 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【典例1】如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】A 【解答】解：连接OD，过点O作OH⊥DE，垂足为H， ∴， 在Rt△DHO中，OH3， ∴直尺的宽度为3cm． 故选：A． 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 【答案】D 【解答】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，选项A中未强调“直径”，故A错误； B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，选项B未排除弦是直径的情况，故B错误； C．垂直于直径的弦被这条直径平分，选项C未说明是“弦”，故C错误； D．弦的垂直平分线经过圆心， 故D正确． 故选：D． 【变式2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，PA＝8，PB＝2，则CD的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解答】解：如图，连接OC， ∵PA＝8，PB＝2， ∴AB＝10， ∴， ∴OP＝8﹣5＝3， ∴， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CD＝2CP＝2×4＝8 故选：B． 【变式3】如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】C 【解答】解：连接OA，则OA＝10cm， ∵OC⊥AB，OC过O，AB＝16cm， ∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝8cm， 在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD6（cm）， ∵OC＝10cm， ∴CD＝OC﹣OD＝4cm， 故选：C． 题型2 垂径定理的应用 解｜题｜知｜识 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 【典例1】工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 　　 mm． 【答案】8 【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD， ∵钢珠的直径是10mm， ∴钢珠的半径是5mm， ∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ∴OD＝3mm， 在Rt△AOD中， ∵AD4mm， ∴AB＝2AD＝2×4＝8mm． 故答案为：8． 【变式1】一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦AB是水底，弦CD表示水面，EF过圆心O且EF⊥AB，EF＝AB＝24米，CD∥AB． （1）求桥洞所在圆的半径； （2）当水深GF为19米时，求此时水面CD的宽． 【答案】（1）桥洞所在圆的半径为15米． （2）此时水面CD的宽为10米． 【解答】解：（1）连接OB，则OB＝OE， ∵EF过圆心O且EF⊥AB，EF＝AB＝24米， ∴∠OFB＝90°，BF＝AFAB＝12米，OF＝EF﹣OE＝（24﹣OB）米， ∵BF2+OF2＝OB2， ∴122+（24﹣OB）2＝OB2， 解得OB＝15， 答：桥洞所在圆的半径为15米． （2）连接OC，则OC＝OB＝15米， ∵CD∥AB， ∴∠OGC＝∠OFB＝90°， ∴OE⊥CD， ∴CG＝DG， ∵EF＝24米，OB＝OE＝15米， ∴OF＝EF﹣OE＝24﹣15＝9（米）， ∵GF＝19米， ∴OG＝GF﹣OF＝19﹣9＝10（米）， ∴CG5（米）， ∴CD＝2CG＝10米， 答：此时水面CD的宽为10米． 【变式2】如图1是中式圆弧形门洞，门洞由圆弧和矩形两部分组成，图2是其示意图，已知矩形ABCD的边AB＝80cm，BC＝160cm．某学习小组用一根长为220cm的笔直竹竿PQ测门洞大小，调整竹竿位置使点Q在边BC上，点P在圆弧上，且PQ⊥BC．测得BQ＝20cm．记圆心为点O． （1）求圆心O到竹竿的距离OE的长． （2）求门洞⊙O的半径． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，作OG⊥AD，垂足为G， ∵ABCD是矩形，且BC＝160cm， ∴AG80cm， 根据题意可知AH＝BQ＝20cm， ∴OE＝GH＝AG﹣AH＝80﹣20＝60（cm）， ∴圆心O到竹竿的距离OE的长为60cm； （2）∵PQ＝220cm，HQ＝80cm， ∴PH＝PQ﹣HQ＝220﹣80＝140（cm）， 在Rt△PEO中，设⊙O的半径为Rcm， 由勾股定理可得PE（cm）， ∴OG＝EH＝PH﹣PE＝（140）cm， 在Rt△OGD中，R2＝（140）2+802， 解得R＝100， 故门洞⊙O的半径为100cm． 【变式3】如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m． （1）求圆弧形拱桥的半径； （2）当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【答案】（1）圆弧半径r＝34m； （2）不需要采取紧急措施． 【解答】解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连结OA，OA，如图所示， ， 设OM＝x，则半径r＝OP＝x+PM， 已知PM＝18，AB＝60， 则半径r＝x+18，AM＝30， 在Rt△AMO中，由勾股定理得：OM2+AM2＝OA2＝r2， 即x2+302＝（x+18）2， 解得x＝16， 则半径r＝16+18＝34； （2）由（1）得圆弧半径r＝34m， 当PN＝4m时，ON＝r﹣PN＝34﹣4＝30m， 在Rt△A'NO中，由勾股定理得：A'N2+ON2+OA'2＝r2， 即A'N2+302＝342， 解得：A'N＝16， 则A'B'＝2A'N＝32， ∵A'B'＝32m＞30m， ∴不需要采取紧急措施． 过 关 验 收 1．如图，已知点A，C，D在⊙O上，点B在⊙O内，∠B和∠C均为直角，AB＝2，BC＝6，CD＝4，则⊙O的半径为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：过点O作OE⊥CD于点E，延长AB，EO交于点F， ∵∠B和∠C均为直角， ∴四边形BCEF是矩形， ∴∠F＝90°，BC＝EF，BF＝CE， ∵AB＝2，BC＝6，CD＝4， ∴EF＝6，，AF＝AB+BF＝4， 设OF＝x则OE＝6﹣x， 连接OA，OC， ∴OA2＝AF2+OF2，OC2＝CE2+OE2， ∵OA＝OC， ∴AF2+OF2＝CE2+OE2， ∴42+x2＝22+（6﹣x）2， 16+x2＝4+36﹣12x+x2， 12x＝24， 解得x＝2， ∴， 故选：C． 2．如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　） A．16cm B．8cm C．6cm D．4cm 【答案】B 【解答】解：连接OA， ∵⊙O的直径CD＝10cm， ∴OA＝OC＝5cm， 又∵OM：OC＝3：5， ∴OM＝3cm， ∵AB⊥CD， ∴AM＝BM， ∴， ∴AB＝2AM＝2×4＝8（cm）． 故选：B． 3．如图，在⊙O中，半径长为10，圆心O到弦AB的距离OE＝6，则弦AB的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【解答】解：∵在⊙O中，圆心O到弦AB的距离OE＝6， ∴OE⊥AB于点E， ∴∠AEO＝90°，AE＝BE， ∵半径长为10， ∴OA＝10， ∴AE8， ∴AB＝2AE＝16， 故选：C． 4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若BE＝10，CD＝8，则⊙O的半径为（　　） A．4.2 B．5 C．5.8 D．6 【答案】C 【解答】解：如图，连接OC， ∵AB是⊙O的直径，BE＝10， ∴设⊙O的半径为R，则OE＝10﹣R， ∵CD⊥AB，CD＝8， ∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4， 由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2， R2＝42+（10﹣R）2， 解得R＝5.8． 故选：C． 5．已知在⊙O中，半径r＝13，弦AB∥CD，且AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离为（　　） A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【答案】A 【解答】解：当AB，CD在点O的两侧，作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OA，OC， AB∥CD，AB＝24，CD＝10， 则ON⊥CD， ∴AMAB24＝12，CNCD10＝5， ∴，， ∴MN＝OM+ON＝5+12＝17， ∴此时弦AB与CD的距离为17； 当AB，CD在点O的同侧，作OQ⊥CD于Q，交AB于P，连接OA，OC， 同理，APAB24＝12，CQ10＝5， ∴，， ∴PQ＝OQ﹣OP＝12﹣5＝7， ∴此时弦AB与CD的距离为7， ∴弦AB与CD的距离为17或7． 故选：A． 6．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（　　） A．6 B．9 C． D．25﹣3 【答案】C 【解答】解：如图：过O作OG⊥AB于G，根据垂径定理有：AG＝BG， 设AC＝2a，则CB＝4a，CG＝a，GB＝3a， 在Rt△OCG中，OC2＝OG2+CG2＝OG2+a2① 在Rt△OBG中，OB2＝OG2+GB2＝OG2+9a2② 又OC＝3，OB＝5，代入①②中，解方程得：a2＝2，OG2＝7． 所以圆心到弦的距离是． 故选：C． 7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是（　　） A． B．2 C．6 D．8 【答案】C 【解答】解：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CD＝2CE，∠OEC＝90°， ∵AB＝10，AE＝1， ∴OC＝5，OE＝5﹣1＝4， 在Rt△COE中，CE3， ∴CD＝2CE＝6． 故选：C． 8．游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤OB以O为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动1次的运动轨迹可以看作，连接AC，交OB于点D，已知OB⊥AC，且点B为的中点，AC＝16m，BD＝4m，则大摆锤的长度为（　　） A．8m B．12m C．10m D．9m 【答案】C 【解答】解：∵OB⊥AC，且点B为的中点， ∴，∠ADO＝∠CDO＝90°， 设OB＝rm，则OD＝（r﹣4）m， ∴OA2＝OD2+AD2， ∴r2＝（r﹣4）2+82， ∴r2＝r2﹣8r+16+64， ∴8r＝80， ∴r＝10， ∴大摆锤的长度为10m， 故选：C． 9．如图，⊙O的直径CD＝14，弦AB⊥CD于点E，若OE＝4，则AB的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．2 【答案】D 【解答】解：如图，连接OA， ∵⊙O的直径CD＝14， ∴OD＝OA＝7， ∵AB⊥CD， ∴AB＝2AE，∠OEA＝90°， 在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2， ∴72＝42+AE2， ∴AE（负值已舍）， ∴AB＝2AE＝2． 故选：D． 10．下列命题中，真命题有（　　）个． ①三点确定一个圆； ②相等的弦所对的弧相等； ③度数相等的弧是等弧； ④平分弦的直径垂直这条弦． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解答】解：不共线的三点确定一个圆，三点共线时不能确定圆，故①是假命题，不符合题意； 相等的弦所对的弧可能有优弧和劣弧之分，不一定相等，故②是假命题，不符合题意； 在同圆或等圆中，度数相等的弧是等弧，故③是假命题，不符合题意； 平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，故④是假命题，不符合题意； 故选：A． 11．如图，在平面直角坐标系中，以点G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则点E在⊙G上运动过程中，线段FG的长的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解答】解：连接AC，过点G作GM⊥AC，于点M，连接FM，AG， ∵GO⊥AB， ∴OA＝OB． ∵OG＝1，AG＝2， ∴， ∴∠GAO＝30°， ∴∠AGO＝60°， ∵GC＝GA， ∴∠GAC＝∠GCA， ∵∠AGO＝∠GAC+∠GCA， ∴∠GCA＝∠GAC＝30°， ∴， ∵CF⊥AE， ∴∠AFC＝90°， 点F在以AC为直径的⊙M上运动， ∴， 当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值为． 故选：C． 12．如图，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝12cm，OC⊥AB于点C，则OC的长度是（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C 【解答】解：连接OA， ∵⊙O的半径为10cm， ∴OA＝10cm， ∵弦AB＝12cm，OC⊥AB于点C， ∴AC＝BCAB＝6cm，∠OCA＝90°， ∴OC8（cm）， 故选：C． 13．在半径为的⊙O中，一条弦AB把另一条弦CD分为1和5，两条弦相交成75°，则AB的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解答】解：如图所示，过点O作OF⊥AB，交AB于点F，过点O作OE⊥CD，交CD于点E，连接OB，OD，OG， 由条件可知CG＝1，DG＝5， ∴， ∴EG＝CE﹣CG＝2． 由勾股定理可得， ∴EG＝OE＝2， ∴△EOG是等腰直角三角形， ∴． 由条件可知∠OGF＝30°， ∴． 由勾股定理可得， ∴； 如图所示，过点O作OF⊥AB，交AB于点F，过点O作OE⊥CD，交CD于点E，连接OB，OD，OG， 由条件可知CG＝1，DG＝5， ∴， ∴EG＝CE﹣CG＝2． 由勾股定理可得， ∴EG＝OE＝2， ∴△EOG是等腰直角三角形， ∴． 由条件可知∠BGD＝105°， ∴∠FGO＝∠BGD﹣∠OGE＝60°． ∴， 根据勾股定理，得FG2+FO2＝OG2， 即， 解得． 在Rt△OBF中，， ∴． 所以AB的长为或． 故选：C． 14．如图，直角坐标系中，一条圆弧经过点A（0，4），B（4，4），C（6，2），则该圆弧所在圆的圆心为（　　） A．（2，0） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，1） 【答案】A 【解答】解：连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线相交于点D，则点D为该圆弧所在圆的圆心， ∵D（2，0）， ∴该圆弧所在圆的圆心为（2，0）， 故选：A． 15．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM最大值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】D 【解答】解：延长CP交⊙O于点N，连接DN， ∵AB⊥CN， ∴CP＝PN． ∵点M是弦CD的中点， ∴CM＝DM， ∴， ∴当DN为⊙O的直径时，DN的值最大，此时PM的值取最大值，最大值为． 故选：D． 16．如图，在圆O中，直径AB＝10，弦CD交AB于点E，且CE＝DE，若BE＝2，则CD＝ 　　 ． 【答案】8． 【解答】解：如图，连接OC， ∵直径AB＝10， ∴OB＝OC＝5， ∵BE＝2， ∴OE＝OB﹣BE＝5﹣2＝3， ∵CE＝DE， ∴OE⊥CD， ∴CE4， ∴CD＝8， 故答案为：8． 17．已知⊙O的半径为10cm，弦AB∥弦CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离为　 　 cm． 【答案】14或2 【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图， ∵AB＝16cm，CD＝12cm， ∴AE＝8cm，CF＝6cm， ∵OA＝OC＝10cm， ∴EO＝6cm，OF＝8cm， ∴EF＝OF﹣OE＝2cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图， ∵AB＝16cm，CD＝12cm， ∴AE＝8cm，CF＝6cm， ∵OA＝OC＝10cm， ∴EO＝6cm，OF＝8cm， ∴EF＝OF+OE＝14cm； 故答案为：14cm或2cm． 18．如图，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，则OD＝　　 ． 【答案】8． 【解答】解：∵⊙O的半径为10， ∴OA＝10， ∵OD⊥AB，AB＝12， ∴ADAB＝6， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD8， 故答案为：8． 19．如图，点A、B、D、C都在圆上，AD是⊙O的直径，OB⊥AC交AC于点E． （1）求证：AB＝BC； （2）若AE＝4，CD＝6，求BE． 【答案】（1）证明：∵OB⊥AC于点E， ∴， ∴AB＝BC； （2）BE＝2． 【解答】（1）证明：∵OB⊥AC于点E， ∴， ∴AB＝BC； （2）解：∵点C在圆上，AD是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵点E在AC上，AE＝CE， ∴AC＝2AE， ∵AE＝4， ∴AC＝4×2＝8， 又∵CD＝6， ∴， ∴， ∴， ∴OB﹣OE＝5﹣3＝2， ∴BE＝2． 20．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C． （1）求证：D是AC的中点； （2）若AB＝6，，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【解答】（1）证明：如图，连接BD． ∵AB是⊙O的弦，半径 OD⊥AB， ∴D是 的中点， ∴， ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAD+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°， ∴∠C＝∠DBC， ∴BD＝CD， ∴AD＝CD， 即D为AC的中点； （2）如图，连接OA． ∵半径 OD⊥AB，垂足为H，AB＝6， ∴AHAB＝3， ∵D是AC的中点，， ∴， ∴DH2， 设OD＝OA＝r，则 OH＝r﹣2， 在 Rt△OAH中，OH2+AH2＝OA2， ∴（r﹣2）2+32＝r2， ∴， 即⊙O的半径为． 21．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD． （2）若OF＝2EF，CD＝8，求⊙O直径的长． 【答案】（1）见解答；（2）． 【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，且OE过圆心O ∴CF＝DF， ∵OA＝OB，OE⊥AB， ∴AF＝BF， ∴AF﹣CF＝BF﹣DF， ∴AC＝BD （2）解：连接OC，设⊙O的半径是r， ∵OF＝2EF，OF+EF＝OE＝r， ∴， ∵CD＝8， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴⊙O的直径是． 22．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度CD＝7cm，则截面圆中弦AB的长为（　　） A．4cm B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接OA，如图， 由题意得：OC⊥AB， ∴， ∵CD＝7cm，OA＝OD＝5cm， ∴OC＝OD﹣CD＝2（cm）， ∴， ∴． ∴截面圆中弦AB的长为． 故选：C． 23．一个圆柱形管件，其横截面如图，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽AB为8cm，水的最大深度CD为2cm，则此管件的直径为（　　） A．5cm B．8cm C． D．10cm 【答案】D 【解答】解：连接OB，如图所示： 由题意知，AB＝8cm，CD＝2cm， 则BCAB＝4cm， 设⊙O的半径为Rcm， 则OB＝OD＝R，OC＝（R﹣2）cm， 在Rt△OBC中，OB2＝OC2+BC2， ∴R2＝（R﹣2）2+42， 解得R＝5cm， ∴此管件的直径为10cm， 故选：D． 24．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长4m，轮子的吃水深度CD为1m，则该桨轮船的轮子直径为（　　） A． B．4m C．5m D．6m 【答案】C 【解答】解：∵AB＝4，OC⊥AB， ∴AD＝DBAB＝2m， 设该桨轮船的轮子半径为rm， 在Rt△AOD中，AO2＝OD2+AD2 即r2＝（r﹣1）2+22， 解得：， ∴该桨轮船的轮子直径为2＝5（m）， 故选：C． 25．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示： ∵AB＝24cm， ∴BDAB＝12（cm）， ∵⊙O的直径为26cm， ∴OB＝OC＝13（cm）， 在Rt△OBD中，OD5（cm）， ∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm）， 即水的最大深度为8cm， 故选：C． 26．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（　　） A．4cm B． C．6cm D．8cm 【答案】D 【解答】解：由题意知O，C，D三点共线， ∵OA＝OD＝5cm，OD⊥AB， ∴AC＝BC， ∵CD＝2cm， ∴OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm）， ∵， ∴AB＝2AC＝8（cm）， 即截面圆中弦AB的长为8cm， 故选：D． 27．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】B 【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图， ∴AE＝BEAB8＝4， 在Rt△AEO中，OE3， ∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m）， 答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m． 故选：B． 28．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于点E，ED＝1寸，AB＝10寸，求半径OD的长（　　） A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 【答案】D 【解答】解：连接OA， 设⊙O的半径为r寸，则OA＝r寸，OE＝（r﹣1）寸， ∵AB⊥DC， ∴寸， 在Rt△OAE中， ∵OE2+AE2＝OA2， ∴52+（r﹣1）2＝r2， 解得：r＝13寸，即半径OD的长13寸， 故选：D． 29．竹子生长迅速，竹制品也因美观、耐用等特点受到人们的青睐．粗壮的圆柱形竹筒可以改造成生活用具，如图1是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面示意图．已知该截面圆的半径为10cm，开口AB宽为16cm，这个水容器所能装水的最大深度是（　　） A．6cm B．8cm C．16cm D．18cm 【答案】C 【解答】解：连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D， ∵OC⊥AB， ∴AC＝CB＝8cm， 由题意可知，OB＝10cm， ∴在Rt△OBC中，OC6（cm）， ∴CD＝OC+OD＝6+10＝16（cm）， 即这个水容器所能装水的最大深度是16cm． 故选：C． 30．某圆形干果盘示意图如图所示，四条隔板AB，CD，EF，GH长度均为24cm，横纵隔板互相垂直，交于隔板的三等分点，则该干果盘的直径为（　　） A．26cm B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，设圆心为O，过点O作OK⊥AB于点N，OJ⊥EF于点J，则四边形MQNH是矩形． 由题意AB＝EF＝24cm，AH＝HN＝BN＝EH＝MH＝FM＝8cm， ∵OK⊥AB， ∴AK＝KB， ∴KH＝HNHN8＝4（cm）， 同法可得JH＝4cm， ∴HJ＝HK， ∴四边形MQNH是正方形， ∴OK＝HJ＝4cm，AK＝AH+HK＝8+4＝12（cm）， ∴OA4（cm）， ∴⊙O的直径为8cm． 故选：B． 31．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的小上方，⊙O被水面截得的弦AB长为8米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，则⊙O的半径长为（　　） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】D 【解答】解：如图，连接OA、OC，交AB于点D，设⊙O的半径长为x， ∵点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米， ∴OC⊥AB，OD＝x﹣2， ∴， 在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2， ∴x2＝42+（x﹣2）2， 解得：x＝5， ∴⊙O的半径长为5米． 故选：D． 32．如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，O为圆形框架的圆心，弦AB和所围成的区域为种植区．已知AB＝30，⊙O的半径为17，则种植区的最大深度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解答】解：如图②，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OB，则AC＝BCAB＝15， 由题意得：OB＝OD＝17， 由勾股定理得：OC8， ∴CD＝OD﹣OC＝17﹣8＝9， 则种植区的最大深度为9． 故选：D． 33．如图，是一个底部呈球形的蒸馏瓶，球的半径为6cm，瓶内液体的最大深度CD＝3cm，则截面圆中弦AB的长为（　　） A． B． C． D．8cm 【答案】C 【解答】解：由题意得：OC⊥AB， ∴AC＝BCAB，∠OCA＝90°， ∵OA＝OD＝6cm，CD＝3cm， ∴OC＝OD﹣CD＝6﹣3＝3（cm）， 在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC3（cm）， ∴AB＝2AC＝6（cm）． ∴截面圆中弦AB的长为6cm， 故选：C． 34．月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径AB为1.8米，水平木条BD和铅锤木条CD长都为0.3米，点C恰好落在⊙O上，则此月亮门的半径为（　　） A．1.8米 B．1.6米 C．1.5米 D．1.4米 【答案】C 【解答】解：过O作ON⊥AB于N，过C作CM⊥ON于M，如图2所示： 则AN＝NBAB＝0.9米，∠OND＝∠CMN＝90°， ∵DC⊥AB， ∴∠CDN＝90°， ∴四边形CDNM是矩形， ∴MN＝CD＝0.3米，CM＝DN＝BD+BN＝1.2（米）， 设该圆的半径长为r米， 根据题意得，， 解得：， 即此月亮门的半径为1.5米． 故选：C． 35．杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若D是弦AB的中点，CD经过圆心O交优弧ACB于点C，且AB＝8m，CD＝8m，则⊙O的半径为（　　） A．5m B．6.5m C．7.5m D．8m 【答案】A 【解答】解：连接OA，如图所示： 设此圆的半径为rm，则OA＝OC＝rm， ∵D是弦AB的中点，CD经过圆心O， ∴CD⊥AB， ∵AB＝8m，CD＝8m， ∴ADAB8＝4（m），OD＝CD﹣OC＝（8﹣r）m， 在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2， 即r2＝（8﹣r）2+42， 解得：r＝5， 即⊙O的半径长为5m． 故选：A． 36．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则⊙O的半径OA为（　　） A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm 【答案】A 【解答】解：∵是⊙O的一部分，D是的中点，AB＝24cm， ∴OD⊥AB，AC＝BCAB＝12cm． 设⊙O的半径OA为Rcm，则OC＝OD﹣CD＝（R﹣8）cm． 在Rt△OAC中，∵∠OCA＝90°， ∴OA2＝AC2+OC2， ∴R2＝122+（R﹣8）2， ∴R＝13， 即⊙O的半径OA为13cm． 故选：A． 37．如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦AB长为8m，轮子的吃水深度CD为2m，半径OC⊥AB于点D，则该桨轮船的轮子直径为　　 m． 【答案】10． 【解答】解：连接OA， ∵半径OC⊥AB， ∴AD＝BDAB＝4（m）， 设该桨轮船的轮子半径为rm， ∵CD＝2m， ∴OD＝OC﹣CD＝（r﹣2）m， 在Rt△OAD中，OA2＝AD2+OD2， ∴r2＝42+（r﹣2）2， 解得：r＝5， ∴该桨轮船的轮子直径为10m， 故答案为：10． 38．在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为10cm，如果再注入一些水后，水面上升7cm，此时水面宽度变为24cm．则该水槽截面半径为 　 ． 【答案】13cm． 【解答】解：如图，过圆心O作OF⊥AB于点F，交CD于点E，连接AO，CO． ∵EF＝7cm，CD＝24cm，OE⊥CD， ∴由垂径定理可知点E和F分别为CD，AB中点， ∴，． 设OE＝xcm，则OF＝（x+7）cm， ∵在Rt△AOF中根据勾股定理得，AO2＝AF2+OF2＝25+（x+7）2， 在Rt△COE中，CO2＝CE2+OE2＝144+x2， 又∵AO＝CO， ∴25+（x+7）2＝144+x2， 整理得，14x＝70， 解得x＝5， ∴OE＝5cm， ∴． 故答案为：13cm． 39．如图所示为圆形拱门的示意图，其最下端的线段AB位于地面之上，点D为线段AB的中点，点C为拱门的最高点，且线段CD经过拱门所在圆的圆心．若线段AB的长度为2m，线段CD的长度为5m，则拱门所在圆的半径长度为　 ． 【答案】2.6m． 【解答】解：连接OA， ∵D为AB的中点，AB＝2m，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心， 设拱门所在圆的半径为rm， ∴OA＝OC＝r， ∵CD＝5m， ∴OD＝（5﹣r）m， ∵OA2＝AD2+OD2， ∴r2＝12+（5﹣r）2， 解得r＝2.6， ∴拱门所在圆的半径为2.6m， 故答案为：2.6m． 40．如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为 　　 cm． 【答案】16． 【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA， ∴， 由题意知，OA＝10cm，CD＝4cm， ∴OC＝6cm， 在Rt△AOC中，（cm）， ∴AB＝2AC＝16（cm）， 故答案为：16． 学科网（北京）股份有限公司 $