1.2 二次函数的图像 同步讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数图像这一核心知识点，系统梳理从y=ax²图像画法（列表、描点、连线）到y=ax²+bx+c图像平移，再到图像与系数关系、点的坐标特征、最值及待定系数法求解析式的递进学习支架。 资料通过“解题知识”模块提炼方法（如“左同右异”判对称轴）培养推理意识，典例与变式题（如一次函数与二次函数图像综合）提升数学眼光，结合几何面积最值问题渗透模型意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

1.2 二次函数的图像 内 容 导 航 题型1 二次函数的图象 题型2 二次函数图象与系数的关系 题型3 二次函数图象上点的坐标特征 题型4 二次函数的最值 题型5 待定系数法求二次函数解析式 考 点 演 练 题型1 二次函数的图象 解｜题｜知｜识 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【典例1】一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】如图为一次函数y＝ax+b的图象，则二次函数y＝ax2+bx在平面直角坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由图象可知，一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限，可得a＞0，b＞0， A．由图象得，a＞0，b＜0，不符合题意； B．由图象得，a＞0，b＞0，符合题意； C．由图象得，a＜0，b＞0，不符合题意； D．由图象得，a＜0，b＜0，不符合题意； 故选：B． 【变式2】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则c的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 【答案】B 【解答】解：由函数图象可知， 解得， 故选：B． 【变式3】已知抛物线y＝ax2+bx和直线y＝ax﹣b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、由二次函数的图象可知a＜0，由直线可知a＞0，矛盾，故A可排除； B、由二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，由直线y＝ax﹣b经过二、三、四象限可知a＜0，b＞0，一致，故B符合题意； C、由二次函数的图象可知a＞0，由直线y＝ax+b可知a＜0，矛盾，故C可排除； D、由二次函数的图象可知a＞0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＜0，由直线y＝ax﹣b经过一、三、四象限可知a＞0，b＞0，矛盾，故D可排除． 故选：B． 题型2 二次函数图象与系数的关系 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 【典例1】对于二次函数y＝﹣2x2+mx﹣1，当x＜1时，y随x的增大而增大，则满足条件的m的取值范围是（　　） A．m≥﹣4 B．m≥2 C．m≥3 D．m≥4 【答案】D 【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2+mx﹣1， ∴a＝﹣2＜0，对称轴为直线， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧y随x的增大而增大， ∵当x＜1时，y随x的增大而增大， ∴，解得m≥4， 故选：D． 【变式1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，下列选项中正确的是（　　） A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜0 【答案】D 【解答】解：A、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，a＜0，故A不符合题意； B、当x＝0时，y＝c＞0，故B不符合题意； C、当x＝1时y＝a+b+c＜0，故C不符合题意； D、抛物线的对称轴是直线x0，由a＜0，得到b＜0，故D符合题意． 故选：D． 【变式2】抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，那么k的取值范围是　 ． 【答案】k． 【解答】解：∵抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降， ∴抛物线开口向下， ∴2k﹣1＜0， 解得k． 故答案为：k． 【变式3】如果抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+1的图象开口向下，那么m的取值范围是　 ． 【答案】m＜1 【解答】解：∵抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+1的图象开口向下， ∴m﹣1＜0， 解得：m＜1． 故答案为：m＜1． 题型3 二次函数图象上点的坐标特征 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 【典例1】已知在二次函数y＝2（x﹣1）2+m的图象上有三点，其坐标分别为（﹣1，y1），（0，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y2＝y3 D．y1＝y2＞y3 【答案】C 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，且2﹣1＝1﹣0， ∴点（0，y2），（2，y3）两点关于对称轴对称， ∴y2＝y3； ∵点（﹣1，y1）距离对称轴较远， ∴y1＞y2， ∴y1＞y2＝y3； 故选：C． 【变式1】已知点A（﹣3，y1），B（﹣m+6，y2）在抛物线y＝﹣x2﹣mx+4上，若5＜m＜6，则下列判断正确的是（　　） A．y1＜y2＜4 B．y2＜y1＜4 C．y1＜4＜y2 D．y2＜4＜y1 【答案】D 【解答】解：由题知， 因为二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣mx+4， 所以抛物线的对称轴为直线x． 因为5＜m＜6， 所以0＜﹣m+6＜1，， 则点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧． 因为，， 则点A离对称轴更近， 又因为抛物线的开口向下， 所以y1＞y2． 当x＝0时，y＝4， 所以点（0，4）在抛物线上． 因为， 所以点（0，4）比点A离抛物线远，比点B离抛物线近， 所以y2＜4＜y1． 故选：D． 【变式2】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，m），B（5，n），若m＜n，则下列可能成立的是（　　） A．当a＞0时，3a+b＝0 B．当a＞0时，2a+b＝0 C．当a＜0时，a+b＝0 D．当a＜0时，a﹣b＝0 【答案】B 【解答】解：把A（﹣2，m），B（5，n）代入y＝ax2+bx+c中得m＝4a﹣2b+c，n＝25a+5b+c， ∵m＜n， ∴4a﹣2b+c＜25a+5b+c， ∴3a+b＞0， ∴A选项不符合题意； 当a＜0时，b﹣a＞﹣4a＞0，a+b＞﹣2a＞0， ∴C、D选项不符合题意； 当a＞0时，2a+b＞﹣a， 又∵﹣a＜0， ∴2a+b＝0是可能的． ∴B选项符合题意． 故选：B． 【变式3】已知点M（m﹣2，n），点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，若t＞4，则n的取值范围是（　　） A．n＞4或n＜﹣4 B．﹣4＜n＜4 C．n＞1或n＜﹣4 D．﹣4＜n＜1 【答案】B 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∵x＝0时，y＝4， ∵点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，且t＞4， ∴0＜m＜2， ∴﹣2＜m﹣2＜0， 当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+4＝﹣4， ∴n的取值范围是﹣4＜n＜4， 故选：B． 题型4 二次函数的最值 解｜题｜知｜识 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝6cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动．则△PBQ的最大面积是　 ． 【答案】4cm2． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝6cm． 设运动时间为ts， 由题意得0＜t≤3，AP＝tcm，BQ＝2tcm， ∴BP＝（4﹣t）cm， ∴△PBQ的面积为， ∵﹣1＜0， ∴当t＝2时，△PBQ的面积有最大值，为4cm2， 故答案为：4cm2． 【变式1】当﹣3≤x≤2时，二次函数y＝ax2﹣4ax+1的最大值为8，则a＝　 　 ． 【答案】或 【解答】解：y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为直线， 当a＞0时，在﹣3≤x≤2内， 当x＝﹣3时，y取最大值8，代入解析式得： （﹣3）2•a﹣4×（﹣3）•a+1＝8， 9a+12a+1＝8， ； 当a＜0时，在﹣3≤x≤2内， 当x＝2时，y取最大值8，代入解析式得： 22•a﹣4×2•a+1＝8， 4a﹣8a+1＝8， ． 故答案为：或． 【变式2】已知k，n均为非负实数，且2k+n＝2，则2k2﹣4n的最小值为 　 ． 【答案】﹣8 【解答】解：∵2k+n＝2， ∴n＝2﹣2k， 又k，n均为非负实数， ∴2﹣2k≥0， 解得：0≤k≤1， 则2k2﹣4n ＝2k2﹣4（2﹣2k） ＝2k2+8k﹣8 ＝2（k+2）2﹣16， ∵a＝2＞0， ∴当k＞﹣1时，2k2﹣4n的值随k的增大而增大， ∴当k＝0时，2k2﹣4n取得最小值﹣8， 故答案为：﹣8． 【变式3】二次函数y＝x2﹣2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为 　 　 ． 【答案】3或﹣3． 【解答】解：当y＝6时，有x2﹣2x+3＝6， 解得：x1＝﹣1，x2＝3． ∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）， 当x＜1时，y随x的增大而减少，当x＞1时，y随x的增大而增大， ∵当a≤x≤a+2时，函数有最小值6，分两种情况讨论： 若1＜a≤x≤a+2时，当x＝a时，y的最小值是6， ∴a＝3， 若a≤x≤a+2＜1时，当x＝a+2时，y的最小值是6， ∴a+2＝﹣1， 解得a＝﹣3， 故a的值为3或﹣3， 故答案为：3或﹣3． 题型5 待定系数法求二次函数解析式 解｜题｜知｜识 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【典例1】已知二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（　　） A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2+2x+3 【答案】B 【解答】解：该二次函数的对称轴为：直线x＝1， 则， 解得：b＝﹣2， 由条件可得c＝﹣3， 故这个二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3， 故选：B． 【变式1】某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y m 0 1 0 ﹣3 （1）求此二次函数的解析式； （2）表格中的m＝　 　 ； （3）当﹣1≤x≤3，则二次函数y的最大值为　　 ，最小值为　 　 ． 【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3； （2）﹣3； （3）1，﹣8． 【解答】解：（1）观察表格中的x、y的值，可知（1，0）、（3，0）是对称点， 所以抛物线的对称轴是直线x＝2， 所以顶点坐标为（2，1）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1， 将（4，﹣3）代入解析式中：﹣3＝a（4﹣2）2+1， 解得a＝﹣1， 所以这个二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3； （2）当x＝0时，y＝﹣3， ∴m＝﹣3， 故答案为：﹣3； （3）抛物线的对称轴是直线x＝2， 在﹣1≤x≤3中，2﹣（﹣1）＞3﹣2， 当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8， ∴当﹣1≤x≤3，则二次函数y的最大值为1，最小值为﹣8， 故答案为：1，﹣8． 【变式2】（1）解方程：x2+x＝12； （2）若抛物线y＝ax2+c过点A（0，5），B（5，0），求该抛物线的函数解析式． 【答案】（1）x1＝﹣4，x2＝3； （2）． 【解答】解：（1）x2+x＝12， 整理得x2+x﹣12＝0， 因式分解得（x+4）（x﹣3）＝0， ∴x+4＝0，x﹣3＝0， 解得x1＝﹣4，x2＝3； （2）由题意可得： ， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为． 【变式3】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式及C点坐标； （2）点D（m，3）是抛物线上一点，且当x≥m时，y的最大值为3，求m的值． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；点C的坐标为（0，3）； （2）m＝2． 【解答】解：（1）将A，B两点坐标代入函数解析式得：， 解得， 所以抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； 令x＝0得，y＝3， 所以点C的坐标为（0，3）； （2）将y＝3代入函数解析式得：﹣x2+2x+3＝3， 解得x1＝0，x2＝2， 即m＝0或2． 又因为当x≥m时，y的最大值为3， 且抛物线的顶点坐标为（1，4）， 所以m＝2． 过 关 验 收 1．已知二次函数，，，的图象如图所示，则a1，a2，a3，a4的大小关系是（　　） A．a3＜a4＜a1＜a2 B．a4＜a3＜a1＜a2 C．a4＜a3＜a2＜a1 D．a3＜a4＜a2＜a1 【答案】C 【解答】解：∵由图象可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴a1＞a2＞0， ∵由图象可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴|a4|＞|a3|， 又a4＜0，a3＜0， ∴a4＜a3＜0， ∴a4＜a3＜a2＜a1， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 2．在同一坐标系中，二次函数y＝（x﹣m）2与一次函数y＝mx+m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵一次函数y＝mx+m＝m（x+1）， ∴一次函数的图象过点（﹣1，0）， 故选项A、D不合题意； B、由一次函数y＝mx+m的图象可得：m＜0，此时二次函数y＝（x﹣m）2的顶点（m，0），m＞0，矛盾，故不合题意； C、由一次函数y＝mx+m的图象可得：m＞0，此时二次函数y＝（x﹣m）2的顶点（m，0），m＞0，一致，故符合题意； 故选：C． 3．已知二次函数y＝（2﹣a），在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（　　） A． B．± C． D．0 【答案】C 【解答】解：由二次函数定义可知a2﹣3＝2且2﹣a＞0，解得a． 故选：C． 4．二次函数y＝ax2+2ax+b与一次函数y＝ax+b（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+b， ∴对称轴为直线，故B，D不符合题意； ∵当x＝0时，y＝ax2+2ax+b＝b，y＝ax+b＝b， ∴二次函数与一次函数交于y轴上的点（0，b），故C不符合题意，A符合题意． 故选：A． 5．二次函数y＝a（x+m）2+k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（　　） A．m＜0，k＜0 B．m＜0，k＞0 C．m＞0，k＜0 D．m＞0，k＞0 【答案】A 【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m）2+k ∴顶点为（﹣m，k）， ∵顶点在第四象限， ∴﹣m＞0，k＜0， ∴m＜0，k＜0， 故选：A． 6．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→B→A的方向匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段AC的长为　 　 ． 【答案】4． 【解答】解：在Rt△PCD中，CD，PC＝t， ∴S＝PD2＝t2+（）2＝t2+2， 当S＝6时，6＝t2+2， 解得：t＝2（取正值）， ∴BC＝2， ∴图2中的抛物线经过点（2，6）， 由图象知，图2中的抛物线顶点为（4，2）， ∴设抛物线解析式为：S＝a（t﹣4）2+2， 将（2，6）代入，得：6＝a（2﹣4）2+2， 解得：a＝1， ∴S＝（t﹣4）2+2， 当S＝18时，18＝（t﹣4）2+2， 解得t＝8或t＝0（舍去）， ∴AB＝t﹣2＝8﹣2＝6， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC4． 故答案为：4． 7．在同一坐标系中画出y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x2的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x2的图象，如图： ， y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位得y＝﹣2x2+1的函数图象； y＝﹣2x2的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0） y＝﹣2x2+1的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1）． 8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（　　） ①abc＞0； ②2a+b＝0； ③b2﹣4ac＞0； ④a﹣b+c＞0． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：①根据抛物线的对称轴位于y轴右侧知：a、b异号，则ab＜0． 由抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0． 所以abc＜0． 故该结论错误； ②由该抛物线的对称轴是直线x＝1知，x1，则2a+b＝0． 故该结论正确； ③由该抛物线与x轴有两个交点知：Δ＝b2﹣4ac＞0． 故该结论正确； ④根据图示知：当x＝﹣1时，y＞0，则a﹣b+c＞0． 故该结论正确； 综上所述，正确的结论有3个． 故选：B． 9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．abc＞0 B．2a+b＝0 C．a﹣b+c＜0 D．m（am+b）≥a+b 【答案】C 【解答】解：∵图象开口向上， ∴a＞0． ∵对称轴为直线， ∴2a+b＝0，b＝﹣2a＜0，选项B正确； 当x＝2时，y＜0， ∴当x＝0时，y＜0． ∴c＜0． ∴abc＞0，选项A正确； 当x＝3时，y＞0， ∴当x＝﹣1时，y＞0． ∴a﹣b+c＞0，选项C错误； 当x＝1时，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）取最小值， ∴am2+bm+c≥a+b+c，即m（am+b）≥a+b，选项D正确， 故选：C． 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①abc＜0；②当﹣1＜x＜3时，y＞0；③a﹣b+c＜0；④3a+c＜0；⑤b2＞4ac．其中结论正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：由图可知抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴，对称轴为直线x＝1， ∴a＜0，c＞0，， ∴b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点横坐标在2和3之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在﹣1和0之间， ∴当﹣1＜x＜3时，y＞0不一定成立，也可能y＜0，故②错误； 当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故③正确； ∵b＝﹣2a， ∴a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，故④正确； ∵抛物线与x轴的有两个交点， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：D． 11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b＝0；④a+b+c＜0；⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：①由条件可知b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确； ②∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，②正确； ③∵， ∴2a+b＝0，③错误； ④∵x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0，④正确； ⑤当x＝3时，y＜0， ∴9a+3b+c＜0，⑤正确， ∴正确的有①②④⑤共4个， 故选：D． 12．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．则下列结论正确的有（　　） ①abc＜0； ②a+b＝0； ③m为任意实数，则a+b≤m（am+b）； ④a﹣b+c＞0； ⑤若，且x1≠x2，则x1+x2＝2． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0． 抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0． 抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0， ∴abc＞0，故①错误； ②∵抛物线对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a， ∴a+b＝a﹣2a＝﹣a＜0，故②错误； ③∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴函数的最小值为：a+b+c， ∴m为任意实数时，a+b+c≤am2+bm+c，则a+b≤m（am+b），故③正确； ④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧， ∴当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0，故④正确； ⑤∵， ∴， ∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0， ∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2， ∴a（x1+x2）+b＝0，即， ∵b＝﹣2a， ∴x1+x2＝2，故⑤正确． 综上所述，正确的有③④⑤，共3个． 故选：B． 13．“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，那么m的取值范围是（　　） A．m≥﹣4 B．m＜﹣4 C．m＜﹣5 D．m≥﹣5 【答案】A 【解答】解：将二次函数解析式配方为顶点式得：y＝（x+1）2+m+4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，m+4）， ∵抛物线只经过两个象限， ∴m+4≥0， ∴m≥﹣4， 故选：A． 14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＝0；②b＞0；③a＞b；④4ac﹣b2＜0．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：由图象可得， ∵开口向下， ∴a＜0， ∵， ∴b＝3a＜0，故②错误， ∴a＞b，故③正确， ∵过（0，0）点， ∴c＝0， ∴abc＝0①正确， ∵函数与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，故④正确， 故选：C． 15．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系是（　　） A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c 【答案】A 【解答】解：由二次函数y＝ax2的性质知， （1）抛物线y＝ax2的开口大小由|a|决定． |a|越大，抛物线的开口越窄； |a|越小，抛物线的开口越宽． （2）抛物线y＝ax2的开口方向由a决定． 当a＞0时，开口向上，抛物线（除顶点外）都在x轴上方； 当a＜0时，开口向下，抛物线（除顶点外）都在x轴下方． 根据以上结论知：a＞b＞0，0＞c＞d． 故选：A． 16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的结论有（　　） ①abc＜0；②2a+b＝0； ③b2﹣4ac＜0；④9a+3b+c＞0； ⑤c+8a＜0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵图象的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴是直线x＝1， ∴a＜0，c＞0，1， 即2a+b＝0，b＞0， ∴abc＜0，故①②正确； ∵抛物线的图象和x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，故③错误； ∵抛物线的图象的对称轴是直线x＝1，和x轴的一个交点坐标是（﹣1，0）， ∴另一个交点坐标是（3，0）， 即当x＝3时，y＝a×32+b×3+c＝0，故④错误； ∵2a+b＝0， 即b＝﹣2a，代入解析式得：y＝ax2﹣2ax+c， 当x＝3时，y＝9a﹣6a+c＝3a+c＝0， ∵a＜0， ∴3a+c+5a＝8a+c＜0，故⑤正确； 即正确的有3个， 故选：C． 17．抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（﹣2，0） 【答案】A 【解答】解：在抛物线y＝x2﹣2x+1中， 当x＝0时，y＝1， ∴抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为（0，1）， 故选：A． 18．已知点A（m﹣1，y1），B（m+1，y2）在二次函数y＝a（x+n）（x+n+1）（a≠0，n为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当a＜0时，若y1＜0，则y2＜0 B．当a＞0时，若y1＜0，则y2＜0 C．当a＜0时，若y1＞0，则y2＜0 D．当a＞0时，若y1＞0，则y2＞0 【答案】C 【解答】解：当y＝0时，x1＝﹣n，x2＝﹣n﹣1， ∴二次函数的图象与x轴的两个交点为（﹣n，0），（﹣n﹣1，0）， ∵点A（m﹣1，y1），B（m+1，y2）在二次函数y＝a（x+n）（x+n+1）（a≠0，n为常数）的图象上， ∴当a＞0时，若y1＜0，则﹣1﹣n＜m﹣1＜﹣n，得﹣n＜m＜1﹣n， ∴m+1的取值范围是﹣n+1＜m+1＜2﹣n， 当﹣1﹣n＜m+1＜﹣n时，则y2＜0，当m+1≥﹣n时，则y2＞0，故选项B错误，不符合题意； 当a＞0时，若y1＞0，则m﹣1＜﹣1﹣n或m﹣1＞﹣n，得m＜﹣n或m＞1﹣n， ∴m+1＜﹣n+1或m+1＞2﹣n， 当m+1＜﹣n+1时，y2可能大于0也可能小于0，当m+1＞2﹣n时，则y2＞0，故选项D错误，不符合题意； 当a＜0时，若y1＜0，则m﹣1＜﹣n﹣1或m﹣1＞﹣n，得m＜﹣n或m＞﹣n+1， ∴m+1＜﹣n+1或m+1＞﹣n+2． 则y2不能确定正负，故选项A错误，不符合题意； 当a＜0时，若y1＞0，则﹣n﹣1＜m﹣1＜﹣n，得﹣n＜m＜﹣n+1， ∴m+1的取值范围是﹣n+1＜m+1＜﹣n+2， 则y2＜0，故选项C正确，符合题意； 故选：C． 19．如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），则m﹣n＝　　 ． 【答案】1 【解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，如图所示． ∵点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，且A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0）， ∴点A的坐标为（m，﹣m2+4），点C的坐标为（n，﹣n2+4）， ∴AM＝m，CN＝n． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°． ∵∠CDN+∠DCN＝90°，∠CDN+∠ADM＝180°﹣90°＝90°， ∴∠DCN＝∠ADM． 在△ADM和△DCN中， ， ∴△ADM≌△DCN（AAS）． ∴DN＝AM＝m，DM＝CN＝n． ∴MN＝DN+DM＝m+n＝（﹣n2+4）﹣（﹣m2+4）＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）． ∴m﹣n＝1． 故答案为：1． 20．若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 （用＜号连接）． 【答案】y1＜y3＜y2． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝﹣x2+6x+c， ∴对称轴是直线x3． 又∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 又∵3﹣（﹣1）＝4＞5﹣3＝2＞3﹣2＝1， ∴y1＜y3＜y2． 故答案为：y1＜y3＜y2． 21．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象与y轴交点坐标是 　 　 ． 【答案】（0，2）． 【解答】解：将x＝0代入解析式得：y＝﹣（﹣1）2+3＝2， ∴二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象与y轴的交点坐标为（0，2）． 故答案为：（0，2）． 22．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，y的最小值为﹣4，则m的值为（　　） A．﹣2或10 B．10或2 C．2 D． 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0）， 代入，得0＝9﹣3m+n，即3m﹣9＝n， 二次函数对称轴为直线x， 然后分情况讨论： ①对称轴为直线x3，即m≥6， 此时在﹣3≤x≤0上，y随x的增大而增大， ∴当x＝﹣3时，y有最小值0，不符合题意，舍去； ②对称轴为直线x满足﹣3时，即0＜m＜6， 此时二次函数的顶点在﹣3≤x≤0范围内，顶点的纵坐标为最小值﹣4， 二次函数顶点纵坐标公式为y，将a＝1，b＝m，c＝3m﹣9代入， 可得（m﹣2）（m﹣10）＝0， 解得m ＝ 2或m ＝ 10， ∵0＜m＜6， ∴m ＝ 2； ③对称轴为直线x0，即m≤0， 此时在﹣3≤x≤0上y随x的增大而减小， ∴当x＝0时，y有最小值3m﹣9， 令3m﹣9＝4，解得m，不符合题意，舍去； 故答案为m＝2， 故选：C． 23．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x＜2时的最大值为3，那么m的值是（　　） A．﹣4或 B．﹣4或 C．或 D．或 【答案】B 【解答】解：∵y＝﹣x2+mx在﹣1≤x＜2时的最大值为3， ∵﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，对称轴是直线：x， 距离对称轴越近的点纵坐标越大，即函数值越大， 当﹣12时，即﹣2＜m＜4， 当x时，y＝3，∴3，解得（舍去）， 当时，当x＝﹣1时，y＝3，∴﹣1﹣m＝3，m＝﹣4， 故m＝﹣4或2， 故选：B． 24．若3a+b＝30，则2ab的最大值为（　　） A．﹣75 B．75 C．﹣150 D．150 【答案】D 【解答】解：由条件可知b＝30﹣3a， ∴2ab＝2a×（30﹣3a）＝﹣6a2+60a＝﹣6（a﹣5）2+150， ∴2ab＝﹣6（a﹣5）2+150≤150， ∴2ab的最大值为150， 故选：D． 25．当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+4x+2的最小值为﹣1，则实数a的值为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．﹣5或﹣1 D．﹣3或﹣1 【答案】C 【解答】解：当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+4x+2的最小值为﹣1， 当y＝﹣1时，有x2+4x+2＝﹣1， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣3． ∵y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2）， 当x＜﹣2时，y随x的增大而减少，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大， ∵当a≤x≤a+2时，函数有最小值﹣1， 若﹣2＜a≤x≤a+2时，当x＝a时，y的最小值是﹣1， ∴a＝﹣1； 若a≤x≤a+2＜﹣2时，当x＝a+2时，y的最小值是﹣1， ∴a+2＝﹣3， a＝﹣5， 故选：C． 26．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值﹣1，有最大值0 C．有最小值﹣1，有最大值3 D．有最小值﹣1，无最大值 【答案】C 【解答】解：观察图象可得：当x＝1时，函数有最小值﹣1；当x＝3时，函数有最大值3． 故选：C． 27．甲、乙两个二次函数分别为y＝（x+10）2+30、y＝﹣（x﹣20）2+30，判断下列叙述正确的是（　　） A．当x＝10时，甲有最大值 B．当x＝10时，甲有最小值 C．当x＝20时，乙有最大值 D．当x＝20时，乙有最小值 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝（x+10）2+30中，a＝1＞0， ∴当x＝﹣10时，甲有最小值， ∴A、B错误； ∵二次函数y＝﹣（x﹣20）2+30中，a＝﹣1＜0， ∴当x＝20时，乙有最大值， ∴C正确、D错误， 故选：C． 28．已知非负数x，y，z满足x+y＝5，z﹣5x＝10，设s＝﹣x2+y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为（　　） A．4 B．9 C．16 D．19 【答案】B 【解答】解：∵x+y＝5，z﹣5x＝10， ∴y＝5﹣x，z＝10+5x， ∵y，z都是非负数， ∴， 解不等式①得，x≤5， 解不等式②得，x≥﹣2， ∴﹣2≤x≤5， 又∵x是非负数， ∴0≤x≤5， s＝﹣x2+y+z＝﹣x2+5﹣x+10+5x＝﹣（x﹣2）2+19， ∴对称轴为直线x＝2， ∴x＝5时，最小值b＝﹣（5﹣2）2+19＝10， x＝2时，最大值a＝19， ∴a﹣b＝19﹣10＝9． 故选：B． 29．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm动点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动；动点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当t＝3时，△BPQ的面积为21cm2； ②t有两个不同的值，都使△BPQ的面积为16cm2； ③△BPQ面积的最大值为50cm2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：由题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm， ∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm， ∴S△PBQBP•BQ（10﹣t）•2t＝（﹣t2+10t）（cm2）， ∵S△PBQ＝﹣t2+10t＝﹣（t﹣5）2+25， ∵﹣2＜0， ∴当t＝5时，△PBQ的面积有最大值为25，故③错误； 当t＝3时，△PBQ的面积为：﹣（3﹣5）2+25＝21，故①正确； 令S△PBQ＝16，则﹣t2+10t＝16，即t2﹣10t+16＝0， 解得t＝2或8， ∵t＝8时，BQ＜BC，故t＝8符合题意，故②正确； 故选：C． 30．已知非负数a，b，c满足a+b＝3且c﹣3a＝﹣6，设y＝a2+b+c的最小值为n，则n的值是（　　） A．﹣4 B．5 C．12 D．﹣3 【答案】B 【解答】解：∵a+b＝3，c﹣3a＝﹣6， ∴b＝3﹣a，c＝3a﹣6， ∵b，c都是非负数， ∴， 解不等式①得，a≤3， 解不等式②得，a≥2， ∴2≤a≤3， y＝a2+b+c＝a2+（3﹣a）+3a﹣6， ＝a2+2a﹣3， ∴对称轴为直线a1， 当2≤a≤3时，y随a的增大而增大， ∴a＝2时，最小值n＝22+2×2﹣3＝5， 故选：B． 31．若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【解答】解：∵yx2﹣mx+1（x﹣m）2+（m2+1）， ∴图象的对称轴为直线x＝m， 当0＜m≤2时，抛物线开口向上， ∴当x＝m时，y有最小值，y最小m2+1＝0， 解得m， 当m＞2时，抛物线开口向上，在﹣4≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴x＝2时，y有最小值，y最小（2﹣m）2+（m2+1）＝0， 解得m（不合题意，舍去）， 综上，m． 故选：B． 32．当﹣3≤x≤2时，二次函数y＝a（x﹣2）2+1﹣4a（a≠0）的最大值为8，则a＝　 　 ． 【答案】或． 【解答】解：二次函数y＝a（x﹣2）2+1﹣4a（a≠0）的对称轴为直线x＝2， 当a＞0时，在﹣3≤x≤2内， 当x＝﹣3时，y取最大值8，代入解析式得： a（﹣3﹣2）2+1﹣4a＝8， 解得a， 当a＜0时，在﹣3≤x≤2内， 当x＝2时，y取最大值8，代入解析式得： a（2﹣2）2+1﹣4a＝8， 解得a， 故答案为：或． 33．已知点A（m，2m）（m＞2）是二次函数y＝ax2+k（a＞0）图象上一点，当m﹣4≤x≤m时，二次函数的最大值和最小值分别为6和﹣2，则a的值为 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：∵把A（m，2m）代入y＝ax2+k中，得2m＝am2+k， 故k＝2m﹣am2，从而函数解析式为y＝ax2+2m﹣am2， ∵a＞0， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线x＝0， ∵m＞2， ∴（m﹣4+m）＝m﹣2＞0，m﹣4＞﹣2， 从而可分为： ①当﹣2＜m﹣4≤0，即2＜m≤4时，函数在x＝m处取得最大值6，在x＝0处取得最小值﹣2， ∴am2+2m﹣am2＝6，解得m＝3，且2m﹣am2＝﹣2， 把m＝3代入2m﹣am2＝﹣2中，解得a； ②当m﹣4＞0，即m＞4时，函数在x＝m处取得最大值6， ∴am2+2m﹣am2＝6，解得m＝3，这与m＞4矛盾，故不成立． 综上可得a． 故答案为：． 34．已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（1，4）是否在此抛物线上． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣8）代入线y＝ax2得：﹣8＝4a， 解得a＝﹣2， ∴y＝﹣2x2； （2）在y＝﹣2x2中，令x＝1得y＝﹣2≠4， ∴点B（1，4）不在此抛物线上． 35．已知二次函数y＝2x2+bx+c经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），求二次函数的解析式和最值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由条件可得， 解得， ∴y＝2x2+4x﹣6， ∵y＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x）﹣6＝2（x+1）2﹣8，a＝2＞0， ∴当x＝﹣1时，二次函数有最小值﹣8，无最大值． 36．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（1，﹣2）两点． （1）求二次函数解析式． （2）判断点（3，4）是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2． （2）点（3，4）在这个二次函数的图象上． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（1，﹣2）代入y＝x2+bx+c中， 得：，解得：， ∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2． （2）点（3，4）在这个二次函数的图象上； 理由：当x＝3时，y＝32﹣3﹣2＝4， ∴点（3，4）在这个二次函数的图象上． 37．下表是二次函数自变量x与函数y的部分对应值： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 3 … y … ﹣5 0 3 0 … 根据上表的数值，解答下列问题： （1）求二次函数的表达式； （2）在上表中，求出被墨水涂黑那格的数据． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）表中被墨水涂黑的那格数据为﹣12． 【解答】解：（1）由表观察可知：当x＝﹣1或x＝3时，y＝0； 当x＝﹣2时，y＝﹣5， ∴设y＝a（x+1）（x﹣3）， 把x＝﹣2，y＝﹣5代入得，﹣5＝a（﹣2+1）（﹣2﹣3），解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3） ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）把x＝﹣3，代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝﹣12． ∴表中被墨水涂黑的那格数据为﹣12． 38．已知是关于x的二次函数．求m的值及函数表达式． 【答案】m＝2，y＝﹣3x2+5x． 【解答】解：由题意，得：m2﹣m＝2，m+1≠0， 解方程m2﹣m＝2，可得m1＝2，m2＝﹣1， 解不等式m+1≠0，可得m≠﹣1， 综上所述，可知m＝2， ∴y＝﹣（2+1）x2+5x＝﹣3x2+5x． 39．已知抛物线y＝ax2+2x﹣3上（a是常数）经过点A（1，0）． （1）求二次函数解析式； （2）判断点（2，4）是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将点A坐标代入y＝ax2+2x﹣3得， a+2﹣3＝0， 解得a＝1， 所以二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3． （2）不在，理由如下： 将x＝2代入y＝x2+2x﹣3得， y＝4+4﹣3＝5≠4， 所以点（2，4）不在这个二次函数图象上． 40．已知二次函数y＝ax2﹣（a﹣2）x+6过点（3，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）当0≤x≤5时，求二次函数的最小值； （3）当t≤x≤t+1时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意，∵（3，0）在y＝ax2﹣（a﹣2）x+6的图象上， ∴9a﹣3（a﹣2）+6＝0． ∴a＝﹣2． ∴二次函数的解析式为y＝﹣2x2+4x+6． （2）由题意，∵二次函数为y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8， ∴当x＝1时，y取最大值为8． 又∵当x＝0时，y＝6；当x＝5时，y＝﹣24， ∴0≤x≤5时，当x＝5时，二次函数的最小值为﹣24． （3）由题意，∵二次函数为y＝﹣2（x﹣1）2+8， ∴抛物线的顶点为（1，8）． ∴当x＝1时，y最大＝8；当x＝2时，y＝6． ∵8+6＞6， ∴当对称轴直线x＝1在t≤x≤t+1范围内时，二次函数的最大值与最小值的和必大于6． ∴范围t≤x≤t+1在直线x＝1的一边． ∴当x＝t、x＝t+1时，函数有最大值或最小值 ∴﹣2t2+4t+6﹣2（t+1）2+4（t+1）+6＝6． ∴t1＝2，t2＝﹣1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 二次函数的图像 内 容 导 航 题型1 二次函数的图象 题型2 二次函数图象与系数的关系 题型3 二次函数图象上点的坐标特征 题型4 二次函数的最值 题型5 待定系数法求二次函数解析式 考 点 演 练 题型1 二次函数的图象 解｜题｜知｜识 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【典例1】一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图为一次函数y＝ax+b的图象，则二次函数y＝ax2+bx在平面直角坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【变式2】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则c的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 【变式3】已知抛物线y＝ax2+bx和直线y＝ax﹣b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 题型2 二次函数图象与系数的关系 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 【典例1】对于二次函数y＝﹣2x2+mx﹣1，当x＜1时，y随x的增大而增大，则满足条件的m的取值范围是（　　） A．m≥﹣4 B．m≥2 C．m≥3 D．m≥4 【变式1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，下列选项中正确的是（　　） A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜0 【变式2】抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，那么k的取值范围是　 ． 【变式3】如果抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+1的图象开口向下，那么m的取值范围是　 ． 题型3 二次函数图象上点的坐标特征 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 【典例1】已知在二次函数y＝2（x﹣1）2+m的图象上有三点，其坐标分别为（﹣1，y1），（0，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y2＝y3 D．y1＝y2＞y3 【变式1】已知点A（﹣3，y1），B（﹣m+6，y2）在抛物线y＝﹣x2﹣mx+4上，若5＜m＜6，则下列判断正确的是（　　） A．y1＜y2＜4 B．y2＜y1＜4 C．y1＜4＜y2 D．y2＜4＜y1 【变式2】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，m），B（5，n），若m＜n，则下列可能成立的是（　　） A．当a＞0时，3a+b＝0 B．当a＞0时，2a+b＝0 C．当a＜0时，a+b＝0 D．当a＜0时，a﹣b＝0 【变式3】已知点M（m﹣2，n），点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，若t＞4，则n的取值范围是（　　） A．n＞4或n＜﹣4 B．﹣4＜n＜4 C．n＞1或n＜﹣4 D．﹣4＜n＜1 题型4 二次函数的最值 解｜题｜知｜识 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝6cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动．则△PBQ的最大面积是　 ． 【变式1】当﹣3≤x≤2时，二次函数y＝ax2﹣4ax+1的最大值为8，则a＝　 　 ． 【变式2】已知k，n均为非负实数，且2k+n＝2，则2k2﹣4n的最小值为 　 ． 【变式3】二次函数y＝x2﹣2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为 　 　 ． 题型5 待定系数法求二次函数解析式 解｜题｜知｜识 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【典例1】已知二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（　　） A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2+2x+3 【变式1】某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y m 0 1 0 ﹣3 （1）求此二次函数的解析式； （2）表格中的m＝　 　 ； （3）当﹣1≤x≤3，则二次函数y的最大值为　　 ，最小值为　 　 ． 【变式2】（1）解方程：x2+x＝12； （2）若抛物线y＝ax2+c过点A（0，5），B（5，0），求该抛物线的函数解析式． 【变式3】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式及C点坐标； （2）点D（m，3）是抛物线上一点，且当x≥m时，y的最大值为3，求m的值． 过 关 验 收 1．已知二次函数，，，的图象如图所示，则a1，a2，a3，a4的大小关系是（　　） A．a3＜a4＜a1＜a2 B．a4＜a3＜a1＜a2 C．a4＜a3＜a2＜a1 D．a3＜a4＜a2＜a1 2．在同一坐标系中，二次函数y＝（x﹣m）2与一次函数y＝mx+m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．已知二次函数y＝（2﹣a），在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（　　） A． B．± C． D．0 4．二次函数y＝ax2+2ax+b与一次函数y＝ax+b（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．二次函数y＝a（x+m）2+k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（　　） A．m＜0，k＜0 B．m＜0，k＞0 C．m＞0，k＜0 D．m＞0，k＞0 6．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→B→A的方向匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段AC的长为　 　 ． 7．在同一坐标系中画出y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x2的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标． 8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（　　） ①abc＞0； ②2a+b＝0； ③b2﹣4ac＞0； ④a﹣b+c＞0． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．abc＞0 B．2a+b＝0 C．a﹣b+c＜0 D．m（am+b）≥a+b 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①abc＜0；②当﹣1＜x＜3时，y＞0；③a﹣b+c＜0；④3a+c＜0；⑤b2＞4ac．其中结论正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b＝0；④a+b+c＜0；⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．则下列结论正确的有（　　） ①abc＜0； ②a+b＝0； ③m为任意实数，则a+b≤m（am+b）； ④a﹣b+c＞0； ⑤若，且x1≠x2，则x1+x2＝2． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 13．“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，那么m的取值范围是（　　） A．m≥﹣4 B．m＜﹣4 C．m＜﹣5 D．m≥﹣5 14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＝0；②b＞0；③a＞b；④4ac﹣b2＜0．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系是（　　） A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c 16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的结论有（　　） ①abc＜0；②2a+b＝0； ③b2﹣4ac＜0；④9a+3b+c＞0； ⑤c+8a＜0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（﹣2，0） 18．已知点A（m﹣1，y1），B（m+1，y2）在二次函数y＝a（x+n）（x+n+1）（a≠0，n为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当a＜0时，若y1＜0，则y2＜0 B．当a＞0时，若y1＜0，则y2＜0 C．当a＜0时，若y1＞0，则y2＜0 D．当a＞0时，若y1＞0，则y2＞0 19．如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），则m﹣n＝　　 ． 20．若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 （用＜号连接）． 21．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象与y轴交点坐标是 　 　 ． 22．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，y的最小值为﹣4，则m的值为（　　） A．﹣2或10 B．10或2 C．2 D． 23．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x＜2时的最大值为3，那么m的值是（　　） A．﹣4或 B．﹣4或 C．或 D．或 24．若3a+b＝30，则2ab的最大值为（　　） A．﹣75 B．75 C．﹣150 D．150 25．当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+4x+2的最小值为﹣1，则实数a的值为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．﹣5或﹣1 D．﹣3或﹣1 26．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值﹣1，有最大值0 C．有最小值﹣1，有最大值3 D．有最小值﹣1，无最大值 27．甲、乙两个二次函数分别为y＝（x+10）2+30、y＝﹣（x﹣20）2+30，判断下列叙述正确的是（　　） A．当x＝10时，甲有最大值 B．当x＝10时，甲有最小值 C．当x＝20时，乙有最大值 D．当x＝20时，乙有最小值 28．已知非负数x，y，z满足x+y＝5，z﹣5x＝10，设s＝﹣x2+y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为（　　） A．4 B．9 C．16 D．19 29．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm动点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动；动点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当t＝3时，△BPQ的面积为21cm2； ②t有两个不同的值，都使△BPQ的面积为16cm2； ③△BPQ面积的最大值为50cm2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 30．已知非负数a，b，c满足a+b＝3且c﹣3a＝﹣6，设y＝a2+b+c的最小值为n，则n的值是（　　） A．﹣4 B．5 C．12 D．﹣3 31．若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　） A． B． C． D．或 32．当﹣3≤x≤2时，二次函数y＝a（x﹣2）2+1﹣4a（a≠0）的最大值为8，则a＝　 　 ． 33．已知点A（m，2m）（m＞2）是二次函数y＝ax2+k（a＞0）图象上一点，当m﹣4≤x≤m时，二次函数的最大值和最小值分别为6和﹣2，则a的值为 　 　 ． 34．已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（1，4）是否在此抛物线上． 35．已知二次函数y＝2x2+bx+c经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），求二次函数的解析式和最值． 36．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（1，﹣2）两点． （1）求二次函数解析式． （2）判断点（3，4）是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 37．下表是二次函数自变量x与函数y的部分对应值： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 3 … y … ﹣5 0 3 0 … 根据上表的数值，解答下列问题： （1）求二次函数的表达式； （2）在上表中，求出被墨水涂黑那格的数据． 38．已知是关于x的二次函数．求m的值及函数表达式． 39．已知抛物线y＝ax2+2x﹣3上（a是常数）经过点A（1，0）． （1）求二次函数解析式； （2）判断点（2，4）是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 40．已知二次函数y＝ax2﹣（a﹣2）x+6过点（3，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）当0≤x≤5时，求二次函数的最小值； （3）当t≤x≤t+1时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $