专题02二次函数的性质精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册（原卷版）

本讲义聚焦二次函数性质，系统梳理二次项系数a对开口的影响，一般式与顶点式的对称轴、顶点坐标公式，增减性、最值规律，对称性应用及判别式与x轴交点关系，为函数综合题、实际最值应用题筑牢基础支架。 以数形结合为核心，通过九类分层题型（含难度星级）设计，培养几何直观与逻辑推理能力，如利用顶点式简化性质判断、对称性解决最短路径问题。课中辅助教师精准教学，课后助力学生依据解题思路与易错点查漏补缺。

专题02二次函数的性质精讲学案 课堂核心立意 以数形结合为核心抓手，依托二次函数三种解析式形式，系统掌握抛物线开口、对称轴、顶点、增减性、最值五大核心图像特征，打通解析式与图像双向互推逻辑，为后续函数综合题、实际最值应用题、图像不等式题型筑牢底层依据，实现“由式识图、由图析式”的解题思维落地。 一、二次项系数a的核心决定性作用 ①a>0：抛物线开口向上，顶点为图像最低点，函数存在最小值、无最大值； ②a<0：抛物线开口向下，顶点为图像最高点，函数存在最大值、无最小值； ③|a|控制开口宽窄：|a|数值越大，抛物线开口越窄；|a|越小，开口越平缓。 二、一般式y=ax2+bx+c(a≠0)核心公式 ①对称轴直线解析式：x； ②顶点坐标：(-,)； ③抛物线与y轴固定交点：(0,c)，纵坐标直接等于常数项c。 三、二次函数增减性（以对称轴为分界点） 情况1：a>0开口向上 ①当x<（对称轴左侧），y随x的增大而减小； ②当x>（对称轴右侧），y随x的增大而增大。 情况2：a<0开口向下 ①当x<（对称轴左侧），y随x的增大而增大； ②当x>（对称轴右侧），y随x的增大而减小。 补充要点 增减性必须以对称轴划分区间，不能笼统描述整体递增或递减。 四、二次函数最值规律 1. 自变量取全体实数 ①a>0，在对称轴x=处，取得最小值y=； ②a<0，在对称轴x=处，取得最大值y=。 2. 自变量限定区间m x n ①对称轴落在区间内部：顶点取一个最值，对比区间两个端点函数值得到另一个最值； ②对称轴在区间左侧：直接利用区间增减性，左右端点对应最值； ③对称轴在区间右侧：直接利用区间增减性，左右端点对应最值。 五、顶点式y=a(x-h)^2+k性质简化结论 ①对称轴：直线x=h，顶点坐标(h,k)； ②a>0最小值为k，a<0最大值为k； ③增减性分界直接用x=h判断，计算相比一般式更简便。 六、抛物线对称性拓展应用 ①纵坐标相同的两个点(x1,y)、(x2,y)，对称轴公式x=； ②利用对称性快速比较函数值大小：比较点到对称轴的水平距离，开口向上距离越远函数值越大，开口向下距离越远函数值越小； ③借助对称点简化函数值计算，无需完整代入解析式运算。 七、抛物线与x轴交点和判别式关联 ①=b2-4ac>0：抛物线与x轴2个不同交点； ②=b2-4ac=0：顶点落在x轴上，1个交点； ③=b2-4ac<0：抛物线和x轴无交点； ④交点横坐标对应一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根。 ①对称轴书写必须是直线x=常数，不可只写数字； ②区间最值题极易忽略自变量取值范围，直接套用顶点最值造成错解； ③判断增减性时混淆对称轴左右区间，颠倒增减变化趋势； ④区分c是抛物线与y轴交点纵坐标，和顶点纵坐标k不要混淆； ⑤比较函数值大小时，直接比较横坐标大小，忽略对称轴与开口方向的约束条件。 题型 考察方向 难度 题型一 y=ax2+bx+c的最值 ★★ 题型二 一次函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型三 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型四 两个二次函数图象综合判断 ★★★ 题型五 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★★ 题型六 待定系数法求二次函数解析式 ★★★ 题型七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ★★★ 题型八 根据二次函数的对称性求函数值 ★★★ 题型九 利用二次函数对称性求最短路径 ★★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★基础巩固；★★★中档；★★★中档偏难；★★★★较难；★★★★★难题 题型一：y=ax2+bx+c的最值 解题思路 ①看二次项系数a：a>0开口向上，函数有最小值；a<0开口向下，函数有最大值。 ②自变量为全体实数：顶点处取最值，对称轴x=-，最值y=。 ③给定自变量取值范围mxn：   ①对称轴落在区间内：顶点取一个最值，另一个最值比较区间两个端点函数值；   ②对称轴不在区间内：依据增减性，最值直接在区间端点取得。 ④答题写明：当x=?时，最大/最小值为多少。 1．二次函数，当_______时，y有最值，最_______值为_______． 【答案】 2 小 0 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为正，函数有最小值，通过顶点公式可求顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数，其中， 故抛物线开口向上，函数有最小值，顶点横坐标，代入得， ∴当时，有最小值为． 故答案为：2；小；0． 2．若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 【答案】B 【分析】开口向下的二次函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 3．当时，二次函数的最大值为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，利用二次函数的增减性计算得到最大值． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，对应的函数值越大， ， 到对称轴的距离最远， 当时，， 即当时，二次函数的最大值为． 4．我们规定：若，，则．例如， ，，则．已知，，且，则的最大值是（     ） A．14 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】先根据新运算的定义求出与之间的关系式，再利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 又∵当时，， 当时，， ∴的最大值是8． 题型二：一次函数、二次函数图象综合判断 解题思路 ①两个函数共用字母参数，同一个参数符号必须保持一致，出现矛盾直接排除选项。 ②从抛物线读取：开口定a，对称轴位置定b，与y轴交点定c。 ③从一次函数图像读取：直线升降定斜率k，直线与y轴交点定截距m。 ④将两处得到的参数符号相互校验，有冲突直接排除。 ⑤辅助方法：代入特殊x值，对比图像上函数值，验证图像合理性。 5．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过_______象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四． 6．函数(是常数，，下同)和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质以及图象的综合判断，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 分两种情况分析：当时；当时；再综合选项判断即可解答． 【详解】解：当时，二次函数的图象开口向上，与轴正半轴相交，对称轴为，，一次函数的图象经过第一、二、三象限； 当时，二次函数的图象开口向下，与轴正半轴相交，对称轴为，，一次函数的图象经过第二、三、四象限，则A，C，D不符合题意， 故选：B． 7．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， ，， 抛物线与直线交于，两点， 观察函数图象可知：当时， 直线在抛物线的上方， 不等式的解集是． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题． 8．若二次函数与一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，抛物线与轴的交点问题等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴和与轴的交点，确定的符号进行判断即可． 【详解】解：抛物线开口向上，故， 由一次函数图像可知，，， ， ；故A错误； 当时，二次函数，一次函数， 从图象上看，，即；故B错误； 当时，二次函数，一次函数， 从图象上看， 故， ， 的值不能确定正负，故C错误； 当时，由函数图象可知， ， ， 即，解得， ，， ，即， ，故D正确． 题型三：反比例函数、二次函数图象综合判断 解题思路 ①共用参数，a、b、c符号要同时满足两个函数图像特征。 ②二次函数：开口得a符号；对称轴x=-判断b；与y轴交点得c。 ③反比例函数y=：图像在一、三象限则k>0；二、四象限则k<0。 ④把二次函数得到的参数，代入反比例函数条件进行核对，参数矛盾就排除。 ⑤注意反比例函数图像永远不与坐标轴相交。 9．抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 10．二次函数与反比例函数的图象在如图所示的同一坐标系中，若时，则的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数和反比例函数的综合，根据函数图象得出当或时，二次函数图象在反比例函数的上面，即可得出当时，的取值范围． 【详解】解：根据函数图象可得：二次函数与反比例函数的图象交点坐标为，， 当或时，二次函数图象在反比例函数的上面，因此时，则的取值范围或． 故选：A． 11．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数交点问题． 根据题意求出时，，时，，根据图象利用数形结合即可得到答案． 【详解】解：把代入得到， 解得， 把代入得到， 解得， 方程的解可以理解为函数的图象和函数的图象交点的横坐标，由图象可知， ∴ 故答案为： 12．已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象经过的象限，判断出a、b、c的符号，进而确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点的位置，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意． 题型四：两个二次函数图象综合判断 解题思路 ①对比两个抛物线各自的开口方向、对称轴、与坐标轴交点、顶点位置。 ②重点比对公共参数：若解析式有相同字母，字母取值符号必须统一。 ③分别读出两个抛物线的a：|a|越大，抛物线开口越窄。 ④对比对称轴位置，判断b的符号；对比和y轴交点，判断c大小。 ⑤可以联立两个二次函数，求交点，检验图像交点是否符合选项。 13．已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 【答案】B 【分析】分两种情况讨论，通过解不等式和，可对各项进行判断． 【详解】解：当时，， 整理得， ， ，解得或； 当时，， 整理得， ， ，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 14．已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为_______． 【答案】或 【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：， ∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ∴，， 又∵这条抛物线与抛物线形状相同， ∴，即， ∴这条抛物线的解析式为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键． 15．已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C．D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 题型五：根据二次函数的图象判断式子符号 解题思路 ①基础符号：开口看a；对称轴x=-看b；抛物线交y轴看c。 ②特殊值代入法：   ①x=1，得y=a+b+c；   ②x=-1，得y=a-b+c；   ③x=2，得y=4a+2b+c；   ④x=-2，得y=4a-2b+c，对照图像对应点纵坐标正负判断式子符号。 ③=b2-4ac看抛物线与x轴交点个数。 ④对称轴等式变形：如-=1，得到2a+b=0这类关系式。 ⑤多个代数式判断，优先标记a,b,c符号，再逐个推导，切忌凭感觉。 16．如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为3，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的不等式的解集为；； ④（t为任意实数）．其中正确的是________．（只填写序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查二次函数的图象及性质； 熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．先判断、、的值即可判断①；然后根据对称轴为得到，然后代入当时即可判断②；利用数形结合即可判断③；由时抛物线有最小值，即可得到，然后得到结论判断④. 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 又∵对称轴位于y轴右侧， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵对称轴为， ∴，即， ∵当时，， ∴，故②正确； 借助图象可得关于x的不等式的解集为或，故③错误； ∵当时，二次函数有最小值， ∴， ∴，故④正确； 正确的是②④， 故答案为：②④． 17．已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键在于根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点个数判断判别式的符号． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，且对称轴在轴右侧，即， ∴； ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 综上，，，故选：D． 18．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 【答案】③ 【详解】解：函数图象与轴有两个交点， ，故①正确； 二次函数与轴的交点为，， 是方程的一个根，故②正确； 由图可知，当时，，当或时，，故③错误，④正确． 19．已知二次函数，当x分别取、时，对应的函数值为、，若，则下列表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先表示出函数的对称轴为，然后分和两种情况讨论，根据当开口向上时，距离对称轴越远，其函数值越大，当开口向下时，距离对称轴越远，其函数值越小，从而确定正确选项． 【详解】解：∵， ∴对称轴为， 当时，函数图象开口向上， ， ∴，即， ∴； 当时，函数图象开口向下， ， ∴，即， ∴； 两种情况都满足，所以选项C正确． 题型六：待定系数法求二次函数解析式 解题思路 ①根据已知条件灵活选解析式形式：   ①已知任意三点坐标，选用一般式：y=ax2+bx+c(a0)，列三元方程组求解；   ②已知顶点（或对称轴、最值），选用顶点式：y=a(x-h)2+k，代入顶点(h,k)，再代一点求a；   ③已知抛物线与x轴两个交点(x1,0)(x2,0)，选用交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，再代一点求a。 ②求出a之后，按需化成一般式。 ③注意：交点式使用前提是抛物线与x轴有交点；a≠0不能忽略。 20．已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】利用待定系数法将，，代入求解即可． 【详解】解：将，，代入得， 解得 ∴该二次函数的解析式为． 21．开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用待定系数法求解函数表达式以及将抛物线表达式化为顶点式，能够熟练运用待定系数法和配方法是解题的关键． 根据待定系数法求出解析式即可求解． 【详解】解：将点，代入得， ， 解得， 则， 故顶点坐标为． 22．请写出一个二次函数的表达式______，使它满足以下两个条件：①图象经过原点；②函数的最大值为3． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题目条件，图象过原点可得常数项为，函数存在最大值可知二次项系数小于，且顶点纵坐标为，据此确定系数即可得到符合要求的二次函数． 【详解】解：设二次函数表达式为， 二次函数图象经过原点， 将代入得， 函数有最大值， 开口向下，即，且顶点纵坐标为， 将代入得， 令，则， 解得：， 满足条件的二次函数可以为（答案不唯一）． 23．已知二次函数的图像经过点，，且与y轴交于点．若该函数图像上有一点P到x轴的距离等于到y轴的距离，则所有满足条件的点P的横坐标之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先根据已知点坐标求出二次函数解析式，设点坐标为，再根据点P到x轴、y轴距离相等得到或，分两种情况联立方程，计算所有满足条件的横坐标之和即可． 【详解】解：∵二次函数经过，，， ∴将三点坐标代入解析式得， 解得， ∴二次函数解析式为， 设点坐标为， ∵点P到x轴的距离等于到y轴的距离， ， ∴或 ①当时，得， 整理得， ∴该方程两根之和为； ②当时，得， 整理得， ∴该方程两根之和为， 两个方程无公共根， ∴所有满足条件的点的横坐标之和为． 题型七：已知抛物线上对称的两点求对称轴 解题思路 ①抛物线上纵坐标相等的两个点是一组对称点(x1,y)，(x2,y)。 ②对称轴为两点横坐标的平均数：x=。 ③注意：只能纵坐标相等才可以使用这个公式；不需要知道y的具体数值。 ④区分：对称轴是一条直线，书写格式必须写x=某个数，不要只写一个数字。 24．若关于x的方程的系数同时满足和，则二次函数的对称轴是______． 【答案】 直线 【分析】根据已知等式可确定一元二次方程的两个根. 再利用二次函数图象的对称性即可计算出对称轴．也可联立等式得到与的关系，代入对称轴公式求解． 【详解】解： 当时，， 是一元二次方程的一个根． 当时，， 是一元二次方程的另一个根． 二次函数的图象与轴交于，两点， 根据二次函数的对称性，对称轴为 ， 即对称轴为直线． 25．二次函数的图象经过．则当时，y的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数与x轴的两个交点的坐标得到对称轴，再根据对称性可得答案． 【详解】解：∵二次函数图象过和两个点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等， ∵二次函数图象过点， ∴二次函数图象过点，即时，． 26．若二次函数的图象经过点和点，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据对称轴可知的关系式，进而即可求解 【详解】∵二次函数的图象经过点和点， ∴对称轴为直线， 即， 解得， 将点代入二次函数 得， ． 27．二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值如表： … … … … 下列关于该二次函数的结论正确的是（     ） A．图象开口向上 B． C．当时，的值随值的增大而减小 D．是关于的方程的一个根 【答案】D 【分析】先根据表格中的已知点求出二次函数的解析式，再逐一判断各选项即可． 【详解】∵和时，均为， ∴二次函数的对称轴为直线，且， 将代入得 ，即， 由对称轴公式，得， 联立得， 解得， ∴二次函数解析式为， 逐一判断选项： 选项A：∵， ∴图象开口向下，A错误； 选项B：当时，，，B错误； 选项C：∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，时仍随增大而增大，C错误； 选项D：将代入，得， ∴是方程的一个根，D正确． 题型八：根据二次函数的对称性求函数值 解题思路 ①先利用对称两点求出抛物线对称轴x=。 ②若两个点关于对称轴对称，则这两个点函数值y相等。 ③已知x=m的函数值，利用对称轴，找到它的对称点x'，则f(m)=f(x')。 ④当不方便代入计算时，转化到对称点求解函数值，简化计算。 28．如图，二次函数（）的部分图象与轴的一个交点的坐标为，则该二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据对称轴写出与ｘ轴的交点坐标是解题的关键． 首先把一般式解析式化成顶点式，得到对称轴，再根据二次函数与ｘ轴的两个交点关于对称轴对称，写出与ｘ轴的另一个交点即可． 【详解】解：∵二次函数（）的 对称轴为，部分图象与轴的一个交点的坐标为， ∴, , ∴该二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为． 故答案为：． 29．若点在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握代入求值的方法是解题的关键．将各点横坐标代入抛物线解析式，计算出对应的纵坐标值，再比较大小． 【详解】解：∵点，，在抛物线上， ∴，，， ∴， 故选：． 30．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【答案】 【分析】根据题意判断出的符号，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，比较大小即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，， ∵， ∴． 31．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 题型九：利用二次函数对称性求最短路径 解题思路 ①本质是将军饮马模型，利用抛物线对称轴做对称点。 ②步骤：   ①确定动点在抛物线对称轴上；   ②选取其中一个定点，作该点关于抛物线对称轴的对称点；   ③连接对称点与另一个定点，连线和对称轴的交点即为取最小值的动点位置；   ④用勾股定理算线段长度，得到最短路径长。 ③求动点坐标：联立直线解析式和对称轴方程求交点。 ④注意分清求的是两线段之和最小，还是之差最大，模型不要混淆。 32．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是______．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 33．如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【答案】C 【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离． 【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为，C(0，﹣2)， ∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)， 过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F， ∴CE=C'E， 则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值； ∵直线yx+3， 设直线C'F的解析式为， 将C'(﹣2，﹣2)代入得：， 解得：， ∴C'F的解析式为yx， 解方程组， 得：， ∴F(，)， ∴C'F． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键． 34．如图，已知抛物线上有A，B两点，其横坐标分别为，，在轴上有一动点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于点，根据轴对称确定最短路径问题，再根据抛物线解析式求出点、的坐标，利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：如图，点关于轴的对称点的横坐标为1， 连接与轴相交于点，此时最短． 当时，，当时，， 点的坐标为，点的坐标为． 由勾股定理，得， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路径问题、二次函数的性质，熟记确定最短路径的方法和二次函数的性质是解题关键． 35．如图，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，是轴上的一个动点．当的值最小时，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先求出，，过点作轴的对称点，则，连接，交轴于点，由对称可得，，则，那么当点共线时，取得最小值，此时与重合，再求出直线的表达式，即可求解与轴的交点． 【详解】解：对于抛物线，当时，， ∴， ∵， ∴， 过点作轴的对称点，则，连接，交轴于点，    由对称可得，， ∴， 当点共线时，取得最小值，此时与重合， 设直线， ∴， ∴， ∴直线， 当时，， ∴， ∴此时， 故选：A． 解答题 1．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象交于点和点．    (1)求，的值． (2)利用函数图象，求当时自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的图像与性质，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入中求出值，则，当时，，解该方程即可求出； （2）根据图像即可求解． 【详解】（1）解：将代入中得： ， 解得：， ， 当时，， 解得：，， ， 所以：，； （2）由图像得：当时，自变量的取值范围是：． 3．已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】(1)，，，； (2)； (3)①③ 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案； （2）由函数的图象可知，当时，，代入即可得到答案； （3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴右侧， 、异号， ， 抛物线与y轴负半轴相交， ， 当时，， ； （2）解：由函数的图象可知，当时，， ； （3）解：由（1）可知，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，②结论错误； 当时，， 当时，， ， ， ，③结论正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 4．已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据已知点的坐标特征先求出二次函数的对称轴，然后，再求出其顶点坐标，接着，设二次函数的表达式为，最后，将顶点坐标代入即可求得二次函数的表达式； （2）根据题意找到点平移后对应的两个点的坐标，再由点平移后的点都能恰好落在二次函数的图象上及二次函数的对称轴，得，解方程即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：由二次函数图象与x轴的交点坐标分别为，可知二次函数图象的对称轴为直线， ∵二次函数图象的顶点在函数的图象上， ∴将代入可得二次函数的顶点坐标为． 根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，解得， ∴二次函数的表达式为，即； （2）解：根据题意，设点P的坐标为， 当点向左平移n个单位时，得， 当点向右平移个单位时，得， 均落在二次函数的图象上， ∴，即， 解得． 当时，． ∴点P的坐标为． 5．在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上两点． (1)将写成的形式； (2)若，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法将二次函数一般式化为顶点式、函数值的比较等知识． （1）利用配方法进行变形即可求解； （2）当时，抛物线为，将点A、B的坐标代入求出，，问题得解． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，抛物线为， 则，， ∴． 6．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3． （1）求抛物线的解析式． （2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x2+x+3；（2）P坐标为（，）． 【分析】（1）由OA与OC的长确定出A与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式； （2）连接AD，与抛物线对称轴于点P，P为所求的点，设直线AD解析式为y=mx+n，把A与D坐标代入求出m与n的值，确定出直线AD解析式，求出抛物线对称轴确定出P横坐标，将P横坐标代入求出y的值，即可确定出P坐标． 【详解】解：（1）∵OA=2，OC=3， ∴A（-2，0），C（0，3）， 代入抛物线解析式得： ， 解得：b=，c=3， 则抛物线解析式为y=-x2+x+3； （2）连接AD，交对称轴于点P，则P为所求的点， 设直线AD解析式为y=mx+n（m≠0）， 把A（-2，0），D（2，2）代入得： ， 解得：m=，n=1， ∴直线AD解析式为y=x+1， 对称轴为直线x=， 当x=时，y=， 则P坐标为（，）． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数，一次函数解析式，以及对称轴-最短线路问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次函数的性质精讲学案 课堂核心立意 以数形结合为核心抓手，依托二次函数三种解析式形式，系统掌握抛物线开口、对称轴、顶点、增减性、最值五大核心图像特征，打通解析式与图像双向互推逻辑，为后续函数综合题、实际最值应用题、图像不等式题型筑牢底层依据，实现“由式识图、由图析式”的解题思维落地。 一、二次项系数a的核心决定性作用 ①a>0：抛物线开口向上，顶点为图像最低点，函数存在最小值、无最大值； ②a<0：抛物线开口向下，顶点为图像最高点，函数存在最大值、无最小值； ③|a|控制开口宽窄：|a|数值越大，抛物线开口越窄；|a|越小，开口越平缓。 二、一般式y=ax2+bx+c(a≠0)核心公式 ①对称轴直线解析式：x； ②顶点坐标：(-,)； ③抛物线与y轴固定交点：(0,c)，纵坐标直接等于常数项c。 三、二次函数增减性（以对称轴为分界点） 情况1：a>0开口向上 ①当x<（对称轴左侧），y随x的增大而减小； ②当x>（对称轴右侧），y随x的增大而增大。 情况2：a<0开口向下 ①当x<（对称轴左侧），y随x的增大而增大； ②当x>（对称轴右侧），y随x的增大而减小。 补充要点 增减性必须以对称轴划分区间，不能笼统描述整体递增或递减。 四、二次函数最值规律 1. 自变量取全体实数 ①a>0，在对称轴x=处，取得最小值y=； ②a<0，在对称轴x=处，取得最大值y=。 2. 自变量限定区间m x n ①对称轴落在区间内部：顶点取一个最值，对比区间两个端点函数值得到另一个最值； ②对称轴在区间左侧：直接利用区间增减性，左右端点对应最值； ③对称轴在区间右侧：直接利用区间增减性，左右端点对应最值。 五、顶点式y=a(x-h)^2+k性质简化结论 ①对称轴：直线x=h，顶点坐标(h,k)； ②a>0最小值为k，a<0最大值为k； ③增减性分界直接用x=h判断，计算相比一般式更简便。 六、抛物线对称性拓展应用 ①纵坐标相同的两个点(x1,y)、(x2,y)，对称轴公式x=； ②利用对称性快速比较函数值大小：比较点到对称轴的水平距离，开口向上距离越远函数值越大，开口向下距离越远函数值越小； ③借助对称点简化函数值计算，无需完整代入解析式运算。 七、抛物线与x轴交点和判别式关联 ①=b2-4ac>0：抛物线与x轴2个不同交点； ②=b2-4ac=0：顶点落在x轴上，1个交点； ③=b2-4ac<0：抛物线和x轴无交点； ④交点横坐标对应一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根。 ①对称轴书写必须是直线x=常数，不可只写数字； ②区间最值题极易忽略自变量取值范围，直接套用顶点最值造成错解； ③判断增减性时混淆对称轴左右区间，颠倒增减变化趋势； ④区分c是抛物线与y轴交点纵坐标，和顶点纵坐标k不要混淆； ⑤比较函数值大小时，直接比较横坐标大小，忽略对称轴与开口方向的约束条件。 题型 考察方向 难度 题型一 y=ax2+bx+c的最值 ★★ 题型二 一次函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型三 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型四 两个二次函数图象综合判断 ★★★ 题型五 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★★ 题型六 待定系数法求二次函数解析式 ★★★ 题型七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ★★★ 题型八 根据二次函数的对称性求函数值 ★★★ 题型九 利用二次函数对称性求最短路径 ★★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★基础巩固；★★★中档；★★★中档偏难；★★★★较难；★★★★★难题 题型一：y=ax2+bx+c的最值 解题思路 ①看二次项系数a：a>0开口向上，函数有最小值；a<0开口向下，函数有最大值。 ②自变量为全体实数：顶点处取最值，对称轴x=-，最值y=。 ③给定自变量取值范围mxn：   ①对称轴落在区间内：顶点取一个最值，另一个最值比较区间两个端点函数值；   ②对称轴不在区间内：依据增减性，最值直接在区间端点取得。 ④答题写明：当x=?时，最大/最小值为多少。 1．二次函数，当_______时，y有最值，最_______值为_______． 2．若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 3．当时，二次函数的最大值为________． 4．我们规定：若，，则．例如， ，，则．已知，，且，则的最大值是（     ） A．14 B．12 C．8 D．6 题型二：一次函数、二次函数图象综合判断 解题思路 ①两个函数共用字母参数，同一个参数符号必须保持一致，出现矛盾直接排除选项。 ②从抛物线读取：开口定a，对称轴位置定b，与y轴交点定c。 ③从一次函数图像读取：直线升降定斜率k，直线与y轴交点定截距m。 ④将两处得到的参数符号相互校验，有冲突直接排除。 ⑤辅助方法：代入特殊x值，对比图像上函数值，验证图像合理性。 5．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过_______象限． 6．函数(是常数，，下同)和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 8．若二次函数与一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三：反比例函数、二次函数图象综合判断 解题思路 ①共用参数，a、b、c符号要同时满足两个函数图像特征。 ②二次函数：开口得a符号；对称轴x=-判断b；与y轴交点得c。 ③反比例函数y=：图像在一、三象限则k>0；二、四象限则k<0。 ④把二次函数得到的参数，代入反比例函数条件进行核对，参数矛盾就排除。 ⑤注意反比例函数图像永远不与坐标轴相交。 9．抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 10．二次函数与反比例函数的图象在如图所示的同一坐标系中，若时，则的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 11．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 12．已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A．B． C． D． 题型四：两个二次函数图象综合判断 解题思路 ①对比两个抛物线各自的开口方向、对称轴、与坐标轴交点、顶点位置。 ②重点比对公共参数：若解析式有相同字母，字母取值符号必须统一。 ③分别读出两个抛物线的a：|a|越大，抛物线开口越窄。 ④对比对称轴位置，判断b的符号；对比和y轴交点，判断c大小。 ⑤可以联立两个二次函数，求交点，检验图像交点是否符合选项。 13．已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 14．已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为_______． 15．已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C．D． 题型五：根据二次函数的图象判断式子符号 解题思路 ①基础符号：开口看a；对称轴x=-看b；抛物线交y轴看c。 ②特殊值代入法：   ①x=1，得y=a+b+c；   ②x=-1，得y=a-b+c；   ③x=2，得y=4a+2b+c；   ④x=-2，得y=4a-2b+c，对照图像对应点纵坐标正负判断式子符号。 ③=b2-4ac看抛物线与x轴交点个数。 ④对称轴等式变形：如-=1，得到2a+b=0这类关系式。 ⑤多个代数式判断，优先标记a,b,c符号，再逐个推导，切忌凭感觉。 16．如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为3，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的不等式的解集为；； ④（t为任意实数）．其中正确的是________．（只填写序号） 17．已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 18．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 19．已知二次函数，当x分别取、时，对应的函数值为、，若，则下列表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型六：待定系数法求二次函数解析式 解题思路 ①根据已知条件灵活选解析式形式：   ①已知任意三点坐标，选用一般式：y=ax2+bx+c(a0)，列三元方程组求解；   ②已知顶点（或对称轴、最值），选用顶点式：y=a(x-h)2+k，代入顶点(h,k)，再代一点求a；   ③已知抛物线与x轴两个交点(x1,0)(x2,0)，选用交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，再代一点求a。 ②求出a之后，按需化成一般式。 ③注意：交点式使用前提是抛物线与x轴有交点；a≠0不能忽略。 20．已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 21．开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 22．请写出一个二次函数的表达式______，使它满足以下两个条件：①图象经过原点；②函数的最大值为3． 23．已知二次函数的图像经过点，，且与y轴交于点．若该函数图像上有一点P到x轴的距离等于到y轴的距离，则所有满足条件的点P的横坐标之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型七：已知抛物线上对称的两点求对称轴 解题思路 ①抛物线上纵坐标相等的两个点是一组对称点(x1,y)，(x2,y)。 ②对称轴为两点横坐标的平均数：x=。 ③注意：只能纵坐标相等才可以使用这个公式；不需要知道y的具体数值。 ④区分：对称轴是一条直线，书写格式必须写x=某个数，不要只写一个数字。 24．若关于x的方程的系数同时满足和，则二次函数的对称轴是______． 25．二次函数的图象经过．则当时，y的值为（　　） A． B． C． D． 26．若二次函数的图象经过点和点，则的值为_______． 27．二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值如表： … … … … 下列关于该二次函数的结论正确的是（     ） A．图象开口向上 B． C．当时，的值随值的增大而减小 D．是关于的方程的一个根 题型八：根据二次函数的对称性求函数值 解题思路 ①先利用对称两点求出抛物线对称轴x=。 ②若两个点关于对称轴对称，则这两个点函数值y相等。 ③已知x=m的函数值，利用对称轴，找到它的对称点x'，则f(m)=f(x')。 ④当不方便代入计算时，转化到对称点求解函数值，简化计算。 28．如图，二次函数（）的部分图象与轴的一个交点的坐标为，则该二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为______． 29．若点在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 30．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 31．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 题型九：利用二次函数对称性求最短路径 解题思路 ①本质是将军饮马模型，利用抛物线对称轴做对称点。 ②步骤：   ①确定动点在抛物线对称轴上；   ②选取其中一个定点，作该点关于抛物线对称轴的对称点；   ③连接对称点与另一个定点，连线和对称轴的交点即为取最小值的动点位置；   ④用勾股定理算线段长度，得到最短路径长。 ③求动点坐标：联立直线解析式和对称轴方程求交点。 ④注意分清求的是两线段之和最小，还是之差最大，模型不要混淆。 32．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是______．    33．如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 34．如图，已知抛物线上有A，B两点，其横坐标分别为，，在轴上有一动点，则的最小值为___________． 35．如图，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，是轴上的一个动点．当的值最小时，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 解答题 1．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象交于点和点．    (1)求，的值． (2)利用函数图象，求当时自变量的取值范围． 3．已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 4．已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 5．在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上两点． (1)将写成的形式； (2)若，比较，的大小，并说明理由． 6．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3． （1）求抛物线的解析式． （2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $