3.4圆周角（讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦“圆周角”核心知识点，系统梳理圆周角定义、定理（同弧所对圆周角等于圆心角一半）、推论（同弧等弧圆周角相等、直径对直角、90°圆周角对直径）及圆内接四边形性质，构建从概念辨析到定理推导、推论应用再到综合拓展的递进式学习支架。 资料通过动态探究（如动点运动观察同弦圆周角关系）培养几何直观，结合“破镜重圆”实际问题渗透模型意识，分层设计题型（概念辨析、定理应用到综合证明）强化推理能力。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，提升知识迁移与综合应用能力。

第3章 圆的基本性质 3.4 圆周角 课标要点 1. 掌握圆周角定义：顶点在圆上，两边均与圆相交的角。 2. 掌握圆周角定理：同弧所对圆周角等于对应圆心角的一半。 3. 掌握推论：同弧、等弧所对的圆周角相等。 4. 掌握重要结论：直径所对圆周角为直角，90°圆周角所对弦是直径。 5. 掌握圆内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角。 学习重难点 重点： 理解并掌握圆周角的概念，能够准确区分圆周角与圆心角。 熟练运用圆周角定理及其各类推论进行角度计算与几何证明。 灵活利用直径对应的直角、圆内接四边形性质解决综合题型。 学会在图形中寻找同弧、等弧，搭建角度之间的等量关系。 难点： 准确识别图形中同弧所对应的圆周角，容易混淆弧与角的对应关系。 复杂图形中挖掘隐藏条件，构造直径辅助线转化直角问题。 综合证明题中，灵活组合圆周角相关结论梳理推理思路。 留意一题多解，避免遗漏圆周角在弧两侧产生的不同角度情况。 知识点 圆周角的基本概念 圆周角定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 从定义可以总结出圆周角的两个核心特征：①顶点必须在圆上；②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可。 圆周角与圆心角的区别 对比维度 圆心角 圆周角 顶点位置 圆心 圆上 两边要求 两边都过圆上一点（与圆相交） 两边都和圆相交 特别提醒 顶点在圆上的角不一定是圆周角，如果只有一条边和圆相交，另一条边不相交，就不属于圆周角。 随学随练 1．判断下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项D中的角是圆周角． 2．如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角的定义，根据圆周角的定义，结合图形即可求解． 【详解】解：由图可知： 所对圆周角的是或， 故选：C． 3．图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．角的顶点在圆上，角的两边是圆的两条弦，这样的角是圆周角． 【详解】解：根据圆周角的定义，只有A选项符合， 故选：A． 知识点 圆周角定理 定理内容 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 公式表达：若弧AB所对的圆心角为，所对的圆周角为，则。 定理推导 圆周角和圆心的位置关系分为三种情况，需要分情况证明： 1. 圆心在圆周角的一边上：此时圆周角的一边BC过圆心O，是的外角，可得，又，所以，因此，即，定理成立。 2. 圆心在圆周角的内部：连接CO并延长交圆于点D，将图形转化为上述第一种情况，可得，，相加得，即，定理成立。 3. 圆心在圆周角的外部：连接CO并延长交圆于点D，同样转化为第一种情况，可得，，相减得，即，定理成立。 定理作用 1. 直接反映了同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系，可以实现角度的互相转化。 2. 是证明圆中角度相等、线段关系、弧相等的重要理论依据。 特别提醒 圆周角定理的推导用了分类讨论思想和转化思想，遇到不确定位置关系的问题时，优先考虑分类讨论，通过作辅助线转化为已经证明的情况。 随学随练 1．如图中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用垂径定理及圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ． 2．如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在优弧上取点，连接、，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取点，连接、， ， ， ． 3．如图，点均在上，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形性质求出圆心角，再利用圆周角定理求解． 【详解】解：， ， ， 与是同弧所对的圆周角与圆心角， ． 知识点 圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 几何语言：在中，若弧弧CD，和都对弧AB，则；同理同弧AB对应的多个圆周角全部相等。 特别提醒：注意前提是“同弧或等弧”，如果是“同弦”，结论不一定成立，因为一条弦对应两条不同的弧，对应两类互补的圆周角。 推论2：直径（或半圆）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径 几何语言：①若AB是的直径，C是圆上一点（不与A,B重合），则；②若中，圆周角，则AB是的直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 这个推论其实是推论2的逆用，常用来证明三角形是直角三角形，也可以用来判断某点是否在以某线段为直径的圆上：若点C满足，则C在以AB为直径的圆上。 特别提醒 这是圆中最常用的推论之一，当题目中给出直径条件时，一定要第一时间想到构造直径所对的圆周角，得到直角，进而可以用勾股定理、直角三角形性质解题；当题目中给出圆周角时，要想到对边是直径，能得到圆心位置。 随学随练 1．如图，为的直径，、是上两点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据同弧所对的圆周角相等可得：． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ． 2．如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直径所对的圆周角等于求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，，，是的直径，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和求出，再根据直径得到，求出，根据圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 拓展 圆周角性质的规律探究 圆周角定理推论中“同弧所对的圆周角相等”“直径所对的圆周角是直角”是核心应用性质，拓展点可以放在动态变化中的不变性探究，这是培养几何直观与抽象概括素养的关键。 练习可以设计动态探究：让一个点在圆上连续运动，保持另外两个端点固定，观察这个动点对固定弦所对的圆周角度数有没有变化，当动点运动到弦的另一侧时，度数又发生了什么变化？ 通过动态观察可以发现，同弦所对的圆周角要么相等，要么互补——这是对常规“同弧所对圆周角相等”结论的补充修正，多数教材只强调同弧，很少点明同弦的两种情况，这种动态探究可以让学习者理解弧有优弧劣弧之分，对应到圆周角也有锐角钝角之分，互补的规律其实本质上还是圆周角定理的延伸，因为优弧所对的圆心角和劣弧所对的圆心角加起来是周角，所以对应的圆周角加起来就是平角，也就是180°互补。 活学活用 1．如图，是的直径，是上的两个动点（点不与重合），在运动过程中弦始终保持不变，F是弦的中点，过点C作于点E．若，，当取得最大值时，的长度为（    ） A．6 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．由三角形的中位线定理可知DH=2EF，推出DH是直径时，EF的值最大． 【详解】解：如图，延长CE交⊙O于H，连接DH． ∵AB⊥CH， ∴EC=EH， ∵CF=FD， ∴EF=DH， ∴当DH在直径时，EF的值最大，此时∠DCH=90°， ∴CH=， ∴CE=， ∴EF最大时，EC的长为， 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，是的直径，，两点在圆上，连接，，且，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 ___________． 【答案】或或 【分析】根据，可得：，再由是的直径得，然后分三种况讨论即可得出答案． 【详解】解：连接， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 当为等腰三角形时， ①当时，， ②当时，， ③当时，， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了圆周角定理和直径所对的圆周角等于，解题的关键是利用圆周角定理以及直径所对的圆周角等于，求出的度数，以及掌握利用分类讨论的思想来解决问题． 拓展 圆周角知识的综合应用 侧重将圆周角和其他几何知识结合，解决真实情境或者综合问题，培养学习者的知识迁移与建模能力。比如常见的“破镜重圆”问题：一块圆形镜子碎了，只剩下一块带弧的残片，如何确定原来镜子的半径，重新配一块一模一样的。 这个问题就需要将实际问题转化为数学问题：残片上的弧对应原来的圆，要确定半径就需要找到圆心，而找圆心的过程就可以用到圆周角的性质：任意取弧上三个点，构造两个圆周角，利用90°圆周角对直径的性质，作两条弦的垂直平分线交点就是圆心，或者利用直角找两条直径交点就是圆心，整个过程就是完整的数学建模过程，从实际问题抽象出几何问题，再用圆周角的知识解决问题，最后回到实际问题得到答案。 活学活用 1．如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，求解即可； 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 2．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数； （2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 即阴影部分的面积为． 题型圆周角基本概念辨析 解题贴士 1. 首先找角的顶点位置，若顶点不在圆上直接排除；若顶点在圆上，再检查角的两条边是否都和圆有除顶点外的另一个交点，只要有一条边不与圆相交，这个角就不是圆周角。 2. 注意和圆心角区分：圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上，不要混淆二者定义。 ▌例1下列命题中，正确的结论有（   ） 顶点在圆周的角是圆周角；相等的圆心角，所对的弧也相等； 两条弦相等，它们所对的弧也相等；在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了与圆有关的定理和推论，包括圆周角、圆心角、弦和弧的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据定义和性质逐一判断即可． 【详解】解：由圆周角定义要求顶点在圆上且两边都与圆相交，命题中“顶点在圆周的角”未指定两边都与圆相交，故错误； 由相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，命题未指定条件，故错误； 由两条弦相等所对的弧相等需在同圆中且考虑弧的类型（优弧或劣弧），命题未指定，故错误； 由在等圆中，圆心角相等则所对的弦也相等，命题正确； ∴正确的结论有个． 故选：． ▌例2．下列图形中的角是圆周角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义，圆周角是指顶点在圆上，并且两条边都与圆相交的角，据此断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项B的角是圆周角， 故选：B． ▌对点练1-1下列说法正确的是（   ） A．顶点在圆周上的角叫做圆周角 B．两边都和圆相交的角叫做圆周角 C．等于圆心角一半的角叫做圆周角 D．顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定义，熟记圆周角定义是解决问题的关键． 根据圆周角定义：顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； B、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； C、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； D、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法正确，符合题意； 故选：D． ▌对点练1-2．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． ▌对点练1-3．如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 题型 圆周角定理 解题贴士 1. 解题先找准弧，分清同弧或等弧，利用圆周角定理实现圆心角与圆周角互相转化。 2. 看到直径优先联想直角，遇90°圆周角反向推导弦为直径。 3. 善于寻找图形中隐藏的同弧圆周角，得到角度等量关系。 ▌例1．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得到，即可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ▌例2．如图，、、是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是上的点，且， ∴． ▌对点练1-1．如图，是的直径，C是上一点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【详解】解：， ， 又， ， ▌对点练1-2．如图，线段是的直径，弦，如果，那么________． 【答案】 【分析】由垂径定理可知，根据同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半即可解答． 【详解】解：是的直径，弦， ， ． ▌对点练1-3如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，再求它们的和即可． 【详解】解：∵，和都是所对的圆周角，点C、D是弧上任两点， ∴， ∴． 题型 同弧或等弧所对的圆周角 解题贴士 1. 解题首要寻找公共弧，借助同弧、等弧快速推出圆周角相等。 2. 多个角分散时，利用弧作为桥梁，完成角度等量转化。 3. 区分“等弦”与“等弧”，等弦未必对应相等的圆周角，防止出错。 ▌例1．如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同弧对等角和对顶角相等推出和的度数，最后根据内角和定理即可求出度数． 【详解】解：由图可知，，， ，， ，， ． ▌例2．如图，点，，，在上，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ， 故选：A． ▌对点练1-1．如图，是的直径，，是上的两点，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】DD 【详解】解：∵，， ∴． 又∵是的直径 ∴， ∴ ▌对点练1-2．如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 【答案】 【分析】根据垂径定理得，继而得到，可得答案． 【详解】解：∵的直径弦，， ∴， ∴． ▌对点练1-3如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 【答案】/63度 【分析】首先根据求出，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 题型 直径所对圆周角是直角 解题贴士 1. 题目出现直径，主动连接弦，构造直角三角形，得到90°圆周角。 2. 遇直角相关证明、线段计算，可尝试作直径搭建直角条件。 ▌例1如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先利用直径所对的圆周角为直角确定为直角三角形，再结合角的性质与勾股定理计算的长度． 【详解】解：∵是的直径，点C在上， ∴，即是直角三角形． 在中，， ∴， ∴． ▌例2如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据直径所对的圆周角为直角，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． ▌对点练1-1如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，在中利用内角和定理求出的度数，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴的度数为， 故选：C. ▌对点练1-2如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，由等边对等角得到，则可求出，再由可得． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ▌对点练1-3如图，是的直径，，则的度数为______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角为直角可得的度数，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再由直角三角形两锐角互余即可得解． 【详解】是的直径， ， ， ， ． 题型 90度的圆周角所对的弦是直径 解题贴士 1. 在圆内发现直角圆周角，直接判定角两边交点连成的弦为直径。 2. 需要构造直径时，可先构造90°圆周角，逆向获取直径条件。 3. 证明线段为圆的直径，常通过证明其所对圆周角等于90°完成推导。 4. 解题注意区分：必须保证角的顶点落在圆上，才可使用这条推论。 ▌例1如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角确定四点共圆，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． ▌例2小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据的圆周角所对的弦是直径，只有选项A中的工件合格． ▌对点练1-1如图，是的直径，，是上的两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据是直径得出，然后利用圆周角定理的推论得出，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】∵是的直径， ． ∵和都是所对的圆周角， ∴， ． ▌对点练1-2如图，以点为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么_______． 【答案】/35度 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据“的圆周角所对的弦是直径”，可得点在圆上，再根据圆周角定理，计算即可求解． 【详解】解：由题可知，，则， 量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， 点在圆上， ． 故答案为：． ▌对点练1-3如图，点在圆上，，点为的中点，的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了半圆或直径所对圆周角为直角，勾股定理，根据，可得是直径，根据点为的中点，可得，根据勾股定理可得，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 题型 圆周角相关证明题 解题贴士 1. 证明角相等优先考虑用“同弧所对圆周角相等”转化，比用其他方法更直接。 2. 证明垂直的时候，如果其中一条线段是直径，只要证明另一条线段经过直径端点且和直径垂直，或者证明端点处的圆周角是90°即可。 3. 如果要证明某条弦是直径，只需要证明这条弦所对的圆周角是90°即可，这是常用的判定直径的方法。 ▌例1如图为O为圆心为直径的圆，且，， (1)证明E为中点 (2)求的长度 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理的推论等知识点． （1）由垂径定理的推论即可证明； （2）由圆周角定理得到，然后解得到，再解求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵为直径，且， ∴， ∴点E为中点； （2）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵为直径，且， ∴， ∴， ∵， ∴． ▌例2如图，为的直径，为上一点，证明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理．由圆周角定理得到，由勾股定理即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ∴为直角三角形， ∴． ▌对点练1-1如图，在中，是直径，是弦，于点E，连接，． (1)证明：； (2)当，时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂径定理可得，再由圆周角定理即可得证； （2）连接，设的半径为r，由垂径定理可得，从而得出，再由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：在中，是直径，是弦， （2）解：由(1)可知 连接， 设半径r，则 在中， ， 解得 ▌对点练1-2如图，AB，DF是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，且，过点D作DE⊥AB于点E． (1)证明：F是的中点； (2)若，求FC的长． 【答案】(1)见解析 (2)FC= 【分析】（1）连接BF，OC，根据，可得∠CBF=∠OFB，再由圆周角定理可得∠COF=∠BOD，从而可得，进而得到，即可求证； （2）作OH⊥BC于点H，连结BD，先证得△OHB≌△DEO，可得OH=DE=2，从而得到，继而得到BE= 1，再由勾股定理可得BD的长，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接BF，OC， ∵， ∴∠CBF=∠OFB， ∵∠COF=2∠CBF，∠BOD=2∠OFB， ∴∠COF=∠BOD， ∴， ∵∠AOF=∠BOD， ∴， ∴F是的中点 ； （2）解：作OH⊥BC于点H，连结BD， ∵， ∴∠CBO=∠BOD， ∵OD=OB，∠OED=∠OHB=90°， ∴△OHB≌△DEO， ∴OH=DE=2，BH=OE， ∵OH⊥BC，BC=3， ∴BH=OE=1.5， ∴，即BE=OB-OE=OB-BH=1， ∴， ∵， ∴FC=BD=． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，根据，得到是解题的关键． 基础通关 1．如图，是上的三个点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．如图，AB为的直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角，可得 ，再根据直角三角形两锐角互余即可求出 的度数． 【详解】解： 为 的直径， ． ， ． 故选：C． 3．如图，是的外接圆，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆周角定理可得，结合，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 4．如图，是的直径，点，在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是直径可以求出，再根据同弧所对的圆周角相等，可得，再通过角的和差即可求解． 【详解】为直径， ， ， ． 5．如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径所对的圆周角为90度，可知，结合同弧所对的圆周角相等，可得，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：是的直径， ， ∵， ， ． 6．如图，点A、B、C、D在上，，点C是弧的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示： ∵，点C是弧的中点， ∴， ∴． 7．如图，点A、B、C在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：∵点A、B、C在上，且， ∴． 8．如图，是的直径，点、在上．若，则________． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角为90度，同弧所对的圆周角相等等知识，由直径所对的圆周角为90度得出，由直角三角形两锐角互余可得出，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．如图，点A，B，C在上，是等腰直角三角形，则__________． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰直角三角形，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得：，然后根据圆周角定理进行计算，即可解答． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 10．如图， 是的直径， 是的内接三角形．若，，则的长为_______ 【答案】 【分析】本 解题的关键．连接，证明是等腰直角三角形即可求出答案． 【详解】 解：如图，连接． ， ． ， ， ， 又是的直径， ． 在中，由勾股定理，得 故答案为：． 11．如图，是的直径，点，在上，，与交于点．若，则的度数为______． 【答案】/75度 【分析】 定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由是的直径，得，由圆周角定理得，再由外角的定义得，即可得解． 【详解】解：因为是的直径， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 则， 故答案为：． 12．如图，为的直径，点，，是上的三点．若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而求得的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴ ∵ ∴ 13．如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）可证明，则可证明； （2）先证明，再利用证明，则可证明． 【详解】（1）略 （2）略 14．如图，、 、是 的弦，．求证：． 【答案】 证明：圆周角定理可得，， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查圆周角定理，由圆周角定理可得，，则可求得结论． 【详解】略 15．如图，在中，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，根据等弧对等弦，得到，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 素养提升 1．如图，是的直径，弦交于点，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据邻补角的性质求出的度数，再运用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：， ， 由圆周角定理得，， ， ． 2．如图，、为的两条弦，、分别为、的中点，的半径为．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据圆周角定理得出，利用勾股定理求出，最后利用三角形中位线的判定和性质求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与所对的弧为，且， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∵、分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴． 3．如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图， 是的直径， ， 由图可得，， ． 4．如图，的三个顶点都在上，是直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可得，从而求解 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， 与所对的弧都是弧， 5．如图，四边形内接于，是的三等分点，连接，．若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】先根据弧的三等分点得到弧的度数关系，再利用圆周角定理、等腰三角形的性质求解． 【详解】解：如图，连接， ，根据圆心角等于圆周角的两倍， ， 是的三等分点， ， ， ， ． 6．如图，在中，是直径，是弦，且，连接，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】先由垂径定理得到平分，再由圆周角定理得到，最后在中，由直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：在中，是直径，是弦，且， 由垂径定理可得点平分，即， ， 如图所示： 在中，，，则． 7．如图，内接于，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆周角定理，先由 求出对应的圆心角，再用 减去，直接算出． （2）延长构造直径，连接，得到直角三角形；由 和半径相等，推出，进而得；最后在 中，用勾股定理算出． 【详解】（1）解： ， ． ， ． （2）解：如图，延长交于点，连接． 是的直径， ． ， ． ， ， ， ， ， ， ． 8．如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴； (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，则可证明，再由垂径定理的推理即可证明； （2）连接，根据已知条件和勾股定理求出的长，进而求出的平方，再推出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， ∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，则， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， ∴． 迁移创新 1．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题探究】如图1，，为的两条弦，点为的中点，过作、垂足为．求证：． 小明同学的思路是：如图2．在上截取，连接，，，…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程． 【结论运用】如图3，是的内接等边三角形，点是上一点，，连接，．过点作，垂足为．若，求的周长． 【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点为的中点”改为“点为优弧的中点”，其他条件不变，请直接写出、、之间的等量关系． 【答案】问题探究：见解析；结论运用：；变式探究：，理由见解析 【分析】问题探究：在上截取，连接，，，，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的三线合一、结合图形证明结论； 结论运用：连接，在上截取，连接，证明，得到，根据等腰直角三角形的性质求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案； 变式探究：在线段上截取，连接、、、，证明，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：问题探究：如图2，在上截取，连接，，，， ∵点C为的中点， ∴， ∴， 由圆周角定理得，， 在和中， ∴， ∴，又， ∴， ∴； 结论运用：连接，在上截取，连接， ∵是的内接等边三角形， ∴， 由问题探究可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 变式探究：，理由如下： 在线段上截取，连接、、、，如图所示： ∵点C为优弧的中点， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的性质，掌握圆心角、弦、弧之间的关系、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 2．数学兴趣小组开展探究活动，针对九年级上册数学教材习题24.1的第14题进行了深入研究． 【书本原题】如图，是上的四个点，．判断的形状，并证明你的结论． 小红证明如下： 如图1，在中，， …… （1）请你帮他完成后面的证明过程． 【深入探究】 （2）小红在完成此题后，他发现线段，他的发现正确吗？试说明理由． 【应用实践】 （3）如图2，若点是的中点，点在上移动的过程中，小红发现线段的长度一定存在最小值．若的半径为2，请你求出线段的最小值． 【答案】 （1）解：，， ， ∴是等边三角形． （2）解：，理由如下： 在上截取，如图： ， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ，即． （3） 【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等得到，，再根据三角形内角和定理得到，结合等边三角形的定义即可求解； （2）在上截取，可得为等边三角形，再证，得到，由此即可求解； （3）点在上移动过程中，点在以为直径的圆上运动，设圆心为，则当点B、M、F共线，且点在线段上时，最小，如图，连接，过点作于点，过点作于点，可得，，，在Rt中由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）∵点是的中点， 点在上移动过程中，点在以为直径的圆上运动，设圆心为，则当点B、M、F共线，且点在线段上时，最小， 如图，连接，过点作于点，过点作于点， 等边是的内接正三角形， 平分，平分， ， 的半径为2， ， ，，， ，，， ， 在Rt中，， ． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆的基本性质 3.4 圆周角 课标要点 1. 掌握圆周角定义：顶点在圆上，两边均与圆相交的角。 2. 掌握圆周角定理：同弧所对圆周角等于对应圆心角的一半。 3. 掌握推论：同弧、等弧所对的圆周角相等。 4. 掌握重要结论：直径所对圆周角为直角，90°圆周角所对弦是直径。 5. 掌握圆内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角。 学习重难点 重点： 理解并掌握圆周角的概念，能够准确区分圆周角与圆心角。 熟练运用圆周角定理及其各类推论进行角度计算与几何证明。 灵活利用直径对应的直角、圆内接四边形性质解决综合题型。 学会在图形中寻找同弧、等弧，搭建角度之间的等量关系。 难点： 准确识别图形中同弧所对应的圆周角，容易混淆弧与角的对应关系。 复杂图形中挖掘隐藏条件，构造直径辅助线转化直角问题。 综合证明题中，灵活组合圆周角相关结论梳理推理思路。 留意一题多解，避免遗漏圆周角在弧两侧产生的不同角度情况。 知识点 圆周角的基本概念 圆周角定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 从定义可以总结出圆周角的两个核心特征：①顶点必须在圆上；②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可。 圆周角与圆心角的区别 对比维度 圆心角 圆周角 顶点位置 圆心 圆上 两边要求 两边都过圆上一点（与圆相交） 两边都和圆相交 特别提醒 顶点在圆上的角不一定是圆周角，如果只有一条边和圆相交，另一条边不相交，就不属于圆周角。 随学随练 1．判断下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 3．图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 知识点 圆周角定理 定理内容 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 公式表达：若弧AB所对的圆心角为，所对的圆周角为，则。 定理推导 圆周角和圆心的位置关系分为三种情况，需要分情况证明： 1. 圆心在圆周角的一边上：此时圆周角的一边BC过圆心O，是的外角，可得，又，所以，因此，即，定理成立。 2. 圆心在圆周角的内部：连接CO并延长交圆于点D，将图形转化为上述第一种情况，可得，，相加得，即，定理成立。 3. 圆心在圆周角的外部：连接CO并延长交圆于点D，同样转化为第一种情况，可得，，相减得，即，定理成立。 定理作用 1. 直接反映了同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系，可以实现角度的互相转化。 2. 是证明圆中角度相等、线段关系、弧相等的重要理论依据。 特别提醒 圆周角定理的推导用了分类讨论思想和转化思想，遇到不确定位置关系的问题时，优先考虑分类讨论，通过作辅助线转化为已经证明的情况。 随学随练 1．如图中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 3．如图，点均在上，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 知识点 圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 几何语言：在中，若弧弧CD，和都对弧AB，则；同理同弧AB对应的多个圆周角全部相等。 特别提醒：注意前提是“同弧或等弧”，如果是“同弦”，结论不一定成立，因为一条弦对应两条不同的弧，对应两类互补的圆周角。 推论2：直径（或半圆）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径 几何语言：①若AB是的直径，C是圆上一点（不与A,B重合），则；②若中，圆周角，则AB是的直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 这个推论其实是推论2的逆用，常用来证明三角形是直角三角形，也可以用来判断某点是否在以某线段为直径的圆上：若点C满足，则C在以AB为直径的圆上。 特别提醒 这是圆中最常用的推论之一，当题目中给出直径条件时，一定要第一时间想到构造直径所对的圆周角，得到直角，进而可以用勾股定理、直角三角形性质解题；当题目中给出圆周角时，要想到对边是直径，能得到圆心位置。 随学随练 1．如图，为的直径，、是上两点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，，，是的直径，则等于（     ） A． B． C． D． 拓展 圆周角性质的规律探究 圆周角定理推论中“同弧所对的圆周角相等”“直径所对的圆周角是直角”是核心应用性质，拓展点可以放在动态变化中的不变性探究，这是培养几何直观与抽象概括素养的关键。 练习可以设计动态探究：让一个点在圆上连续运动，保持另外两个端点固定，观察这个动点对固定弦所对的圆周角度数有没有变化，当动点运动到弦的另一侧时，度数又发生了什么变化？ 通过动态观察可以发现，同弦所对的圆周角要么相等，要么互补——这是对常规“同弧所对圆周角相等”结论的补充修正，多数教材只强调同弧，很少点明同弦的两种情况，这种动态探究可以让学习者理解弧有优弧劣弧之分，对应到圆周角也有锐角钝角之分，互补的规律其实本质上还是圆周角定理的延伸，因为优弧所对的圆心角和劣弧所对的圆心角加起来是周角，所以对应的圆周角加起来就是平角，也就是180°互补。 活学活用 1．如图，是的直径，是上的两个动点（点不与重合），在运动过程中弦始终保持不变，F是弦的中点，过点C作于点E．若，，当取得最大值时，的长度为（    ） A．6 B． C．5 D． 2．如图，是的直径，，两点在圆上，连接，，且，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 ___________． 拓展 圆周角知识的综合应用 侧重将圆周角和其他几何知识结合，解决真实情境或者综合问题，培养学习者的知识迁移与建模能力。比如常见的“破镜重圆”问题：一块圆形镜子碎了，只剩下一块带弧的残片，如何确定原来镜子的半径，重新配一块一模一样的。 这个问题就需要将实际问题转化为数学问题：残片上的弧对应原来的圆，要确定半径就需要找到圆心，而找圆心的过程就可以用到圆周角的性质：任意取弧上三个点，构造两个圆周角，利用90°圆周角对直径的性质，作两条弦的垂直平分线交点就是圆心，或者利用直角找两条直径交点就是圆心，整个过程就是完整的数学建模过程，从实际问题抽象出几何问题，再用圆周角的知识解决问题，最后回到实际问题得到答案。 活学活用 1．如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 题型圆周角基本概念辨析 解题贴士 1. 首先找角的顶点位置，若顶点不在圆上直接排除；若顶点在圆上，再检查角的两条边是否都和圆有除顶点外的另一个交点，只要有一条边不与圆相交，这个角就不是圆周角。 2. 注意和圆心角区分：圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上，不要混淆二者定义。 ▌例1下列命题中，正确的结论有（   ） 顶点在圆周的角是圆周角；相等的圆心角，所对的弧也相等； 两条弦相等，它们所对的弧也相等；在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 ▌例2．下列图形中的角是圆周角的是（ ） A． B． C． D． ▌对点练1-1下列说法正确的是（   ） A．顶点在圆周上的角叫做圆周角 B．两边都和圆相交的角叫做圆周角 C．等于圆心角一半的角叫做圆周角 D．顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角 ▌对点练1-2．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-3．如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 题型 圆周角定理 解题贴士 1. 解题先找准弧，分清同弧或等弧，利用圆周角定理实现圆心角与圆周角互相转化。 2. 看到直径优先联想直角，遇90°圆周角反向推导弦为直径。 3. 善于寻找图形中隐藏的同弧圆周角，得到角度等量关系。 ▌例1．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． ▌例2．如图，、、是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．如图，是的直径，C是上一点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．如图，线段是的直径，弦，如果，那么________． ▌对点练1-3如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 题型 同弧或等弧所对的圆周角 解题贴士 1. 解题首要寻找公共弧，借助同弧、等弧快速推出圆周角相等。 2. 多个角分散时，利用弧作为桥梁，完成角度等量转化。 3. 区分“等弦”与“等弧”，等弦未必对应相等的圆周角，防止出错。 ▌例1．如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（     ）    A． B． C． D． ▌例2．如图，点，，，在上，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．如图，是的直径，，是上的两点，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．如图，的直径弦，垂足为点，，则______． ▌对点练1-3如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 题型 直径所对圆周角是直角 解题贴士 1. 题目出现直径，主动连接弦，构造直角三角形，得到90°圆周角。 2. 遇直角相关证明、线段计算，可尝试作直径搭建直角条件。 ▌例1如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． ▌例2如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． ▌对点练1-3如图，是的直径，，则的度数为______． 题型 90度的圆周角所对的弦是直径 解题贴士 1. 在圆内发现直角圆周角，直接判定角两边交点连成的弦为直径。 2. 需要构造直径时，可先构造90°圆周角，逆向获取直径条件。 3. 证明线段为圆的直径，常通过证明其所对圆周角等于90°完成推导。 4. 解题注意区分：必须保证角的顶点落在圆上，才可使用这条推论。 ▌例1如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． ▌例2小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，是的直径，，是上的两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，以点为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么_______． ▌对点练1-3如图，点在圆上，，点为的中点，的值为________． 题型 圆周角相关证明题 解题贴士 1. 证明角相等优先考虑用“同弧所对圆周角相等”转化，比用其他方法更直接。 2. 证明垂直的时候，如果其中一条线段是直径，只要证明另一条线段经过直径端点且和直径垂直，或者证明端点处的圆周角是90°即可。 3. 如果要证明某条弦是直径，只需要证明这条弦所对的圆周角是90°即可，这是常用的判定直径的方法。 ▌例1如图为O为圆心为直径的圆，且，， (1)证明E为中点 (2)求的长度 ▌例2如图，为的直径，为上一点，证明：． ▌对点练1-1如图，在中，是直径，是弦，于点E，连接，． (1)证明：； (2)当，时，求的半径． ▌对点练1-2如图，AB，DF是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，且，过点D作DE⊥AB于点E． (1)证明：F是的中点； (2)若，求FC的长． 基础通关 1．如图，是上的三个点．若，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，AB为的直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的外接圆，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，点，在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，点A、B、C、D在上，，点C是弧的中点，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，点A、B、C在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，是的直径，点、在上．若，则________． 9．如图，点A，B，C在上，是等腰直角三角形，则__________． 10．如图， 是的直径， 是的内接三角形．若，，则的长为_______ 11．如图，是的直径，点，在上，，与交于点．若，则的度数为______． 12．如图，为的直径，点，，是上的三点．若，则的度数为________． 13．如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 14．如图，、 、是 的弦，．求证：． 15．如图，在中，，．求的度数． 素养提升 1．如图，是的直径，弦交于点，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，、为的两条弦，、分别为、的中点，的半径为．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，的三个顶点都在上，是直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，四边形内接于，是的三等分点，连接，．若，则的度数为________． 6．如图，在中，是直径，是弦，且，连接，若，则的度数是________． 7．如图，内接于，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 8．如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 迁移创新 1．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题探究】如图1，，为的两条弦，点为的中点，过作、垂足为．求证：． 小明同学的思路是：如图2．在上截取，连接，，，…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程． 【结论运用】如图3，是的内接等边三角形，点是上一点，，连接，．过点作，垂足为．若，求的周长． 【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点为的中点”改为“点为优弧的中点”，其他条件不变，请直接写出、、之间的等量关系． 2．数学兴趣小组开展探究活动，针对九年级上册数学教材习题24.1的第14题进行了深入研究． 【书本原题】如图，是上的四个点，．判断的形状，并证明你的结论． 小红证明如下： 如图1，在中，， …… （1）请你帮他完成后面的证明过程． 【深入探究】 （2）小红在完成此题后，他发现线段，他的发现正确吗？试说明理由． 【应用实践】 （3）如图2，若点是的中点，点在上移动的过程中，小红发现线段的长度一定存在最小值．若的半径为2，请你求出线段的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $