1.3 二次函数的图像和性质（二）（知识解读）-2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本讲义聚焦二次函数图像和性质，系统梳理一般式与顶点式转化、图像开口方向等性质、图像与系数关系，以及用待定系数法等求解析式的方法，构建从基础转化到性质分析再到应用的学习支架。 资料通过8类题型及例题变式，培养学生抽象能力、推理意识和模型意识，如结合图像分析系数符号提升几何直观，用不同形式求解析式强化模型应用。课中辅助教师教学，课后助力学生回顾练习，有效查漏补缺。

1.3 二次函数的图像和性质（二）（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 二次函数的图象】 3 【题型2 二次函数的性质】 6 【题型3 二次函数图象与系数的关系】 6 【题型4 二次函数图象的平移】 7 【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】 7 【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】 8 【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】 10 【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】.............................................................................................10 【随堂检测】 .............................................................................................................................................................11 知识点1 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 1. 一般式与顶点式的转化 利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为． 2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 符号 函数图像 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小 最值 当时, 当时, 3. 二次函数的图象特征与的符号关系 代数式（决定因素） 图像特征 符号判定 a(开口方向) 抛物线开口向上 抛物线开口向下 b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号 对称轴在y轴左侧，即 a、b同号 c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点 交于y轴正半轴 交于y轴负半轴 (与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴没有交点 知识点2 求二次函数的解析式 1. 待定系数法 根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式． （1）一般式： 已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为． （2）顶点式： 已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为． （3）交点式： 已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为． 2. 平移 （1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移． （2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式． 3. 二次函数关于点或直线对称的解析式 若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下： （1）关于x轴对称的抛物线的解析式 关于x轴对称的抛物线的解析式：； 关于x轴对称的抛物线的解析式：． （2）关于y轴对称的抛物线的解析式 关于y轴对称的抛物线的解析式：； 关于y轴对称的抛物线的解析式：． （3）关于顶点对称的抛物线的解析式 关于顶点对称的抛物线的解析式：； 关于顶点对称的抛物线的解析式：． 【题型1 二次函数的图象】 【例1】已知二次函数． (1)该函数与x轴的交点坐标 ； (2)在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … … (3)根据图象写出该二次函数的两条性质． 【变式1-1】已知二次函数． … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（先完成列表，并使每个数对均为整数，再描点，后连线）； (2)当时，结合图象写出的取值范围． 【变式1-2】已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴、顶点坐标以及图象与轴的交点坐标； (2)完成表格，再在给定的平面直角坐标系中描点画出这个函数的图象； 0 1 2 3 4 (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 【变式1-3】已知抛物线． (1)补全表格，并在如图的直角坐标系内描出表中各点，画出的图像； 0 1 2 3 (2)点和点，两点在该抛物线上，且满足，则 （用或）填空； (3)①当时，直接写出的范围 ； ②当时，直接写出的范围 ． 【题型2 二次函数的性质】 【例2】已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【变式2-1】抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【变式2-3】已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型3 二次函数图象与系数的关系】 【例3】二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-1】二次函数的图象如图，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型4 二次函数图象的平移】 【例4】将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】若将抛物线向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，沿y轴向下平移3个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式是________． 【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】 【例5】已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【变式5-1】二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； (2)求这条抛物线的对称轴、顶点坐标． 【变式5-3】已知二次函数图象过、、三点． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】 【例3】二次函数图象顶点坐标，与x轴一个交点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)该函数图象与x轴的另一个交点坐标为____________； (3)当时，y的取值范围为____________． 【变式6-1】抛物线的顶点坐标为，且图象经过原点． (1)求函数解析式． (2)求抛物线与轴交点坐标． 【变式6-2】已知二次函数图象的顶点坐标为，且交y轴于点． (1)求该函数的解析式； (2)求该图象与x轴的交点坐标． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点． (1)求二次函数的表达式； (2)求出该函数与轴的交点坐标； (3)画出该二次函数的图象，并写出当时，自变量的取值范围． 【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】 【例7】已知二次函数的图象与x轴交点为（3，0），（﹣1，0），（4，5）． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数对称轴及顶点坐标． 【变式7-1】已知抛物线的对称轴是直线，与x轴两交点间的距离为4，与y轴的交点是，求抛物线的解析式． 【变式7-2】已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【变式7-3】已知二次函数的图形与x轴的交点坐标是，且函数有最小值，求二次函数的解析式． 【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】 【例8】抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为______． 【变式8-1】平面直角坐标系中，与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式为________． 【变式8-2】若二次函数的图象关于点对称的曲线为，则曲线对应的解析式为 __________ ． 随堂检测c 1．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（    ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 5．抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 6．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的表达式为（） A． B． C． D． 7．关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与y轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 8．二次函数与轴交于，则的值为______． 9．若二次函数的图象经过点，则______． 10．已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 2 0 1 2 3 4 5 0 0 m (1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3) 结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 11．已知抛物线（a，b，c为常数，且）与轴的一个交点坐标是，顶点坐标是． (1)求该抛物线解析式中，，的值； (2)直接写出当时，函数值的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 二次函数的图像和性质（二）（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 二次函数的图象】 3 【题型2 二次函数的性质】 9 【题型3 二次函数图象与系数的关系】 11 【题型4 二次函数图象的平移】 13 【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】 14 【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】 17 【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】 20 【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】............................................................................................22 【随堂检测】 .............................................................................................................................................................24 知识点1 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 1. 一般式与顶点式的转化 利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为． 2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 符号 函数图像 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小 最值 当时, 当时, 3. 二次函数的图象特征与的符号关系 代数式（决定因素） 图像特征 符号判定 a(开口方向) 抛物线开口向上 抛物线开口向下 b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号 对称轴在y轴左侧，即 a、b同号 c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点 交于y轴正半轴 交于y轴负半轴 (与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴没有交点 知识点2 求二次函数的解析式 1. 待定系数法 根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式． （1）一般式： 已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为． （2）顶点式： 已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为． （3）交点式： 已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为． 2. 平移 （1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移． （2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式． 3. 二次函数关于点或直线对称的解析式 若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下： （1）关于x轴对称的抛物线的解析式 关于x轴对称的抛物线的解析式：； 关于x轴对称的抛物线的解析式：． （2）关于y轴对称的抛物线的解析式 关于y轴对称的抛物线的解析式：； 关于y轴对称的抛物线的解析式：． （3）关于顶点对称的抛物线的解析式 关于顶点对称的抛物线的解析式：； 关于顶点对称的抛物线的解析式：． 【题型1 二次函数的图象】 【例1】已知二次函数． (1)该函数与x轴的交点坐标 ； (2)在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … … (3)根据图象写出该二次函数的两条性质． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大（答案不唯一） 【分析】（1）令，进行求解即可； （2）求出对应函数值，列表，描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象写出函数的两条性质即可． 【详解】（1）解：令， 解得或， ∴该函数与x轴的交点坐标为，； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 作图如下： （3）解：由图可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大．（答案不唯一） 【变式1-1】已知二次函数． … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（先完成列表，并使每个数对均为整数，再描点，后连线）； (2)当时，结合图象写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）根据列表，描点，连线，画出二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． 【详解】（1）解：列表， 0 1 2 3 4 2 2 描点，连线，函数图象，如下图： （2）解：由图象可得，当时，或． 【变式1-2】已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴、顶点坐标以及图象与轴的交点坐标； (2)完成表格，再在给定的平面直角坐标系中描点画出这个函数的图象； 0 1 2 3 4 (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点坐标为或 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象； （1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出对称轴以及顶点坐标；令，解方程即可得出与x轴交点坐标； （2）列表，描点，连线，即可； （3）根据图象与x轴的交点坐标，可确定时，x的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 令，则， 解得， ∴与轴的交点坐标为或； （2）解：列出表格如下 0 1 2 3 4 3 0 0 3 画出函数图象如下： （3）解：观察图象得：时的取值范围为． 【变式1-3】已知抛物线． (1)补全表格，并在如图的直角坐标系内描出表中各点，画出的图像； 0 1 2 3 (2)点和点，两点在该抛物线上，且满足，则 （用或）填空； (3)①当时，直接写出的范围 ； ②当时，直接写出的范围 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)① ②或 【分析】本题主要考查了画二次函数的图象，二次函数图象的性质， 对于（1），先列表，再描点，连线可得抛物线； 对于（2），根据抛物线的性质可知当时，函数值y随着x的增大而减小，再比较x的值可得答案； 对于（3），①根据图象的性质可知当时，；当时，，即可得出答案；②根据图象的性质求出函数值小于等于3时自变量的值即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 图象如图所示： （2）解：观察二次函数的图象可知抛物线开口向下，对称轴是， 当时，函数值y随着x的增大而减小． ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：①当时，； 当时，； 当时，， ∴时，； ②当或时，． 故答案为：①；②或． 【题型2 二次函数的性质】 【例2】已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式整理为顶点式，再根据二次函数的顶点坐标、对称轴、与x轴交点个数、增减性逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B选项说法正确，不符合题意； 令，则， 解得， ∴函数图像与x轴只有1个交点，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D选项说法正确，不符合题意． 【变式2-1】抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 【变式2-2】已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质判断各选项的说法，找出错误的选项即可． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，B选项说法正确， 顶点坐标为，不是，C选项说法错误， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，D选项说法正确． 【变式2-3】已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】首先根据开口方向，对称轴和与y轴的交点位置判断出a，b，c的正负，然后结合图象逐项判断即可． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵二次函数的对称轴在y轴左边 ∴ ∴ ∵二次函数图象与y轴交于正半轴 ∴ ∴，故①错误； ②由图象可得，当时，，故②错误； ③由图象可得，当时，y随x的增大而增大，故③正确； 由二次函数图象的对称性可得，当时，，故④正确； 综上所述：正确的有2个． 【题型3 二次函数图象与系数的关系】 【例3】二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④． 【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ，即， ，，结论①、③正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，结论②正确； 由图象可知，当时，， 即，结论④正确． 综上，结论正确的个数是个，选项符合题意． 【变式3-1】二次函数的图象如图，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】开口方向判断的符号，左同右异判断的符号，与轴的交点位置判断的符号，与轴的交点个数判断判别式的符号. 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于正半轴，与轴有2个交点， ∴，，，， 故选项B不正确，符合题意. 【变式3-2】二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象是解题的关键． 根据对称轴公式得到，图象开口向上，与轴负半轴相交，则、，，顶点在处，函数值最小为，结合一元二次方程两根之和的公式进行逐一判断即可． 【详解】解：①根据图象可得，对称轴在轴右侧， 根据对称轴得，， 二次函数图象开口向上，与轴负半轴相交， 则、，， 因此， 故①错误； ②根据对称轴得，， 即， 故②正确； ③当时，， 代入得，， 故③错误； ④顶点在处，函数值最小为， 则对任意都有， 即， 故④正确； ⑤方程，即， 则两根之和为， 故⑤错误， 综上所述，正确的有②④， 故选：A． 【题型4 二次函数图象的平移】 【例4】将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，逐步推导即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线平移规律为左加右减自变量，上加下减常数项，原抛物线解析式为， ∴向左平移2个单位后，解析式变为，再向下平移3个单位，解析式整理得， ∴所得抛物线解析式为． 【变式4-1】若将抛物线向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移规律上加下减，进行平移即可． 【详解】解：向下平移3个单位长度可得：． 【变式4-2】将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为． 【变式4-3】抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，沿y轴向下平移3个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式是________． 【答案】 【分析】利用二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律，对原表达式进行变换，即可得到平移后抛物线的表达式． 【详解】解：原抛物线的表达式为， 将抛物线沿轴向右平移个单位长度，根据平移规律“左加右减”，可得平移后的表达式为， 再将得到的抛物线沿轴向下平移个单位长度，根据平移规律“上加下减”，可得最终平移后抛物线的表达式为． 【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】 【例5】已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】设出二次函数的一般式，然后将三个已知点的坐标分别代入一般式，得到关于、、的三元一次方程组，再解方程组求出、、的值，最后确定二次函数的表达式． 【详解】解：由题知，设这个二次函数的表达式为， 将，，代入，得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为． 【变式5-1】二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； (2)求这条抛物线的对称轴、顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把A点和B点坐标代入中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点，    解得 这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：． （2）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 【变式5-3】已知二次函数图象过、、三点． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）根据抛物线开口方向确定最小值，再结合自变量的范围求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 根据题意得 解得 ∴二次函数解析式为； （2）解：将解析式化为顶点式：，顶点为， 当 时，； 当 时，； 当 时，； ∴． 【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】 【例3】二次函数图象顶点坐标，与x轴一个交点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)该函数图象与x轴的另一个交点坐标为____________； (3)当时，y的取值范围为____________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、以及二次函数的对称性和最值问题，掌握二次函数的性质是解题关键； （1）设二次函数的表达式为：；将代入即可求解； （2）由题意得：抛物线的对称轴为直线；根据对称性可得该函数图象与x轴的另一个交点坐标为； （3）当时，函数在顶点处取得最小值，在时取到最大值，即可求解； 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为：； 将代入得：，解得：； ∴； （2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线； ∵图象与x轴一个交点坐标为． ∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为； （3）解：结合图象可知：当时，； 当时，； ∴当时，y的取值范围为； 【变式6-1】抛物线的顶点坐标为，且图象经过原点． (1)求函数解析式． (2)求抛物线与轴交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求抛物线与x轴的交点坐标， 对于（1），设抛物线的顶点式，再将点代入关系式可得答案； 对于（2），令，求出一元二次方程的解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的关系式为， ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴二次函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为． 【变式6-2】已知二次函数图象的顶点坐标为，且交y轴于点． (1)求该函数的解析式； (2)求该图象与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 和 【分析】本题考查二次函数的顶点式解析式求法， 二次函数与 轴的交点坐标，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用二次函数的顶点式 ，代入顶点坐标 ，再将点 代入求出 的值，从而得到解析式； （2）令 ，解所得的一元二次方程，方程的解即为图象与轴交点的横坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点坐标为 ， ∴设二次函数的解析式为 ， 又∵函数图象交轴于点 代入解析式得： 解得 ， ∴该函数的解析式为 ， 展开可得 ； （2）解：令 ，则 ， 解得 ， ， ∴该图象与轴的交点坐标为 和 ． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点． (1)求二次函数的表达式； (2)求出该函数与轴的交点坐标； (3)画出该二次函数的图象，并写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)，图见解析 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数与轴、轴的交点坐标的求法，是一个基础题． （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）令，即可得到关于的方程，即可得解； （3）由（1）（2）即可作图，结合图象可得的范围． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式是， 则， 解得：． 则抛物线的解析式是，即； （2）解：在中， 令，则， 解得：或3， 则函数与轴的交点坐标，； （3）解：由（1）（2）得，抛物线顶点为，与轴交点坐标为，； 令，则， 与轴交于． 作图如下． 当时，． 【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】 【例7】已知二次函数的图象与x轴交点为（3，0），（﹣1，0），（4，5）． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数对称轴及顶点坐标． 【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）对称轴为x=1，顶点坐标为（1，－4）． 【分析】（1）设二次函数解析式为：y=a（x﹣3）（x+1），把（4，5）代入即可求解． （2）把二次函数解析式化为顶点式即可求出对称轴及顶点坐标． 【详解】（1）设二次函数解析式为：y=a（x﹣3）（x+1）， 把（4，5）代入得：5a=5，∴a=1， 故二次函数解析式为：y=（x﹣3）（x+1）=x2-2x-3； （2）∵y=x2-2x-3=（x﹣1）2-4，∴二次函数对称轴为x=1，顶点坐标为（1，－4）． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，关键是根据与x轴交点坐标正确设出y=a（x﹣3）（x+1）的形式． 【变式71-1】已知抛物线的对称轴是直线，与x轴两交点间的距离为4，与y轴的交点是，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法则，根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标为和，设抛物线的解析式为，将代入求出a的值即可得出答案． 【详解】解：由题意知，抛物线与x轴的交点坐标为和， 可设抛物线的解析式为， ∵抛物线与y轴的交点是， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 【变式7-2】已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)点在此抛物线上 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设二次函数的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）由（1）得，则把代入，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与x轴的交点是，， ∵设二次函数的解析式为， 依题意，把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 当时，， 点在此抛物线上． 【变式7-3】已知二次函数的图形与x轴的交点坐标是，且函数有最小值，求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】根据题意设二次函数解析式为，然后确定函数顶点为，代入求解即可 【详解】∵二次函数的图形与x轴的交点坐标是， ∴设二次函数解析式为， ∵关于直线对称， ∴函数图象的顶点坐标为， ∴把代入， ∴． ∴． 【点睛】题目主要考查利用交点式求解二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】 【例8】抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 关于 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此将原解析式中的 替换为 即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ， ∴关于 轴对称的解析式为：． 故答案为： ． 【变式8-1】平面直角坐标系中，与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握利用顶点坐标求抛物线解析式是解题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点关于原点的对称点，然后再利用顶点式写出对称后的抛物线解析式． 【详解】解： ， 抛物线的顶点为， 点关于原点的对称点为， 抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为， 故答案为：． 【变式8-2】若二次函数的图象关于点对称的曲线为，则曲线对应的解析式为 __________ ． 【答案】 【分析】先找出抛物线上三个点，再求出关于对称的点的坐标，然后代入所设新抛物线的方程即可解答． 本题考查了二次函数图象与几何变换，得到所求抛物线上的三个点，这三个点是原抛物线上的关于对称的点是解决本题的关键． 【详解】解：令，，， ，， 令，， ∴二次函数与轴交于，，与轴交于， ∴这三个点关于对称点为，，， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴曲线的解析式为． 故答案为：． 随堂检测c 1．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴，，． 根据二次函数顶点坐标公式，可得： ，． ∴二次函数的顶点坐标为． 2．二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴上所有点的横坐标为0，将代入二次函数解析式，计算得到的值，即可确定交点坐标． 【详解】解：令，代入得， ∴二次函数与轴的交点坐标为． 3．若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用抛物线的对称性求解，抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵ 两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 4．二次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先求出抛物线的对称轴，结合开口方向，根据点到对称轴的距离即可比较函数值大小． 【详解】∵二次函数解析式为，其中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵点A横坐标为1，到对称轴的距离为，点B横坐标为4，到对称轴的距离为， 又∵开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应函数值越大，且， ∴． 5．抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴交点的横坐标为0，将代入抛物线解析式求出的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标为0， ∴将代入，计算得 ， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 6．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的表达式为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：∵原抛物线解析式为． 根据平移规则，图象向右平移2个单位，对x进行“右减”操作，得． 再向下平移3个单位，对整体进行“下减”操作，得． ∴所得抛物线的表达式为． 7．关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与y轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的相关性质，逐一分析选项即即可求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴，， ∵ ∴抛物线开口向下，故A选项错误 ∵对称轴为直线 ∴对称轴是直线，故B选项错误 ∵当时， ∴抛物线与轴的交点坐标是，故C选项正确 ∵当时， ∴顶点坐标是，故D选项错误 故选：C． 8．二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 9．若二次函数的图象经过点，则______． 【答案】2027 【分析】将点代入可得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：将点代入，得 ， 即， ． 10．已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 2 0 1 2 3 4 5 0 0 m (1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2)二次函数的图象见详解 (3) 【分析】本题考查了二次函数图象的画法、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； （2）根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象直接写出函数值的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可得：顶点坐标为，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可知． 故答案为：，5； （2）解：二次函数的图象如图所示： （3）解：根据函数图象，当时，的取值范围是． 故答案为：． 11．已知抛物线（a，b，c为常数，且）与轴的一个交点坐标是，顶点坐标是． (1)求该抛物线解析式中，，的值； (2)直接写出当时，函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据顶点坐标是设出抛物线的解析式为：，然后代入求出a的值即可得出函数解析式，然后变为一般式即可得出b、c的值； （2）根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴； （2）解：由（1）可得，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 把代入得：， 把代入得：， ∴当时，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $