专题09弧长及扇形的面积精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦弧长及扇形面积计算核心知识点，从圆周长、圆面积公式出发，按圆心角占比推导弧长、扇形面积公式，延伸至弓形面积及不规则阴影面积计算，构建完整知识体系。 资料通过公式分类标注、解题步骤梳理及易错警示，培养学生抽象能力与推理意识，题型分层设计贴合学情，课中助力教师精准教学，课后便于学生自主巩固，有效提升知识应用能力。

专题09弧长及扇形的面积精讲学案 课堂立意： 从圆周长、圆面积，按圆心角占比推导弧长、扇形面积两套公式；重点考察弧长计算、扇形面积、弓形以及割补法求阴影面积。 必背核心公式（考试直接套） n：圆心角度数；R：圆/扇形半径；l：弧长 1. 弧长公式：l= 👉做题提示：求圆弧长度；知二求一（已知n、R、l中任意两个，求第三个） 2. 扇形面积公式①（已知圆心角n）：S扇形= 3. 扇形面积②（已知弧长l，优先选用，计算更快）：S扇形= lR 弓形面积（阴影高频考点） 劣弓形（小弓形）：S弓形=S扇形-S三角形 优弓形（大弓形）：S弓形=S扇形+S三角形} ❗重要提醒：弓形≠扇形，必须和三角形做加减运算 不规则阴影面积通用方法 ①割补法：平移、旋转把零散阴影拼成扇形、三角形等规则图形 ②和差法：整体图形面积 − 空白部分面积 同圆内扇形面积大小规律： 半径固定时，圆心角越大，扇形面积、弧长越大；圆心角固定时，半径越大，弧长与扇形面积越大。 解题常规步骤总结 1、审题确定已知条件，区分求解目标是弧长还是面积，匹配对应计算公式； 2、标注图形半径、圆心角，若是阴影图形，判断使用和差法还是割补法； 3、代入公式列式计算，结果按照题目要求保留或者取近似数值。 ⚠️踩坑警示 1. ❌分母记混：弧长分母是180；扇形角度式分母是360，千万不要写反。 2. ❌分不清弧长和扇形面积公式，把R写成R2。 3. ❌求弓形直接输出扇形面积，忘记加减三角形面积。 4. ❌公式只能用角度制n，不能直接代入弧度。 5. ❌计算结果不要把\pi直接去掉，看题目要求是否保留\pi。 题型 考察方向 难度 题型一 求弧长 ★★ 题型二 求扇形半径 ★★ 题型三 求圆心角 ★★★ 题型四 求某点的弧形运动路径长度 ★★★★ 题型五 求扇形面积 ★★ 题型六 求弓形面积 ★★★ 题型七 求其他不规则图形的面积 ★★★★ 题型八 求图形旋转后扫过的面积 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频易错；★★★★考试重难点题 题型一：求弧长 解题思路 ① 从题干、图形里找出圆心角n和半径R； ② 直接代入弧长公式计算； ③ 看清问的是弧长还是扇形周长，扇形周长记得再加两条半径2R。 1．若一个扇形的半径是，此扇形的圆心角是，则它的弧长等于______． 2．如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升，假设绳索与滑轮之间没有相对滑动．若滑轮上某一点旋转了，则重物上升的高度为（    ） A． B． C． D． 3．如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 4．中国饮食文化源远流长，其中过桥米线是云南的地方特色美食之一．如图是某人吃完过桥米线准备喝汤的示意图，碗体部分为半圆，直径．喝汤时，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 题型二：求扇形半径 解题思路 ① 看已知条件给的是弧长，还是扇形面积、圆心角； ② 对公式做变形，用方程思想解出R； ③ 结果为长度，取正数，舍去负根。 5．一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为________． 6．已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 7．如图，AB是⊙O的弦，点C是劣弧的中点，若∠BAC＝30°，劣弧的长为π，则⊙O的半径为____． 8．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2 题型三：求圆心角 解题思路 ① 整理已知：弧长l或扇形面积、半径R； ② 将数值代入公式，把n当作未知数解方程； ③ n结果单位是“°”，最后写上角度单位。 9．已知扇形半径是，弧长为，则扇形的圆心角为________ 10．将一张半径为6的圆形纸片沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长是，则另一个扇形的圆心角度数是（   ） A． B． C． D． 11．如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 12．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 题型四：求某点的弧形运动路径长度 解题思路 ① 锁定旋转中心； ② 找运动点到旋转中心距离，即旋转半径； ③ 读出旋转转过的角度； ④ 把旋转半径、旋转角代入弧长公式，算出路径（路径本质就是一段弧长）。 13．图为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形．图为其几何示意图．已知该盾构机前端的刀盘直径米，匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达处，则此过程中该滚刀所经过的路径的长度为___．（结果保留） 14．如图①，是风力发电场的外景，我国早在上世纪50年代就开始了风力发电的尝试．记者从山西省农业农村厅获悉，为进一步壮大农村集体经济、助力乡村振兴、山西省首批确定33个风电项目作为“驭风行动”助力乡村振兴工程试点项目，总规模151.74万千瓦．如图②是“大风车”的示意图，当“大风车”静止时，点A所在的旋转叶片与塔架垂直，当有风吹过，点A所在的旋转叶片顺时针缓缓转动，已知旋转叶片的长度为60米，当点A所在的旋转叶片第一次转动到与塔架重合时，所经过的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 15．如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 16．如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 题型五：求扇形面积 解题思路 ① 判断已知条件：给圆心角选S扇=；给弧长优先选S扇= lR； ② 注意公式里半径要平方，不要漏写平方； ③ 按题目要求保留或取近似值。 17．半径为，圆心角为的扇形面积为 _______________（结果保留． 18．如图，在直径为2的圆内有一个圆心角为的扇形，其面积为（    ） A． B． C． D． 19．如图，中，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，交边于点，若，，，则扇形的面积为______． 20．如图，半圆的直径是，图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 题型六：求弓形面积 解题思路 ① 先算出对应扇形面积； ② 再算出弓形里面三角形的面积； ③ 劣弓形：S弓形=S扇形-S三角形；优弓形：S弓形=S扇形+S三角形； ④ 弓形不等于扇形，一定要做和差运算。 21．如图所示，水平放置的圆柱形进水管道的截面半径为6m，其中水面的高为3m．则截面上有水面的面积是______m2．    22．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 23．如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为_______． 24．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 题型七：求其他不规则图形的面积 解题思路 ① 观察阴影：优先看能不能平移、旋转、对称做割补，拼成扇形、半圆等规则图形； ② 割补不行就用和差法：整体图形面积减去空白部分面积； ③ 多个扇形叠加，注意重叠部分不要重复算、也不要漏算。 25．半径为的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为_____． 26．我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 27．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，恰好经过点．则阴影部分的面积为_______． 28．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 题型八：求图形旋转后扫过的面积 解题思路 ① 分清：是整个图形扫过面积，还是某个点扫过路径； ② 确定旋转中心、旋转角度； ③ 图形扫过一般是扇形（扇环），找准扫过区域的外半径、内半径； ④ 若是扇环，用大扇形面积减去小扇形面积得到扫过面积； ⑤ 排除旋转过程内部不动、不扫过的部分，不要把原图面积错误算进去。 29．一个时钟的时针长8cm，从下午1∶00到2∶30，时针扫过的面积是______． 30．如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 31．如图，在中，已知，，，点P从A点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，将沿折叠，点A落在点处．在整个运动过程中，点到直线的最大距离为______；点P到达点B时，线段扫过的面积为______． 32．如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．如图所示，与点O在的网格中的位置如图所示，设每个小正方形的边长为1 (1)画出绕点O逆时针旋转后的图形； (2)画出的外接圆，圆心为点M； (3)若，求长度． 2．【问题背景】蒙住被测试者的眼睛，由于人的左右腿发力不一致，导致左右脚步幅有细微的差距，从而会无意识转圈． (1)【活动思考一】已知被测试者的左脚每步走0.600米，右脚每步走0.601米，他两脚间距米（如图1），那么他左右脚交替行走（即步数一致）的足迹可近似为两个同心圆（如图2），求小圆的半径．    (2)【活动思考二】当两脚步幅相差很小时，人无意识转的圈会很大，我们将左右脚交替行走的足迹近似为一个圆．有一位旅行者从沙漠景区的营地出发，沿正北方向前进，已知他左右脚交替一次共走1.256米，当左右脚交替行走各5000次后，他拿出指南针，测得自己的位置是北偏西，他决定在原地等待救援．一辆救援车从营地出发，速度为60千米/小时，它最快用多长时间可到达旅行者所在的位置?（） 3．在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题： 问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． (1)请你解答问题Ⅰ； (2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） (4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______． 4．如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度；已知． (1)以为旋转中心，将旋转得，画出旋转后的图形，并标明对应字母． (2)求出点在旋转中走过的路径长． 5．如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，连接，求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果） 6．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的坐标分别为点． (1)画出先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的； (2)画出将绕点逆时针旋转后得到的； (3)直接写出（2）中线段所扫过的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09弧长及扇形的面积精讲学案 课堂立意： 从圆周长、圆面积，按圆心角占比推导弧长、扇形面积两套公式；重点考察弧长计算、扇形面积、弓形以及割补法求阴影面积。 必背核心公式（考试直接套） n：圆心角度数；R：圆/扇形半径；l：弧长 1. 弧长公式：l= 👉做题提示：求圆弧长度；知二求一（已知n、R、l中任意两个，求第三个） 2. 扇形面积公式①（已知圆心角n）：S扇形= 3. 扇形面积②（已知弧长l，优先选用，计算更快）：S扇形= lR 弓形面积（阴影高频考点） 劣弓形（小弓形）：S弓形=S扇形-S三角形 优弓形（大弓形）：S弓形=S扇形+S三角形} ❗重要提醒：弓形≠扇形，必须和三角形做加减运算 不规则阴影面积通用方法 ①割补法：平移、旋转把零散阴影拼成扇形、三角形等规则图形 ②和差法：整体图形面积 − 空白部分面积 同圆内扇形面积大小规律： 半径固定时，圆心角越大，扇形面积、弧长越大；圆心角固定时，半径越大，弧长与扇形面积越大。 解题常规步骤总结 1、审题确定已知条件，区分求解目标是弧长还是面积，匹配对应计算公式； 2、标注图形半径、圆心角，若是阴影图形，判断使用和差法还是割补法； 3、代入公式列式计算，结果按照题目要求保留或者取近似数值。 ⚠️踩坑警示 1. ❌分母记混：弧长分母是180；扇形角度式分母是360，千万不要写反。 2. ❌分不清弧长和扇形面积公式，把R写成R2。 3. ❌求弓形直接输出扇形面积，忘记加减三角形面积。 4. ❌公式只能用角度制n，不能直接代入弧度。 5. ❌计算结果不要把\pi直接去掉，看题目要求是否保留\pi。 题型 考察方向 难度 题型一 求弧长 ★★ 题型二 求扇形半径 ★★ 题型三 求圆心角 ★★★ 题型四 求某点的弧形运动路径长度 ★★★★ 题型五 求扇形面积 ★★ 题型六 求弓形面积 ★★★ 题型七 求其他不规则图形的面积 ★★★★ 题型八 求图形旋转后扫过的面积 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频易错；★★★★考试重难点题 题型一：求弧长 解题思路 ① 从题干、图形里找出圆心角n和半径R； ② 直接代入弧长公式计算； ③ 看清问的是弧长还是扇形周长，扇形周长记得再加两条半径2R。 1．若一个扇形的半径是，此扇形的圆心角是，则它的弧长等于______． 【答案】 【分析】将已知的半径和圆心角代入扇形弧长公式计算即可，其中为圆心角度数，为扇形半径． 【详解】解：∵扇形半径，圆心角，扇形弧长公式为， ∴将数值代入公式得． 2．如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升，假设绳索与滑轮之间没有相对滑动．若滑轮上某一点旋转了，则重物上升的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据题意得到重物上升的高度为定滑轮上点旋转所对应的弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：当滑轮上某一点旋转了时，重物上升的高度就是点转过的弧长， 则重物上升的高度为， 故选：B． 3．如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义和圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 4．中国饮食文化源远流长，其中过桥米线是云南的地方特色美食之一．如图是某人吃完过桥米线准备喝汤的示意图，碗体部分为半圆，直径．喝汤时，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，，再根据弧长公式求解即可； 【详解】解：∵为的直径，且， ∴， ∵， ∴， ∴弧的长为． 题型二：求扇形半径 解题思路 ① 看已知条件给的是弧长，还是扇形面积、圆心角； ② 对公式做变形，用方程思想解出R； ③ 结果为长度，取正数，舍去负根。 5．一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为________． 【答案】 【分析】设出该弧所在圆的半径，根据题意给出的等量关系，结合弧长公式列出方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设这条弧所在圆的半径为． 由题意得， 整理得 ． 两边约去，解得 ． 6．已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积与弧长公式的应用，解答本题的关键是掌握扇形面积的计算公式．根据扇形的面积公式（其中为面积，为弧长，为半径），结合已知的弧长和面积，直接解方程即可求得半径． 【详解】设扇形的半径为， 根据扇形的面积公式， 解得． 故选：． 7．如图，AB是⊙O的弦，点C是劣弧的中点，若∠BAC＝30°，劣弧的长为π，则⊙O的半径为____． 【答案】1 【分析】连接OC、OB，根据已知求出∠COB的度数，根据弧长公式求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点C是劣弧的中点，劣弧的长为， ∴劣弧的长为， ∵， ∴， 根据弧长的计算公式得， ∴． 故答案为：1 【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长公式，能求出∠COB的度数和熟记弧长公式是解此题的关键． 8．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2 【答案】C 【详解】解：方案1： 设垂直于墙面的一边长为x，则平行于墙面的边长为， ， ∴当时，y有最大值，最大值为； 方案2： 设等腰三角形底边长为d，高为h， ∵为等腰三角形， ∴，， ∴，即，整理得：， ∵， ∴， 令，则， ∴当时，有最大值，最大值为324， ∴当时，S有最大值，最大值为18， 方案3： 设半圆半径为r， ∵半圆的弧长为12米， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴最佳方案是方案3． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用二次函数求图形面积的最大值，和求弧的半径，解题的关键是熟练掌握二次函数的图图象和性质，以及根据弧长求半径的方法． 题型三：求圆心角 解题思路 ① 整理已知：弧长l或扇形面积、半径R； ② 将数值代入公式，把n当作未知数解方程； ③ n结果单位是“°”，最后写上角度单位。 9．已知扇形半径是，弧长为，则扇形的圆心角为________ 【答案】/135度 【分析】已知扇形的半径和弧长，直接利用弧长公式即可求出圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的圆心角为度，根据弧长公式， 将，代入， 得 解得． 10．将一张半径为6的圆形纸片沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长是，则另一个扇形的圆心角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个扇形的弧长之和等于圆的周长，先求出另一个扇形的弧长，再利用弧长公式求圆心角． 【详解】∵ 圆的半径 ， ∴ 圆的周长 。 已知一个扇形弧长 ， ∴ 另一个扇形弧长 ． 设另一个扇形的圆心角度数为 ， 根据弧长公式 ， ∴ ， 简化得 ， 两边除以 ： ， 即 ， 简化 ， ∴ ， ∴ ． 故选：D ． 【点睛】本题考查弧长公式的应用，理解扇形弧长与圆周长的关系是解题的关键． 11．如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 【答案】 【分析】根据皮带传动无滑动的特点，主动轮与从动轮转过的弧长相等，先计算主动轮转过的弧长，再利用弧长公式求出从动轮转动的圆心角． 【详解】解：设从动带轮转动的圆心角为． ∵主动带轮半径，转动的圆心角为， ∴主动带轮转过的弧长． ∵从动带轮半径，转动的圆心角为， ∴从动带轮转过的弧长． ∵皮带传动无滑动，两轮转过的弧长相等， ∴，即． ∴． ∴． ∴从动带轮转动的圆心角为． 12．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图， 它们都经过，则点为这条圆弧所在圆的圆心． 连接，， 在与中 ， ， ，， ， ， ， 即所对的圆心角的大小是． 题型四：求某点的弧形运动路径长度 解题思路 ① 锁定旋转中心； ② 找运动点到旋转中心距离，即旋转半径； ③ 读出旋转转过的角度； ④ 把旋转半径、旋转角代入弧长公式，算出路径（路径本质就是一段弧长）。 13．图为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形．图为其几何示意图．已知该盾构机前端的刀盘直径米，匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达处，则此过程中该滚刀所经过的路径的长度为___．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意，求出圆心角，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：∵匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达点， ∴， ∴的长度为． 14．如图①，是风力发电场的外景，我国早在上世纪50年代就开始了风力发电的尝试．记者从山西省农业农村厅获悉，为进一步壮大农村集体经济、助力乡村振兴、山西省首批确定33个风电项目作为“驭风行动”助力乡村振兴工程试点项目，总规模151.74万千瓦．如图②是“大风车”的示意图，当“大风车”静止时，点A所在的旋转叶片与塔架垂直，当有风吹过，点A所在的旋转叶片顺时针缓缓转动，已知旋转叶片的长度为60米，当点A所在的旋转叶片第一次转动到与塔架重合时，所经过的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据题意可得点A所在的旋转叶片第一次转动到与塔架重合时，旋转的角度为，用弧长公式计算即可． 【详解】解：米． 15．如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 【答案】/ 【分析】点滚动所经过的路径长由两段弧长组成，第一次翻滚是以点为圆心，长为半径，旋转角度为，第二次翻滚是以点为圆心，矩形对角线长为半径，旋转角度为，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，矩形的对角线长为， 第一次翻滚，点经过的路径长为， 第二次翻滚，点经过的路径长为， 则点滚动所经过的路径长为． 16．如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将平行四边形旋转后，点D所转过的路径是以线段为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可． 【详解】解：将绕其对称中心O旋转，点D所转过的路径为以为直径的半圆， ∴其长度为． 题型五：求扇形面积 解题思路 ① 判断已知条件：给圆心角选S扇=；给弧长优先选S扇= lR； ② 注意公式里半径要平方，不要漏写平方； ③ 按题目要求保留或取近似值。 17．半径为，圆心角为的扇形面积为 _______________（结果保留． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式为，将已知扇形的半径和圆心角，代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解： ． 18．如图，在直径为2的圆内有一个圆心角为的扇形，其面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，由勾股定理得出，根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得， 由勾股定理得， ∴， ∴扇形面积为． 19．如图，中，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，交边于点，若，，，则扇形的面积为______． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，由题意得，，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形外角的性质求出，最后根据扇形面积公式计算． 【详解】解：，， ， 由题意得，， ， ， 扇形的面积为． 20．如图，半圆的直径是，图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把不规则的图形分割成规则的图形，利用扇形的面积公式和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：如下图所示，点为半圆圆心， 由题意可知：， ， 点、分别为两个小半圆的圆心， ， ， ． 题型六：求弓形面积 解题思路 ① 先算出对应扇形面积； ② 再算出弓形里面三角形的面积； ③ 劣弓形：S弓形=S扇形-S三角形；优弓形：S弓形=S扇形+S三角形； ④ 弓形不等于扇形，一定要做和差运算。 21．如图所示，水平放置的圆柱形进水管道的截面半径为6m，其中水面的高为3m．则截面上有水面的面积是______m2．    【答案】（） 【分析】连接半径得到扇形，运用垂径定理构造直角三角形，利用解直角三角形知识，求得相关线段，进一步求弓形面积． 【详解】如图，连接,，过点O作，垂足为D，则， 则中， ∴， ∴， ∴ ∴扇形面积=， 水面面积=    故答案为：（） 【点睛】本题考查垂径定理、解直角三角形及弓形面积的计算；熟练运用垂径定理，构造直角三角形是解题的关键． 22．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【答案】D 【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C， 由题意可知， ∴， 在中， ， ∴矢， ∴该弧田的面积为， 故选：D． 23．如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，圆的面积的计算，正确的识别图形找出各图形之间的关系是解题的关键． 设外的6个小弓形的面积和为 ，观察图形得到外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和，得到的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积)，于是得到答案 【详解】解：设外的6个小弓形的面积和为， 外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和， ∴的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积) [另外3个半圆的面积和(外的3个半圆的面积和)] ； 故答案为∶． 24．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 题型七：求其他不规则图形的面积 解题思路 ① 观察阴影：优先看能不能平移、旋转、对称做割补，拼成扇形、半圆等规则图形； ② 割补不行就用和差法：整体图形面积减去空白部分面积； ③ 多个扇形叠加，注意重叠部分不要重复算、也不要漏算。 25．半径为的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，勾股定理，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 先求出中间空白部分的面积，再用以为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可． 【详解】解：，且， ，， ， 中间空白部分的面积为， ∵以为直径的半圆面积为， 阴影部分的面积为， 故答案为：1． 26．我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 【详解】解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形， 圆心角 正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． 27．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，恰好经过点．则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可知，则，结合图形可得阴影部分的面积等于扇形的面积，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ， ， ． ，， ． 28．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，交于E，先确定是等边三角形，进而求出，然后根据阴影部分的面积得出答案． 【详解】解：连接，交于E， ∵沿对折O和D重合，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 题型八：求图形旋转后扫过的面积 解题思路 ① 分清：是整个图形扫过面积，还是某个点扫过路径； ② 确定旋转中心、旋转角度； ③ 图形扫过一般是扇形（扇环），找准扫过区域的外半径、内半径； ④ 若是扇环，用大扇形面积减去小扇形面积得到扫过面积； ⑤ 排除旋转过程内部不动、不扫过的部分，不要把原图面积错误算进去。 29．一个时钟的时针长8cm，从下午1∶00到2∶30，时针扫过的面积是______． 【答案】 【分析】先求出从下午到时针转过的圆心角度数，确定扇形的半径，再代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵时针每小时转过的度数为， 从下午到，经过小时， ∴时针转过的圆心角为． ∵时针长为扇形的半径，即， ∴ （）． 30．如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得 ∴ ， 故选：C． 31．如图，在中，已知，，，点P从A点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，将沿折叠，点A落在点处．在整个运动过程中，点到直线的最大距离为______；点P到达点B时，线段扫过的面积为______． 【答案】 【分析】（1）首先得到点的运动轨迹是以点C为圆心，为半径的圆上，如图，当时，点到直线的距离最大，过点B作，求出，，然后求出，，进而求解即可； （2）画出相应的图形，从而利用扇形面积和三角形面积公式计算求解． 【详解】解：（1）由题意可得点的运动轨迹是以点C为圆心，为半径的圆上， ∵点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，， ∴最大为 如图，当时，点到直线的距离最大，过点B作， ∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴点到直线距离的最大值是； （2）如图，当点P到达点B时， 由折叠得， ∴， ∴ ∴线段扫过的面积为：． 32．如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积的计算．首先根据钟面的特点求出时针转过的圆心角度数，再结合时针长度（即半径），利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：钟面一圈为，共有12个大格，时针每小时转过的角度为， 从点到点半，经过了30分钟，即小时， 时针转过的圆心角， 时针长，即扇形半径， 时针扫过的面积． 解答题 1．如图所示，与点O在的网格中的位置如图所示，设每个小正方形的边长为1 (1)画出绕点O逆时针旋转后的图形； (2)画出的外接圆，圆心为点M； (3)若，求长度． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】（1）根据旋转画图即可； （2）先利用网格作的垂直平分线，得到圆心，再画圆即可； （3）由圆周角定理得到，再由弧长公式计算即可． 【详解】（1）如图：即为所求， （2）如图：圆即为所求， （3）解：， ，又， ． 2．【问题背景】蒙住被测试者的眼睛，由于人的左右腿发力不一致，导致左右脚步幅有细微的差距，从而会无意识转圈． (1)【活动思考一】已知被测试者的左脚每步走0.600米，右脚每步走0.601米，他两脚间距米（如图1），那么他左右脚交替行走（即步数一致）的足迹可近似为两个同心圆（如图2），求小圆的半径．    (2)【活动思考二】当两脚步幅相差很小时，人无意识转的圈会很大，我们将左右脚交替行走的足迹近似为一个圆．有一位旅行者从沙漠景区的营地出发，沿正北方向前进，已知他左右脚交替一次共走1.256米，当左右脚交替行走各5000次后，他拿出指南针，测得自己的位置是北偏西，他决定在原地等待救援．一辆救援车从营地出发，速度为60千米/小时，它最快用多长时间可到达旅行者所在的位置?（） 【答案】(1)小圆半径等于米 (2)救援车最快用小时可到达旅行者所在的位置 【分析】（1）设小圆半径为米，则大圆半径为米，根据左右脚步数一致计算即可得出结果； （2）设该旅行者足迹近似为，点为营地，射线方向为正北方向，点为该旅行者等待救援地，此时位置为北偏西，则，为等边三角形，求出该旅行者所走路程的长，结合弧长公式求出千米，则救援车救援的最短路程为线段的长6千米，由此即可得出结果． 【详解】（1）解：设小圆半径为米，则大圆半径为米， 由左右脚步数一致可得：， 解得， ∴小圆半径等于米； （2）解：如图，设该旅行者足迹近似为，点为营地，射线方向为正北方向，点为该旅行者等待救援地， ∵走完后，位置为北偏西， ∴该旅行者转了的圆弧， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 该旅行者所走路程长：（千米）， ∴， ∴千米， 故救援车救援的最短路程为线段的长6千米， ∵（小时）， ∴救援车最快用小时可到达旅行者所在的位置． 3．在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题： 问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． (1)请你解答问题Ⅰ； (2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） (4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______． 【答案】(1) (2) 解：他的猜想正确．理由如下： 设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由得 ∴花坛的面积 ； (3) (4)； 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用． （1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果． （2）根据（1）的公式进行计算即可求解； （3）根据（2）的结论进行计算即可求解； （4）根据弧长公式得出，进而根据得出圆心角的度数，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法． 问题I：，圆心角为， 即， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴，， 由（2）可得，侧面展开的图形面积为： ； （4）解：∵，， ∴， ∵，即， 解得： ∴，即 故答案为：，． 4．如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度；已知． (1)以为旋转中心，将旋转得，画出旋转后的图形，并标明对应字母． (2)求出点在旋转中走过的路径长． 【答案】(1)如图，即为所求． (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，结合网格特征，得出各对应点的位置，顺次连接即可； （2）根据网格特征，利用勾股定理求出，利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵网格中每一个小正方形的边长为个单位长度， ∴， ∵以为旋转中心，将旋转得， ∴， ∴点在旋转中走过的路径长为． 5．如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，连接，求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果） 【答案】(1)证明：如图，连接． 为的直径， ． ． 又， ． (2)阴影部分的面积为 【分析】（1）连接．利用直径对的圆周角是直角及等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）连接．由题意可求得的半径及的度数，的长度，由即可求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：如图，连接． 为的直径， ． ，， ，，． 在中，， ． ， 即阴影部分的面积为． 6．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的坐标分别为点． (1)画出先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的； (2)画出将绕点逆时针旋转后得到的； (3)直接写出（2）中线段所扫过的面积． 【答案】(1)解：如图，即为所求． (2)解：如图，即为所求； (3)线段所扫过的面积为 【分析】（1）根据平移规则，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）勾股定理求出，利用扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意，勾股定理，得， 由旋转的性质，得， ∴线段所扫过的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $