专题01 圆中的重要模型之四点共圆模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学讲义通过框架图与思维导图系统构建四点共圆模型知识体系，梳理对角互补、同侧等角等判定方法，将定点定长、定边对双直角等4类模型按“条件-结论-证明”逻辑呈现，清晰展现重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，A组基础题巩固判定，B组提升题结合相似全等，C组压轴题融入隐形圆最值，通过“定弦定角轨迹圆解题步骤”培养推理意识与模型意识，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

专题01 圆中的重要模型之四点共圆模型 考试选择填空侧重判定与角度计算，大题常作为导角桥梁，压轴结合隐形圆求线段最值、证线段乘积。常用判定：对角互补、同侧等角、直角共斜边、外角等于内对角。解题先观察图形找共圆条件，规范证明四点共圆，再借助圆周角相等、对角互补转化角度，结合相似、全等完成证明。动点题型抓定角定边构造隐形圆；线段乘积题运用相交弦、托勒密定理。易错点：两角分居线段两侧不可共圆，大题不可省略共圆判定步骤。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 2 模型2.定边对双直角共圆模型 5 模型3.定边对定角共圆模型 8 模型4.对角互补共圆模型 10 易错点与方法总结 13 模型运用 14 A组（基础题） 14 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 28 四点共圆源自圆内接四边形几何体系，是圆周角定理延伸推导而来。古人研究圆与多边形相交关系，发现同一圆上四点具备统一角度规律，逐步归纳出判定依据。核心根基为圆周角性质：同弧所对圆周角相等，由此推出同侧等角四点共圆；结合圆内接四边形内角和，得到对角互补判定。直角直径定理、外角等于内对角等推论同步衍生。初中几何将其简化为解题工具，融合旋转、全等、动点隐形圆题型，把圆的性质转化为角度转换媒介，简化复杂几何推导，是连接直线型图形与圆几何的关键过渡模型。 1）圆的基础性质：同弧所对的圆周角相等，直径所对圆周角为直角； 2）圆内接四边形性质：对角互补、外角等于内对角； 3）直角三角形特性：直角三角形斜边中线等于斜边的一半； 4）基础几何能力：角度倒角、等角代换、垂直判定、几何模型识别。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 【模型提炼与证明】 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，即确定A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（25-26·安徽·九年级校考期中）如图，O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则∠A与∠C的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，∴点A，B，C，D到点O的距离相等， ∴点A，B，C，D在以O为圆心的圆上，即四边形为的圆内接四边形，∴．故选：D 【典例2】（25-26九年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，，，在中，，， ， 点分别是和的中点，，，，， ，，=AG， ∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径 ∴，∵， ∴，是直角三角形，且， ，， 在和中，，，， ，∴．∴故答案为：． 【典例3】（2025·重庆·校考一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形； 【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：详见解析； 【详解】迁移应用：①证明：如图2 ∵，∴， 在和中，，∴， ②解：结论：．理由：如图中，作于． ∵，∴，在中，， ∵，，∴，∴； 拓展延伸：证明：如图3中，连接，∵四边形是菱形，， ∴是等边三角形，∴，∵E、C关于对称，∴， 【典例4】（24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论： ①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：①连接、，如图所示：    ∵中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到， ∴和为等腰直角三角形，根据旋转可知：，， ∵O为、的中点，∴，，，，，，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴，故①正确； ②∵，，∴， ∴点A，C，E，B在以点O为圆心，以为圆心的圆上，∴点A，C，E，B四点共圆，故②正确； ③∵，∴A、D、E在以为圆心的圆上，∴， ∴，故③错误；综上分析可知：正确的有①②．故选：A． 模型2.定边对双直角共圆模型 【模型提炼与证明】 图1（同侧型） 图2（ 异侧型） 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图1，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（2026·四川绵阳·一模）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，的斜边与半圆的直径重合，可知点在以点为圆心的圆上，由，得，根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，的斜边与半圆的直径重合， ∴点在以点为圆心的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴． 【典例2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分． (1)求证：； (2)设，用含的代数式表示； (3)若，求弦的长． 【答案】(1) 证明：是直径， ， 平分， ， ，， ， ； (2) (3) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，面积法求线段长，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为是直径，则，根据平分，可得，则可证明题目； （2）由题意可得，在中利用三角形内角和定理解决问题即可； （3）利用勾股定理可求得，根据求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：是直径， ， ， ， ， ， 即； （3）解：，且平分， ，，， ， ，， ， ． 【典例3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于． （1）连接，根据圆周角定理可得，再根据直径所对的圆周角等于，求出，结合外角的性质得出的度数； （2）根据圆周角定理可得，再根据直径所对的圆周角等于，求出，结合含角的直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：连接， ， 是的直径， ， ， ， ； （2）所对的圆周角相等， ， 是的直径， ， ， ， ， 又， ． 【典例4】（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点直线交直线于点． (1)小智同学通过思考推得当点在上方时，的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程： ， 、、三点在以为圆心，以为半径的圆上． ______（填写数量关系） ______ (2)如图，连接，求证：、、、四点共圆； (3)线段最大值为______；若取的中点，则线段的最小值为______． 【答案】(1)；； (2)解：连接，取的中点，连接，如图， ，， ∴， ， 由折叠知，， 由知，， ， ， ， ， ， 点、、、在以点为圆心的圆上， 即、、、四点共圆； (3)；． 【分析】（1）根据，得、、三点在以为圆心以为半径的圆上，根据圆周角定理可知的度数； （2）取的中点，连接，可证，则点在以为直径的圆上，即可得出结论； （3）根据直径是圆中最大的弦知当经过圆心时，线段的最大值为；先求出，，再判断出当经过点时，最短，此时，从而解决问题． 【详解】（1）解：， 、、三点在以为圆心以为半径的圆上， ， 故答案为：，； （2）略 （3）解：如图， ，，三点在以为圆心，以为半径的圆上， 当经过圆心时，线段的值最大，最大值为； 如图， 取的中点，连接， 是的中点， ，， ， ， 在中，，根据勾股定理得，， 由知，点，，，在以为直径的圆上， 连接，则， ， 当经过点时，最短，此时， ， 即线段的最小值为， 故答案为；． 模型3定边对定角共圆模型 【模型提炼与证明】 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏镇江·一模）如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】设以为直径的半圆的圆心为点O，连接，可求出，则，进而可证明；作的外接圆，其圆心为点，在优弧上取一点G，连接，可证明，证明，得到，则，根据，可得当三点共线时，有最小值，最小值为的值，即为． 【详解】解：如图所示，设以为直径的半圆的圆心为点O，连接， ∵是弧的中点，是半圆的直径， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 如图所示，作的外接圆，其圆心为点，在优弧上取一点G，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的值，即为． 【典例2】（2026·安徽合肥·三模）如图，中，，点为的边上或内部一动点，满足，连接，若的最小值是，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可知点在以为直径的上，根据的最小值是，求出，因为当点在上时，最大，利用勾股定理可得方程设，则，解方程求出的值即为的最大值． 【详解】解：如下图所示， ， 点在以为直径的上， 当点在上时，最小， 、是的半径， ， 设，则， ，点是的中点， ， 在中，， ， 解得：， ， 当点在上时，最大， 设，则， ， 即， 解得：． 【典例3】（2025·河南商丘·二模）如图，在矩形中，，，点为的中点，动点在矩形内部，连接，，且，点为上一个动点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】作的外接圆，连接、、，延长到点F，使得，连接，，在优弧上取一点H，连接，，证明是等边三角形，求得圆的半径，过O作于G，连接，求得，证明O、G、E三点共线，由勾股定理求得，根据知，当O、M、N、F四点共线时，取最小值为，进而求得的最小值． 【详解】解：作的外接圆，连接、、，延长到点，使得，连接，，在优弧上取一点，连接，，如图， 则，， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 过作于，连接， ， 四边形是矩形， ，， 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ， 、、三点共线， ， ， ， ， ， 当、、、四点共线时，取最小值为， 的最小值为． 【典例4】（2026·贵州遵义·二模）如图，正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，于点G，交于点F，连接．当取得最小值时，的长度为_________． 【答案】 【分析】根据得是不会随着点的运动改变的，所以点的轨迹是以中点O为圆心，为半径的圆弧，因此当O、G、C在同一条直线上时，即可求出的最小值，进而证明，即可求解． 【详解】解： 如图，取的中点O，连接， ∵， ∴， ∴G点的轨迹是以中点O为圆心，为半径的圆弧，记与圆弧的交点为， ∴当O、G、C在同一条直线上时，取最小值（图中的）， ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 如图所示，连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即当取得最小值时，的长度为． 模型4. 对角互补共圆模型 【模型提炼与证明】 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 图1 图2 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）综合与实践——探究四点共圆的条件（续） 某学习小组在开展“探究四点共圆的条件”的数学活动后，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图1所示，在线段同侧有两点，连接，如果，那么四点在同一个圆上． 【探究展示】如图2所示，作经过点的，在劣弧上取一点（不与重合），连接， 则，（依据1） ． 点四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点在点所确定的上，（依据2） 点四点在同一个圆上． 【反思归纳】 （1）上述探究过程中的“依据1”是_____，“依据2”是_____． （从下框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补 ②对角互补的四边形四个顶点共圆 ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上 【结论运用】 （1）如图3，在四边形中，，，则的度数为_____． （2）如图4，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接．延长交于点．请证明下列两个结论： 四点共圆； ②． 【答案】【反思归纳】①，③； 【结论运用】（1）； （2）①证明：由旋转的性质可得，， ∴， ， ∴， ∴点四点共圆； ②证明：如图，连接， ∵点四点共圆， ∴， 又∵， ∴，即， ∵， ∴． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，关键是读懂题干信息； 【反思归纳】（1）选择恰当的依据填空即可； 【结论运用】（1）通过已知判断四点共圆，进而利用圆周角的性质即可求得结果； （2）①利用旋转可得，进而结论可证； ②通过论证，结合等腰三角形即可得出结论． 【详解】【反思归纳】解：∵四点共圆， ∴，（圆内接四边形对角互补） ， 点四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点在点所确定的上，（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆） 点四点在同一个圆上． 故答案为：①，③； 【结论运用】（1）解：∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 【典例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知如图①，四边形内接于．求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴可得______， ∵， ∴______，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． （3）结论运用：如图③，，点分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，求的最小值． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵，且， ∴， 同理， ∴； （2），； （3）最小值 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）连接，首先根据圆周角定理可得，进而可得，同理，即可证明结论； （2）假设点落在外，交于点，连接，结合“圆内接四边形的对角互补”可知，进而可得，与得出矛盾，同理点也不会落在内，即可证明结论； （3）连接并延长，首先证明四点共圆，结合为等腰直角三角形，可推导，即点的轨迹在的平分线上，当时，取最小值，即可获得答案． 【详解】（1） 略 （2）若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴由（1）可得， ∵， ∴，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． 故答案为：，； （3）连接并延长，如图， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点的轨迹在的平分线上， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值， ∴的最小值为． 【典例3】（25-26九年级上·云南昆明·期中）综合与实践： “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．    探究展示： 如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，    则，（依据 ， ， 点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上，（依据 点，，，四点在同一个圆上； 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号） 依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补； ②对角互补的四边形四个顶点共圆； ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上； （2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______．    【答案】（1）①，③（2） 【分析】（1）根据探究展示过程和圆的性质，确定圆的条件填空即可； （2）作过，，的，在劣弧上取点，连接，，由，可得，故，有，，，共圆，即在过，，的上，即知，，，，共圆，从而． 【详解】解：（1）由探究展示过程可知，的依据是：①圆内接四边形对角互补； 点，在点，，所确定的上的依据是：③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：①，③； （2）作过，，的，在劣弧上取点，连接，，如图：   ， ， ， ， ，，，共圆，即在过，，的上， 在过，，的上， ，，，，共圆， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查四点共圆，解题的关键是读懂阅读材料，掌握圆的相关性质并能灵活运用． 【典例4】（25-26九年级上·江西赣州·期中）【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 【答案】 （1）如图①，连接，， 在中，，， ； （2）． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，根据圆周角定理可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由（1）可知，结合得到，，推出，则，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2）由（1）可知， ， ，， 如图②，连接，，过点作于点， ， ， ， ， ， ． 模型常见易错点 1）定弦定角混淆同侧、异侧 2）误用对角互补判定条件 3）共圆后不会用性质倒角 4）共斜边直角三角形漏共圆结论 5）忽略动点轨迹圆的取值范围 6）大题直接写“四点共圆”无推导 解题方法总结 1）直角共圆快速判定（共斜边型） 步骤1：观察图形，找到共斜边的两个直角三角形； 步骤2：取斜边中点，证明四点到中点距离相等； 步骤3：判定四点共圆，利用圆周角相等、直径性质倒角求值； 步骤4：规范作答。 2）定弦定角轨迹圆解题（最值专用） 步骤1：锁定固定线段（定弦），确认动点定角； 步骤2：判定动点轨迹为圆弧，四点共圆； 步骤3：结合圆的半径、弦高，判断最值位置； 步骤4：计算最值、边长、角度。 3）对角互补共圆解题 步骤1：梳理四边形四个内角，证明一组对角和为180°； 步骤2：判定四点共圆； 步骤3：利用圆内接四边形性质：对角互补、外角=内对角、同弧等角； 步骤4：完成角度、线段、面积推导。 1．（浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解． 【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB ∵在中，，点G是DE的中点， ∴AG=DG=EG 又∵AG=FG ∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径 ∴∠DFE=90° ∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点， ∴CF=BF=，FN=FM= 又∵FN⊥AC，FM⊥AB， ∴四边形NAMF是正方形 ∴AN=AM=FN= 又∵， ∴ ∴△NFD≌△MFE ∴ME=DN=AN-AD= ∴AE=AM+ME=3 ∴在Rt△DAE中，DE= 故选：A． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 2．（福建·中考真题）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案． 【详解】∵为中点， ∴, ∴∠ADB=∠ABD，AB=AD， ∵， ∴∠CBD=∠ADB=∠ABD， ∵四边形内接于， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴3∠ADB+60°=180°， ∴=40°， 故选：A． 【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，圆上有、、、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据圆周角定理可得弧所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得． 【详解】弧、弧的长度分别为、 圆的周长为 （圆内接四边形的对角互补） 弧所对圆心角的度数为 则弧的长度为 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键． 4．（25-26八年级上·上海·期末）如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么___________________． 【答案】13 【分析】先证明A、C、B、D四点共圆，得到∠DCB与∠BAD的是同弧所对的圆周角的关系，得到∠DCB的度数，再证∠ECB=45°，得出结论． 【详解】解：∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，E是AB中点， ∴AE=EB=EC=ED， ∴A、C、B、D在以E为圆心的圆上， ∵∠BAD=32°， ∴∠DCB=∠BAD=32°， 又∵AC=BC，E是Rt△ABC的中点， ∴∠ECB=45°， ∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=13°． 故答案为：13． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强． 5．（2025·湖北武汉·二模）如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 __________．    【答案】102.5° 【分析】先根据旋转的性质得到，，得到点A、N、F、C共圆，再利用，根据平角的性质即可得到答案； 【详解】解：如图，AF与CB相交于点O，连接CF，    根据旋转的性质得到： AC=AF，，，， ∴点A、N、F、C共圆， ∴， 又∵点A、N、F、C共圆， ∴， ∴（平角的性质）， 故答案为：102.5° 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平角的性质、点共圆的判定，掌握平移的性质是解题的关键； 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意推出，从而得到、、、四点共圆，进而得出结论即可； （2）首先根据已知信息求出，再结合四点共圆的结论，在中求解即可． 【详解】（1）证：∵， ∴， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，， ∵、、、四点共圆， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查四点共圆的证明、圆的内接四边形的性质，以及解直角三角形等，掌握圆当中的重要结论，准确求解直角三角形是解题关键． 7．（25-26九年级上·福建莆田·期中）在正方形中，是边上一点，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点，，三点共线，求证：，，，四点共圆； （3）若点，，三点共线，且，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质以及圆内接四边形对角和为即可得出结论； （3）证明为等腰直角三角形，得出，然后得出，根据圆周角定理可得点在圆上，结论可得． 【详解】解：（1）根据旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵点，，三点共线， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆； （3）∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 以点为圆心，为半径作， ∵，， ∴， ∴点在圆上， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理等知识，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 8．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形是圆美四边形． （1）求美角的度数； （2）如图1，若的半径为5，求的长； （3）如图2，若平分，求证：． 【答案】（1）60°；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据美角的定义可得，然后根据圆内接四边形的性质即可求出结论； （2）连接DO并延长，交与点E，连接BE，根据同弧所对的圆周角相等可得∠E=∠A=60°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠DBE=90°，最后利用锐角三角函数即可求出结论； （3）延长CB至F，使BF=DC，连接AF、BD，先证出△ABD为等边三角形，然后利用SAS证出△ABF≌△ADC，从而得出AF=AC，∠F=∠DCA=60°，再证出△ACF为等边三角形，利用等边三角形的性质和等量代换即可得出结论． 【详解】解：（1）根据题意可得：，而∠A＋∠C=180° ∴∠A=60° （2）连接DO并延长，交与点E，连接BE ∴∠E=∠A=60° ∵DE为的直径，的半径为5， ∴∠DBE=90°，DE=10 在Rt△DBE中，BD=DE·sin∠E=10×=； （3）延长CB至F，使BF=DC，连接AF、BD 由（1）可知：∠BAD=60°，∠BCD=2∠BAD=120° ∵平分， ∴∠BCA=∠DCA==60° ∴∠ABD=∠DCA=60° ∴∠ADB=180°－∠ABD－∠BAD=60° ∴△ABD为等边三角形 ∴AB=AD 根据圆内接四边形的性质可得∠ABF=∠ADC 在△ABF和△ADC中 ∴△ABF≌△ADC ∴AF=AC，∠F=∠DCA=60° ∴∠FAC=180°－∠F－∠ACF=60° ∴△ACF为等边三角形 ∴CF=AC ∴BC＋BF=AC ∴BC＋CD=AC 【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，掌握新定义、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键． 9．（2026·陕西·模拟预测）如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________． 【答案】 【分析】假设线段为定值，根据已知条件可知四点共圆，且线段是圆的直径，根据，可知弧所对的圆心角是，得到，再根据两点之间线段最短可知，当时，最大，从而解出答案． 【详解】解： ∵四边形中，， ∴四边形对角互补， ∴四点共圆， ∵， ∴线段是圆的直径，即圆的半径是，假设线段长为定值， 如图所示，连接，以的中点为圆心，长为半径画圆， ， 连接，分别过点作垂直，垂足分别为点， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， 又∵两点之间线段最短， ∴， ∴当时，最大，即最大，如下图所示， ， 此时， ∴，解得， ∴． 10．（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为________． 【答案】/ 【分析】根据对角互补四点共圆可得四点共圆，连接，，求证，而后推导出，可得，连接，由三角形的三边关系以及、为定值，则当三点共线时，取得最小值为，最后利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：，， 根据对角互补四点共圆可得四点共圆， 连接，， ，，， ， ， 四点共圆， ， ，， ， ， 连接，则， ∴当三点共线时，取得最小值为， 在中，， ∴， 取最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用辅助圆解决最值问题，涉及全等三角形的判定与性质、同弧所对的圆周角相等、勾股定理等，根据条件作出合适的辅助线，得出是解题的关键． 11．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为________．    【答案】/ 【分析】将绕点逆时针旋转至，连接，可得是为等边三角形，则，可知、、、四点共圆，令其圆心为，连接、、过作，交于，交圆于，过、分别作圆的切线，交于，连接交于，连接、，利用的直角三角形求得，由，与圆相切，可得（SSS），利用其性质证得，计算出，，由，知，可得四边形为平行四边形，则，由三角形三边关系可知：（当、、在同一直线上时去等号），即可求得的最大值． 【详解】解：将绕点顺时针旋转至，连接，可得是为等边三角形，则， ∵，， ∴、、、四点共圆，令其圆心为，连接、、 ∴，则， 过作，交于，交圆于，过、分别作圆得切线，交于，连接交于，连接、，    ∵，， ∴，， ∴，， ∵，与圆相切， ∴， ∴（SSS） ∴， ∴， ， ， 又∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由三角形三边关系可知：（当、、在同一直线上时去等号） ∴的最大值为：． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了四点共圆，垂径定理，切线长定理，解直角三角形，平行四边形的判定及三角形的三边关系，构造辅助线，利用圆的相关性质转化线段长度及角度，构造三角形三边关系是解决问题的关键，属于中考压轴题． 12．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，得到点在以点为圆心的上运动，当点三点共线时，的值最小，由半圆或直径所对圆周角为直角，结合勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴当点在上运动时，点在以为直径的圆弧上运动，该弧交于点，与交于点，如图所示， 取线段的中点为，连接， ∴点在以点为圆心的上运动， 在中，，点为中点，， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，的值最小， 在中，是直径，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 13．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，四边形内接于，，，垂足为E．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，并延长交于，交于，证明，推出，再证明，求得，在中，利用勾股定理求得的长，再利用等积法求得，从而求出，再证明对角线互相垂直的四边形对边平方和相等，即，再代入求解即可． 【详解】解：连接，并延长交于，交于， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 14．（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题；连接，根据得出点在以为直径的上，进而勾股定理求得，当点在线段上时，最小，即可求解． 【详解】解：如解图①，连接， ，，， ， 为直径， ， ， 点在以为直径的上， 的半径为， 连接，， ， 在中， ，， ， 如解图②，当点在线段上时，最小， ，即线段长度的最小值为． 故选D． 15．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，在四边形中，，，若其内部有一点P，连接恒为．则的最小值是__________． 【答案】/ 【分析】如图过点作于点，连接，根据已知可得在正方形的外接圆上运动，设圆心为，延长交于点，连接，证明得出，当为圆的直径时，即重合时，取得最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ， ∵， 是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ∴P在正方形的外接圆上运动，设圆心为，连接， ， ， 延长交于点，连接， ， ， ， ， ， ， ∴当为圆的直径时，即重合时，取得最小值， ， ． 16．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）； ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆， (2)在图③中，画经过点A，B，C（图⑤）．假设点D落在外，交于点 E，连接，可得，得出矛盾；同理点D也不会落在内（图⑥），即A，B，C，D共圆．结论同理可证．请你利用“反证法”证明结论，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上； (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形的高相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（连接，补全以下证明框图） (4)如图⑩，点P是外部一点，过P作直线的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在的外接圆上． 【答案】(1)直角三角形斜边中线等于斜边的一半； (2) 证明：假设点C落在⊙O外，交于点E，连接， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角． ∴，相互矛盾，故点在圆上； (3)，B、E、D、C，； (4) 证明：如图，连接由结论可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆， 又∵点D，E，F在同一条直线上， ∴， ∴， 由结论可得点A、B、C、P四点共圆即点P在的外接圆上． 【分析】本题考查四边形外接圆的综合问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角性质等知识，解题的关键是掌握以上相关知识点，并能够综合运用． （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； （2）根据结论可知，再利用得到，利用外角性质可得，相互矛盾即可证明点C在圆上； （3）以四点作圆，以四点作圆，连接，得到，，再利用，得到，即可证明； （4）连接，由结论可得点四点共圆，点四点共圆，证明，由结论可得点四点共圆，即点在的外接圆上． 【详解】（1）解：由题意可得：根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得，即A，B，C，D共圆， 故答案为：直角三角形斜边中线等于斜边的一半； （2）略 （3）证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、四点作圆，连接，如图： ∵A、E、H、D四点共圆， ∴， ∵B、E、D、C四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是的高， 故答案为：，B、E、D、C，； （4）略 17．（25-26九年级上·山东威海·期末）阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程： 已知：在四边形中，． 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆．如图1，若点在圆外，设与圆相交于点，连接，则______，而已知，所以，而是的外角，，出现矛盾，故假设不成立，因此点在过三点的圆上． 如图2，若点在圆内，（请同学们补充完成省略的部分证明过程） 因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆． 学习任务： (1)材料中划线部分的结论是______，依据是______； (2)请将图2的证明过程补全； (3)如图3，在四边形中，，，，则的大小为______ (4)如图4，已知正方形的边长为6，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线相交于点．当点从运动到时，点也随之运动，求经过的路径长． 【答案】(1)，圆内接四边形对角互补 (2) (3)32 (4)点经过的路径为． 【分析】本题考查了对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，反证法，圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理． （1）根据材料得出结论，依据圆内接四边形对角互补； （2）同（1）利用反证法结合圆内接四边形对角互补证明即可； （3）利用题中结论，结合直径的性质及等腰三角形的性质即可求解； （4）连接连接，由勾股定理求出，由圆周角定理得出，点在上，当运动到点时，为的中点，即可求解． 【详解】（1）解：材料中划线部分的结论是：， 依据：圆内接四边形对角互补， 故答案为：，圆内接四边形对角互补； （2）证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆，如图2， 若点在圆内，设延长与圆相交于点，连接，则， ∵， ∴， ∴是的外角， ∴，出现矛盾，故假设不成立， ∴点在过三点的圆上； （3）解：∵， ∴过四边形的四个顶点能作一个圆，如图： ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：32； （4）解：连接如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四点共圆， ∴， ∴点在上， 当运动到点时，为的中点， ∴， ∴点经过的路径为． 18．（2026·安徽阜阳·模拟预测）我们知道三角形三条高线的交点为三角形的垂心，请进行如下探索： (1)如图1，在中，为的直径，为的弦，且于点F，作点B关于的对称点P，连接，，证明：点P为的垂心； (2)如图2，在中，，均为的弦，且于点F，作点B关于的对称点P，连接，，证明：点P为的垂心； (3)如图3，在中，，，和交于点F，延长至点P，使，连接，，证明：A，P，B，C四点共圆． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，由垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理证明，再根据三角形垂心的定义判定即可； （2）连接并延长交于点，连接，由垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理证明，再根据三角形垂心的定义判定即可； （3）连接并延长交于点M，先证明，再根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角证明即可． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点，连接， ∵点P与点B关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点为的垂心； （2）证明：如图，连接并延长交于点，连接， ∵点P与点B关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点为的垂心； （3）证明：如图，连接并延长交于点M， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴A，P，B，C四点共圆． 19．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）阅读理解：    （1）问题初现：如图1，在中，，D是外一点，且，则 ； 思路：若以点A为圆心，为半径画，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到的度数； （2）问题解决：如图2，在四边形中，，求的度数； 思路：可以通过证明A、B、C、D四点共圆，再利用圆周角的性质求出∠BAC的度数．请写出详细的解题过程． （3）问题拓展：如图3，在中，，是边上的高，且，则 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解； （2）由A、B、C、D共圆，得出； （3）作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．利用圆周角定理推知是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得；在等腰中，利用勾股定理得到，进而求解． 【详解】解：（1）如图，   ， ∴以点A为圆心，长为半径画圆，点B、C、D必在上， 是的圆心角，而是圆周角， ， 故答案为：； （2）如图2，取的中点O，连接，   ， ∴点共圆， ， ， ； （3）如图3，作的外接圆，过圆心作于点于点E，作于点F，连接，   ， ， 在中，， ， ， ，O为圆心， ， ． 在中，，， ， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，考查了垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，难度偏大，熟练掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 20．（25-26九年级上·陕西西安·期末）提出问题 如图1，在，，为边的中点，连接．若，，则　 　； 探究问题 如图2，在四边形，已知，求证：，，，四点共圆； 解决问题 某社区有如图3所示的直角三角形空地，其中，社区工作人员想在边上找一点栽种一棵树，并同时在和边上各自找一点和，修筑，，三条小路，并且要求，为了美化这片空地，社区人员想用一堆碎瓷片铺设在小路上，为了变废为宝，使这些碎瓷片得以全部利用，小路的长至少为，已知，为满足以上条件，请你帮社区工作人员计算一下，点应该在边上，距点多少米处？ 【答案】提出问题：5； 探究问题： 证明：连接，取的中点，连接，， ，点是的中点， ， ，，，四点共圆； 解决问题：或2米处 【分析】本题考查了四点共圆的知识，能根据的变化探讨最值是解题关键． 提出问题：由勾股定理可求的长，由直角三角形的性质可求解； 探究问题：由直角三角形的性质可得，可得结论； 解决问题：分两种情况讨论：当与重合时，此时最小；当时，此时最大，然后再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：提出问题：，，， ， 为边的中点， ， 故答案为：5； 探究问题：略 解决问题： 当与重合时，圆心在上，于，此时最小． 如图： ， ， ∴ ， ∴ ； 当时，最小，故此时最大，此时是的直径． 如图： ， ； 综上所述，点距点为：或米处． 21．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．    探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，则（依据1）    点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据2） 点，，，四点在同一个圆上 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________________________________； 依据2：________________________________________。 （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为________． 拓展探究：    （3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．求证：，，，四点共圆；    【答案】（1）圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆解答即可； （2）根据探究可知四点在同一个圆上，再由圆周角定理可得答案； （3）根据等边对等角可得，根据轴对称的性质得到，，求出，可得，进而得出结论． 【详解】解：（1）依据1：圆内接四边形对角互补； 依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）∵， ∴四点在同一个圆上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）证明：， ， 点与点关于对称， ，， ，， ， ， ，，，四点共圆． 【点睛】本题考查的是四点共圆，三点共圆，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，正确理解四点共圆的条件是解题的关键． 22．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】 已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形， ． ， 与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内， …… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】 （5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 【答案】 （1）如图， ∴点A、B、C、E四点在同一个圆上； （2）如图，作经过点A、B、D的， 在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，， 则， ， ． 点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上， 点A、B、C、D四点共圆； （3）30；（4）；（5） 【分析】（1）由圆的内接四边形可得，即可求解； （2）通过点A、B、C、E四点在同一个圆上，可得点C在点A、B、D所确定的上，即可求解； （3）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得； （4）通过证明点A、、E、C四点共圆，可得，由三角形内角和定理可求解； （5）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得，当是直径时，有最大值，即四边形的周长有最大值，即可求解． 【详解】解：（1）若点C在内，如图，延长设交于， 连接，则． 四边形是的内接四边形， ， ， 与矛盾，故点C不可能在圆内， ∴点C在圆上， ∴点A、B、C、E四点在同一个圆上； （2）如图，作经过点A、B、D的， 在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，， 则， ， ． 点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上， 点A、B、C、D四点共圆； （3）∵， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴， 故答案为：30； （4）由对称可知，， ， ， 由（2）可知，点A、、E、C四点共圆． ， 中，， ； （5）如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴，弦最大值是直径长， 以为边在上方作等边三角形，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴A，E，D三点共线， ∴， ∵四边形周长， ∴当是直径时，四边形的周长有最大值， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，圆内接四边形的性质，反证法，等边三角形的判定与性质等知识点． 23．（24-25九年级上·广东江门·期末）【综合与实践】九年级同学小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”的数学活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．继续探究如下： 【提出问题】 如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究证明过程展示： 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则（依据1）． ∵， ∴， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（依据2）， ∴点B，D在点A，C，E所确定的上． ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 【反思归纳】 （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2“分别是指什么？ 依据1：；依据2：． 【拓展延伸】 （2）如图3，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点D，连接．小明发现，旋转过程中，点D始终为的中点，为验证这结论，判断A，D，B，C四点共圆后可得出结论． 请你帮小明完成探究过程： ①证明：A，D，B，C四点共圆； ②证明： 【答案】（1）圆内接四边形的对角互补，过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 （2）①证明：设交于点O． 由旋转变换的性质可知 ， ， ， ∴点A，C，B，D四点共圆； ②证明：∵点A，C，B，D四点共圆， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查四点共圆，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质，确定圆的条件解决问题即可； （2）①根据旋转的性质，等腰三角形的性质推出A，C，B，D四点共圆； ②根据点A，C，B，D四点共圆，得到，求得，根据垂直的定义得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：依据1：圆内接四边形的对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：圆内接四边形的对角互补，过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）①略 ②略 24．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，那么我们把这称为四点共圆． (1)下列几何图形的四个顶点构成四点共圆的有　 　．（填序号）①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤等腰梯形． (2)已知△ABC中，∠A＝40°，如图1，平面上一点D，使得A、B、C、D四点共圆，试求∠BDC的度数． (3)若△ABC的外接圆为⊙O，半径为r，平面上有两点E、F，分别与△ABC的三个顶点构成四点共圆（E在AB的左侧，F点在AC的右侧），如图2．①试判断∠E+∠F﹣∠BAC的值是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由；②若BC弦的长度与⊙O的半径r之比为：1，并且边AB经过圆心O，如图3，试求五边形AEBCF的最大面积（用含r的式子表示）． 【答案】(1)③④⑤； (2)∠BDC的度数为140°或 40°； (3) 【分析】（1）由“对角互补的四边形是圆的内接四边形”，即可得出答案； （2）分点D在 上和点D在、上两种情况讨论，即可求出∠BDC的度数； （3）①由圆内接四边形的性质可得∠E+∠AFB＝180°，由∠BAC＝∠BFC，可得∠E+∠AFC＝∠E+∠AFB+∠BFC＝∠E+∠AFB+∠BAC＝180°+∠BAC，进而可得∠E+∠AFC﹣∠BAC＝180°； ②由AB经过圆心O，BC弦的长度与⊙O的半径r之比为：1，可得△ABC为等腰直角三角形，S五边形AEBCF＝S△ABE+S△ABC+S△ACF，当△ABE及△ACF面积最大时，五边形AEBCF的最大面积，E为中点时，△ABE面积最大，F为中点时，△ACF面积最大，求出△ABE及△ACF面积最大值，最后把三个三角形的面积相加，即可求出五边形AEBCF的最大面积． 【详解】（1）解：∵矩形、正方形、等腰梯形的对角互补， ∴矩形、正方形、等腰梯形的四个顶点构成四点共圆， 故答案为：③④⑤； （2）解：如图4，当点D在上时， ∵A、B、D、C四点共圆， ∴∠A+∠D＝180°， ∵∠BAC＝40°， ∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°， 如图5和图6，当点D在或上时， ∵∠BAC＝40°， ∴∠BDC＝∠BAC＝40°， 综上所述，∠BDC的度数为140°或 40°； （3）解：①如图7，连接BF， ∵四边形AEBF是圆内接四边形， ∴∠E+∠AFB＝180°， 又∵∠BAC＝∠BFC， ∴∠E+∠AFC ＝∠E+∠AFB+∠BFC ＝∠E+∠AFB+∠BAC ＝180°+∠BAC， ∴∠E+∠AFC﹣∠BAC＝180°， 即∠E+∠F﹣∠BAC＝180°； ②∵AB经过圆心， ∴AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵BC：OB＝：1，OB＝r， ∴BC＝r， ∵AB＝2r， ∴AC＝ ＝r， ∴BC＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵S五边形AEBCF＝S△ABE+S△ABC+S△ACF， ∴当△ABE及△ACF面积最大时，五边形AEBCF的最大面积， 此时，E为中点时，△ABE面积最大，F为中点时，△ACF面积最大， 如图8，连接OE，连接OF交AC于H， ∴OE⊥AB，OF⊥AC， ∴AH＝CH， ∴OH＝BC＝r， ∴S△ABE的最大值为：•AB•OE＝×2r×r＝r2， S△ACF的最大值为：•AC•FH＝×r×（r﹣r）＝r2﹣×r2， ∴S五边形AEBCF的最大值为：r2+r2+r2﹣×r2＝． 【点睛】本题考查了四点共圆，掌握四点共圆及圆周角的性质是解决问题的关键． 25．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践 数学活动课上，小聪在老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图，在线段同侧有两点，连接，，如果，那么四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图，假设点在内，延长交于点，连接 点在上，（    ） 在中， 这与已知条件矛盾 ∴点不在内如图，假设点在外，……； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是______； （2）如图，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）已知四边形中， ①如图，点和点在同侧，交于点的延长线交于点，若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②如图，若平分，记的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 【答案】归纳结论（1）同弧所对的圆周角相等； （2）如图，假设点在外，设交于点，连接， ∵点在上， ∴， ∵在中，， ∴， ∴这与已知条件矛盾； ∴点不在外； （3）①，理由见解析； ∵， ∴，，，四点在同一个圆上，记为， 设，， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ； ∵，， ∴， ∴； ②． 【分析】归纳结论（1）根据圆周角定理的推论作答即可； （2）假设点在外，设交于点，连接，利用反正法，根据圆周角定理及三角形的外角性质即可得解； 结论运用（3）①由得，，，四点在同一个圆上，记为，设，，先证，又，，从而，即可得；②延长至点，使得，过点作于，证明（）得，再利用勾股定理及度直角三角形的性质得，从而得，进而即可得解． 【详解】解：归纳结论（1）如图，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， （同弧所对的圆周角相等）， 在中，， ， 这与已知条件矛盾； ∴点不在内； 故答案为：同弧所对的圆周角相等； （2）略 ①略 ②的大小不会发生变化 理由∶延长至点，使得，过点作于， ∵， ∴，，，四点在同一个圆上， ∵平分， ∴， ∴； ∵，，，四点在同一个圆上， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，度直角三角形的性质，圆周角定理，反证法，等腰三角形的三线合一，角平分线的定义，熟练掌握勾股定理，度直角三角形的性质，圆周角定理是解题的关键． 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆中的重要模型之四点共圆模型 考试选择填空侧重判定与角度计算，大题常作为导角桥梁，压轴结合隐形圆求线段最值、证线段乘积。常用判定：对角互补、同侧等角、直角共斜边、外角等于内对角。解题先观察图形找共圆条件，规范证明四点共圆，再借助圆周角相等、对角互补转化角度，结合相似、全等完成证明。动点题型抓定角定边构造隐形圆；线段乘积题运用相交弦、托勒密定理。易错点：两角分居线段两侧不可共圆，大题不可省略共圆判定步骤。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 2 模型2.定边对双直角共圆模型 5 模型3.定边对定角共圆模型 8 模型4.对角互补共圆模型 10 易错点与方法总结 13 模型运用 14 A组（基础题） 14 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 28 四点共圆源自圆内接四边形几何体系，是圆周角定理延伸推导而来。古人研究圆与多边形相交关系，发现同一圆上四点具备统一角度规律，逐步归纳出判定依据。核心根基为圆周角性质：同弧所对圆周角相等，由此推出同侧等角四点共圆；结合圆内接四边形内角和，得到对角互补判定。直角直径定理、外角等于内对角等推论同步衍生。初中几何将其简化为解题工具，融合旋转、全等、动点隐形圆题型，把圆的性质转化为角度转换媒介，简化复杂几何推导，是连接直线型图形与圆几何的关键过渡模型。 1）圆的基础性质：同弧所对的圆周角相等，直径所对圆周角为直角； 2）圆内接四边形性质：对角互补、外角等于内对角； 3）直角三角形特性：直角三角形斜边中线等于斜边的一半； 4）基础几何能力：角度倒角、等角代换、垂直判定、几何模型识别。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 【模型提炼与证明】 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，即确定A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（25-26·安徽·九年级校考期中）如图，O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则∠A与∠C的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26九年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 【典例3】（2025·重庆·校考一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形； 【典例4】（24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论： ①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 模型2.定边对双直角共圆模型 【模型提炼与证明】 图1（同侧型） 图2（ 异侧型） 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图1，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（2026·四川绵阳·一模）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分． (1)求证：； (2)设，用含的代数式表示； (3)若，求弦的长． 【典例3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【典例4】（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点直线交直线于点． (1)小智同学通过思考推得当点在上方时，的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程： ， 、、三点在以为圆心，以为半径的圆上． ______（填写数量关系） ______ (2)如图，连接，求证：、、、四点共圆； (3)线段最大值为______；若取的中点，则线段的最小值为______． 模型3定边对定角共圆模型 【模型提炼与证明】 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏镇江·一模）如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（     ） A．4 B． C． D． 【典例2】（2026·安徽合肥·三模）如图，中，，点为的边上或内部一动点，满足，连接，若的最小值是，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【典例3】（2025·河南商丘·二模）如图，在矩形中，，，点为的中点，动点在矩形内部，连接，，且，点为上一个动点，连接，，则的最小值为________． 【典例4】（2026·贵州遵义·二模）如图，正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，于点G，交于点F，连接．当取得最小值时，的长度为_________． 模型4. 对角互补共圆模型 【模型提炼与证明】 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 图1 图2 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）综合与实践——探究四点共圆的条件（续） 某学习小组在开展“探究四点共圆的条件”的数学活动后，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图1所示，在线段同侧有两点，连接，如果，那么四点在同一个圆上． 【探究展示】如图2所示，作经过点的，在劣弧上取一点（不与重合），连接， 则，（依据1） ． 点四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点在点所确定的上，（依据2） 点四点在同一个圆上． 【反思归纳】 （1）上述探究过程中的“依据1”是_____，“依据2”是_____． （从下框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补 ②对角互补的四边形四个顶点共圆 ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上 【结论运用】 （1）如图3，在四边形中，，，则的度数为_____． （2）如图4，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接．延长交于点．请证明下列两个结论： 四点共圆； ②． 【典例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知如图①，四边形内接于．求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴可得______， ∵， ∴______，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． （3）结论运用：如图③，，点分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，求的最小值． 【典例3】（25-26九年级上·云南昆明·期中）综合与实践： “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．    探究展示： 如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，    则，（依据 ， ， 点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上，（依据 点，，，四点在同一个圆上； 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号） 依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补； ②对角互补的四边形四个顶点共圆； ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上； （2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______．    【典例4】（25-26九年级上·江西赣州·期中）【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 模型常见易错点 1）定弦定角混淆同侧、异侧 2）误用对角互补判定条件 3）共圆后不会用性质倒角 4）共斜边直角三角形漏共圆结论 5）忽略动点轨迹圆的取值范围 6）大题直接写“四点共圆”无推导 解题方法总结 1）直角共圆快速判定（共斜边型） 步骤1：观察图形，找到共斜边的两个直角三角形； 步骤2：取斜边中点，证明四点到中点距离相等； 步骤3：判定四点共圆，利用圆周角相等、直径性质倒角求值； 步骤4：规范作答。 2）定弦定角轨迹圆解题（最值专用） 步骤1：锁定固定线段（定弦），确认动点定角； 步骤2：判定动点轨迹为圆弧，四点共圆； 步骤3：结合圆的半径、弦高，判断最值位置； 步骤4：计算最值、边长、角度。 3）对角互补共圆解题 步骤1：梳理四边形四个内角，证明一组对角和为180°； 步骤2：判定四点共圆； 步骤3：利用圆内接四边形性质：对角互补、外角=内对角、同弧等角； 步骤4：完成角度、线段、面积推导。 1．（浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 2．（福建·中考真题）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（  ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，圆上有、、、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（  ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海·期末）如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么___________________． 5．（2025·湖北武汉·二模）如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 __________．    6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 7．（25-26九年级上·福建莆田·期中）在正方形中，是边上一点，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点，，三点共线，求证：，，，四点共圆； （3）若点，，三点共线，且，求的长． 8．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形是圆美四边形． （1）求美角的度数； （2）如图1，若的半径为5，求的长； （3）如图2，若平分，求证：． 9．（2026·陕西·模拟预测）如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________． 10．（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为________． 11．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为________．    12．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 13．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，四边形内接于，，，垂足为E．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 15．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，在四边形中，，，若其内部有一点P，连接恒为．则的最小值是__________． 16．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）； ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆， (2)在图③中，画经过点A，B，C（图⑤）．假设点D落在外，交于点 E，连接，可得，得出矛盾；同理点D也不会落在内（图⑥），即A，B，C，D共圆．结论同理可证．请你利用“反证法”证明结论，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上； (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形的高相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（连接，补全以下证明框图） (4)如图⑩，点P是外部一点，过P作直线的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在的外接圆上． 17．（25-26九年级上·山东威海·期末）阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程： 已知：在四边形中，． 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆．如图1，若点在圆外，设与圆相交于点，连接，则______，而已知，所以，而是的外角，，出现矛盾，故假设不成立，因此点在过三点的圆上． 如图2，若点在圆内，（请同学们补充完成省略的部分证明过程） 因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆． 学习任务： (1)材料中划线部分的结论是______，依据是______； (2)请将图2的证明过程补全； (3)如图3，在四边形中，，，，则的大小为______ (4)如图4，已知正方形的边长为6，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线相交于点．当点从运动到时，点也随之运动，求经过的路径长． 18．（2026·安徽阜阳·模拟预测）我们知道三角形三条高线的交点为三角形的垂心，请进行如下探索： (1)如图1，在中，为的直径，为的弦，且于点F，作点B关于的对称点P，连接，，证明：点P为的垂心； (2)如图2，在中，，均为的弦，且于点F，作点B关于的对称点P，连接，，证明：点P为的垂心； (3)如图3，在中，，，和交于点F，延长至点P，使，连接，，证明：A，P，B，C四点共圆． 19．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）阅读理解：    （1）问题初现：如图1，在中，，D是外一点，且，则 ； 思路：若以点A为圆心，为半径画，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到的度数； （2）问题解决：如图2，在四边形中，，求的度数； 思路：可以通过证明A、B、C、D四点共圆，再利用圆周角的性质求出∠BAC的度数．请写出详细的解题过程． （3）问题拓展：如图3，在中，，是边上的高，且，则 ． 20．（25-26九年级上·陕西西安·期末）提出问题 如图1，在，，为边的中点，连接．若，，则　 　； 探究问题 如图2，在四边形，已知，求证：，，，四点共圆； 解决问题 某社区有如图3所示的直角三角形空地，其中，社区工作人员想在边上找一点栽种一棵树，并同时在和边上各自找一点和，修筑，，三条小路，并且要求，为了美化这片空地，社区人员想用一堆碎瓷片铺设在小路上，为了变废为宝，使这些碎瓷片得以全部利用，小路的长至少为，已知，为满足以上条件，请你帮社区工作人员计算一下，点应该在边上，距点多少米处？ 21．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．    探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，则（依据1）    点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据2） 点，，，四点在同一个圆上 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________________________________； 依据2：________________________________________。 （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为________． 拓展探究：    （3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．求证：，，，四点共圆；    22．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】 已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形， ． ， 与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内， …… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】 （5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 23．（24-25九年级上·广东江门·期末）【综合与实践】九年级同学小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”的数学活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．继续探究如下： 【提出问题】 如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究证明过程展示： 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则（依据1）． ∵， ∴， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（依据2）， ∴点B，D在点A，C，E所确定的上． ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 【反思归纳】 （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2“分别是指什么？ 依据1：；依据2：． 【拓展延伸】 （2）如图3，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点D，连接．小明发现，旋转过程中，点D始终为的中点，为验证这结论，判断A，D，B，C四点共圆后可得出结论． 请你帮小明完成探究过程： ①证明：A，D，B，C四点共圆； ②证明： 24．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，那么我们把这称为四点共圆． (1)下列几何图形的四个顶点构成四点共圆的有　 　．（填序号）①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤等腰梯形． (2)已知△ABC中，∠A＝40°，如图1，平面上一点D，使得A、B、C、D四点共圆，试求∠BDC的度数． (3)若△ABC的外接圆为⊙O，半径为r，平面上有两点E、F，分别与△ABC的三个顶点构成四点共圆（E在AB的左侧，F点在AC的右侧），如图2．①试判断∠E+∠F﹣∠BAC的值是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由；②若BC弦的长度与⊙O的半径r之比为：1，并且边AB经过圆心O，如图3，试求五边形AEBCF的最大面积（用含r的式子表示）． 25．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践 数学活动课上，小聪在老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图，在线段同侧有两点，连接，，如果，那么四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图，假设点在内，延长交于点，连接 点在上，（    ） 在中， 这与已知条件矛盾 ∴点不在内如图，假设点在外，……； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是______； （2）如图，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）已知四边形中， ①如图，点和点在同侧，交于点的延长线交于点，若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②如图，若平分，记的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $