专题2.1 随机事件的概率（举一反三讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦随机事件的概率核心知识点，从随机事件的分类（必然、不可能、随机事件）入手，逐步展开可能性大小比较、概率定义与计算（公式、列表法、树状图法）、几何概率、频率估计概率及实际应用，构建递进式学习支架。 资料以14个题型为载体，结合生活实例（如转盘抽奖、比赛决策），通过例题与变式题设计，培养学生用数学眼光观察现实世界，发展推理意识与数据观念，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题2.1 随机事件的概率（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 必然事件、不可能事件、随机事件】 2 【题型2 可能性的大小】 3 【题型3 概率的意义】 5 【题型4 利用概率公式求概率】 8 【题型5 几何概率】 9 【题型6 利用列表法求概率】 11 【题型7 利用树状图法求概率】 14 【题型8 游戏公平性】 16 【题型9 判断频率与概率说法的正误】 20 【题型10 由多次试验的频率求数值】 23 【题型11 利用频率估计概率】 24 【题型12 概率在保险业中的应用】 27 【题型13 概率在转盘抽奖中的应用】 30 【题型14 概率在比赛中的应用】 35 考点1 随机事件 知识点1 随机事件的概念 事件类型 定义 举例 确定性事件 必然事件 在一定条件下，有些事件必然会发生 水涨船高、水滴石穿、铁杵磨成针 不可能事件 在一定条件下，有些事件必然不会发生 水中捞月、海枯石烂 随机事件（不确定事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 守株待兔、海市蜃楼 知识点2 事件发生的可能性大小 1. 随机事件发生的可能性有大小之分，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同． 2. 必然事件发生的可能性为100%，不可能事件发生的可能性为0%，随机事件发生的可能性范围为0%~100%（不包括0%和100%）． 3. 随机事件的可能性大小比较的步骤 （1）确定：明确“决定不同随机事件发生的要素”； （2）计算：计算每一个要素的数量； （3）结论：比较数量的多少，判断可能性的大小． 【题型1 必然事件、不可能事件、随机事件】 【例1】（25-26八年级下·江苏南京·期末）下列事件是随机事件的是（     ） A．在标准大气压下，温度低于时水结冰 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．人中至少有人的生日相同 【答案】C 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；据此逐一判断即可． 【详解】解：A．标准大气压下，温度低于时水一定结冰，是必然事件，故该选项不符合题意， B．任意三角形的内角和为，不是，故该选项为不可能事件，不符合题意， C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故该选项是随机事件，符合题意， D．一年最多有天，人中至少有人的生日相同，故该选项是必然事件，不符合题意． 【变式1-1】（2026·湖北武汉·中考真题）袋中只有个红球和个黑球，从中一次摸出两个球，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两个球都是黑球 B．两个球中必有一个红球 C．两个球都是红球 D．两个球中一个是红球一个是黑球 【答案】A 【分析】在每一次实验中都一定不会发生的事件为不可能事件，据此判断即可． 【详解】解：袋中有个红球、个黑球，一次摸出个球， ∵黑球仅有个， ∴两个球都是黑球是不可能事件． 【变式1-2】（25-26六年级下·上海·期末）有两个事件，事件：3人中至少有2人性别相同；事件：抛掷一枚均匀的骰子（6个面分别为1-6），朝上的面点数为10．下列说法正确的是（     ） A．事件A、B都是确定事件 B．事件是不确定事件，事件是确定事件 C．事件A、B都是不确定事件 D．事件是确定事件，事件是不确定事件 【答案】A 【分析】确定事件包含必然事件与不可能事件，据此分别判断事件A、B的类型即可． 【详解】解：人的性别只有2种，3人中至少有2人性别相同是必然事件，故事件A属于确定事件． 抛掷均匀骰子，朝上的面点数取值为1到6，点数为10是不可能事件，故事件B属于确定事件． 故事件A、B都是确定事件． 【变式1-3】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）下列事件：①明天是晴天；②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数；③在标准大气压下，气温为时，冰能熔化成水；④0大于一切负数．其中是必然事件的有__________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】先明确必然事件的定义，再逐一判断每个事件的类型，即可得到结果． 【详解】解：必然事件的定义为：在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件， ①明天是否为晴天不确定，可能发生也可能不发生，属于随机事件， ②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数可能是奇数也可能是偶数，结果不确定，属于随机事件， ③标准大气压下，冰在温度高于时会熔化为水，高于，该事件一定发生，属于必然事件， ④根据有理数的大小比较法则，大于一切负数，该事件一定成立，属于必然事件． 【题型2 可能性的大小】 【例2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）袋子里有5个红球，个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则的值为_______． 【答案】 4 【分析】根据摸到球的可能性大小与球的数量的关系，得到的取值范围，结合三种球数量互不相等，为正整数即可求解． 【详解】解：根据可能性的意义，球的数量越多，摸到该种球的可能性越大， 摸到红球的可能性最大，红球有5个，黑球有3个，白球有个， ，，即， 摸到黑球的可能性最小， ， 即， 又三种球的数量互不相等，为正整数， ∴． 【变式2-1】（2026·江苏苏州·中考真题）有5个女同学、3个男同学玩击鼓传花游戏，花停在________同学手上的可能性比较大． 【答案】女 【详解】根据题意，得女同学有5人，男同学有3人， 因为，女同学人数大于男同学人数， 所以花停在女同学手上的可能性比较大． 【变式2-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）在一口锅里有外表一样的汤圆，其中7个是花生馅的，5个是黑芝麻馅的，8个是豆沙馅的，2个是山楂馅的．小文随意捞起一个，捞到可能性最大的汤圆是（     ） A．花生馅汤圆 B．豆沙馅汤圆 C．黑芝麻馅汤圆 D．山楂馅汤圆 【答案】B 【分析】总情况数固定时，某一类事件对应的数量越多，发生该事件的可能性越大，只需比较不同馅料汤圆的数量即可求解. 【详解】解：由题意得四种汤圆的数量分别为：花生馅7个，黑芝麻馅5个，豆沙馅8个，山楂馅2个， ∵ ，豆沙馅汤圆的数量最多， ∴ 随意捞起一个，捞到豆沙馅汤圆的可能性最大. 【变式2-3】某路口红绿灯的时间设置为红灯，绿灯，黄灯．小明经过该路口时，遇到_________灯的可能性最大，遇到_________灯的可能性最小． 【答案】 绿 黄 【分析】本题考查了事件发生的可能性的大小，根据时间长短确定可能性的大小是解答的关键．根据在这几种灯中，每种灯时间的长短，即可得出答案． 【详解】解：因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间最短， 所以小明经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大，遇到黄灯的可能性最小． 故答案为：绿；黄． 考点2 简单随机事件的概率 知识点3 概率的定义及计算公式 1. 概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)． 2. 概率的计算公式 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝． 3. 概率的取值 （1）当事件A是必然事件时，P(A)＝1； （2）当事件A是不可能事件时，P(A)＝0； （3）当事件A是随机事件时，P(A)满足0＜P(A)＜1． 知识点4 用列举法求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率． （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 画树状图法 步骤 用法 注意 ①关键要弄清楚每一步有几种结果 ②在树状图下面对应写出所有等可能的结果， 并找出事件所包含的结果数 ③利用概率公式进行计算 是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）时求概率的好方法 ①弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步 ②在摸球试验中一定要弄清“放回”还是“不放回” 【题型3 概率的意义】 【例3】（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图所示，天气预报软件显示“佛山市明天的降水概率为”，下列对这条信息的说法中，正确的是（     ） A．当天佛山市将有的地方会下雨 B．当天佛山市将有的时间会下雨 C．当天佛山市下雨的可能性较大 D．当天佛山市下雨的总降水量一定为 【答案】C 【分析】根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答． 【详解】解：“佛山市明天的降水概率为”，说明当天佛山市下雨的可能性较大． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为、、．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是___________．（填“甲”、“乙”或“丙”） 【答案】乙 【分析】本题考查的是概率的意义，理解概率的取值范围与事件发生可能性的对应关系是解题的关键．根据概率的取值意义：概率越接近，事件发生的可能性越大；概率等于则事件必然发生，进而判断出概率为的事件“发生的可能性很大，但不一定发生”． 【详解】解：甲事件发生的概率为，远小于，发生的可能性很小； 乙事件发生的概率为，接近，发生的可能性很大，但概率小于，因此不一定发生； 丙事件发生的概率为，表示一定发生，不符合“不一定发生”的描述． 故答案为：乙． 【变式3-2】（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）以下说法合理的是（   ） A．小明在抛图钉10次的试验中发现有4次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．掷一枚骰子，掷出点6的概率是，意思是每掷6次就有1次掷得点数为6 C．某彩票的中奖机会是百分之五，那么买100张彩票一定会有5张中奖 D．甲、乙两组同学分别进行抛掷硬币的试验，正面朝上的频率分别为和 【答案】D 【分析】概率是事件发生可能性大小的度量，只有大量重复试验后，才可利用频率估计概率，概率不代表有限次试验的结果一定发生，据此逐一判断选项． 【详解】解：∵只有大量重复试验才可利用频率估计概率，10次试验次数过少，不能确定钉尖朝上的概率为，∴A错误； ∵掷骰子得到6点的概率为，表示大量重复试验时，平均每6次试验会出现1次6点朝上，并非每掷6次就一定有1次掷出6点，∴B错误； ∵彩票中奖机会是，表示每张彩票中奖的可能性为，买100张彩票不一定会有5张中奖，∴C错误； ∵不同小组进行有限次试验，得到的正面朝上频率可以不同，只要在概率附近都合理，和都接近真实概率，∴D正确． 【变式3-3】（25-26七年级下·山西·期中）关于概率意义的理解，下列说法正确的是（   ） A．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是． B．中国星网星座计划中，某批次卫星发射成功概率为0.95，则发射100颗该批次卫星，一定会有95颗成功入轨． C．小明做了2次抛掷均匀硬币的试验，结果两次正面朝上，他认为再抛一次一定是反面朝上． D．据行业报告，2026年我国智能算力占比有望突破，但对于某一家具体企业而言，其智能算力占比可能远高于或远低于这一数值． 【答案】D 【详解】解：A、射击运动员射击中靶与不中靶不是等可能事件，不满足等可能事件概率的计算条件，击中靶的概率不是，故A错误； B、卫星发射成功概率为0.95仅表示发射成功的可能性大小，不代表发射100颗一定有95颗成功，故B错误； C、抛掷均匀硬币是独立随机事件，每次抛掷正面朝上的概率均为，前两次结果不影响下一次结果，再抛一次不一定是反面朝上，故C错误； D、是全国范围智能算力占比的整体统计结果，反映整体的趋势，单个企业的智能算力占比受具体情况影响，可能远高于或远低于该数值，符合概率意义，故D正确． 【题型4 利用概率公式求概率】 【例4】有长度分别是的四条线段，任取其中的3条，恰好能构成三角形的概率是（     ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】先列出任取3条线段的所有等可能结果，再根据三角形三边关系找出能构成三角形的结果数，最后根据概率公式计算概率。 【详解】解：∵从长度为四条线段中任取3条，共有4种等可能的结果，分别为： 根据三角形任意两边之和大于第三边判断，只有这一组满足三边关系，符合条件的结果共1种. ∴恰好能构成三角形的概率是． 【变式4-1】（25-26七年级下·广东揭阳·期末）小亮制作了5张完全相同的代表揭阳特色的卡片，卡片内容分别为：景点·揭阳楼，非遗·阳美玉雕，民俗·英歌舞，美食·惠来绿豆饼、特产·荔枝．他将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，从中随机抽取1张，抽得卡片为景点·揭阳楼的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：共有5张卡片， 从中任意抽出一张卡片，共有5种等可能的结果， 其中卡片为景点·揭阳楼只有1种结果， 抽得卡片为景点·揭阳楼的概率为． 【变式4-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点恰好在第一象限的概率是________． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中象限的坐标特征，找出第一象限的点的个数，再利用概率公式计算即可求解． 【详解】解：从五个点中任选一个点，共有5种等可能的结果， 五个点中恰好在第一象限的点为和，共2个， 根据概率公式可得，选到的点恰好在第一象限的概率是． 【变式4-3】（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）年春晚舞台上十二花神节目火速出圈，展现了四季轮转、生生不息、以花喻人的东方文化．其中十二花神依次亮相，分别对应：梅花、杏花、桃花、芍药、石榴、荷花、蜀葵、桂花、菊花、芙蓉、山茶、水仙．主持人随机从中抽取位花神进行互动采访，抽到“梅花”花神的概率是______． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定所求事件包含的结果数，再代入概率公式计算． 【详解】解：∵本次抽取共有种等可能的结果，抽到“梅花”花神的结果只有种， ∴根据概率公式可得，抽到“梅花”花神的概率为． 【题型5 几何概率】 【例5】（25-26七年级下·四川达州·期末）在半径为5的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为 __________．（π取3） 【答案】 【分析】根据已知首先求出圆的面积以及正方形的面积，即可得出落在正方形内的概率． 【详解】解：圆的面积为， 正方形的边长为，则其面积为， ∴落在正方形内的概率为. 【变式5-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）每年一到3月和4月，苏州不少马路边的树上就会落满黑色果子．行人走过，踩上去“噗噗噗”地在地上留下一个个小黑点，这是香樟树的果实．某汽车车顶面积为平方米，该车天窗尺寸是一矩形，长为，宽为，全部打开天窗后，汽车正好经过香樟树，果实此时正好掉落下来，通过天窗掉进车内的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先统一单位，求出该车天窗的面积，再利用概率等于天窗的面积与车顶面积的比，计算即可． 【详解】解： ，， 该车天窗的面积为， 汽车车顶面积为平方米， 通过天窗掉进车内的概率是． 【变式5-2】（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图是商场促销圆形转盘，由相连的红、蓝、白3块扇形构成，随机转动转盘，指针落在红色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：指针落在红色区域的概率是：. 【变式5-3】（25-26七年级下·山东烟台·期末）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板不重叠地拼成的动物图案，并将其中一部分涂色、有一只蚊子（大小可看作一个点）随机停留在图案上，则停留在涂色部分的概率是___． 【答案】 【分析】设大正方形的面积为“1”，再求出涂色部分的面积，最后用除法即可求出停留在涂色部分的概率． 【详解】解：设大正方形的面积为“1”， 涂色部分的面积为：， 则停留在涂色部分的概率是． 【点睛】掌握七巧板中七个图形之间的倍数关系． 【题型6 利用列表法求概率】 【例6】小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． 【答案】 【分析】列表或树状图将所有等可能的结果全部列举出来，用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 羊1 羊2 猴A 猴B 羊1 1，1 1，2 1，A 1，B 羊2 2，1 2，2 2，A 2，B 猴A A，1 A，2 A，A A，B 猴B B，1 B，2 B，A B，B 由列表得：共有16种等可能的结果，两次抽取的卡片画面不同的有8种， 故两张抽取的卡片画面不同的概率是． 【变式6-1】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】列表如下： 由表可知，一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好都从同一入口进入的结果有3种， P（甲、乙两人恰好都从同一入口进入）=． 【变式6-2】不透明的纸箱里装有张画有“”和张画有“”的卡片，这些卡片除了图案不同外其他都相同．从中任意抽取一张，不放回再从中抽取一张，则两次抽到的卡片的图案不同的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：            第张 第张 安全卫士 安全卫士 微信 安全卫士 （安全卫士，安全卫士） （微信，安全卫士） 安全卫士 （安全卫士，安全卫士） （微信，安全卫士） 微信 （安全卫士，微信） （安全卫士，微信） 共有种等可能出现的结果，其中两次抽到的卡片的图案不同的有种， 所以两次抽到的卡片的图案不同的概率是． 【变式6-3】我国网球名将李娜在今年法国网球公开赛上的出色表现，大大激发了国人对网球的热情．在一项“你最喜欢的球类运动”的调查中，共有50名同学参与调查，每人必选且只选一项，将调查结果绘制成频数分布直方图如下，根据图中信息回答： (1)被调查的同学中选择喜欢网球的有______人； (2)孔明同学在被调查中选择的是羽毛球，现要在参与调查选择喜欢羽毛球的同学中随机抽取2人参加一项比赛，求孔明被选中的概率． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）用总人数减去其他可能的人数，得到喜欢网球的人数； （2）用列表法或树状图求解即可． 【详解】（1）解：被调查的同学中选择喜欢网球的有（人）； （2）解：记喜欢羽毛球的5个同学分别表示为1，2，3，4，5，其中1为孔明，从中随机抽取2人，列表法如下图： 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 共有种等可能事件，其中孔明被选中的有种， 所以孔明被选中的概率是． 【题型7 利用树状图法求概率】 【例7】现有三张虎年生肖邮票，其中两张的图案为“国运昌隆”，第三张图案为“虎蕴吉祥”，邮票除正面图案不同外，其余均相同．将这三张邮票背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的邮票图案都是“国运昌隆”的概率．（图案为“国运昌隆”的两张邮票分别记为、，图案为“虎蕴吉祥”的邮票记为B）． 【答案】 【分析】先画树状图得到所有等可能的结果，再找到两次抽出的邮票图案都是“国运昌隆”的结果，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中两次抽出的邮票图案都是“国运昌隆”的结果有4种， ∴两次抽出的邮票图案都是“国运昌隆”的概率为． 【变式7-1】（2026·河南平顶山·三模）如图所示，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次同车厢的高铁车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的，则甲、乙两人座位相邻（座位C与座位D不算相邻）的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数量，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中甲、乙两人座位相邻的情况有6种， 甲、乙两人座位相邻的概率为． 【变式7-2】如图是围棋棋盘的一部分，在交叉点上已经摆放了2枚白棋和1枚黑棋，再随机在其他交叉点摆放两枚白棋后，则以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将剩余交叉点分别记为，则两枚白棋摆放在的位置或者的位置，四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形，再画树状图求解即可． 【详解】解：将剩余交叉点分别记为，如图： 则两枚白棋摆放在的位置或者的位置，四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形， 画树状图为： 由树状图可知一共有30种等可能性的结果数，其中以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的结果数有4种， ∴以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的概率是． 【变式7-3】某社区举办了“新税法知多少”的竞答活动，并对答对问题的人员发放小礼品．现打算从报名参加知识竞答活动的三男两女中随机抽取人参加知识竞答，则抽取到的两人刚好是男女的概率是______． 【答案】/ 【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率． 【详解】解：由题意可得， ∵共有20种等可能的结果，其中抽取到的两人刚好是1男1女共有12种结果， ∴抽取到的两人刚好是1男1女的概率是： ． 【题型8 游戏公平性】 【例8】小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？_____（填“公平”或“不公平”）．    【答案】不公平 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与拼成房子的情况，再利用概率公式求解即可求得小李赢与小王赢的概率，比较概率大小，即可知这个游戏是否公平． 【详解】解：设三张纸片分别用A，B，C表示 画树状图得：   共有6种等可能的结果，能拼成房子的有4种情况 ， 这个游戏不公平 故答案为：不公平 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，解题关键是掌握判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【变式8-1】如图，小明和小丁做游戏，分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得分，当所转到的数字之积为偶数时，小丁得分，这个游戏公平吗？________． 【答案】公平 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况是否一致． 【详解】解：画树状图得： 从图表中可以得到：，， 小明的积分为，小丁的积分为． 故平均每次积分相等，所以游戏公平． 故答案为：公平． 【变式8-2】已知A，B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数字外没有任何区别.现制定这样一个游戏规则：随机地分别从A，B中各抽取一张，若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜.这样的游戏规则对__有利. 【答案】甲. 【详解】画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解． 本题解析： 　画树状图如下： 共有6种等可能的结果，甲获胜的情况有4种，故P(甲获胜) ， ∴这样的游戏规则对甲有利. 【变式8-3】甲和乙玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算甲和乙抽得的两个数字之和．若和为奇数，则甲胜；若和为偶数，则乙胜． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率； (2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说明你的理由． 【答案】(1) (2) 这个游戏规则对双方不公平， 理由：由（1）树状图得， 所有等可能的结果共9种，其中两数之和为奇数的情况有4种，两数之和为偶数的情况有5种， ，， ， 这个游戏规则对双方不公平． 【分析】（1）首先根据题意画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与两数和为6的情况，再利用概率公式求解即可； （2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性． 【详解】（1）解：画树状图如下： 所有等可能的结果共9种，其中两数之和为6的情况有3种， ， 答：两数和为6的概率为； （2）略 考点3 用频率估计概率 知识点5 用频率估计概率 1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的可能性不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 知识点6 频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 【题型9 判断频率与概率说法的正误】 【例9】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 【答案】A 【分析】大量重复试验中，频率稳定在某个常数附近，但少量试验的结果是随机的，不一定符合整体频率的比例． 据此逐一判断选项即可． 【详解】解：频率是大量试验的统计结果，少量试验的结果具有随机性， ∴前次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是次，A选项说法错误，符合题意． 前次试验结束后，结果具有随机性，钉尖着地的次数不一定是次，因此B选项说法正确，不符合题意． 大量重复试验后，钉尖着地次数占总次数的，可得，∴C选项钉尖着地的频率是，说法正确，不符合题意． 根据用频率估计概率的性质，随着试验次数增加，钉尖着地的频率会逐渐稳定在一个常数附近， ∴D选项说法正确，不符合题意． 【变式9-1】“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 下列说法不正确的是（　　） A．当n很大时，估计指针落子在”铅笔“区域的概率大约是0.70 B．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”概率大约是0.70 C．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次 D．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒” 【答案】D 【分析】根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘20次，一定有6次获得文具盒． 【详解】A、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项正确； 由A可知B、转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项正确； C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3＝900次，故C选项正确； D、随机事件，结果不确定，故D选项正确． 故选D． 【点睛】本题要理解用面积法求概率的方法．注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值． 【变式9-2】在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小亮做摸球试验，他将盒子内的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复上述过程，对试验结果进行统计后，小玲得到下表中的数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 1500 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 903 摸到白球的频率 0.70 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 则下列结论中正确的是（　　） A．n越大，摸到白球的概率越接近0.7 B．当n=2000时，摸到白球的次数m=1200 C．当n很大时，摸到白球的频率将会稳定在0.6附近 D．这个盒子中约有28个白球 【答案】C 【分析】根据表中信息可知多次试验的频率稳定值0.6附近，及概率公式解答即可. 【详解】由表中信息可知n越大时摸到白球的概率越接近0.6，故A选项错误， 当n=2000时，摸到白球的次数是随机事件，m不一定是1200，故B选项错误， 当n很大时，摸到白球的频率将会稳定在0.6附近，故C选项正确， 根据稳定的频率等于概率，盒子中约有400.6=24个白球，故D选项错误， 故选C. 【点睛】本题考查用频率估算概率及概率公式，了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率并熟练掌握概率公式是解题关键． 【变式9-3】将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下： 投篮次数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A 投中次数 7 15 23 30 38 45 53 60 68 75 投中频率 0.700 0.750 0.767 0.750 0.760 0.750 0.757 0.750 0.756 0.750 B 投中次数 14 23 32 35 43 52 61 70 80 投中频率 0.800 0.700 0.767 0.800 0.700 0.717 0.743 0.763 0.778 0.800 下面有三个推断： ①投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767． ②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750． ③投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】根据随机事件与必然事件对①进行判断；根据大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率对②进行判断；根据随机事件与必然事件对③进行判断即可. 【详解】投篮30次时，两位运动员都投中23次是偶然事件，只是巧合碰上，概率要大量重复实验的稳定频率才能得出，故①不合理， 随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750．根据表中信息可知②合理， 投篮达到200次时， B运动员投中次数不能保证一定为160次，不是必然事件，可能多，也可能少，故③不合理， 故选B 【点睛】本题考查了利用概率估计频率及随机事件与必然事件，了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率是解题关键． 【题型10 由多次试验的频率求数值】 【例10】（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）内蒙古赤峰市出土的红山文化C形碧玉龙，被誉为“中华第一龙”，现藏于中国国家博物馆．如图，将玉龙投影到面积为的长方形纸上，为估计投影面积，在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右，据此估计玉龙投影的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得点落在投影的概率，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右， ∴点落在投影的概率约为， ∴估计玉龙投影的面积为． 【变式10-1】（25-26七年级下·云南昆明·期末）从装有豆子的瓶中取出30粒豆子做上标记，然后放回瓶中充分摇匀后，再取出50粒豆子发现带标记的豆子有5粒，则估计此瓶中豆子的粒数为（     ） A．50 B．100 C．200 D．300 【答案】D 【分析】本题考查用样本估计总体，利用总体中标记豆子的占比与样本中标记豆子的占比相等列等式，求解即可得到估计的总粒数． 【详解】解：设此瓶中豆子的粒数为粒， ∵ 摇匀后总体中标记豆子的占比与抽取样本中标记豆子的占比相等， ∴ 可得方程 交叉相乘得 计算得 ， 解得 ， 经检验 是原方程的解，符合题意， 因此估计瓶中豆子粒数为． 【变式10-2】（25-26七年级下·山东泰安·期末）下表记录了学校篮球队一名球员在罚球线上投篮的结果：根据表中的数据和频率的稳定性，估计这名球员在罚球线上投篮30次，他投中___________次． 投篮总次数 50 100 150 200 300 400 500 投中的次数 35 71 106 141 213 278 351 投中的频率 0.700 0.710 0.707 0.705 0.710 0.695 0.702 【答案】21 【分析】观察表格中频率的稳定值，得到单次投篮投中的概率，再计算投篮30次的投中估计次数即可． 【详解】解：由表格数据可知，随着投篮总次数的增加，投中频率在至之间波动，且逐渐稳定在附近，因此估计这名球员投篮一次投中的概率约为， 所以投篮次时，投中次数约为． 【变式10-3】（2026·贵州遵义·一模）一个不透明的口袋中装有m个红球，为了估计红球的个数，小华向口袋中加入2个白球，它们除颜色外完全相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色后放回，通过多次摸球后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则估计m的值是_______． 【答案】18 【分析】根据概率公式得到，即可得到答案． 【详解】解：， 解得． 【题型11 利用频率估计概率】 【例11】（2026·山西朔州·模拟预测）某农资公司准备大批量采购玉米种子，为保障农户种植效果，采购前需对种子发芽率进行检测．质检员从待采购的玉米种子中抽取6批样本，在统一的温度、湿度等条件下做发芽试验，获取的数据如下表： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 318 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.795 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_________（精确到0.01）． 【答案】 【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此结合表格中的数据即可得到答案． 【详解】解：观察表格数据可知，随着抽取种子粒数逐渐增大，该玉米种子的发芽频率逐渐稳定在附近，故该玉米种子发芽的概率为． 【变式11-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）某人工智能公司研发了一款自动驾驶汽车的障碍物识别系统．为了测试系统的识别准确率，测试人员从真实道路场景中随机抽取图片，让系统识别其中是否存在障碍物，并记录正确识别的次数．下表是多次测试过程中的一组统计数据： 测试次数m 50 100 200 400 500 1000 正确识别次数n 43 88 182 358 450 901 正确识别频率 0.860 0.880 0.910 0.895 0.900 0.901 由表中数据估计，该系统可以正确识别障碍物的概率为________．（结果保留一位小数） 【答案】 【详解】解：由表格中的数据可得，随着测试次数不断增大，该系统正确识别障碍物的频率逐渐稳定在附近， 因此估计该系统可以正确识别障碍物的概率为． 【变式11-2】（25-26七年级下·广东梅州·期末）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（     ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.401 0.410 0.413 0.412 0.413 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 【答案】C 【分析】根据大量重复试验中频率逐渐稳定于概率的性质，观察表格中频率的变化趋势即可求解． 【详解】解：观察表格可知，随着累计抽测学生数不断增大，近视学生数与的比值逐渐稳定在， ∴对该区初中生近视概率的估计最合理的是． 【变式11-3】（25-26七年级下·四川成都·期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（     ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．从分别标有1，2，4，4，5的5张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数 【答案】C 【分析】观察统计图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在 附近，即概率约为 ，分别计算各选项的概率，找出概率为 的选项即可． 【详解】解：由图可知，随着试验次数增加，频率稳定在 附近， 该事件发生的概率约为 ． A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为 ，不符合题意； B．掷一枚质地均匀的骰子，出现点数是的概率为，不符合题意； C．从只装有张黑桃和张红桃的扑克牌盒中随机抽取一张，总共有种等可能结果，红桃有种，抽出的牌是红桃的概率为，符合题意； D．从分别标有的张纸条中，随机抽出一张，其中的倍数有共个， 抽到的倍数的概率为，不符合题意． 考点4 概率的简单应用 【题型12 概率在保险业中的应用】 【例12】（2025·西藏阿里·一模）某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【答案】 【分析】根据保险公司不亏本的条件，总保险费需不小于失事时的期望赔偿金额，通过建立不等式化简求解每位乘客的最低保险费． 【详解】解：设保险公司应向每位乘客收取x元保险费， 由题意得：， 解得：， 所以保险公司应向每位乘客至少收取元保险费才能保证不亏本． 【变式12-1】（2026九年级下·全国·专题练习）某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 【答案】(1)10 (2) (3)元 【分析】本题主要考查了频数分布表，求概率，求平均数： （1）用100减去出险次数为0，1，3，4，的频数，即可求出m的值； （2）求出本年度保险费不高于基本保险费的频数，再根据概率公式计算即可； （3）根据平均数的公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：10； （2）解：本年度保险费不高于基本保险费的频数为：， ∴其本年度保险费不高于基本保险费的概率； （3）解：续保人本年度保险费的平均值（元）． 【变式12-2】（2026九年级下·全国·专题练习）某客运公司的长途客车每车次约有40名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔偿万元人民币．（假设每次事故有的幸存者，每车次平均有的乘客买保险） 长途客车行驶的次数 10010 20010 30000 40000 出事故的次数 2 4 6 8 (1)估计长途客车一次行驶的失事概率； (2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？ 【答案】(1) (2)不低于元 【分析】本题主要考查了概率的应用，频率估计概率： （1）根据频率估计概率解答即可； （2）设保险公司应该向每位乘客收取x元保险费，行驶n次，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：估计长途客车一次行驶的失事概率． （2）解：设保险公司应该向每位乘客收取x元保险费，行驶n次， 由题意可得：， 解得：， 答：保险公司应该向每位乘客收取不低于元的保险费． 【变式12-3】一般地，如果随机事件A发生的概率是，那么相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数的平均值为． 假设某航班平均每次约有100名乘客，飞机失事的概率．一家保险公司要为乘客保险．承诺飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币40万元．平均来说，保险公司应该如何收取保险费呢？ 设该保险公司向每名乘客收取保险费x元，则在n次飞行中共收取保险费元．保险公司必须保证收入不小于支出，可得 (1)该保险公司向每名乘客收取的保险费应不低于______元． (2)如图，媛媛从家A去学校D，选择骑电瓶车，需要经过两个红绿灯路口，设每个路口可直接通过和需要等待的概率相同． ①求媛媛从家去学校在B、C两个路口都需要等待的概率是多少？（用列表或画树状图的方法求解） ②若，每段路平均用时均为6分钟，各路口平均需要等待时间均为1分钟，全程需要等待时间的平均值为：分钟，则媛媛从家到学校所用时间的平均值为______分钟． (3)徐老师开车去学校的道路要途径5个红绿灯路口，每个路口需要等待的概率为，直接通行的概率为，各路口平均需要等待时间均为1分钟，从家到第一个路口和最后一个路口到学校所用行驶时间均为5分钟，其余相邻两个路口间所需行驶时间均为2分钟，则徐老师从家到学校所用时间的平均值为______分钟． 【答案】(1)20 (2)①；②19 (3)20 【分析】（1）根据已知概率解出不等式即可求解． （2）①利用树状图法，根据概率公式即可求解，②根据全程需要等待时间的平均值即可求解． （3）利用概率求出平均值即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，当时， ，即， 解得， 故答案为：． （2）①树状图如图所示， 在B、C两个路口都需等待的概率是， ②由题意得， （分钟）， 答：从家到学校所用时间的平均值为分钟， 故答案为：． （3）由题意得， （分钟）， 答：徐老师从家到学校所用时间的平均值为20分钟， 故答案为：． 【点睛】本题考查了简单随机概率的应用，树状图法求概率，解题的关键在于熟练掌握树状图法求概率及利用概率求平均值． 【题型13 概率在转盘抽奖中的应用】 【例13】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 【答案】(1) (2)∵指针指向红色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向黄色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向蓝色区域的结果有4种， ∴P（获得元购物券）； ∵， ∴小军妈妈获得元购物券的概率最大 【分析】（1）先确定转盘所有等可能的结果数为，再统计出能获得购物券的红、黄、蓝区域的结果数，最后用获得购物券的结果数除以总结果数得到概率； （2）先分别数出红、黄、蓝三种颜色区域的数量，再分别计算出获得对应金额购物券的概率，最后比较三个概率的大小，即可得出哪种购物券的概率最大． 【详解】（1）解：转盘共有个扇形，所以转盘停止后，指针指向的区域可能的结果共有种，且它们出现的可能性相同， 指针指向红色、黄色、蓝色的区域的结果共有种， ∴（获购物券）． （2）略 【变式13-1】（2026·山东青岛·模拟预测）元旦期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动．该活动设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成个面积相等的扇形，四个扇形区域内分别标有“元”、“元”、“元”、“元”的字样（如图所示）．商场规定：同一日内，顾客在本商场每消费满元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域（边界区域不计）所标金额返还相应数额的购物券．某顾客当天消费元，转了两次转盘．请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于元的概率． 【答案】 【分析】根据题意画出树状图即可求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券金额不低于元的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于元的有种情况， 该顾客所获购物券金额不低于元的概率为：． 【变式13-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）陕西历史博物馆秦汉馆是国内首个以集中展示秦汉文明缘起、发展和贡献为主题的博物馆．某校组织学生去陕西历史博物馆秦汉馆参观后，校团委开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目：A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．学校制作了如图所示的可自由转动的均匀转盘，将圆形转盘四等分，并分别标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）． (1)若该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”，则选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是_________； (2)青青和丽丽是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图，得到共16种等可能的结果，两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的结果有7种，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”， ∴选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是； （2）解：画树状图，如图 共16种等可能的结果，两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的结果有7种， ∴两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率为． 【变式13-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种． 方式一：直接获得25元购物券； 方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券． 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位） 请根据上面的图表完成以下问题： (1)________； (2)当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）； (3)小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)方式二， 理由如下： 方式一：25元购物券； 方式二：， 转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：． ， 选择方式二更合算． 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、加权平均数的计算、概率的应用，熟练掌握频率与概率的关系及加权平均数的计算公式是解题的关键． （1）根据频率的计算公式频率落在‘元购物券’区域的次数转动转盘的次数，变形为落在‘元购物券’区域的次数转动转盘的次数频率，代入数据计算即可求出的值． （2）利用频率估计概率，观察表格中频率的变化趋势，当试验次数足够大时，频率稳定在某个数值附近，该数值即为所求概率． （3）先根据圆心角之比求出各购物券对应的概率，再利用加权平均数公式计算出转动转盘获得购物券数额的平均数，最后将平均数与方式一的元比较，判断哪种方式更合算． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39， ∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近， ∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4． 故答案为：． （3）略 【题型14 概率在比赛中的应用】 【例14】（2026·云南曲靖·一模）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2026年滇超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 任务解决 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 【答案】乙胜的概率为． 【分析】设进球为1，未进为0，第四轮的甲、乙比分情况为：，，，，所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，， ，，再得出第五轮的比赛得分可能，共12种比分可能，按比赛的规则，乙有7种获胜的可能性，结合两种上述情况即可得到结果． 【详解】解：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为： 乙 甲 0 1 1 0 所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，，，， 第五轮过后的比分情况用列表分析为： 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7种获胜的可能性， 结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为． 【变式14-1】（2026·河北廊坊·一模）某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出“破浪”队所有等可能的出场顺序，找出满足“破浪”队获胜的情况，再根据概率公式计算概率，即可得到答案． 【详解】解：∵“追风”队出场顺序固定为快，中，慢，设“破浪”队的三种龙舟为快，中，慢，对“破浪”队的出场顺序进行列举，所有等可能的结果共6种，分别为：快中慢，快慢中，中快慢，中慢快，慢快中，慢中快． 根据比赛规则，“破浪”队要获得三局两胜，仅有一种出场顺序满足获胜条件，即：“破浪”队慢对“追风”队快（输一局），快对“追风”队中（赢一局），中对“追风”队慢（赢一局）． ∴“破浪”队获胜的概率为 ． 【变式14-2】甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 【答案】(1) (2)甲 【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率； （2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论． 【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：    共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种， 所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为． （2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：    共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种， 根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人． 【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键． 【变式14-3】某中学开展黄梅戏演唱比赛，组委会将本次比赛的成绩（单位：分）进行整理，并绘制成如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）． 成绩 频数 频率 2 0.04 0.16 20 0.40 16 0.32 4 合计 50 1 请你根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）求出,的值并补全频数分布直方图． （2）将此次比赛成绩分为三组：；；若按照这样的分组方式绘制扇形统计图，则其中组所在扇形的圆心角的度数是多少？ （3）学校准备从不低于90分的参赛选手中任选2人参加市级黄梅戏演唱比赛，求都取得了95分的小欣和小怡同时被选上的概率． 【答案】（1）a=8，b=0.08；补图见解析；（2）144°；（3）． 【分析】（1）根据题中可得总人数为50人，则中人数所占频率即可求出a的值，则中出现的频数即可求得b的值； （2）根据圆心角的度数为所占百分比乘以360°即可求解； （3）根据概率初步中树状图的作图方法作图求解即可． 【详解】（1），． 补全频数分布直方图如下： （2）． 故C组所在扇形的圆心角的度数为． （3）由题意知，不低于90分的学生共有4人，设这四名学生分别为，,,，其中小欣和小怡分别用,表示，根据题意，画树状图如下． 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小欣和小怡同时被选上的结果有2种，故小欣和小怡同时被选上的概率是． 【点睛】本题以实际生活为背景考查统计与概率，解题的关键是掌握圆心角度数的求法以及概率中树状图的作法． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 随机事件的概率（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 必然事件、不可能事件、随机事件】 2 【题型2 可能性的大小】 2 【题型3 概率的意义】 4 【题型4 利用概率公式求概率】 5 【题型5 几何概率】 6 【题型6 利用列表法求概率】 7 【题型7 利用树状图法求概率】 8 【题型8 游戏公平性】 8 【题型9 判断频率与概率说法的正误】 10 【题型10 由多次试验的频率求数值】 11 【题型11 利用频率估计概率】 12 【题型12 概率在保险业中的应用】 13 【题型13 概率在转盘抽奖中的应用】 15 【题型14 概率在比赛中的应用】 17 考点1 随机事件 知识点1 随机事件的概念 事件类型 定义 举例 确定性事件 必然事件 在一定条件下，有些事件必然会发生 水涨船高、水滴石穿、铁杵磨成针 不可能事件 在一定条件下，有些事件必然不会发生 水中捞月、海枯石烂 随机事件（不确定事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 守株待兔、海市蜃楼 知识点2 事件发生的可能性大小 1. 随机事件发生的可能性有大小之分，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同． 2. 必然事件发生的可能性为100%，不可能事件发生的可能性为0%，随机事件发生的可能性范围为0%~100%（不包括0%和100%）． 3. 随机事件的可能性大小比较的步骤 （1）确定：明确“决定不同随机事件发生的要素”； （2）计算：计算每一个要素的数量； （3）结论：比较数量的多少，判断可能性的大小． 【题型1 必然事件、不可能事件、随机事件】 【例1】（25-26八年级下·江苏南京·期末）下列事件是随机事件的是（     ） A．在标准大气压下，温度低于时水结冰 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．人中至少有人的生日相同 【变式1-1】（2026·湖北武汉·中考真题）袋中只有个红球和个黑球，从中一次摸出两个球，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两个球都是黑球 B．两个球中必有一个红球 C．两个球都是红球 D．两个球中一个是红球一个是黑球 【变式1-2】（25-26六年级下·上海·期末）有两个事件，事件：3人中至少有2人性别相同；事件：抛掷一枚均匀的骰子（6个面分别为1-6），朝上的面点数为10．下列说法正确的是（     ） A．事件A、B都是确定事件 B．事件是不确定事件，事件是确定事件 C．事件A、B都是不确定事件 D．事件是确定事件，事件是不确定事件 【变式1-3】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）下列事件：①明天是晴天；②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数；③在标准大气压下，气温为时，冰能熔化成水；④0大于一切负数．其中是必然事件的有__________（填序号）． 【题型2 可能性的大小】 【例2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）袋子里有5个红球，个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则的值为_______． 【变式2-1】（2026·江苏苏州·中考真题）有5个女同学、3个男同学玩击鼓传花游戏，花停在________同学手上的可能性比较大． 【变式2-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）在一口锅里有外表一样的汤圆，其中7个是花生馅的，5个是黑芝麻馅的，8个是豆沙馅的，2个是山楂馅的．小文随意捞起一个，捞到可能性最大的汤圆是（     ） A．花生馅汤圆 B．豆沙馅汤圆 C．黑芝麻馅汤圆 D．山楂馅汤圆 【变式2-3】某路口红绿灯的时间设置为红灯，绿灯，黄灯．小明经过该路口时，遇到_________灯的可能性最大，遇到_________灯的可能性最小． 考点2 简单随机事件的概率 知识点3 概率的定义及计算公式 1. 概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)． 2. 概率的计算公式 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝． 3. 概率的取值 （1）当事件A是必然事件时，P(A)＝1； （2）当事件A是不可能事件时，P(A)＝0； （3）当事件A是随机事件时，P(A)满足0＜P(A)＜1． 知识点4 用列举法求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率． （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 画树状图法 步骤 用法 注意 ①关键要弄清楚每一步有几种结果 ②在树状图下面对应写出所有等可能的结果， 并找出事件所包含的结果数 ③利用概率公式进行计算 是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）时求概率的好方法 ①弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步 ②在摸球试验中一定要弄清“放回”还是“不放回” 【题型3 概率的意义】 【例3】（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图所示，天气预报软件显示“佛山市明天的降水概率为”，下列对这条信息的说法中，正确的是（     ） A．当天佛山市将有的地方会下雨 B．当天佛山市将有的时间会下雨 C．当天佛山市下雨的可能性较大 D．当天佛山市下雨的总降水量一定为 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为、、．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是___________．（填“甲”、“乙”或“丙”） 【变式3-2】（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）以下说法合理的是（   ） A．小明在抛图钉10次的试验中发现有4次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．掷一枚骰子，掷出点6的概率是，意思是每掷6次就有1次掷得点数为6 C．某彩票的中奖机会是百分之五，那么买100张彩票一定会有5张中奖 D．甲、乙两组同学分别进行抛掷硬币的试验，正面朝上的频率分别为和 【变式3-3】（25-26七年级下·山西·期中）关于概率意义的理解，下列说法正确的是（   ） A．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是． B．中国星网星座计划中，某批次卫星发射成功概率为0.95，则发射100颗该批次卫星，一定会有95颗成功入轨． C．小明做了2次抛掷均匀硬币的试验，结果两次正面朝上，他认为再抛一次一定是反面朝上． D．据行业报告，2026年我国智能算力占比有望突破，但对于某一家具体企业而言，其智能算力占比可能远高于或远低于这一数值． 【题型4 利用概率公式求概率】 【例4】有长度分别是的四条线段，任取其中的3条，恰好能构成三角形的概率是（     ） A． B． C． D．0 【变式4-1】（25-26七年级下·广东揭阳·期末）小亮制作了5张完全相同的代表揭阳特色的卡片，卡片内容分别为：景点·揭阳楼，非遗·阳美玉雕，民俗·英歌舞，美食·惠来绿豆饼、特产·荔枝．他将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，从中随机抽取1张，抽得卡片为景点·揭阳楼的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点恰好在第一象限的概率是________． 【变式4-3】（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）年春晚舞台上十二花神节目火速出圈，展现了四季轮转、生生不息、以花喻人的东方文化．其中十二花神依次亮相，分别对应：梅花、杏花、桃花、芍药、石榴、荷花、蜀葵、桂花、菊花、芙蓉、山茶、水仙．主持人随机从中抽取位花神进行互动采访，抽到“梅花”花神的概率是______． 【题型5 几何概率】 【例5】（25-26七年级下·四川达州·期末）在半径为5的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为 __________．（π取3） 【变式5-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）每年一到3月和4月，苏州不少马路边的树上就会落满黑色果子．行人走过，踩上去“噗噗噗”地在地上留下一个个小黑点，这是香樟树的果实．某汽车车顶面积为平方米，该车天窗尺寸是一矩形，长为，宽为，全部打开天窗后，汽车正好经过香樟树，果实此时正好掉落下来，通过天窗掉进车内的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图是商场促销圆形转盘，由相连的红、蓝、白3块扇形构成，随机转动转盘，指针落在红色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26七年级下·山东烟台·期末）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板不重叠地拼成的动物图案，并将其中一部分涂色、有一只蚊子（大小可看作一个点）随机停留在图案上，则停留在涂色部分的概率是___． 【题型6 利用列表法求概率】 【例6】小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． 【变式6-1】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 【变式6-2】不透明的纸箱里装有张画有“”和张画有“”的卡片，这些卡片除了图案不同外其他都相同．从中任意抽取一张，不放回再从中抽取一张，则两次抽到的卡片的图案不同的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】我国网球名将李娜在今年法国网球公开赛上的出色表现，大大激发了国人对网球的热情．在一项“你最喜欢的球类运动”的调查中，共有50名同学参与调查，每人必选且只选一项，将调查结果绘制成频数分布直方图如下，根据图中信息回答： (1)被调查的同学中选择喜欢网球的有______人； (2)孔明同学在被调查中选择的是羽毛球，现要在参与调查选择喜欢羽毛球的同学中随机抽取2人参加一项比赛，求孔明被选中的概率． 【题型7 利用树状图法求概率】 【例7】现有三张虎年生肖邮票，其中两张的图案为“国运昌隆”，第三张图案为“虎蕴吉祥”，邮票除正面图案不同外，其余均相同．将这三张邮票背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的邮票图案都是“国运昌隆”的概率．（图案为“国运昌隆”的两张邮票分别记为、，图案为“虎蕴吉祥”的邮票记为B）． 【变式7-1】（2026·河南平顶山·三模）如图所示，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次同车厢的高铁车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的，则甲、乙两人座位相邻（座位C与座位D不算相邻）的概率是（  ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图是围棋棋盘的一部分，在交叉点上已经摆放了2枚白棋和1枚黑棋，再随机在其他交叉点摆放两枚白棋后，则以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】某社区举办了“新税法知多少”的竞答活动，并对答对问题的人员发放小礼品．现打算从报名参加知识竞答活动的三男两女中随机抽取人参加知识竞答，则抽取到的两人刚好是男女的概率是______． 【题型8 游戏公平性】 【例8】小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？_____（填“公平”或“不公平”）．    【变式8-1】如图，小明和小丁做游戏，分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得分，当所转到的数字之积为偶数时，小丁得分，这个游戏公平吗？________． 【变式8-2】已知A，B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数字外没有任何区别.现制定这样一个游戏规则：随机地分别从A，B中各抽取一张，若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜.这样的游戏规则对__有利. 【变式8-3】甲和乙玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算甲和乙抽得的两个数字之和．若和为奇数，则甲胜；若和为偶数，则乙胜． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率； (2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说明你的理由． 考点3 用频率估计概率 知识点5 用频率估计概率 1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的可能性不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 知识点6 频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 【题型9 判断频率与概率说法的正误】 【例9】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 【变式9-1】“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 下列说法不正确的是（　　） A．当n很大时，估计指针落子在”铅笔“区域的概率大约是0.70 B．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”概率大约是0.70 C．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次 D．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒” 【变式9-2】在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小亮做摸球试验，他将盒子内的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复上述过程，对试验结果进行统计后，小玲得到下表中的数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 1500 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 903 摸到白球的频率 0.70 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 则下列结论中正确的是（　　） A．n越大，摸到白球的概率越接近0.7 B．当n=2000时，摸到白球的次数m=1200 C．当n很大时，摸到白球的频率将会稳定在0.6附近 D．这个盒子中约有28个白球 【变式9-3】将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下： 投篮次数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A 投中次数 7 15 23 30 38 45 53 60 68 75 投中频率 0.700 0.750 0.767 0.750 0.760 0.750 0.757 0.750 0.756 0.750 B 投中次数 14 23 32 35 43 52 61 70 80 投中频率 0.800 0.700 0.767 0.800 0.700 0.717 0.743 0.763 0.778 0.800 下面有三个推断： ①投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767． ②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750． ③投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①③ D．②③ 【题型10 由多次试验的频率求数值】 【例10】（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）内蒙古赤峰市出土的红山文化C形碧玉龙，被誉为“中华第一龙”，现藏于中国国家博物馆．如图，将玉龙投影到面积为的长方形纸上，为估计投影面积，在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右，据此估计玉龙投影的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26七年级下·云南昆明·期末）从装有豆子的瓶中取出30粒豆子做上标记，然后放回瓶中充分摇匀后，再取出50粒豆子发现带标记的豆子有5粒，则估计此瓶中豆子的粒数为（     ） A．50 B．100 C．200 D．300 【变式10-2】（25-26七年级下·山东泰安·期末）下表记录了学校篮球队一名球员在罚球线上投篮的结果：根据表中的数据和频率的稳定性，估计这名球员在罚球线上投篮30次，他投中___________次． 投篮总次数 50 100 150 200 300 400 500 投中的次数 35 71 106 141 213 278 351 投中的频率 0.700 0.710 0.707 0.705 0.710 0.695 0.702 【变式10-3】（2026·贵州遵义·一模）一个不透明的口袋中装有m个红球，为了估计红球的个数，小华向口袋中加入2个白球，它们除颜色外完全相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色后放回，通过多次摸球后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则估计m的值是_______． 【题型11 利用频率估计概率】 【例11】（2026·山西朔州·模拟预测）某农资公司准备大批量采购玉米种子，为保障农户种植效果，采购前需对种子发芽率进行检测．质检员从待采购的玉米种子中抽取6批样本，在统一的温度、湿度等条件下做发芽试验，获取的数据如下表： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 318 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.795 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_________（精确到0.01）． 【变式11-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）某人工智能公司研发了一款自动驾驶汽车的障碍物识别系统．为了测试系统的识别准确率，测试人员从真实道路场景中随机抽取图片，让系统识别其中是否存在障碍物，并记录正确识别的次数．下表是多次测试过程中的一组统计数据： 测试次数m 50 100 200 400 500 1000 正确识别次数n 43 88 182 358 450 901 正确识别频率 0.860 0.880 0.910 0.895 0.900 0.901 由表中数据估计，该系统可以正确识别障碍物的概率为________．（结果保留一位小数） 【变式11-2】（25-26七年级下·广东梅州·期末）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（     ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.401 0.410 0.413 0.412 0.413 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 【变式11-3】（25-26七年级下·四川成都·期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（     ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．从分别标有1，2，4，4，5的5张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数 考点4 概率的简单应用 【题型12 概率在保险业中的应用】 【例12】（2025·西藏阿里·一模）某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【变式12-1】（2026九年级下·全国·专题练习）某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 【变式12-2】（2026九年级下·全国·专题练习）某客运公司的长途客车每车次约有40名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔偿万元人民币．（假设每次事故有的幸存者，每车次平均有的乘客买保险） 长途客车行驶的次数 10010 20010 30000 40000 出事故的次数 2 4 6 8 (1)估计长途客车一次行驶的失事概率； (2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？ 【变式12-3】一般地，如果随机事件A发生的概率是，那么相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数的平均值为． 假设某航班平均每次约有100名乘客，飞机失事的概率．一家保险公司要为乘客保险．承诺飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币40万元．平均来说，保险公司应该如何收取保险费呢？ 设该保险公司向每名乘客收取保险费x元，则在n次飞行中共收取保险费元．保险公司必须保证收入不小于支出，可得 (1)该保险公司向每名乘客收取的保险费应不低于______元． (2)如图，媛媛从家A去学校D，选择骑电瓶车，需要经过两个红绿灯路口，设每个路口可直接通过和需要等待的概率相同． ①求媛媛从家去学校在B、C两个路口都需要等待的概率是多少？（用列表或画树状图的方法求解） ②若，每段路平均用时均为6分钟，各路口平均需要等待时间均为1分钟，全程需要等待时间的平均值为：分钟，则媛媛从家到学校所用时间的平均值为______分钟． (3)徐老师开车去学校的道路要途径5个红绿灯路口，每个路口需要等待的概率为，直接通行的概率为，各路口平均需要等待时间均为1分钟，从家到第一个路口和最后一个路口到学校所用行驶时间均为5分钟，其余相邻两个路口间所需行驶时间均为2分钟，则徐老师从家到学校所用时间的平均值为______分钟． 【题型13 概率在转盘抽奖中的应用】 【例13】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 【变式13-1】（2026·山东青岛·模拟预测）元旦期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动．该活动设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成个面积相等的扇形，四个扇形区域内分别标有“元”、“元”、“元”、“元”的字样（如图所示）．商场规定：同一日内，顾客在本商场每消费满元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域（边界区域不计）所标金额返还相应数额的购物券．某顾客当天消费元，转了两次转盘．请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于元的概率． 【变式13-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）陕西历史博物馆秦汉馆是国内首个以集中展示秦汉文明缘起、发展和贡献为主题的博物馆．某校组织学生去陕西历史博物馆秦汉馆参观后，校团委开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目：A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．学校制作了如图所示的可自由转动的均匀转盘，将圆形转盘四等分，并分别标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）． (1)若该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”，则选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是_________； (2)青青和丽丽是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率． 【变式13-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种． 方式一：直接获得25元购物券； 方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券． 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位） 请根据上面的图表完成以下问题： (1)________； (2)当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）； (3)小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由． 【题型14 概率在比赛中的应用】 【例14】（2026·云南曲靖·一模）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2026年滇超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 任务解决 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 【变式14-1】（2026·河北廊坊·一模）某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 【变式14-3】某中学开展黄梅戏演唱比赛，组委会将本次比赛的成绩（单位：分）进行整理，并绘制成如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）． 成绩 频数 频率 2 0.04 0.16 20 0.40 16 0.32 4 合计 50 1 请你根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）求出,的值并补全频数分布直方图． （2）将此次比赛成绩分为三组：；；若按照这样的分组方式绘制扇形统计图，则其中组所在扇形的圆心角的度数是多少？ （3）学校准备从不低于90分的参赛选手中任选2人参加市级黄梅戏演唱比赛，求都取得了95分的小欣和小怡同时被选上的概率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $