1.3 二次函数的性质 初中数学九年级上册同步讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的性质与三种形式这一核心知识点，系统梳理二次函数顶点坐标、对称轴、增减性、最值及平移规律，同时详解一般式、顶点式、交点式的特征与转化方法，搭建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过“解题知识”模块夯实基础，典例与变式题结合数形结合培养几何直观（数学眼光），配方法转化形式训练推理能力（数学思维），过关验收覆盖选择、填空、解答题，助力学生用数学语言表达问题（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生自主巩固，查漏补缺。

1.3 二次函数的性质 内 容 导 航 题型1 二次函数的性质 题型2 二次函数的三种形式 考 点 演 练 题型1 二次函数的性质 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【典例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣a（a，b为常数，且a≠0）的图象与二次函数y＝ax2﹣bx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A项：由二次函数图象可知a＜0，b＜0，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，故选项A错误； B项：由二次函数图象可知a＞0，b＞0，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，故选项B错误； C项：由二次函数图象可知a＜0，b＜0，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，故选项C正确； D项：由二次函数图象可知a＞0，b＞0，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，故选项D错误． 故选：C． 【变式1】已知抛物线y＝x2﹣4mx+m，当﹣2＜x＜1时，y的值随x值的增大而增大，则此抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解答】解：由题意知a＞0， ∴开口向上， ∵当﹣2＜x＜1 时，y的值随x值的增大而增大， ∴对称轴为直线x＝﹣2或x＜﹣2，如图： ∵抛物线y＝x2﹣4mx+m的对称轴为直线x＝2m， ∵2m≤﹣2， ∴m≤﹣1， ∴Δ＝16m2﹣4m＞0， ∴抛物线与x轴有2个不同的交点， ∴顶点在第三象限． 故选C． 【变式2】在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0），则下列结论中正确的是（　　） A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 C．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2 【答案】A 【解答】解：由条件可知抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把x＝1代入y＝ax2﹣2ax，得y＝a﹣2a＝﹣a， ∴顶点为（1，﹣a）， ∵两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）， ∴当x1＜0且y1•y2＜0时，y1＞0（因x＜0时抛物线在x轴上方）， 故y2＜0， 此时0＜x2＜2 故A选项的结论正确，符合题意； 当x1＜x2＜1时，抛物线在x＜1时递减， 故x2越大，y2越小， 即y1＞y2， 故B选项的结论错误，不符合题意； 当x1＜0且y1•y2＞0时，y2＞0， 此时x2应满足x2＜0或x2＞2， 故C选项的结论错误，不符合题意； 当x1＞x2＞1时，抛物线在x＞1时递增， 故x1越大，y1越大， 即y1＞y2， 故D选项的结论错误，不符合题意； 故选：A． 【变式3】对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1，下列判断不正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．当x＝2时，y有最大值1 C．对称轴为直线x＝﹣2 D．当x＜2时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+1中a＝﹣1＜0， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴当x＝2时，y有最大值1，当x＜2时，y随x的增大而增大， 故A，B，D正确，C错误， 故选：C． 题型2 二次函数的三种形式 解｜题｜知｜识 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【典例1】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． （1）用配方法将解析式化为y＝（x﹣h）2+k的形式； （2）求这个函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）y＝（x2﹣2x+1）﹣4 ＝（x﹣1）2﹣4； （2）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴这条抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）． 【变式1】已知二次函数的表达式为：y＝x2﹣6x+5， （1）利用配方法将表达式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）y＝x2﹣6x+9﹣9+5＝（x﹣3）2﹣4，即y＝（x﹣3）2﹣4； （2）由（1）知，抛物线解析式为y＝（x﹣3）2﹣4， 所以抛物线的对称轴为：x＝3，顶点坐标为（3，﹣4）． 【变式2】抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6． （1）用配方法求顶点坐标，对称轴； （2）x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x2﹣4x）﹣6＝﹣2（x2﹣4x+4）+8﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2， ∴该抛物线的顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x＝2． （2）∵a＝﹣2＜0， ∴当x≥2时，y随x的增大而减小． 【变式3】用配方法求出抛物线y＝x2+2x﹣1的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：y＝x2+2x﹣1＝x2+2x+1﹣2＝（x+1）2﹣2， 所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2）． 过 关 验 收 1．若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由条件可知：a＜0，b＜0， ∴二次函数y＝ax2+bx的开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧， 故选：C． 2．抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴的交点坐标为（　　） A．（3，0） B．（0，3） C．（1，0） D．（0，1） 【答案】B 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3， ∴当x＝0时，y＝3， 即抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴的交点坐标是（0，3）， 故选：B． 3．二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【答案】B 【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2+2， ∴该函数图象的顶点坐标为（1，2）， 故选：B． 4．已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解答】解：A，a＝﹣1＜0，开口向下，原说法错误，不符合题意； B，对称轴是直线x＝3，原说法错误，不符合题意； C，顶点坐标为，原说法正确，符合题意； D，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．对于二次函数y＝（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（　　） A．开口向下 B．顶点坐标（﹣3，2） C．当x≥3时，y随x增大而减小 D．函数的最小值是2 【答案】D 【解答】解：∵a＝1，h＝3，k＝2， ∴a＝1＞0，开口向上，故A错误，不符合题意； 顶点坐标为 （3，2），故B错误，不符合题意； 对称轴为 x＝3，开口向上， ∴当 x≥3 时，y 随 x 增大而增大，故C错误，不符合题意； 当 x＝3 时，y 有最小值 2，故D正确，符合题意； 故选：D． 6．二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2+1，则它图象的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（1，2） 【答案】C 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+1， ∴二次函数图象的顶点坐标是（2，1）． 故选：C． 7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，当﹣3≤x≤1时函数值y有最小值﹣3，则a的值为（　　） A． B．或 C．或 D．2 【答案】C 【解答】解：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 当﹣3≤x≤1时函数值y有最小值﹣3， ①若a＜0时，则当x＝﹣3时，y＝﹣3， 即9a+6a﹣3a＝﹣3， 解得a， ②若a＞0时，当x＝1时，y＝﹣3， ﹣4a＝﹣3， 解得a， 故a的值为或． 故选：C． 8．设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 … 当x＝3时，y＝（　　） A．5 B．﹣4 C．﹣3 D．0 【答案】D 【解答】解：由表格可得， 该函数的对称轴为直线x1， ∴x＝3和x＝﹣1对应的函数值相等， ∵当x＝﹣1时，y＝0， ∴当x＝3时，y＝0， 故选：D． 9．二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y的对应关系如表，设一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1，x2，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　） x … ﹣2 ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 … y … ﹣0.22 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 … A．﹣1＜x1＜﹣0.5 B．﹣0.5＜x1＜0 C．1＜x2＜1.5 D．1.5＜x2＜2 【答案】D 【解答】解：由表格可得， 该函数的对称轴为直线x0，当x＝﹣1.5时，y＞0，当x＝﹣2时，y＜0， ∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1，x2，且x1＜x2， ∴1.5＜x2＜2， 故选：D． 10．二次函数y＝x2﹣2x﹣1图象的顶点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， ∴顶点坐标为（1，﹣2）， ∴顶点在第四象限． 故选：D． 11．如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，则下列说法正确的是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣5 0 3 4 3 … A．对称轴为直线x＝﹣1 B．当x＝3时，y＝﹣5 C．当时，y随x的增大而增大 D．此函数有最小值4 【答案】C 【解答】解：由题意，结合表格数据可得抛物线的对称轴是直线x1，故A错误． ∵对称轴是直线x＝1， ∴当x＝3时的函数值与当x＝﹣1时的函数值相等． ∵当x＝﹣1时，y＝0，则当x＝3时，y＝0，故B错误． 结合表格数据可得，当x＜1时，y随x的增大而增大， ∴当x时，y随x的增大而增大，故C正确． ∵当x＜1时，y随x的增大而增大，且对称轴是直线x＝1， ∴抛物线开口向下． ∴当x＝1时，y取最大值，最大值为4，故D错误． 故选：C． 12．对于抛物线y＝2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为（1，3） C．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解答】解：由题知， 因为抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+3， 所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，3）， 则AC选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当﹣3＜x＜1时，y随x的增大而减小， 所以D选项不符合题意． 故选：B． 13．如图，抛物线y＝a（x﹣4）2上的两点A，B，且AB∥x轴，直线AB与y轴交于（0，8），x轴上的有两点D（3，0），C（7，0），且四边形ABCD是平行四边形，则常数a的值为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：∵y＝a（x﹣4）2， ∴抛物线的对称轴为x＝4， ∵x轴上的有两点D（3，0），C（7，0）， ∴CD＝4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝4， 由二次函数的对称性可得：点A，B的横坐标分别为：2，6， ∵直线AB与y轴交于（0，8），AB∥x轴， ∴点A，B的纵坐标8， ∴点A，B的坐标分别为（2，8）、（6，8）， 将点A（2，8）代入y＝a（x﹣4）2可得：8＝a（2﹣4）2，解得：a＝2． 故选：C． 14．抛物线y＝2（x+m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（　　） A．（m，n） B．（﹣m，n） C．（m，﹣n） D．（﹣m，﹣n） 【答案】B 【解答】解：因为抛物线y＝2（x+m）2+n是顶点式，根据顶点式的坐标特点，它的顶点坐标是（﹣m，n）． 故选：B． 15．二次函数y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是　 　 ． 【答案】（2，3） 【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（2，3）． 故答案为（2，3） 16．写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式　 ． 【答案】y＝2x2+1（答案不唯一） 【解答】解：∵a＞0时，抛物线开口向上， ∴函数图象开口向上的二次函数的解析式可以为：y＝2x2+1（答案不唯一）， 故答案为：y＝2x2+1（答案不唯一）． 17．已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 　 ． 【答案】a≤2 【解答】解：二次函数y＝3（x﹣a）2的对称轴为直线x＝a， ∵当x＞a时，y的值随x值的增大而增大， ∴a≤2． 故答案为：a≤2． 18．设二次函数y＝x2+bx+2b﹣3，当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣15，则b的值为 　 ． 【答案】﹣4 【解答】解：二次函数 y＝x2+bx+2b﹣3 的对称轴为x， ①当1即b＞2时，x＝﹣1的函数值最小，y最小＝1﹣b+2b﹣3＝﹣15， 解得b＝﹣13（舍去）； ②当﹣12即﹣4≤b≤2时，x的函数值最小，y最小b22b﹣3＝﹣15， 解得b＝12（舍去）或b＝﹣4， ③当2即b＜﹣4时，x＝2的函数值最小，y最小＝4+2b+2b﹣3＝﹣15， 解得b＝﹣4， 综上，b的值为﹣4． 故答案为：﹣4． 19．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+5的图象的对称轴为　 ，顶点坐标为　 　 ． 【答案】x＝1；（1，5） 【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+5， ∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x＝1， 故答案为：x＝1，（1，5）． 20．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣5，点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）都在该函数的图象上，且x1+x2＝2． （1）求函数图象的顶点； （2）若点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）与直线x＝m的距离恒相等，求m的值； （3）若y1≥y2，求y1的最小值． 【答案】（1）顶点为（2，﹣9）． （2）m的值为1． （3）y1的最小值为﹣8． 【解答】解（1）∵二次函数y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴函数图象的顶点为（2，﹣9）． （2）∵点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）与直线x＝m的距离恒相等， ∴|x1﹣m|＝|x2﹣m|， ∴（x1﹣m）2＝（x2﹣m）2， 化简得（x1﹣x2）[（x1+x2）﹣2m]＝0， 又∵x1+x2＝2，x1≠x2， ∴m＝1． 故m的值为1． （3）∵y1≥y2， 由（1）（2）可得，P1在直线x＝1的左侧，P2在直线x＝1的右侧或重合在直线x＝1上， ∴x1≤1， ∵y1随x1的增大而减小， ∴当x1＝1时，y1的最小值为﹣8． 故y1≥y2时，y1的最小值为﹣8． 21．定义：已知二次函数y＝ax2+bx+c，则称二次函数y＝a（x﹣t）2+b（x﹣t）+c是二次函数y＝ax2+bx+c的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数y＝x2+x+2的伴随二次函数的是（ ） A．y＝（x﹣1）2+x+3 B．y＝（x+1）2+x+1 C．y＝（x﹣2）2+x D．y＝（x+2）2+x+2 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为　　 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当m≤x≤m+2时，记二次函数y1与y2的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 【答案】（1）C； （2）①2；②；③（1，﹣4）或（3，﹣4） 【解答】解：（1）对于二次函数 y＝x2+x+2， 结合题目中的选项，可知伴随值如下： 当伴随值为1时，伴随二次函数为：y＝（x﹣1）2+（x﹣1）+2＝（x﹣1）2+x+1，A不符合题意； 当伴随值为﹣1时，伴随二次函数为：y＝（x+1）2+（x+1）+2＝（x+1）2+x+3，B不符合题意； 当伴随值为2时，伴随二次函数为：y＝（x﹣2）2+（x﹣2）+2＝（x﹣2）2+x，C符合题意； 当伴随值为﹣2时，伴随二次函数为：y＝（x+2）2+（x+2）+2＝（x+2）2+x+4，D不符合题意； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ∴2（t+1）＝6， 解得t＝2． 故答案为：2； ②列表： x ⋯ 0 2 3 4 6 ⋯ ⋯ 5 ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 ⋯ 依次描出点（0，5）、（2，﹣3）、（3，﹣4）、（6，5）、（4，﹣3）， 画图如下： ， ③令 ，得x＝5或﹣3； 令 ，得x＝7或﹣1． 由图可知，只能是m＝﹣1或m+2＝5， ∴m＝﹣1或3． 当m＝﹣1时，﹣1≤x≤1，此时y2＞y1且y1随x的增大而减小， ∴当x＝1时，y1有最小值，为 12﹣2×1﹣3＝﹣4， ∴此时W的最低点的坐标为（1，﹣4）． 当m＝3时，3≤x≤5，此时y1＞y2且y2随x的增大而增大， ∴当x＝3时，y2有最小值，为 32﹣6×3+5＝﹣4， ∴此时W的最低点的坐标为（3，﹣4）． 综上，W的最低点的坐标为（1，﹣4）或（3，﹣4）． 22将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列选项正确的是（　　） A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+4 C．y＝（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x﹣1）2+4 【答案】B 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝﹣（x+1）2+4． 故选：B． 23．将二次函数y＝x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x+1）（x+3） C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣1 【答案】D 【解答】解：y＝x2+4x+3 ＝x2+4x+4﹣1 ＝（x+2）2﹣1， 故选：D． 24．函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣4） B．（1，4） C．（1，﹣4） D．（﹣1，4） 【答案】B 【解答】解：函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象的顶点坐标是（1，4）， 故选：B． 25．如果抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1 【答案】C 【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点， ∴抛物线开口向上， ∴a﹣1＞0， ∴a＞1， 故选：C． 26．把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，则下列结论正确的是（　　） A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1 【答案】B 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5 ＝x2﹣4x+4+1 ＝（x﹣2）2+1， ∴二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣m）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2+1． 故选：B． 27．将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为y＝a（x+h）2+k的形式，正确的是（　　） A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x﹣1）2﹣1 C．y＝2（x+1）2+1 D．y＝2（x+1）2﹣1 【答案】B 【解答】解：y＝2x2﹣4x+1 ＝2（x2﹣2x）+1 ＝2（x2﹣2x+1﹣1）+1 ＝2（x﹣1）2﹣2+1 ＝2（x﹣1）2﹣1， 故选：B． 28．把yx2﹣2x+1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是（　　） A．y（x﹣2）2﹣1 B．y（x﹣1）2+2 C．y（x﹣1）2 D．y（x﹣2）2﹣3 【答案】A 【解答】解：yx2﹣2x+1 （x2﹣4x）+1 （x2﹣4x+4﹣4）+1 [（x2﹣4x+4）﹣4]+1 （x﹣2）2﹣1． 故选：A． 29．将二次函数y＝2x2+6x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 ． 【答案】y＝2（x）2 【解答】解：y＝2x2+6x+3＝2（x2+3x）3＝y＝2（x）2，即y＝2（x）2． 故答案为y＝2（x）2． 30．将二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x+m）2+k的形式为　 　 ． 【答案】y＝（x﹣2）2﹣1． 【解答】解：y＝x2﹣4x+3 ＝x2﹣4x+4﹣1 ＝（x﹣2）2﹣1， 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1． 31．把二次函数y＝2x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 　 　 ． 【答案】y＝2（x﹣1）2﹣1． 【解答】解：y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x）+1＝2（x﹣1）2﹣1，即y＝2（x﹣1）2﹣1， ∴把二次函数y＝2x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝2（x﹣1）2﹣1， 故答案为：y＝2（x﹣1）2﹣1． 32．将函数化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，得 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：， 故答案为：． 33．把二次函数y＝x2+4x﹣1变形为y＝a（x+h）2+k的形式为 　 　 ． 【答案】y＝（x+2）2﹣5 【解答】解：y＝x2+4x﹣1＝（x2+4x+4）﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5，即y＝（x+2）2﹣5． 故答案为：y＝（x+2）2﹣5． 34．若二次函数y＝x2+bx+5配方后为y＝（x﹣2）2+k，则b+k＝　 　 ． 【答案】﹣3 【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+k＝x2﹣4x+4+k， ∴b＝﹣4，4+k＝5，解得k＝1， ∴b+k＝﹣4+1＝﹣3． 故答案为﹣3． 35．把函数y＝x2﹣4x+3化成顶点式：　 　 ． 【答案】y＝（x﹣2）2﹣1 【解答】解：y＝x2﹣4x+3 ＝x2﹣4x+4﹣4+3 ＝（x﹣2）2﹣1． 故填：（x﹣2）2﹣1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 二次函数的性质 内 容 导 航 题型1 二次函数的性质 题型2 二次函数的三种形式 考 点 演 练 题型1 二次函数的性质 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【典例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣a（a，b为常数，且a≠0）的图象与二次函数y＝ax2﹣bx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知抛物线y＝x2﹣4mx+m，当﹣2＜x＜1时，y的值随x值的增大而增大，则此抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0），则下列结论中正确的是（　　） A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 C．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2 【变式3】对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1，下列判断不正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．当x＝2时，y有最大值1 C．对称轴为直线x＝﹣2 D．当x＜2时，y随x的增大而增大 题型2 二次函数的三种形式 解｜题｜知｜识 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【典例1】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． （1）用配方法将解析式化为y＝（x﹣h）2+k的形式； （2）求这个函数图象与x轴的交点坐标． 【变式1】已知二次函数的表达式为：y＝x2﹣6x+5， （1）利用配方法将表达式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【变式2】抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6． （1）用配方法求顶点坐标，对称轴； （2）x取何值时，y随x的增大而减小？ 【变式3】用配方法求出抛物线y＝x2+2x﹣1的开口方向、顶点坐标、对称轴． 过 关 验 收 1．若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（　　） A． B． C． D． 2．抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴的交点坐标为（　　） A．（3，0） B．（0，3） C．（1，0） D．（0，1） 3．二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 4．已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 5．对于二次函数y＝（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（　　） A．开口向下 B．顶点坐标（﹣3，2） C．当x≥3时，y随x增大而减小 D．函数的最小值是2 6．二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2+1，则它图象的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（1，2） 7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，当﹣3≤x≤1时函数值y有最小值﹣3，则a的值为（　　） A． B．或 C．或 D．2 8．设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 … 当x＝3时，y＝（　　） A．5 B．﹣4 C．﹣3 D．0 9．二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y的对应关系如表，设一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1，x2，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　） x … ﹣2 ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 … y … ﹣0.22 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 … A．﹣1＜x1＜﹣0.5 B．﹣0.5＜x1＜0 C．1＜x2＜1.5 D．1.5＜x2＜2 10．二次函数y＝x2﹣2x﹣1图象的顶点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，则下列说法正确的是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣5 0 3 4 3 … A．对称轴为直线x＝﹣1 B．当x＝3时，y＝﹣5 C．当时，y随x的增大而增大 D．此函数有最小值4 12．对于抛物线y＝2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为（1，3） C．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 13．如图，抛物线y＝a（x﹣4）2上的两点A，B，且AB∥x轴，直线AB与y轴交于（0，8），x轴上的有两点D（3，0），C（7，0），且四边形ABCD是平行四边形，则常数a的值为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 14．抛物线y＝2（x+m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（　　） A．（m，n） B．（﹣m，n） C．（m，﹣n） D．（﹣m，﹣n） 15．二次函数y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是　 　 ． 16．写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式　 ． 17．已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 　 ． 18．设二次函数y＝x2+bx+2b﹣3，当﹣1≤x≤2时，函数有最小值﹣15，则b的值为 　 ． 19．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+5的图象的对称轴为　 ，顶点坐标为　 　 ． 20．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣5，点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）都在该函数的图象上，且x1+x2＝2． （1）求函数图象的顶点； （2）若点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）与直线x＝m的距离恒相等，求m的值； （3）若y1≥y2，求y1的最小值． 21．定义：已知二次函数y＝ax2+bx+c，则称二次函数y＝a（x﹣t）2+b（x﹣t）+c是二次函数y＝ax2+bx+c的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数y＝x2+x+2的伴随二次函数的是（ ） A．y＝（x﹣1）2+x+3 B．y＝（x+1）2+x+1 C．y＝（x﹣2）2+x D．y＝（x+2）2+x+2 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为　　 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当m≤x≤m+2时，记二次函数y1与y2的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 22将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列选项正确的是（　　） A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+4 C．y＝（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x﹣1）2+4 23．将二次函数y＝x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x+1）（x+3） C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣1 24．函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣4） B．（1，4） C．（1，﹣4） D．（﹣1，4） 25．如果抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1 26．把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，则下列结论正确的是（　　） A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1 27．将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为y＝a（x+h）2+k的形式，正确的是（　　） A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x﹣1）2﹣1 C．y＝2（x+1）2+1 D．y＝2（x+1）2﹣1 28．把yx2﹣2x+1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是（　　） A．y（x﹣2）2﹣1 B．y（x﹣1）2+2 C．y（x﹣1）2 D．y（x﹣2）2﹣3 29．将二次函数y＝2x2+6x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 ． 30．将二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x+m）2+k的形式为　 　 ． 31．把二次函数y＝2x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 　 　 ． 32．将函数化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，得 　 　 ． 33．把二次函数y＝x2+4x﹣1变形为y＝a（x+h）2+k的形式为 　 　 ． 34．若二次函数y＝x2+bx+5配方后为y＝（x﹣2）2+k，则b+k＝　 　 ． 35．把函数y＝x2﹣4x+3化成顶点式：　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $