3.7 弧长及扇形的面积 讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“弧长及扇形的面积”核心知识点，基于圆周长和面积公式延伸，构建解题知识支架，涵盖弧长公式注意事项、扇形面积计算公式及阴影面积常用求法，形成完整知识脉络。 该资料通过典例与变式题结合，如旋转、滚动等实例培养学生几何直观与推理能力，题型覆盖考点演练与过关验收，助力学生用数学语言表达，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生强化练习、查漏补缺。

3.7 弧长及扇形的面积 内 容 导 航 题型1 弧长的计算 题型2 扇形面积的计算 考 点 演 练 题型1 弧长的计算 解｜题｜知｜识 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 【典例1】如图，将△OAB绕着点O顺时针旋转60°后得到△OA′B′，若OB＝5，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A′O′B′处，则顶点O经过的路线总长为（　　） A．2π B． C． D． 【变式2】如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝1，则弧CF的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3】西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为90cm，圆心角∠AOB＝100°，则的长度为（　　） A．25πcm B．50πcm C．90πcm D．100πcm 题型2 扇形面积的计算 解｜题｜知｜识 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 【典例1】如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E． （1）求证：∠D＝∠ABC； （2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC，AC分别相交于点D，E． （1）求证：BD＝CD； （2）若⊙O半径为5，∠CDE＝50°，求扇形ODB的面积． 【变式2】将两张半径均为10的半圆形的纸片完全重合叠放一起，上面这张纸片绕着直径的一端B顺时针旋转30°后得到如图所示的图形，与直径AB交于点C，连接点C与圆心O′． （1）求的长； （2）求图中下面这张半圆形纸片未被上面这张纸片重叠部分的面积S白． 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若，AE＝2，求阴影部分面积． 过 关 验 收 1．如图，若半径为3cm的定滑轮边缘上一点A绕中心O逆时针转动160°（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（　　） A．5πcm B． C． D． 2．已知圆心角为120°的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（　　） A．2π B．4π C．12π D．24π 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径．若⊙O的半径为6，∠ADC﹣∠ABC＝40°，则的长度为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，若∠B＝60°，则的长为（　　） A．6π B．4π C．2π D．π 5．如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰为BC边的中点，若AB＝1，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．物理实验课上，同学们分组探究“定滑轮可以改变力的方向，但不能省力”的课题时，爱动脑筋的欣欣发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变（如图）．已知滑轮的半径为20cm，当滑轮上点A转过的度数为45°时，重物上升了（　　） A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm 7．如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线m同侧的点C、D，∠ADB＝36°，AB＝10，则的长等于（　　） A．20π B． C． D．4π 8．如图，半径为6的圆O经过直角三角板的A，C两点，且与斜边AB交于点D，其中∠A＝30°，则的长为（　　） A．2π B．6π C．π D．3π 9．已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则扇形的弧长为（　　） A． B．π C． D．π 10．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，以AB，AD为直径作两个半圆，分别取弧AB，弧AD的中点M，N，连结MC，NC．则阴影部分的周长为（　　） A． B． C． D． 11．一个长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板点A位置的变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°的角，则点A滚到A2位置时共走过的路径长为（　　） A． B． C． D． 12．如图，已知A，B，C为⊙O上的三点，且AC＝BC＝2，∠ACB＝120°．点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接CP与弦AB相交于点D，当△ACD为直角三角形时，弧AP的长为（　　） A．2π B． C．或 D．2π或 13．如图，⊙O的半径是5，∠ACB＝60°，则下列各个量不能根据现有条件求出的是（　　） A．∠AOB的大小 B．AB的长度 C．的长度 D．△ACB的面积 14．若圆的半径为4，则120°的圆心角所对的弧长为　 ． 15．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB'C′，已知A，B′，C在同一直线上的格点上，则的长为 　 　 ． 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA、OC，若⊙O的半径为3，∠B＝120°，则的长为　　 ．（结果保留π） 17．如图，A，B，C是⊙O上的三点，且．过点B作BE⊥OC于点E，延长BO交⊙O于点D，连结AD． （1）若∠ADB＝62°，求∠OBE的度数； （2）求证：AB＝2BE． 18．如图，在⊙O中，AB＝AC． （1）求证：OA平分∠BAC． （2）若3：2，试求∠BAC的度数． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 20． 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝5m，OB＝3m，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C．4π D． 21．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，取AD的中点E，连接BE，CE，以BE为半径，B为圆心画弧交BC于G；以CE为半径，C为圆心画弧交BC于点F，则阴影部分面积是（　　） A．2π﹣4 B．π﹣4 C．π﹣2 D． 22．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（　　） A．π B．π﹣2 C．π﹣4 D．π﹣2 23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠A＝60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为弧BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为弧BF，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 24．如图，在矩形ABCD中.，F是AB上一点，AF＝1，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点E，以F为圆心，DF为半径画弧，交CD于点M，AB于点N，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 25．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到AC＝BD＝18cm，C，D两点之间的距离为6cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积为（　　） A．96πcm2 B．90πcm2 C．48πcm2 D．45πcm2 26．日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”，如图所示．通过测量得到晷面内圈的半径OA为24cm．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从OA旋转到OB）划过的图形面积（图中阴影部分）是（　　） A．16πcm2 B．192πcm2 C．384πcm2 D．400πcm2 27．一个扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的面积为（　　） A．6π B．12π C．18π D．36π 28．如图，现有一块直径为10cm的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为90°的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5πcm2 B． C． D．15πcm2 29．如图，已知扇形OAB，在其内部作一个菱形ODCE，其中点D，E分别在OA，OB上，点C在上．若OA＝4，∠AOB＝80°，则图中阴影部分面积的和为（　　） A． B． C． D． 30．一个扇形的弧长是10π，面积为60π，则其半径为（　　） A．6 B．36 C．12 D．144 31．如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．π+6 C． D． 32．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC中点．分别以BD、CD为半径作弧，与AC、AB分别交于E、F两点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．48﹣25π 33．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，连接DA，AC，DE⊥AO于点E．若∠DAC＝22.5°，DE＝1，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 34．如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C、E、D分别在OA、OB、弧AB上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．则图中阴影部分的面积是 　 　 ． 35．如图，在扇形EOF中放置有三个全等的矩形方格，点O为扇形的圆心，格点A、B、C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个矩形方格的长和宽分别为和1，则阴影部分的面积为 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.7 弧长及扇形的面积 内 容 导 航 题型1 弧长的计算 题型2 扇形面积的计算 考 点 演 练 题型1 弧长的计算 解｜题｜知｜识 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 【典例1】如图，将△OAB绕着点O顺时针旋转60°后得到△OA′B′，若OB＝5，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由旋转可知，∠BOB′＝60°， 又因为OB＝5， 所以的长度为． 故选：B． 【变式1】如图，将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A′O′B′处，则顶点O经过的路线总长为（　　） A．2π B． C． D． 【答案】C 【解答】解：顶点O经过的路线可以分为三段，当弧AB切直线l于点B时，有OB⊥直线l，此时O点绕不动点B转过了90°； 第二段：OB⊥直线l到OA⊥直线l，O点绕动点转动，而这一过程中弧AB始终是切于直线l的，所以O与转动点P的连线始终⊥直线l，所以O点在水平运动，此时O点经过的路线长＝BA′＝AB的弧长 第三段：OA⊥直线l到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了90° 所以，O点经过的路线总长Sππππ． 故答案为 π． 故选：C． 【变式2】如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝1，则弧CF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：连接AC、AF， 由旋转的性质可知，BC＝EF，AB＝AE， ∵DE＝EF， ∴DE＝BC＝AD， 在Rt△ADE中，DE＝AD， ∴∠DAE＝45°，AEADAB， ∴∠EAB＝90°﹣45°＝45°，即旋转角为45°， ∴∠FAC＝45°， 在Rt△ABC中，AC， ∴的长π， 故选：B． 【变式3】西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为90cm，圆心角∠AOB＝100°，则的长度为（　　） A．25πcm B．50πcm C．90πcm D．100πcm 【答案】B 【解答】解：由题知， 50π（cm）． 故选：B． 题型2 扇形面积的计算 解｜题｜知｜识 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 【典例1】如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E． （1）求证：∠D＝∠ABC； （2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 【答案】（1）证明见解析； （2）π． 【解答】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90° ∴∠A+∠ABC＝90° ∵DO⊥AB， ∴∠A+∠D＝90° ∴∠D＝∠ABC； （2）解：设∠B＝α，则∠BCO＝α， ∵OE＝CE， ∴∠EOC＝∠BCO＝α， 在△BCO中，α+α+90°+α＝180°， ∴α＝30° ∴∠A＝60°， ∵OAAB＝3， ∴OC＝OA＝3，OD＝3，OA边上的高为， ∴S3×3π． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC，AC分别相交于点D，E． （1）求证：BD＝CD； （2）若⊙O半径为5，∠CDE＝50°，求扇形ODB的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BDA＝90°， ∴AD⊥BC． ∵AB＝AC． ∴BD＝CD； （2）解：∵∠CDE＝50°， ∴∠BAC＝50°， ∵AD⊥BC．AB＝AC． ∴∠BAD＝∠CAD＝25°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝50°， ∵⊙O半径为5， ∴S扇形ODB． 【变式2】将两张半径均为10的半圆形的纸片完全重合叠放一起，上面这张纸片绕着直径的一端B顺时针旋转30°后得到如图所示的图形，与直径AB交于点C，连接点C与圆心O′． （1）求的长； （2）求图中下面这张半圆形纸片未被上面这张纸片重叠部分的面积S白． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接BC，作O′D⊥BC于D， 由题意得，∠CBA′＝30°， 则∠BO′C＝120°，O′DO′B＝5， ∴的长为：； （2）由题O′B＝O′C＝10，∠O′BC＝30°， ∴在Rt△O′BD中，O′DO′B＝5，BD5， ∴BC＝2BD＝10， ∴S△O′BC25， ∴S白π×102﹣（S△O′BC） ＝50π25 π+25． 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若，AE＝2，求阴影部分面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵OC＝OB， ∴∠BCO＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠BCO＝∠D； （2）解：∵AB 是⊙O的直径，CD⊥AB于点E， ∴， ∵， ∴， 在Rt△OCE 中，OC2＝CE2+OE2， ∴， 解得：r＝4（负数舍去）， ∴OC＝OA＝4， ∴OE＝4﹣2＝2， ∴tan， ∴∠AOC＝60°， ∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△COEπ﹣2． 过 关 验 收 1．如图，若半径为3cm的定滑轮边缘上一点A绕中心O逆时针转动160°（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（　　） A．5πcm B． C． D． 【答案】B 【解答】解：， 则重物上升的高度为， 故选：B． 2．已知圆心角为120°的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（　　） A．2π B．4π C．12π D．24π 【答案】B 【解答】解：由题意得，扇形的弧长4π． 故选：B． 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径．若⊙O的半径为6，∠ADC﹣∠ABC＝40°，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，连接OC． ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ADC﹣∠ABC＝40°， ∴∠ADC＝110°，∠ABC＝70°． ∴∠AOC＝2∠ABC＝140°， ∴∠COE＝180°﹣∠AOC＝40°， ∵⊙O的半径为6， ∴的长度为． 故选：B． 4．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，若∠B＝60°，则的长为（　　） A．6π B．4π C．2π D．π 【答案】C 【解答】解：连接OC， ∵∠B＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∵直径AB＝6， ∴r＝3， ∴， 故选：C． 5．如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰为BC边的中点，若AB＝1，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据旋转的性质，得AD＝AB＝1， ∵点D是BC的中点， ∴BC＝2AD＝2， 在Rt△ABC中利用勾股定理，得AC， ∵tan∠ABC， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°， ∵∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD＝60°， ∴2π． 故选：C． 6．物理实验课上，同学们分组探究“定滑轮可以改变力的方向，但不能省力”的课题时，爱动脑筋的欣欣发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变（如图）．已知滑轮的半径为20cm，当滑轮上点A转过的度数为45°时，重物上升了（　　） A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm 【答案】D 【解答】解：由题知， 因为滑轮的半径为20cm， 则当滑轮上点A转过的度数为45°时，重物上升的高度为：（cm）． 故选：D． 7．如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线m同侧的点C、D，∠ADB＝36°，AB＝10，则的长等于（　　） A．20π B． C． D．4π 【答案】D 【解答】解：如图，连接AC， ∵AB＝10，∠ADB＝36°， ∴AD＝AB＝AC＝10， ∴∠ABD＝∠ADB＝36°， ∵l1∥l2， ∴∠CBD＝∠ADB＝36°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝72°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝72°， ∵l1∥l2， ∴∠DAC＝∠ACB＝72°， ∴， 故选：D． 8．如图，半径为6的圆O经过直角三角板的A，C两点，且与斜边AB交于点D，其中∠A＝30°，则的长为（　　） A．2π B．6π C．π D．3π 【答案】A 【解答】解：如图， ∵∠A＝30°， ∴∠O＝2∠A＝60°， ∴的长为2π． 故选：A． 9．已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则扇形的弧长为（　　） A． B．π C． D．π 【答案】D 【解答】解：lπ． 故选：D． 10．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，以AB，AD为直径作两个半圆，分别取弧AB，弧AD的中点M，N，连结MC，NC．则阴影部分的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：取AD的中点O，连接NO，设CN交AD于点E， ∵N是弧AD的中点， ∴NO⊥AD， ∵CD⊥AD， ∴NO∥CD， ∴△NOE∽△CDE， ∴， ∴， ∵NE， ∴， ∵点M，N分别为弧AB，弧AD的中点， ∴弧AB，弧AD的长度和为：22π， ∴图中阴影部分的周长为， 故选：B． 11．一个长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板点A位置的变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°的角，则点A滚到A2位置时共走过的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵长方形长为4cm，宽为3cm， ∴AB＝5cm， 第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°， 此次点A走过的路径是π（cm）， 第二次是以C为旋转中心，4cm为半径旋转60°， 此次走过的路径是π（cm）， ∴点A两次共走过的路径是π（cm）． 故选：B． 12．如图，已知A，B，C为⊙O上的三点，且AC＝BC＝2，∠ACB＝120°．点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接CP与弦AB相交于点D，当△ACD为直角三角形时，弧AP的长为（　　） A．2π B． C．或 D．2π或 【答案】D 【解答】解：当∠ADC＝90°，连接OA，OD，如图所示， ∵∠ACB＝120°，AC＝BC＝2， ∴，点D为AB的中点， ∴OD⊥AB， ∴点C，D，O共线． ∵OA＝OC， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°，AO＝AC＝2， ∴∠AOP＝120°， ∴弧AP的长； 当∠ACD＝90°时，则∠ACP＝90°， ∴AP为直径， ∴弧AP的长． 所以弧AP的长为或2π． 故选：D． 13．如图，⊙O的半径是5，∠ACB＝60°，则下列各个量不能根据现有条件求出的是（　　） A．∠AOB的大小 B．AB的长度 C．的长度 D．△ACB的面积 【答案】D 【解答】解：∵∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°， 作OD⊥AB于点D， 则ODOA， ∴AD， ∴AB＝2AD＝5， 的长， △ACB的面积是不能求出的． 故选：D． 14．若圆的半径为4，则120°的圆心角所对的弧长为　 ． 【答案】． 【解答】解：由题知， 因为圆的半径为4，圆心角为120°， 所以弧长为：． 故答案为：． 15．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB'C′，已知A，B′，C在同一直线上的格点上，则的长为 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意可知：∠BAB′＝45°，AB′3， 则的长为：， 故答案为：． 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA、OC，若⊙O的半径为3，∠B＝120°，则的长为　　 ．（结果保留π） 【答案】2π． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝120°， ∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°， ∵， ∴∠AOC＝2∠D＝2×60°＝120°， ∵⊙O的半径为3， ∴的长， 故答案为：2π． 17．如图，A，B，C是⊙O上的三点，且．过点B作BE⊥OC于点E，延长BO交⊙O于点D，连结AD． （1）若∠ADB＝62°，求∠OBE的度数； （2）求证：AB＝2BE． 【答案】（1）28°； （2）证明：由（1）知∠BOC＝∠ADB， ∵直径BD，BE⊥OC， ∴∠DAB＝∠OEB＝90°． ∴△ADB∽△EOB， ∴， ∴AB＝2BE． 【解答】解：（1）连接OA， 由条件可知∠AOB＝2∠BOC＝2∠ADB，即：∠BOC＝∠ADB＝62°． ∵BE⊥OC， ∴∠OBE＝90°﹣∠BOC＝90°﹣62°＝28°． （2）由（1）知∠BOC＝∠ADB， ∵直径BD，BE⊥OC， ∴∠DAB＝∠OEB＝90°． ∴△ADB∽△EOB， ∴， ∴AB＝2BE． 18．如图，在⊙O中，AB＝AC． （1）求证：OA平分∠BAC． （2）若3：2，试求∠BAC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：延长半径AO交⊙O于D， ∴ ∵AB＝AC， ∴， ∴， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴OA平分∠BAC； （2）解：∵3：2， ∴ ∴∠BAC＝45°； 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 【答案】A 【解答】解：连接OE，OD， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE， 即点E是BC的中点， ∵点O是AC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AB， ∴S△AOD＝S△AED， ∴S阴影＝S扇形OAD， ∵∠AEC＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∵∠BED＝45°， ∴∠AED＝45°， ∴∠AOD＝90°， ∴， ∴， 故选：A． 20． 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝5m，OB＝3m，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C．4π D． 【答案】D 【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC （m2）， 故选：D． 21．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，取AD的中点E，连接BE，CE，以BE为半径，B为圆心画弧交BC于G；以CE为半径，C为圆心画弧交BC于点F，则阴影部分面积是（　　） A．2π﹣4 B．π﹣4 C．π﹣2 D． 【答案】A 【解答】解：由条件可知ED＝AE＝2，AD∥BC，∠BAE＝90°， ∴AB＝AE＝2，∠GBE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠AEB＝45°， ∴∠GBE＝∠AEB＝45°， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 22．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（　　） A．π B．π﹣2 C．π﹣4 D．π﹣2 【答案】D 【解答】解：连接CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°， Rt△EDC中，∵CE＝CB＝4，CD＝2， ∴ED2，∠CED＝30°， ∴∠ECD＝60°， S阴影2． 故选：D． 23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠A＝60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为弧BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为弧BF，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题知， ∵AB＝4，∠A＝60°， ∴． 在Rt△ABC中， sinA， ∴BC． 同理可得，AC＝2． ∴． ∵， ∴S阴影＝S扇形CBE﹣（S扇形ABF﹣S△ABC）． 故选：D． 24．如图，在矩形ABCD中.，F是AB上一点，AF＝1，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点E，以F为圆心，DF为半径画弧，交CD于点M，AB于点N，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：连接FM，过点F作FG⊥CD交CD于点G． ∵AD，AF＝1， ∴tan∠AFD，DF2， ∴∠AFD＝60°，∠ADF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DFN＝180°﹣∠AFD＝180°﹣60°＝120°， ∵AD⊥CD，FG⊥CD， ∴AD∥FG， ∴∠DFG＝∠ADF＝30°， ∵DF＝FM，FG⊥CD， ∴∠DFM＝2∠DFG＝2×30°＝60°， ∴△DFM是等边三角形， ∴DM＝DF＝2， ∵FG＝DF•cos∠DFG＝2， ∴S弓形DM＝S扇形DFM﹣S△DFMπ×DF2DM•FG222， ∴S阴影＝S△ADF+S扇形DFN﹣S扇形DAE﹣S弓形DM AD•AFπ×DF2π×AD2﹣（） 122（）2 ． 故选：B． 25．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到AC＝BD＝18cm，C，D两点之间的距离为6cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积为（　　） A．96πcm2 B．90πcm2 C．48πcm2 D．45πcm2 【答案】B 【解答】解：如图，连接CD， ∵OC＝OD，∠O＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴OC＝OD＝CD＝6cm， ∵AC＝BD＝18cm， ∴OA＝OB＝18+16＝24cm， ∴摆盘的面积为90π（cm2）． 故选：B． 26．日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”，如图所示．通过测量得到晷面内圈的半径OA为24cm．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从OA旋转到OB）划过的图形面积（图中阴影部分）是（　　） A．16πcm2 B．192πcm2 C．384πcm2 D．400πcm2 【答案】B 【解答】解：由题意可知，一个地支的夹角为， 从“巳”时开始到“申”时结束走过的图形是扇形，且圆心角为120°，即∠AOB＝120°， ∵晷面内圈的半径OA为24cm， ∴， ∴晷针投影在晷面上划过的图形面积是192πcm2． 故选：B． 27．一个扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的面积为（　　） A．6π B．12π C．18π D．36π 【答案】A 【解答】解：扇形的面积为6π． 故选：A． 28．如图，现有一块直径为10cm的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为90°的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5πcm2 B． C． D．15πcm2 【答案】C 【解答】解：∵∠BAC＝90°，直径为10cm， ∴BC为⊙O的直径，即BC＝10cm， ∵玉佩的形状是扇形， ∴AB＝AC， ∴AB2+AC2＝2AB2＝BC2， ∴， ∴S阴影＝S圆﹣S扇形＝π×52π（cm2）， 故选：C． 29．如图，已知扇形OAB，在其内部作一个菱形ODCE，其中点D，E分别在OA，OB上，点C在上．若OA＝4，∠AOB＝80°，则图中阴影部分面积的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，连接OC， ∵四边形OECD是菱形， ∴CD∥OE，∠BOC∠AOB＝40°， ∴S△DOE＝S△COE， ∴S阴影部分＝S扇形OBCπ， 故选：B． 30．一个扇形的弧长是10π，面积为60π，则其半径为（　　） A．6 B．36 C．12 D．144 【答案】C 【解答】解：∵Slr，弧长是10π，面积为60π， ∴60π10π×r， 解得r＝12， 故选：C． 31．如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．π+6 C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，设O′A′交于点T，连接OT． ∵OT＝OB，OO′＝O′B， ∴OT＝2OO′， ∵∠OO′T＝90°， ∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°， ∴S阴＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′） [] ＝2π+3． 故选：D． 32．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC中点．分别以BD、CD为半径作弧，与AC、AB分别交于E、F两点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．48﹣25π 【答案】B 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC10， ∵D为BC中点， ∴CD＝BD＝5， ∴阴影部分的面积为：AC•AB﹣（S扇形CED+S扇形BFD） 8×6 ＝24， 故选：B． 33．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，连接DA，AC，DE⊥AO于点E．若∠DAC＝22.5°，DE＝1，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图，连接OD，OC， ∵∠DAC＝22.5°，DE＝1， ∴∠COD＝2∠DAC＝45°． ∵点D是的中点， ∴， ∴∠AOD＝∠COD＝45°， ∴△ODE为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴． 故选A． 34．如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C、E、D分别在OA、OB、弧AB上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．则图中阴影部分的面积是 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：∵正方形OCDE的边长为1， ∴OD， ∴， ∴S阴影＝长方形ACDF的面积． 故答案为：． 35．如图，在扇形EOF中放置有三个全等的矩形方格，点O为扇形的圆心，格点A、B、C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个矩形方格的长和宽分别为和1，则阴影部分的面积为 　 ． 【答案】π． 【解答】解：如图，连接OC，由题意可知，OB＝AC＝3，OA＝BC＝MN＝1，OM， ∴OC2， 在Rt△OMN中，OM，MN＝1， ∴tan∠MON， ∴∠MON＝30°， ∴S阴影部分＝S扇形EOF﹣S梯形OBCN （23）×1 π， 故答案为：π． 学科网（北京）股份有限公司 $