3.4 圆周角 同步讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“圆周角”核心知识点，系统梳理圆周角定义（顶点在圆上且两边与圆相交）、定理（同弧或等弧所对圆周角等于圆心角一半）及推论（直径对直角、90°圆周角对直径），并以辅助线构造技巧为支架，衔接圆心角知识，构建圆中角关系认知体系。 该资料通过典例（如直径与弦垂直证角等）和变式（等腰三角形中圆的应用）培养几何直观与推理能力，过关验收题分层设计，课中辅助教师引导探究，课后帮助学生巩固，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

3.4 圆周角 内 容 导 航 题型1 圆周角定理 考 点 演 练 题型1 圆周角定理 解｜题｜知｜识 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 【典例1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，CB∥PD． （1）求证：∠1＝∠C； （2）若BC＝5，∠C＝30°，求AB的长． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E． （1）求证：DB＝DC． （2）连结BE，记∠EBC的度数为α，的度数为β．探究α与β的数量关系． 【变式2】如图，在⊙O中，AB是直径，点C在圆上，CE⊥AB于点E，点F在线段CE上，连接AF并延长交CB于点D，且F为AD的中点； （1）求证：∠CAD＝∠B； （2）若AC＝DB，求的值． 过 关 验 收 1．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BAC＝36°，则∠BOC的度数是（　　） A．72° B．54° C．64° D．60° 2．如图，⊙A过原点O，分别与x轴、y轴交于点C和点D，点B在⊙A上，已知∠B＝30°，⊙A的半径为2，则圆心A的坐标是（　　） A．（，1） B．（1，） C．（，1） D．（1，） 3．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠D＝40°，∠BPC＝75°，则∠C＝（　　） A．15° B．35° C．40° D．75° 4．如图，AB是⊙O的弦，点C，D都在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠ADB＝（　　） A．20° B．40° C．50° D．70° 5．如图，在圆O中，∠BOC＝130°，点A为圆上除B、C外任意一点，则∠BAC的度数为（　　） A．65° B．230°或65° C．230° D．65°或115° 6．如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若，则∠D的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 7．如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠A的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 8．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠OBC＝23°，则∠A＝（　　） A．67° B．68° C．62° D．72° 9．如图，在以AB为直径的圆O中，∠C＝50°，那么∠BAD＝（　　） A．50° B．45° C．40° D．30° 10．如图所示的是某地出土的圆形铜镜残片的复制品，某数学兴趣小组为测量其半径，将三角尺的顶点A（∠A＝30°）放在圆上，两边与圆的交点分别记为点B，C，测得BC的长为10cm，则铜镜的直径为（　　） A．10cm B．20cm C． D． 11．下列说法正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．圆心角的度数是圆周角的2倍 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所对的圆周角是直角 12．如图，在⊙O中，若∠BAC＝22°，∠ACB＝42°，则∠ACO的度数为（　　） A．22° B．24° C．26° D．32° 13．足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门MN的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上，球员带球沿AB方向进攻，最好的射点在（　　） A．点A B．点B或点C C．线段AB（异于端点）上一点 D．线段BC（异于端点）上一点 14．如图，AB是⊙O的直径，∠E＝30°，则∠AOD等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 15．如图，⊙O内两弦AB、CD交点于P，OP平分∠APC，下列结论中：①AB＝CD；②；③PB＝PD；正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 16．下面图形中的角，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 17．下列说法正确的有（　　） ①平分弦的直径垂直于弦． ②半圆所对的圆周角是直角． ③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ④在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE＝BE，点P是劣弧上任意一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点F，设∠PCD＝α，当∠F＝3∠PCD时，则　 　 ． 19．已知点A、B、C三点都在⊙O上，若∠ABO＝50°，则∠ACB＝　 　 ． 20．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，D是的中点，CB＝CE．若∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，则∠DCE＝ 　 　 °， 21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠DCB＝45°，AD＝1，则AB＝ 　 　 ． 22．如图．已知AB是圆O的直径，∠BOC＝80°，则∠BDC的度数为　 　 ． 23．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦．C为⊙O上一点，∠ACB＝45°，连接AO并延长至点D，过点D作DE∥AC交BC于点E，连接CD，AE．当AD＝8时，四边形ACDE面积的最大值为　 　 ． 24．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，BC＝5，P是半径为2的⊙C上一动点，点Q在AP上，且∠ABP＝∠AQB，则BQ的最大值为　 　 ． 25．如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙O中长度为定值的弦，AB＜CD．作AE⊥CD于E，连接AC，BC，BE．下列四个结论中：①O到AB的距离为定值；②BE＝BC；③当OE＝AE时，∠ABC＝67.5°或22.5°；④∠BAE+2∠ACD为定值．正确的是 　 　 ．（填所有正确的序号） 26．在半径为1的⊙O中，弦，半径OC与弦AB相交所成的锐角为75°，连接AC，则∠BAC的度数为　 　 ． 27．如图，AB是半圆O的直径，∠ABD＝32°，点C是上一点（不与B，D重合），则∠DCB＝　 　 °． 28．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC且CE⊥AB．若，AE＝4，则弦BC的长为　 　 ． 29．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC的中点，若OD＝4，则BC＝　 　 ． 30．如图，点C在以AB为直径的半圆O上，，点F在的中点，AD平分∠CAB交BF于点D，则∠ADB＝ 　 　 度；当BD＝2DF时，则BC的长为 　 　 ． 31．如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于点P，连结AB，BD． （1）求证：∠A＝∠DBC． （2）若BC＝16，PD＝4，求⊙O的半径． 32．如图1，在⊙O中，AB、CD是直径，弦BE⊥CD，垂足为F． （1）求证：CE＝AD； （2）如图2，点G在CD上，且∠CAG＝∠ABE． ①求证：AG＝BC； ②若FG＝2，BE＝4，求OG的长． 33．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，且A是的中点，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD交DA的延长线于点F，交射线BA于点G（不与点O，B重合），连结OF，与AC交于点H． （1）求证：∠ABC＝∠ACD． （2）若直径AB＝2，AG＝1，求BC的长． （3）若H是AC的中点，求OE：OB． 34．如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°． （1）求证：OC∥AD； （2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长． 35．如图1，C，D是半圆ACB上的两点，点P是直径AB上一点，且满足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是弧CD的“幸运角”， （1）如图2，若弦CE⊥AB，D是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P，连接CP．求证：∠CPD是弧CD的“幸运角”； （2）如图3，若直径AB＝2，弦CE⊥AB，弧CD的“幸运角”为90°，求CD的长． 36．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于点D，若AB＝10，AC＝6，求CD的长． 37．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC． （1）求∠C的度数； （2）若⊙O的半径为r，求弦AB的长． 38．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC，OC，BC． （1）求证：∠ACO＝∠BCD； （2）若CD＝AE＝6，求AC和BC的长． 39．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB＝10，AE＝8，点P为AB上任意一点，（点P不与A、B重合），连接CP并延长与⊙O交于点Q，连接QD，PD，AD． （1）求CD的长； （2）若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：∠ADP＝∠ADQ； （3）若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求∠ADP与∠ADQ满足的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 圆周角 内 容 导 航 题型1 圆周角定理 考 点 演 练 题型1 圆周角定理 解｜题｜知｜识 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 【典例1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，CB∥PD． （1）求证：∠1＝∠C； （2）若BC＝5，∠C＝30°，求AB的长． 【答案】（1）AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上， ∵CB∥PD， ∴∠1＝∠P． ∵∠P与∠C都是所对的圆周角， ∴∠P＝∠C， ∴∠1＝∠C． （2）AB＝10． 【解答】（1）证明：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上， ∵CB∥PD， ∴∠1＝∠P． ∵∠P与∠C都是所对的圆周角， ∴∠P＝∠C， ∴∠1＝∠C； （2）解：如图，连接OC， ∵CD⊥AB， ∴∠CEB＝90°． ∵∠BCD＝30°， ∴∠OBC＝60°． ∵OB＝OC， ∴OB＝BC＝5， ∴AB＝2OB＝10． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E． （1）求证：DB＝DC． （2）连结BE，记∠EBC的度数为α，的度数为β．探究α与β的数量关系． 【答案】（1）证明：连结AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴DB＝DC； （2）β＝4α， 理由：连接OE， ∵的度数为β， ∴∠BOE＝β， ∴∠BAC∠BOE， ∵AB＝AC， ∴， ∵AB为⊙O直径， ∴∠AEB＝90°， ∴， ∴． 即， ∴β＝4α． 【解答】（1）证明：连结AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴DB＝DC； （2）解：β＝4α， 理由：连接OE， ∵的度数为β， ∴∠BOE＝β， ∴∠BAC∠BOE， ∵AB＝AC， ∴， ∵AB为⊙O直径， ∴∠AEB＝90°， ∴， ∴． 即， ∴β＝4α． 【变式2】如图，在⊙O中，AB是直径，点C在圆上，CE⊥AB于点E，点F在线段CE上，连接AF并延长交CB于点D，且F为AD的中点； （1）求证：∠CAD＝∠B； （2）若AC＝DB，求的值． 【答案】（1）∵AB是⊙O的直径，点C在圆上，CE⊥AB于点E， ∴∠ACB＝∠CEB＝90°， ∵F为AD的中点， ∴CF＝DFAD， ∴∠FDC＝∠FCD， ∵∠CAD+∠FDC＝90°，∠B+∠FCD＝90°， ∴∠CAD＝∠B． （2）的值为． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，点C在圆上，CE⊥AB于点E， ∴∠ACB＝∠CEB＝90°， ∵F为AD的中点， ∴CF＝DFAD， ∴∠FDC＝∠FCD， ∵∠CAD+∠FDC＝90°，∠B+∠FCD＝90°， ∴∠CAD＝∠B． （2）解：∵∠CAD＝∠B，∠DCA＝∠ACB， ∴△DCA∽△ACB， ∴， ∴AC2＝CD•BC， ∵AC＝DB，即AC＝BD，BC＝CD+BD， ∴BD2＝CD（CD+BD）， 整理得CD2+BD•CD﹣BD2＝0， ∴CDBD或CDBD（不符合题意，舍去）， ∴， ∴的值为． 过 关 验 收 1．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BAC＝36°，则∠BOC的度数是（　　） A．72° B．54° C．64° D．60° 【答案】A 【解答】解：∵点A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC＝36°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝72°． 故选：A． 2．如图，⊙A过原点O，分别与x轴、y轴交于点C和点D，点B在⊙A上，已知∠B＝30°，⊙A的半径为2，则圆心A的坐标是（　　） A．（，1） B．（1，） C．（，1） D．（1，） 【答案】A 【解答】解：连接CD，过A作AE⊥OC于E， ∵∠COD＝90°， ∴CD是⊙O的直径， ∴CD＝4， ∵∠DCO＝∠B＝30°， ∴ODCD＝2，OCCD＝2， ∵AE⊥OC， ∴OE＝CEOC，AEAC＝1， ∴A（，1）， 故选：A． 3．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠D＝40°，∠BPC＝75°，则∠C＝（　　） A．15° B．35° C．40° D．75° 【答案】B 【解答】解：∵∠BPC是△BPD的一个外角， ∴∠B＝∠BPC﹣∠D＝75°﹣40°＝35°， ∵， ∴∠C＝∠B＝35°， 故选：B． 4．如图，AB是⊙O的弦，点C，D都在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠ADB＝（　　） A．20° B．40° C．50° D．70° 【答案】B 【解答】解由圆周角定理得到：∠ADB＝∠ACB＝40°． 故选：B． 5．如图，在圆O中，∠BOC＝130°，点A为圆上除B、C外任意一点，则∠BAC的度数为（　　） A．65° B．230°或65° C．230° D．65°或115° 【答案】D 【解答】解：当点A在圆的优弧上时， ∵∠BOC＝130°， ∴∠BAC∠BOC＝65°， 当点A在圆的劣弧上时， ∵∠BOC＝130°， ∴∠BAC（360°﹣130°）＝115°， ∴∠BAC＝65°或115°． 故选：D． 6．如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若，则∠D的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【解答】解：连接OC， ∵，AB为⊙O的直径， ∴∠AOC＝∠BOC∠AOB＝90°， ∴∠D∠AOC＝45°， 故选：B． 7．如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠A的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【答案】B 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°， ∴∠AOD＝∠DOC， ∴， ∵OA＝OD， ∴． 故选：B． 8．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠OBC＝23°，则∠A＝（　　） A．67° B．68° C．62° D．72° 【答案】A 【解答】解：∵∠OBC＝23°，OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝23°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝180°﹣23°﹣23°＝134°， ∴， 故选：A． 9．如图，在以AB为直径的圆O中，∠C＝50°，那么∠BAD＝（　　） A．50° B．45° C．40° D．30° 【答案】C 【解答】解：如图，连接BD， ∵AB圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD+∠B＝90°， ∵∠B＝∠C＝50°， ∴∠BAD＝40°， 故选：C． 10．如图所示的是某地出土的圆形铜镜残片的复制品，某数学兴趣小组为测量其半径，将三角尺的顶点A（∠A＝30°）放在圆上，两边与圆的交点分别记为点B，C，测得BC的长为10cm，则铜镜的直径为（　　） A．10cm B．20cm C． D． 【答案】B 【解答】解：设该圆形铜镜的圆心为O，如图，连接OB，OC，BC， 由条件可知∠BOC＝2∠A＝60°， ∵OB＝OC，BC＝10cm， ∴OB＝OC＝BC＝10cm， ∴该铜镜的直径为20cm． 故选：B． 11．下列说法正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．圆心角的度数是圆周角的2倍 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所对的圆周角是直角 【答案】D 【解答】解：A、“平分弦的直径垂直于弦”需满足弦不是直径．若弦为直径，则平分它的另一条直径未必垂直，原说法错误，不符合题意； B、圆心角的度数是同弧所对圆周角的2倍，但选项未明确“同弧”条件．若圆心角与圆周角不对应同一段弧，结论不成立，原说法错误，不符合题意； C、相等的圆心角在同圆或等圆中才对等弧，而选项未限定此条件，不同圆中，圆心角相等时弧长可能不等，原说法错误，不符合题意； D、根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，正确，符合题意． 故选：D． 12．如图，在⊙O中，若∠BAC＝22°，∠ACB＝42°，则∠ACO的度数为（　　） A．22° B．24° C．26° D．32° 【答案】C 【解答】解：如图所示，连接OA，OB， ∵∠BAC＝22°，∠ACB＝42°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×22°＝44°，∠AOB＝2∠ACB＝2×42°＝84°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝84°+44°＝128°， ∵OA＝OC， ∴， 故选：C． 13．足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门MN的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上，球员带球沿AB方向进攻，最好的射点在（　　） A．点A B．点B或点C C．线段AB（异于端点）上一点 D．线段BC（异于端点）上一点 【答案】D 【解答】解：如图，连接CN，BM，BN，AM，AN， 根据勾股定理可得， ，， 由条件可得CB2+BN2＝CN2， ∴∠CBN＝90°， ∵∠CMN＝90°， ∴C，M，N，B四点共圆， ∴∠MCN＝∠MBN， 则可得点A和线段AB（异于端点）上一点都在圆外， ∴点A和线段AB（异于端点）上一点到MN的张角都小于∠MCN， 线段BC（异于端点）上一点到MN的张角都大于∠MCN， ∴最好的射点在线段BC（异于端点）上一点， 故选：D． 14．如图，AB是⊙O的直径，∠E＝30°，则∠AOD等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【解答】解：∵∠E＝30°， ∴∠AOD＝2∠E＝60°． 故选：D． 15．如图，⊙O内两弦AB、CD交点于P，OP平分∠APC，下列结论中：①AB＝CD；②；③PB＝PD；正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F， ∴∠OEP＝∠OFP， ∵OP平分∠APC， ∴∠OPE＝∠OPF， ∵OP＝OP， ∴△OEP≌△OFP（AAS）， ∴OE＝OF，PE＝PF； ∴AB＝CD；故①正确． ∵AB＝CD， ∴， ∴，故②正确； ∵AB＝CD，PE＝PF； ∴PB＝PD，故③正确； 故选：D． 16．下面图形中的角，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． ∴是圆周角的是B． 故选：B． 17．下列说法正确的有（　　） ①平分弦的直径垂直于弦． ②半圆所对的圆周角是直角． ③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ④在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，①错误； ②半圆所对的圆周角是直角，②正确； ③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，③正确； ④在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆周角相等，④正确； 故选：C． 18．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE＝BE，点P是劣弧上任意一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点F，设∠PCD＝α，当∠F＝3∠PCD时，则　 　 ． 【答案】． 【解答】解：连接OD，BD，PO， ∵弦CD⊥AB于点E，OE＝BE， ∴OD＝BD， ∵OD＝OB， ∴△ODB是等边三角形， ∴∠BOD＝60°， ∵∠AFE＝3∠PCD， ∴60°﹣α＝3α， ∴α＝15°， ∴∠POD＝2∠PCD＝30°， ∴∠POB＝90°， ∴OP∥CE， ∴△POM∽△CEM， ∴OM：EM＝OP：CE， ∵直径AB⊥CD， ∴DE＝CE， ∴OM：EM＝OP：ED， 设圆的半径是r，OM＝x， ∴EM， ∴， ∴x＝（2）r， ∴OM＝（2）r， ∴AM＝AO+OM＝3rr，BM＝OB﹣OMr﹣r， ∴． 故答案为：． 19．已知点A、B、C三点都在⊙O上，若∠ABO＝50°，则∠ACB＝　 　 ． 【答案】40°或140°． 【解答】解：如图所示， ∵∠ABO＝50°， ∴∠OAB＝∠ABO＝50°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝80°， 当点C在优弧AB上时， ∴； 当点C′在劣弧AB上时， ∴∠C′＝180°﹣∠C＝140°． 故答案为：40°或140°． 20．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，D是的中点，CB＝CE．若∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，则∠DCE＝ 　　 　 　 °， 【答案】85 【解答】解：如图，连接OC、OD、OE． ∵CB＝CE， ∴∠BOC＝∠EOC， ∵OB＝OC＝OE， ∴∠OBC＝∠OCB（180°﹣∠BOC），∠OCE＝∠OEC（180°﹣∠EOC）， ∴∠OBC＝∠OCB＝∠OCE＝55°， ∵D是的中点， ∴， ∵∠AOB＝100°， ∴∠BOD∠AOB＝50°， ∴∠BCD∠BOD＝25°， ∴∠OCD＝∠OCB﹣∠BCD＝55°﹣25°＝30°， ∴∠DCE＝∠OCD+∠OCE＝30°+55°＝85°． 故答案为：85． 21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠DCB＝45°，AD＝1，则AB＝ 　　 　 ． 【答案】 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠DCB＝45°， ∴∠DCB＝∠DAB＝45°， ∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝45°， ∴BD＝AD＝1， ∴． 故答案为：． 22．如图．已知AB是圆O的直径，∠BOC＝80°，则∠BDC的度数为　 　 ． 【答案】40°． 【解答】解：∵∠BOC＝80°，∠BDC∠BOC， ∴∠BDC＝40°， 故答案为：40°． 23．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦．C为⊙O上一点，∠ACB＝45°，连接AO并延长至点D，过点D作DE∥AC交BC于点E，连接CD，AE．当AD＝8时，四边形ACDE面积的最大值为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：延长CA至点N，使得AN＝DE，连接EN，设点E到AC边上的高为h，如图： 由条件可知四边形ANED是平行四边形， ∴四边形ACDE的面积， ∴四边形ACDE的面积S＝S△NCE， ∵∠NCE＝45°、NE＝8， ∴C、N、E始终都在同一个大小不变的圆上， 如图：当点C刚好在NE的垂直平分线上，其垂直平分线与NE交于点F，且过圆心O′，即位于点C′时，△NCE的面积最大，即四边形ACDE的面积最大，连接O′N、O′E， ∴，∠C′FN＝90°， 由条件可知∠NO′E＝90°， ∴， ∴△NO′F是等腰直角三角形， ∴O′F＝NF＝4， 在Rt△NO′F中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形ACDE最大面积， 故答案为：． 24．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，BC＝5，P是半径为2的⊙C上一动点，点Q在AP上，且∠ABP＝∠AQB，则BQ的最大值为　　 　 ． 【答案】． 【解答】解：如图， 设PA交⊙O于点F，AC交⊙O于点G，AC的延长线交⊙O于点D，在AB的延长线上街区BE＝1，连接EQ， ∵∠ABP＝∠AQB，∠PAB＝∠BAQ， ∴△ABQ∽△APB， ∴， ∴BQ， 由切割线定理的推论得：AF•PA＝AG•AD＝（AC﹣CG）（AC+CD）＝（4+2）×（4﹣2）＝12， ∵AB•AE＝3×4＝12， ∴AB•AE＝AF•PA， ∴， ∴△ABF∽△APB， ∴， ∴当EQ最大时，最大， 延长EC至Q′，当Q在Q′处时，EQ最大， ∵∠BAC＝90°，AC＝AE＝4， ∴CEAC＝4， ∴EQ′＝CE+CQ′＝42， ∴最大， ∴BQ最大， 故答案为：． 25．如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙O中长度为定值的弦，AB＜CD．作AE⊥CD于E，连接AC，BC，BE．下列四个结论中：①O到AB的距离为定值；②BE＝BC；③当OE＝AE时，∠ABC＝67.5°或22.5°；④∠BAE+2∠ACD为定值．正确的是 　　 　 ．（填所有正确的序号） 【答案】①③． 【解答】解：如图1中， ∵OH⊥AB， ∴AH＝BH， ∴OH， ∵OB，BH是定值， ∴OH是定值，故①正确， 当时，CD⊥AB，此时A，E，B关系，BC＞BE，故②错误， 如图2中，连接AO，AD． 当AE＝OE时，∵AE⊥OE， ∴∠AOE＝∠OAE＝45°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠D＝67.5°， ∴∠ABC＝∠D＝67.5°， 如图3中，当AE＝OE时，连接OA，AD， ∵AE⊥OE， ∴∠AOE＝∠OAE＝45°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠D＝22.5°， ∴∠ABC＝∠D＝22.5°， 综上所述，∠ABC＝67.5°或22.5°，故③正确， 如图4中，连接AO． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠AOE＝∠OAC+∠OCA＝2∠ACD， ∵AE⊥EC， ∴∠AEO＝90°， ∴∠BAE+∠OAB+∠AOE＝90°， ∴∠BAE+2∠ACD＝90°﹣∠OAB， ∵∠OAB是定值， ∴∠BAE+2∠ACD是定值， 对于图3，“角度和”就和图4中的不一样，所以不是定值，故④错误， 故答案为：①③． 26．在半径为1的⊙O中，弦，半径OC与弦AB相交所成的锐角为75°，连接AC，则∠BAC的度数为　　 　 　 ． 【答案】30°或15°． 【解答】解：连接OA、OB，设OC与AB相交于点D． ∵OA＝OB＝1，， ∴OA2+OB2＝AB2，△OAB为等腰直角三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠AOB＝90°． ①如图1，当△ODB＝75°时， ∠AOD＝∠ODB﹣∠OAB＝75°﹣45°＝30°， ∴， ∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝75°﹣45°＝30°． ②如图2，当△ODA＝75°时， ∠BOC＝∠ODA﹣∠OBA＝75°﹣45°＝30°， ∴． 故答案为：30°或15°． 27．如图，AB是半圆O的直径，∠ABD＝32°，点C是上一点（不与B，D重合），则∠DCB＝　　 　 °． 【答案】122． 【解答】解：∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝32°， ∴∠DAB＝58°， 由题可知四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠DCB＝180°﹣DAB＝122°； 故答案为：122． 28．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC且CE⊥AB．若，AE＝4，则弦BC的长为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：延长AE交BC于M，延长CE交AB于N， ∵AE⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AMB＝∠CNB＝90°， 由题意可得：∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB， ∴AD∥NC，CD∥AM， ∴AE＝CD＝3， ∴． 故答案为：4． 29．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC的中点，若OD＝4，则BC＝　 　　 ． 【答案】8 【解答】解：∵AD＝DC，OA＝OB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴DOBC， ∵OD＝4， ∴BC＝8， 故答案为8． 30．如图，点C在以AB为直径的半圆O上，，点F在的中点，AD平分∠CAB交BF于点D，则∠ADB＝ 　　 　 度；当BD＝2DF时，则BC的长为　 　 ． 【答案】135°，． 【解答】解：∵点F在的中点， ∴， ∴∠ABF＝∠CBF， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵AB是直径， ∴∠C＝90°， ∴∠CAB+∠ABC＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝45°＝∠ADF， ∴∠ADB＝135°， 连接AF， ∵AB是直径， ∴∠AFB＝90°， ∴△AFD是等腰直角三角形， ∴AF＝DF， 设AF＝x，则DF＝x，BD＝2x， 在Rt△AFB中，AF2+BF2＝AB2， ∵AO， ∴x2+（3x）2＝（2）2， ∴x＝2（负值舍）， ∴AF＝2， ∵， ∴∠AFB＝∠AFB， ∴△AFE∽△BFA， ∴，即， ∴FE， ∴BE＝6， ∴AE， ∵∠AFE＝∠C，∠AEF＝∠BEC， ∴△AFE∽△BCE， ∴，即， ∴BC． 故答案为：135°，． 31．如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于点P，连结AB，BD． （1）求证：∠A＝∠DBC． （2）若BC＝16，PD＝4，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，BC⊥AD， ∴． ∴∠A＝∠DBC； （2）r＝10． 【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，BC⊥AD， ∴． ∴∠A＝∠DBC； （2）解：连接OB， 设⊙O的半径为r， ∵AD是⊙O的直径，BC⊥AD， ∴∠OPB＝90°，BP＝CP． 在Rt△OPB中， OP2+BP2＝OB2． ∵BC＝16， ∴BP＝8， ∵PD＝4， ∴OP＝r﹣4， ∴（r﹣4）2+82＝r2． 解得：r＝10． 32．如图1，在⊙O中，AB、CD是直径，弦BE⊥CD，垂足为F． （1）求证：CE＝AD； （2）如图2，点G在CD上，且∠CAG＝∠ABE． ①求证：AG＝BC； ②若FG＝2，BE＝4，求OG的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵BE⊥CD， ∴， ∵∠AOD＝∠BOC， ∴， ∴， ∴AD＝CE； （2）①证明：连接AE、CE，如图， ∵∠ACE＝∠ABE，∠CAG＝∠ABE， ∴∠CAG＝∠ACE， ∴CE∥AG， ∵AB为直径， ∴∠AEB＝90°， ∵CD⊥BE， ∴∠DFE＝90°，BF＝EF，， ∴AE∥CD， ∵AE∥OC，CE∥AG， ∴四边形AECG为平行四边形， ∴AG＝CE， ∵BC＝CE， ∴AG＝BC； ②解：设OG＝x，则OF＝x+2， ∵OA＝OB，FE＝FB， ∴OF为△ABE的中位线， ∴AE＝2OF＝2x+4， ∵四边形AECG为平行四边形， ∴CG＝AE＝2x+4， ∴OC＝OG+CG＝3x+4， 在Rt△OBF中，∵OB＝OC＝3x+4，OF＝x+2，BFBE＝2， ∴（x+2）2+（2）2＝（3x+4）2， 整理得2x2+5x﹣7＝0， 解得x1＝1，x2（舍去）， 即OG的长为1． 33．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，且A是的中点，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD交DA的延长线于点F，交射线BA于点G（不与点O，B重合），连结OF，与AC交于点H． （1）求证：∠ABC＝∠ACD． （2）若直径AB＝2，AG＝1，求BC的长． （3）若H是AC的中点，求OE：OB． 【答案】（1）∵A是的中点， ∴， ∴∠ABC＝∠ACD； （2）； （3）． 【解答】（1）证明：∵A是的中点， ∴， ∴∠ABC＝∠ACD； （2）解：如图，连接OC， ∵AB是直径，AB＝2，， ∴∠ABC＝∠ADC＝∠ACD，AB⊥CD，， ∵CF⊥AD， ∴∠AFC＝∠AFG＝90°， ∴∠FAG+∠G＝∠ADC+∠EAD＝90° ∵∠EAD＝∠FAG， ∴∠ADC＝∠G， ∴∠ABC＝∠G， ∴CG＝BC， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵H是AC的中点， ∴OH垂直平分AC， ∴AF＝CF，∠FCA＝∠FAC＝45°， ∵AC＝AD， ∴， ∴∠COE＝2∠ADC＝45°， ∵OA＝OC， ∴， ∴∠OCE＝∠ACO﹣∠ACD＝45°， ∴△CEO是等腰直角三角形， ∴OE2+CE2＝OC2＝2OE2， ∴， ∴， ∴． 34．如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°． （1）求证：OC∥AD； （2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB+2∠ABC＝180°． ∴∠DAB+∠AOC＝180°， ∴OC∥AD． （2）解：连接BD，交OC于点E， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC∥AD， ∴， ∵OA＝OB， ∴EB＝DE， ∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线， ∴， 设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1， 在Rt△OEB中，BE2＝OB2﹣OE2＝r2﹣1， 在Rt△CEB中，BE2＝BC2﹣CE2＝12﹣（r﹣1）2， 即r2﹣1＝12﹣（r﹣1）2， 解得r1＝3，r2＝﹣2（舍去）， 故AB＝2r＝6． 35．如图1，C，D是半圆ACB上的两点，点P是直径AB上一点，且满足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是弧CD的“幸运角”， （1）如图2，若弦CE⊥AB，D是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P，连接CP．求证：∠CPD是弧CD的“幸运角”； （2）如图3，若直径AB＝2，弦CE⊥AB，弧CD的“幸运角”为90°，求CD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB是直径，CE⊥AB， ∴AB平分CE， ∴△CEP是等腰三角形， ∵CE⊥AB， ∴∠CPA＝∠EPA， ∵∠EPA＝∠BPD， ∴∠CPA＝∠BPD， ∴∠CPD是弧CD的“幸运角”； （2）如图，连接OC，OD， ∵弧CD的“幸运角”为90°， ∴∠CPD＝90°， ∴， ∵CE⊥AB， ∴∠CED＝90°﹣45°＝45°， ∴∠COD＝2∠CED＝90°， ∵AB＝2， ∴， ∴， 即CD的长为． 36．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于点D，若AB＝10，AC＝6，求CD的长． 【答案】CD的长是． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝10，AC＝6， ∴BC8， ∴S△ABCAC•BC6×8＝24， ∵CD⊥AB于点D， ∴S△ABCAB•CD， ∴10CD＝24， ∴CD， ∴CD的长是． 37．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC． （1）求∠C的度数； （2）若⊙O的半径为r，求弦AB的长． 【答案】（1）60°； （2）r． 【解答】解：（1）∵弦AB垂直平分半径OC． ∴∠BOD＝90°，ODOCOB， ∴∠OBD＝30°， ∴∠BOC＝90°﹣30°＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠C＝60°； （2）∵⊙O的半径为r， ∵AB垂直平分半径OC， ∴BDAB，ODr， 在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2， 即r2＝（r）2+（AB）2， 解得：ABr或ABr（舍去）， ∴弦AB的长为r． 38．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC，OC，BC． （1）求证：∠ACO＝∠BCD； （2）若CD＝AE＝6，求AC和BC的长． 【答案】（1）∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB⊥CD， ∴∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠ACO＝∠BCD； （2）AC＝3，BC． 【解答】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB⊥CD， ∴∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠ACO＝∠BCD； （2）解：∵AB⊥CD，AB是直径， ∴EC＝DE＝3， ∵∠AEC＝∠CEB＝90°，∠A＝∠BCE， ∴△ACE∽△CBE， ∴， ∴， ∴EB， ∴BC． ∴AC＝2BC＝3． 39．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB＝10，AE＝8，点P为AB上任意一点，（点P不与A、B重合），连接CP并延长与⊙O交于点Q，连接QD，PD，AD． （1）求CD的长； （2）若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：∠ADP＝∠ADQ； （3）若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求∠ADP与∠ADQ满足的关系． 【答案】（1）8； （2）证明见解析； （3）∠ADP+∠ADQ＝180°． 【解答】（1）解：如图1，连接OC， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴， ∵AB＝10，AE＝8， ∴OC＝5，OE＝3， 由勾股定理得， ∴CD＝8； （2）证明：如图2，连接AC， ∵AC＝AD，CP＝DP，AP＝AP， ∴△ACP≌△ADP（SSS）， ∴∠ADP＝∠ACP， ∵， ∴∠ACP＝∠ADQ， ∴∠ADP＝∠ADQ； （3）解：∠ADP+∠ADQ＝180°； 如图3，连接AC， ∵AC＝AD，CP＝DP， ∵AC＝AD，CP＝DP，AP＝AP， ∴△ACP≌△ADP（SSS）， ∴∠ADP＝∠ACP， ∵∠ACQ+∠ADQ＝180°， ∴∠ADP+∠ADQ＝180°． 学科网（北京）股份有限公司 $