4.4 两个三角形相似的判定 同步讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦“两个三角形相似的判定”核心知识点，系统梳理平行线法、三边法、两边及其夹角法、两角法等判定方法，通过“解题知识-典例-变式”支架设计，从基础图形（A/X型）到综合应用（直角三角形、动态问题、分割问题）逐步深化。 资料以多样化题型（动态点运动、三角形分割等）为载体，培养学生几何直观与推理能力，如变式题通过运动时间变量分析相似条件，发展抽象能力与创新意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过过关验收查漏补缺，强化知识应用。

4.4 两个三角形相似的判定 内 容 导 航 题型1 相似三角形的判定 考 点 演 练 题型1 相似三角形的判定 解｜题｜知｜识 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【典例1】已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵HD⊥AB于D， ∴∠ADH＝90°， ∴∠A+∠AHD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠E+∠AHD＝90°， ∴∠A＝∠E， ∵∠ADH＝∠ACB＝90°， ∴△AHD∽△EBD． 【变式1】如图，△ABC和△DEF都是直角三角形纸片，∠A＝∠D＝90°且△ABC与△DEF不相似．其中AB＝a，AC＝b，DE＝m，DF＝n（n＞b＞a＞m）． 是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把△ABC或△DEF分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为S）与没有分割的三角形相似．如果存在：（1）请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； （2）按照你写出的分割方案，求出S的值（可以用a或b或m或n的代数式表示）． 【答案】（1）详见解析； （2）． 【解答】解：存在，分割方案：（答案不唯一）， 如图： 过点E的直线交边DF于点G，使得∠DEG＝∠B， 证明：∠A＝∠D＝90°AB＝a，AC＝b，DE＝m，DF＝n， ∴，，tan∠DEF，， ∵n＞b＞a＞m， ∴， 即tan∠DEF＞tanB＞tanC＞tanF， ∴∠E＞∠B＞∠C＞∠F， ∵∠A＝∠D＝90°，∠DEG＝∠B， ∴△ABC∽△DEG； （2）∵△ABC∽△DEG， ∴， ∵AB＝a，AC＝b，DE＝m， ∴， ∴． 【变式2】如图，矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝12厘米，P、Q分别是AB、BC上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿BC方向运动，设点P，Q运动的时间为x秒． （1）设△PBQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？ 【答案】（1）； （2）当或x＝2时，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似． 【解答】解：（1）由题意得：AP＝xcm，BQ＝2xcm， ∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣x）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， 当点Q到达点C时，x＝12÷2＝6，当点P到达点B时，x＝8， ∴当0≤x≤6时，； 当6＜x≤8时，； 即； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠PBQ＝∠BCD＝90°， ∵△BPQ与△BDC相似， ∴分情况讨论： ①当∠BPQ＝∠CDB时，有△QBP∽△BCD， ∴，即， 解得：； ②当∠BPQ＝∠CBD时，有△PBQ∽△BCD， ∴，即， 解得：x＝2， ∴当或x＝2时，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似． 【变式3】在△ABC和△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝4cm，AB＝5cm，DE＝15cm，DF＝12cm，那么△ABC与△DEF相似吗？请说明理由． 【答案】△ABC与△DEF相似．理由如下： ∵∠C＝90°， ∴（cm）， ∵∠F＝90°， ∴（cm）， ∴，， ∴， ∵∠C＝∠F＝90°， ∴△ABC与△DEF相似． 【解答】解：△ABC与△DEF相似．理由如下： ∵∠C＝90°， ∴（cm）， ∵∠F＝90°， ∴（cm）， ∴，， ∴， ∵∠C＝∠F＝90°， ∴△ABC与△DEF相似． 过 关 验 收 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm，点P从点C出发，以2cm/s的速度沿着CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着BC向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（　　）s后，△PCQ与△ABC相似． A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解答】解：设经过x秒后△PCQ与△ABC相似， ∵∠C＝∠C， 若△PCQ∽△ACB， 则需， ∴， 10（8﹣x）＝8•2x， 解得； △PCQ∽△BCA， 则需， ∴， 8（8﹣x）＝10•2x， 解得， ∴经过秒或秒，△PCQ与△ABC相似． 故选：C． 2．如图，已知△ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°， ∴△DEC∽△ABC， 故A不符合题意； B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B， ∴△CDE∽△CBA， 故B不符合题意； C、由图形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4， BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3， ∵，， ∴， 又∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BAC， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似， 故D符合题意， 故选：D． 3．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D． 【答案】D 【解答】解：∵△ABP与△ACB有公共角∠A， 当添加条件∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC， 都满足“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法， 故添加条件A、B能判断△ABP∽△ACB； 由于AB、AP、AC、AB都是夹着∠A的边，当添加条件时， 满足“两边对应成比例，夹角相等”的判定方法， 故添加条件C能判断△ABP∽△ACB； 当添加条件时，不满足相似三角形的判定方法， 故添加条件D不能判断△ABP∽△ACB． 故选：D． 4．如图，∠B＝∠D，补充下列条件之一，不一定能判定△ABC和△ADE相似的是（　　） A．∠ACB＝∠AED B．∠CAE＝∠BAD C． D． 【答案】D 【解答】解：∵∠ACB＝∠AED，∠B＝∠D， ∴△ABC∽△ADE， 故A不符合题意； ∵∠CAE＝∠BAD， ∴∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D， ∴△ABC∽△ADE， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∵，∠B＝∠D， ∴△ABC∽△ADE， 故C不符合题意； ∵，∠B＝∠D不符合相似三角形的判定定理， ∴由，∠B＝∠D不能判定△ABC和△ADE相似， 故D符合题意， 故选：D． 5．如图，△ABC中，AB＞AC，D为AB上一点，下列条件：①∠B＝∠ACD，②∠ADC＝∠ACB③，④AC2＝AB•AD中，能判定△ABC与△ACD相似的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵∠B＝∠ACD，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACD，∴①正确； ∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACD，∴②正确； ∵已知，但是夹角∠ACD和∠B不知道相等，∴不能判断两三角形相似，∴③错误； ∵AC2＝AB•AD， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACD，∴④正确； 所以正确的有3个， 故选：C． 6．△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D在边AB上，AD＝5，点E在△ABC的边上，若直线DE截△ABC两边所得的三角形与△ABC相似，则这样的点E有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：如图，DE∥AC，则△BDE∽△BAC； 如图，∠B＝∠B，∠BED＝∠A，则△BDE∽△BAC； 如图，DE∥BC，则△ADE∽△ABC； 故选：C． 7．已知在△ABC与△A1B1C1中，点D、D1分别在边BC、B1C1上，（点D不与点B、C重合，点D1不与点B1、C1重合）．如果，如果从下列条件中增添一个条件，一定可以判定△ABC与△A1B1C1相似的是（　　） ①AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的角平分线； ②AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的中线； ③AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的高． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【解答】解：∵， ∴△ABD∽△A1B1D1， ∴∠B＝∠B1，∠BAD＝∠B1A1D1， 当AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的角平分线时，∠BAC＝2∠BAD，∠B1A1C1＝2∠B1A1D1， ∴∠BAC＝∠B1A1C1， ∴△ABC∽△A1B1C1，所以①正确； 当AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的中线时，BC＝2BD，B1C1＝2B1D1， ∴， 而∠B＝∠B1， ∴△ABC∽△A1B1C1，所以②正确； 当AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的高时，不能判定△ABC∽△A1B1C1，所以③不正确． 故选：A． 8．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 【答案】C 【解答】解：∵∠A是公共角， ∴再加上∠B＝∠ACD，或∠ADC＝∠ACB都可判定△ABC∽△ACD， ∵∠A是公共角，再加上AC2＝AD•AB，即 ，也可判定△ABC∽△ACD， ∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD． 而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能． 故选：C． 9．如图，在△ABC的AB、AC边上分别取点E、F使得△ABC与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（　　） A．3种 B．2种 C．1种 D．全部错误 【答案】A 【解答】解：第一种情况： ∵四边形BCFE是圆内接四边形， ∴∠BEC+∠C＝180°， ∵∠BEC+∠AEF＝180°， ∴∠AEF＝∠C， ∵∠A＝∠A， ∴△AEF∽△ACB； 第二种情况： 由作图知：∠AEF＝∠B， ∵∠EAF＝∠BAC， ∴△AEF∽△ABC； 第三种情况： 由作图知：BF平分∠ABC，E在BF的垂直平分线上， ∴∠ABF＝∠CBF，EB＝EF， ∴∠ABF＝∠EFB， ∴∠CBF＝∠EFB， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴使得△ABC与以A、E、F为顶点的三角形相似，三种尺规作图确定E、F的方法都正确． 故选：A． 10．若△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是（　　） A．AB＝3，BC＝8，AC＝9，DE＝2，，DF＝6 B．AB＝3，BC＝8，AC＝9，，FE＝2，DF＝6 C．AB＝1，，AC＝1.5，DE＝2，，DF＝4 D．AB＝1，，AC＝2，，FE＝2，DF＝6 【答案】A 【解答】解：A、∵，，，∴，∴△ABC∽△DEF．故符合题意； B、∵，，∴，故不符合题意； C、∵，，，∴，故不符合题意； D、∵，，∴，故不符合题意． 故选：A． 11．如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　） A．∠C＝∠E B．∠B＝∠D C． D． 【答案】C 【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC， A、当∠C＝∠E时，△ABC∽△ADE，能证明相似，故选项A不符合题目要求， B、当∠B＝∠D时，△ABC∽△ADE，能证明相似，故选项B不符合题目要求， C、当时，不能判定△ABC与△ADE相似，故选项C符合题目要求， D、当时，△ABC∽△ADE，能证明相似，故选项D不符合题目要求． 故选：C． 12．下列语句叙述正确的是（　　） A．有一个角是30°的等腰三角形都相似 B．有一个角是30°的直角三角形都相似 C．有一个角是30°的锐角三角形都相似 D．有一个角是30°的钝角三角形都相似 【答案】B 【解答】解：A、有一个角是30°的等腰三角形不一定相似，如30°、75°、75°的等腰三角形和30°、30°、120°的等腰三角形不相似，故本选项错误； B、有一个角是30°的直角三角形都相似，正确； C、有一个角是30°的锐角三角形不一定相似，如30°、70°、80°的锐角三角形和30°、65°、85°的锐角三角形不相似，故本选项错误； D、有一个角是30°的钝角三角形不一定相似，如30°、100°、50°的钝角三角形和30°、110°、40°的钝角三角形不相似，故本选项错误； 故选：B． 13．已知P是△ABC的边AC上一点，连接BP，则下列不能判定△ABP∽△ACB的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D． 【答案】D 【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C， ∴△ABP∽△ACB，故本选项错误； B、∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC， ∴△ABP∽△ACB，故本选项错误； C、∵∠A＝∠A，， ∴△ABP∽△ACB，故本选项错误； D、根据和∠A＝∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确； 故选：D． 14．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE与BC不平行，添加下列条件之一仍不能判定△ADE∽△ACB的是（　　） A． B． C．∠AED＝∠B D．∠ADE＝∠C 【答案】B 【解答】解：∵∠DAE＝∠CAB， ∴当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB； 当∠AED＝∠B时，△ADE∽△ACB； 当时，△ADE∽△ACB． 故选：B． 15．如图，在△ABC与△ADE中，∠B＝∠D，添加下列一个条件不能使△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠BAD＝∠CAE B． C．∠C＝∠E D． 【答案】D 【解答】解：A、∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAC＝∠DAE， 又∵∠B＝∠D， ∴△ADE∽△ABC，不合题意； B、∵，∠B＝∠D， ∴△ADE∽△ABC，不合题意； C、∵∠B＝∠D，∠E＝∠C， ∴△ADE∽△ABC，不合题意； D、无法得出△ABC与△ADE相似，符合题意． 故选：D． 16．如图，已知点D是△ABC边BC边上的一点，连接AD．以下条件中不能判定△ABD∽△CBA的是（　　） A．∠BAD＝∠C B．∠ADB＝∠BAC C．AB2＝BD•BC D． 【答案】D 【解答】解：∵∠B是公共角， ∴当∠BAD＝∠C或∠ADB＝∠BAC时，根据有两组相等的角的三角形相似得△ABD∽△CBA， 故A和B正确； 当时，即AB2＝BD•BC，根据两组对应边成比例及其夹角相等的三角形相似得△ABD∽△CBA， 故C正确； 当时，∠B不是夹角，故不能判定△ABD和△CBA相似， 故D错误； 故选：D． 17．如图，△ABC中，P为AB上的一点．下列四个条件：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③；④；其中能判断△APC∽△ACB的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【解答】解：①∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可证△APC∽△ACB，故①符合题意； ②∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A，可证△APC∽△ACB，故②符合题意； ③，∠A＝∠A，可证△APC∽△ACB，故③符合题意； ④，∠A＝∠A，不能证明△APC∽△ACB，故④不符合题意； 故选：D． 18．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（　　） A．都含有一个65°的内角 B．都含有一个75°的内角 C．都含有一个85°的内角 D．都含有一个95°的内角 【答案】D 【解答】解：A．两个等腰三角形都含有一个65°的内角，若65°为一个等腰三角形的顶角，65°为另一个等腰三角形的底角，则两个等腰三角形不相似，所以A选项不符合题意； B．两个等腰三角形都含有一个75°的内角，若75°为一个等腰三角形的顶角，75°为另一个等腰三角形的底角，则两个等腰三角形不相似，所以B选项不符合题意； C．两个等腰三角形都含有一个85°的内角，若85°为一个等腰三角形的顶角，85°为另一个等腰三角形的底角，则两个等腰三角形不相似，所以C选项不符合题意； D．两个等腰三角形都含有一个95°的内角，则95°为等腰三角形的顶角，两个等腰三角形的底角也相等，则两个等腰三角形不相似，所以D选项符合题意． 故选：D． 19．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，连结DE．若单独添加下列条件，其中不能使△ADE∽△ACB的是（　　） A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C． D． 【答案】C 【解答】解：△ADE和△ABC中已有∠A＝∠A， A选项：∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，根据有两个角对应相等的两个三角形相似，可得：△ADE∽△ACB，故A选项不符合题意； B选项：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，根据有两个角对应相等的两个三角形相似，可得：△ADE∽△ACB，故B选项不符合题意； C选项：∵∠A＝∠A，，其中∠A不是对应成比例的两边的夹角，∴不能判定△ADE∽△ACB，故C选项符合题意； D选项：∵∠A＝∠A，，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得：△ADE∽△ACB，故D选项不符合题意． 故选：C． 20．如图是一个正方形网格，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与△ABC不相似的是（　　） A．△BDE B．△BCD C．△FGH D．△BFG 【答案】B 【解答】解：设每个小正方形的边长为1，则在△ABC中，AB＝1，，， A、在△BDE中，DE＝2，，， ∵，，， ∴， ∴△ABC∽△DEB，故A选项不符合题意； B、在△BCD中，CD＝1，，， ∵，，， ∴， ∴△ABC和△BCD不相似，故B选项符合题意； C、在△FGH中，，FH＝2，， ∵，，， ∴， ∴△ABC∽△HGF，故C选项不符合题意； D、在△BFG中，，，BG＝5， ∵，，， ∴， ∴△ABC∽△FBG，故D选项不符合题意； 故选：B． 21．某学习小组研究问题“如图，已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，求证：△DEF∽△ABC．”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（　　） A．可证，进而证得△DEF∽△ABC B．可证∠B＝∠FED，∠C＝∠EFD，进而证得△DEF∽△ABC C．可证∠B＝∠FED，，进而证得△DEF∽△ABC D．可证△FBD∽△DEF，△FBD∽△ABC，进而证得△DEF∽△ABC 【答案】C 【解答】解：∵D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点， ∴DE∥AB，且DEAB，EF∥BC，且EFBC，FD∥AC，且FDAC， ∴， ∴△DEF∽△ABC， 故A不符合题意； ∵DE∥BF，EF∥BD， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∴∠B＝∠FED， 同理四边形CDFE是平行四边形， ∴∠C＝∠EFD， ∴△DEF∽△ABC， 故B不符合题意； ∵AB∥ED， ∴△ABC∽△EDC， ∴， ∵DC＝EF， ∴， ∴不成立， ∴由∠B＝∠FED，，不能证得△DEF∽△ABC， 故C符合题意； ∵DE∥AB，EF∥BC， ∴∠BFD＝∠EDF，∠BDF＝∠EFD， ∴△FBD∽△DEF， ∵FD∥AC， ∴△FBD∽△ABC， ∴△DEF∽△ABC， 故D不符合题意， 故选：C． 22．符合下列条件的两个三角形一定相似的是（　　） A．两个锐角三角形 B．两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【解答】解：A，三组对应内角中两个锐角三角形可能并不相等或不全相等，如30°，70°，80°和40°，60°，80°，故不一定相似，故不符合题意； B，两个直角三角形，两内角可能并不对应相等，只能确定一组直角对应相等，如30°，60°，90°和40°，50°，90°，故不一定相似，故不符合题意； C，两个等腰三角形，底角和顶角不一定对应相等，如30°，30°，120°和40°，40°，100°，故不一定相似，故不符合题意； D，两个三角形三内角都是60°，对应相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”可得一定相似，故符合题意． 故选：D． 23．下列命题中，说法正确的是（　　） A．有两边之比为1：2的两个直角三角形一定相似 B．有两边之比为1：2的两个等腰三角形一定相似 C．有两个内角的度数之比为1：2的两个直角三角形一定相似 D．有两个内角的度数之比为1：2的两个等腰三角形一定相似 【答案】B 【解答】解：A、两直角边之比为1：2的直角三角形与含30°的直角三角形不相似，所以本选项说法错误，不符合题意； B、根据三角形两边之和大于第三边，如果一个等腰三角形中有两边之比为1：2时只能是底边与腰之比为1：2，那么所有这样的等腰三角形三边对应成比例，所以本选项说法正确，符合题意； C、等腰直角三角形与含30°的直角三角形不相似，所以本选项说法错误，不符合题意； D、等腰直角三角形与顶角为36°的等腰三角形不相似，所以本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 24．一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形　　　 相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）． 【答案】一定 【解答】解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4， ∴， ∴这两个直角三角形一定相似． 故答案为：一定． 25．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中 　　　 　 对相似三角形． 【答案】三． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴△AEF∽△DCF，△AEF∽△BEC， ∴△BEC∽△DCF， 故图中三对相似三角形． 故答案为：三． 26．如图：已知△ABC中，D是AB上一点，添加一个条件 　　　 ，可使△ABC∽△ACD． 【答案】∠ADC＝∠ACB 【解答】解；由图可知∠CAD＝∠BAC，再加一个对应角相等即可， 所以，可以为：∠ADC＝∠ACB或∠ABC＝∠ACD， 故答案为：∠ADC＝∠ACB． 27．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB；其中正确的是　　　　 　 ． 【答案】①②④． 【解答】解：∵△BPC是等边三角形， ∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD，∠ABD＝∠DBC＝∠BDE＝45°，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC＝90°， ∴CP＝CD＝AB，∠ABE＝∠DCF＝30°， ∴∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正确； ∵△BPC是等边三角形， ∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°， ∵∠ABE＝∠DCF＝30°， ∴∠PEF＝∠PFE＝60°， ∴△PEF是等边三角形， ∴PE＝PF， ∴CP+PF＝BP+PE， ∴CF＝BE， 在Rt△ABE中，∠ABE＝30°， ∴BE＝2AE， ∴CF＝2AE，故②正确； ∵∠CDP＝75°， ∴∠PDE＝15°， ∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°， ∴∠EBD＝∠EDP， ∵∠DEP＝∠DEB， ∴△BDE∽△DPE， ∴∠EPD＝∠BDE＝45°， ∵∠BPC＝∠EPF＝60°， ∴∠FPD＝105°， ∵∠BHP＝∠BCH+∠HBC＝105°， ∴∠DPF＝∠BHP， 又∵∠PDF＝∠DBP＝15°， ∴△BHP∽△DPF，故④正确； ∴， ∴， ∵∠DCF＝30°， ∴， ∴， ∴，故③错误， 故答案为：①②④． 28．如图，△ABC为边长为7cm的等边三角形，BD＝6cm，CE＝2cm，P为BC上动点，以0.25cm/s的速度从B向C运动，假设P点运动时间为t秒，当t＝　　　 秒时，△BDP与△CPE相似． 【答案】12或16或21． 【解答】解：若△BDP∽△CPE，则， ∴， ∴BP＝3或4， ∴t12（s）或t16（s）， 若△BDP∽△CEP，则， ∴， ∴BP， ∴t21（s）， 故答案为：12或16或21． 29．如图，已知点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，要使得△ABC∽△AED，可添加的一个条件是 　　　　 ．（只写一个） 【答案】∠ADE＝∠C（答案不唯一）． 【解答】解：根据题意， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴当∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED． 所以可添加的一个条件是∠ADE＝∠C（答案不唯一）． 故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）． 30．数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（latticepoint）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点A、B、C、D都是格点，△PQR是一个格点三角形，且点P的坐标是（4，1），若点A、B、C、D分别都和点P、Q联结，且联结后构成的格点三角形和△PQR相似，则这个点的坐标是 　　　　 ． 【答案】（2，2）． 【解答】解：∵∠QPR＝∠BQP，， ∴△BQP∽△QPR，B点坐标为（2，2）． 故答案为：（2，2）． 31．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）求AB的长． （2）当t为何值时，△PBQ与△ABC相似？ 【答案】（1）10； （2）或． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴． 答：AB的长为10； （2）由题意得，AP＝t，BQ＝2t， 因此BP＝10﹣t， △PBQ与△ABC相似有两种情况， ①当△PBQ∽△ABC时，， 即， 解得； ②当△PBQ∽△CBA时，， 即， 解得； 综上所述，当t为或时，△PBQ与△ABC相似． 32．四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连接EF、CF，EF交对角线AC于点G． （1）若AC＝8，求AG的长； （2）如果AB＝AC，求证：△AFG∽△ACF． 【答案】（1）2； （2）证明：∵F为边AB的中点， ∴， ∵AB＝AC， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在△AFG和△ACF中， 又∵∠FAG＝∠CAF， ∴△AFG∽△ACF． 【解答】（1）解：如图，连接BD交AC于点O， ∵点E和点F分别为边AD，AB的中点， ∴EF是△ABD的中位线，AF＝FB， ∴EF∥BD， ∴， ∴AG＝GO， ∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝8， ∴AO＝OC， ∴AOAC， ∴， ∴AG的长为2； （2）证明：∵F为边AB的中点， ∴， ∵AB＝AC， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在△AFG和△ACF中， 又∵∠FAG＝∠CAF， ∴△AFG∽△ACF． 33．（1）解方程：2x2﹣5x+3＝0； （2）如图，线段CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，求证：△ACD∽△CBD． 【答案】（1）； （2）∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴△ACD∽△CBD． 【解答】（1）解：2x2﹣5x+3＝0， ∴， ∴； （2）证明：∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴△ACD∽△CBD． 34．（1）计算：； （2）如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．求证：△ABE∽△EGB． 【答案】（1）1； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，∠A＝∠BEF＝90°， ∴∠AEB＝∠GBE， ∴△ABE∽△EGB． 【解答】（1）解：原式 ＝1 （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，∠A＝∠BEF＝90°， ∴∠AEB＝∠GBE， ∴△ABE∽△EGB． 35．如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点． 小星：若∠ACP＝∠B，则可证：△ACP∽△ABC 小红：若，则可证△ACP∽△ABC 小亮：若．则可证△ACP∽△ABC （1）请判断三人的对错：小星　　 ，小红　　 ，小亮　　 ．（均选填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法求证：△ACP∽△ABC． 【答案】（1）对，对，错； （2）择小星的证明： ∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B， ∴△ACP∽△ABC， 选择小红的证明： ∵∠A＝∠A， ， ∴△ACP∽△ABC． 【解答】（1）解：小星和小红对，小亮错， 故答案为：对，对，错； （2）证明：选择小星的证明： ∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B， ∴△ACP∽△ABC， 选择小红的证明： ∵∠A＝∠A， ， ∴△ACP∽△ABC． 36．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠D＝∠CAE． ∴△ABD∽△ECA； （2）解：∵AB＝AC，AC＝6， ∴AB＝AC＝6， ∵△ABD∽△ECA， ∴， ∴， ∴BD＝9． 37．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵BD＝1，DC＝3， ∴BC＝BD+CD＝1+3＝4， ∵， ∴， ∵∠B为公共角， ∴△ABD∽△CBA． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 两个三角形相似的判定 内 容 导 航 题型1 相似三角形的判定 考 点 演 练 题型1 相似三角形的判定 解｜题｜知｜识 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【典例1】已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD． 【变式1】如图，△ABC和△DEF都是直角三角形纸片，∠A＝∠D＝90°且△ABC与△DEF不相似．其中AB＝a，AC＝b，DE＝m，DF＝n（n＞b＞a＞m）． 是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把△ABC或△DEF分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为S）与没有分割的三角形相似．如果存在：（1）请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； （2）按照你写出的分割方案，求出S的值（可以用a或b或m或n的代数式表示）． 【变式2】如图，矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝12厘米，P、Q分别是AB、BC上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿BC方向运动，设点P，Q运动的时间为x秒． （1）设△PBQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？ 【变式3】在△ABC和△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝4cm，AB＝5cm，DE＝15cm，DF＝12cm，那么△ABC与△DEF相似吗？请说明理由． 过 关 验 收 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm，点P从点C出发，以2cm/s的速度沿着CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着BC向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（　　）s后，△PCQ与△ABC相似． A． B．或 C．或 D．或 2．如图，已知△ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D． 4．如图，∠B＝∠D，补充下列条件之一，不一定能判定△ABC和△ADE相似的是（　　） A．∠ACB＝∠AED B．∠CAE＝∠BAD C． D． 5．如图，△ABC中，AB＞AC，D为AB上一点，下列条件：①∠B＝∠ACD，②∠ADC＝∠ACB③，④AC2＝AB•AD中，能判定△ABC与△ACD相似的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D在边AB上，AD＝5，点E在△ABC的边上，若直线DE截△ABC两边所得的三角形与△ABC相似，则这样的点E有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知在△ABC与△A1B1C1中，点D、D1分别在边BC、B1C1上，（点D不与点B、C重合，点D1不与点B1、C1重合）．如果，如果从下列条件中增添一个条件，一定可以判定△ABC与△A1B1C1相似的是（　　） ①AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的角平分线； ②AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的中线； ③AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的高． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 8．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 9．如图，在△ABC的AB、AC边上分别取点E、F使得△ABC与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（　　） A．3种 B．2种 C．1种 D．全部错误 10．若△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是（　　） A．AB＝3，BC＝8，AC＝9，DE＝2，，DF＝6 B．AB＝3，BC＝8，AC＝9，，FE＝2，DF＝6 C．AB＝1，，AC＝1.5，DE＝2，，DF＝4 D．AB＝1，，AC＝2，，FE＝2，DF＝6 11．如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　） A．∠C＝∠E B．∠B＝∠D C． D． 12．下列语句叙述正确的是（　　） A．有一个角是30°的等腰三角形都相似 B．有一个角是30°的直角三角形都相似 C．有一个角是30°的锐角三角形都相似 D．有一个角是30°的钝角三角形都相似 13．已知P是△ABC的边AC上一点，连接BP，则下列不能判定△ABP∽△ACB的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D． 14．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE与BC不平行，添加下列条件之一仍不能判定△ADE∽△ACB的是（　　） A． B． C．∠AED＝∠B D．∠ADE＝∠C 15．如图，在△ABC与△ADE中，∠B＝∠D，添加下列一个条件不能使△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠BAD＝∠CAE B． C．∠C＝∠E D． 16．如图，已知点D是△ABC边BC边上的一点，连接AD．以下条件中不能判定△ABD∽△CBA的是（　　） A．∠BAD＝∠C B．∠ADB＝∠BAC C．AB2＝BD•BC D． 17．如图，△ABC中，P为AB上的一点．下列四个条件：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③；④；其中能判断△APC∽△ACB的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 18．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（　　） A．都含有一个65°的内角 B．都含有一个75°的内角 C．都含有一个85°的内角 D．都含有一个95°的内角 19．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，连结DE．若单独添加下列条件，其中不能使△ADE∽△ACB的是（　　） A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C． D． 20．如图是一个正方形网格，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与△ABC不相似的是（　　） A．△BDE B．△BCD C．△FGH D．△BFG 21．某学习小组研究问题“如图，已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，求证：△DEF∽△ABC．”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（　　） A．可证，进而证得△DEF∽△ABC B．可证∠B＝∠FED，∠C＝∠EFD，进而证得△DEF∽△ABC C．可证∠B＝∠FED，，进而证得△DEF∽△ABC D．可证△FBD∽△DEF，△FBD∽△ABC，进而证得△DEF∽△ABC 22．符合下列条件的两个三角形一定相似的是（　　） A．两个锐角三角形 B．两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 23．下列命题中，说法正确的是（　　） A．有两边之比为1：2的两个直角三角形一定相似 B．有两边之比为1：2的两个等腰三角形一定相似 C．有两个内角的度数之比为1：2的两个直角三角形一定相似 D．有两个内角的度数之比为1：2的两个等腰三角形一定相似 24．一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形　 　 相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）． 25．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中 　 　 对相似三角形． 26．如图：已知△ABC中，D是AB上一点，添加一个条件 　 　 ，可使△ABC∽△ACD． 27．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB；其中正确的是　 　 ． 28．如图，△ABC为边长为7cm的等边三角形，BD＝6cm，CE＝2cm，P为BC上动点，以0.25cm/s的速度从B向C运动，假设P点运动时间为t秒，当t＝　 　 秒时，△BDP与△CPE相似． 29．如图，已知点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，要使得△ABC∽△AED，可添加的一个条件是 　 　 ．（只写一个） 30．数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（latticepoint）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点A、B、C、D都是格点，△PQR是一个格点三角形，且点P的坐标是（4，1），若点A、B、C、D分别都和点P、Q联结，且联结后构成的格点三角形和△PQR相似，则这个点的坐标是 　 　 ． 31．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）求AB的长． （2）当t为何值时，△PBQ与△ABC相似？ 32．四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连接EF、CF，EF交对角线AC于点G． （1）若AC＝8，求AG的长； （2）如果AB＝AC，求证：△AFG∽△ACF． 33．（1）解方程：2x2﹣5x+3＝0； （2）如图，线段CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，求证：△ACD∽△CBD． 34．（1）计算：； （2）如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．求证：△ABE∽△EGB． 35．如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点． 小星：若∠ACP＝∠B，则可证：△ACP∽△ABC 小红：若，则可证△ACP∽△ABC 小亮：若．则可证△ACP∽△ABC （1）请判断三人的对错：小星　 　 ，小红　 　 ，小亮　 　 ．（均选填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法求证：△ACP∽△ABC． 36．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度． 37．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA． 学科网（北京）股份有限公司 $