专题02 二次函数的性质 同步●培优讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的性质，系统梳理定义特征、系数及判别式的图象意义、增减性与最值规律，明确待定系数法求解析式（一般式、顶点式、交点式）的适用条件，详解公式法与配方法求顶点及对称轴，构建从基础到应用的学习支架，为后续综合学习奠基。 资料通过9类题型分类精讲（如最值、图象综合判断、对称性应用等），结合具体例题培养几何直观与推理意识，知识清单系统整合要点，课堂小练强化巩固。课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

专题02 二次函数的性质 同步●培优讲义 ✺知识框架 1.二次函数图象与性质：定义特征；判别式的图象意义；函数增减性与最值。 2.待定系数法求解析式：一般式、顶点式、交点式的适用条件与求解思路。 3.抛物线顶点与对称轴求解：公式法、配方法。 ✅本章新课核心围绕二次函数图象性质展开，重点掌握系数图象规律、解析式求法、顶点与对称轴的标准求法，夯实数形结合基础，为后续拔高学习铺垫。 ✺学习目标 1.理解二次函数的定义与图象性质，掌握系数及判别式的图象意义，掌握函数增减性和最值规律；熟记三种二次函数解析式的形式及适用条件；熟练掌握公式法、配方法求抛物线顶点与对称轴。 2.能根据题意灵活选用一般式、顶点式、交点式，用待定系数法求解二次函数解析式；能规范运用公式法、配方法求解抛物线的对称轴和顶点坐标。 3.初步建立数形结合思想，能简单实现解析式与图象特征的互推，为后续综合应用打好基础。 ✺题型归纳 题型1.y=a+bx+c的最值 题型2.一次函数、二次函数图象综合判断 题型3.反比例函数、二次函数图象综合判断 题型4.两个二次函数图象综合判断 题型5.根据二次函数的图象判断式子符号 题型6.待定系数法求二次函数解析式 题型7.已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型8.根据二次函数的对称性求函数值 题型9.利用二次函数对称性求最短路径 题型.10.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、二次函数y=a+bx+c的图象与性质 因为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣,当对称轴在y轴左侧时，＜0，即＞0，所以a与b 同号；反之，对称轴在y轴右侧时，a与b异号。故可记为“左同右异（a与b）” 知识点二、用待定系数法求二次函数的解析式 ▲用待定系数法可求二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同设法。 1. 二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）（a，b，c是常数，(a≠0)）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0)），其中((h，k)为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式:y=a（x-）(x-)（a，b，c是常数，(a≠0)，其中是图象与x轴的两个交点的横坐标）； 2. 用待定系数法求二次函数的解析式： 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解. ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解. ▲列表如下： 知识点三、求抛物线的顶点、对称轴的方法 1.公式法：y=ax2+bx+c=a(x+)2+,顶点坐标是（,）,对称轴是直线x=﹣. 2.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a+k的形式，得到顶点坐标为（h,k）,对称轴是直线x=h. 3.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以关于对称轴对称的两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点， ✺题型精讲 题型1.y=a+bx+c的最值 1．已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 3．已知函数是关于的二次函数． (1)求的值． (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 题型2.一次函数、二次函数图象综合判断 1．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为______． 3．已知二次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求一次函数和二次函数的交点坐标． 题型3.反比例函数、二次函数图象综合判断 1．方程的负实数根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知反比例函数（）与二次函数的图象有一个交点的横坐标为1，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．3 3．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型4.两个二次函数图象综合判断 1．如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点A，B，且，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为_______． 3．根据下列条件分别求出a的值或取值范围． (1)函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． (2)函数有最大值． (3)抛物线与抛物线的形状相同． 题型5.根据二次函数的图象判断式子符号 1．已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中所有正确结论的序号是__________． 3．已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 题型6.待定系数法求二次函数解析式 1．已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 2．已知抛物线的对称轴是直线，且经过点，则该抛物线的函数表达式是__________． 3．如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 题型7.已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 2．抛物线与轴的交点是，那么这条抛物线的对称轴是直线______． 3．已知二次函数，，，都在二次函数的图象上． (1)若，求n、p、q的值； (2)若，求n的取值范围． 题型8.根据二次函数的对称性求函数值 1．用描点法画二次函数（a≠0）的图象时，列出了下面的表格： x … 0 1 2 … y … m 0 4 … 从表中信息可得m值为（    ） A．0 B．－1 C．－2 D．1 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 3．已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 5 a 0 … (1)_____________； (2)求该二次函数的表达式； (3)y随x的增大而减小时，x的取值范围是_____________． 题型9.利用二次函数对称性求最短路径 1．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 2．如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 3．如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． ✺课堂小练 一、单选题 1．二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 2．已知一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 4．如果抛物线经过原点，那么___． 5．二次函数图象上部分点的坐标满足下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 则________． 6．二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 三、解答题 7．已知抛物线经过，对称轴是直线，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)求抛物线的解析式． (2)设是抛物线上的两点，请比较与的大小，并说明理由． 8．如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象交于点和点．    (1)求，的值． (2)利用函数图象，求当时自变量的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的性质 同步●培优讲义 ✺知识框架 1.二次函数图象与性质：定义特征；判别式的图象意义；函数增减性与最值。 2.待定系数法求解析式：一般式、顶点式、交点式的适用条件与求解思路。 3.抛物线顶点与对称轴求解：公式法、配方法。 ✅本章新课核心围绕二次函数图象性质展开，重点掌握系数图象规律、解析式求法、顶点与对称轴的标准求法，夯实数形结合基础，为后续拔高学习铺垫。 ✺学习目标 1.理解二次函数的定义与图象性质，掌握系数及判别式的图象意义，掌握函数增减性和最值规律；熟记三种二次函数解析式的形式及适用条件；熟练掌握公式法、配方法求抛物线顶点与对称轴。 2.能根据题意灵活选用一般式、顶点式、交点式，用待定系数法求解二次函数解析式；能规范运用公式法、配方法求解抛物线的对称轴和顶点坐标。 3.初步建立数形结合思想，能简单实现解析式与图象特征的互推，为后续综合应用打好基础。 ✺题型归纳 题型1.y=a+bx+c的最值 题型2.一次函数、二次函数图象综合判断 题型3.反比例函数、二次函数图象综合判断 题型4.两个二次函数图象综合判断 题型5.根据二次函数的图象判断式子符号 题型6.待定系数法求二次函数解析式 题型7.已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型8.根据二次函数的对称性求函数值 题型9.利用二次函数对称性求最短路径 题型.10.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、二次函数y=a+bx+c的图象与性质 因为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣,当对称轴在y轴左侧时，＜0，即＞0，所以a与b 同号；反之，对称轴在y轴右侧时，a与b异号。故可记为“左同右异（a与b）” 知识点二、用待定系数法求二次函数的解析式 ▲用待定系数法可求二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同设法。 1. 二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）（a，b，c是常数，(a≠0)）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0)），其中((h，k)为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式:y=a（x-）(x-)（a，b，c是常数，(a≠0)，其中是图象与x轴的两个交点的横坐标）； 2. 用待定系数法求二次函数的解析式： 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解. ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解. ▲列表如下： 知识点三、求抛物线的顶点、对称轴的方法 1.公式法：y=ax2+bx+c=a(x+)2+,顶点坐标是（,）,对称轴是直线x=﹣. 2.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a+k的形式，得到顶点坐标为（h,k）,对称轴是直线x=h. 3.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以关于对称轴对称的两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点， ✺题型精讲 题型1.y=a+bx+c的最值 1．已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系分类讨论，求出关于的分段函数表达式，最后根据表达式判断函数图象． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，的最小值为， 分三种情况讨论： ①当在对称轴左侧，即， 解得时，随的增大而减小 ， 当时，取得最小值； ②当包含对称轴，即， 解得时，的最小值为顶点的纵坐标， ； ③当在对称轴右侧，即时，随的增大而增大 ， 当时，取得最小值， 综上所述，与的函数关系为：， 观察图象可知，当时，图象为平行于轴的线段； 当或时，图象为开口向上的抛物线的一部分 ，故A符合题意． 2．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 3．已知函数是关于的二次函数． (1)求的值． (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项系数不为零，自变量次数最高为2次，据此解答即可； （2）将二次函数化为顶点式，求出对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：由（1）得二次函数解析式为：， 这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 题型2.一次函数、二次函数图象综合判断 1．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的a，c的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：∵一次函数与y轴交点坐标为，二次函数与y轴交点坐标为， ∴选项A、C的直线和抛物线与y轴交点坐标是同一点，不合题意， 选项B、D直线和抛物线与y轴交点坐标都是关于x轴对称， 但选项B观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 选项D观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； 故选：D 2．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为______． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程的解是解此题的关键．根据，两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 3．已知二次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求一次函数和二次函数的交点坐标． 【答案】和 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，理解二次函数和一次函数的交点特征是解题关键．两个解析式联立方程组，解方程组即可求得其交点坐标． 【详解】解：联立方程组得， 解得，， ∴一次函数和二次函数的交点坐标为和． 题型3.反比例函数、二次函数图象综合判断 1．方程的负实数根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了根据图象法解方程． 画出和的图象，找出所有使值为负的交点即可． 【详解】解：如图， 可知使值为负的交点有一个， 即方程的负实数根的个数为1． 故选：B． 2．已知反比例函数（）与二次函数的图象有一个交点的横坐标为1，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与二次函数图象的交点问题，把代入，求出的值，待定系数法求出k的值即可． 【详解】解：把代入，得：， 把，代入，得； 故选B． 3．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解． 【详解】解：二次函数，对称轴直线为， 当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限； 当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限； 只有B选项符合题意， 故选：B ． 题型4.两个二次函数图象综合判断 1．如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点A，B，且，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于，过点作轴于，先证明，得到，不妨设点横坐标为，那么点横坐标为，，，最后利用这两点纵坐标的比等于求得答案． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，如图所示： ∴， ∵， ∴， 不妨设点横坐标为，那么点横坐标为， ∵射线分别与二次函数，的图象交于点A，B， ∴，， ∴， ∴． 2．已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为_______． 【答案】或 【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：， ∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ∴，， 又∵这条抛物线与抛物线形状相同， ∴，即， ∴这条抛物线的解析式为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键． 3．根据下列条件分别求出a的值或取值范围． (1)函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． (2)函数有最大值． (3)抛物线与抛物线的形状相同． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的开口方向、最值与二次项系数的关系． （1）根据二次函数的开口方向与增减性的关系，时，开口向下，时随增大而减小，时随增大而增大； （2）根据二次函数的最值与开口方向的关系，时，开口向下，函数有最大值； （3）抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，若两个抛物线形状相同，则它们二次项系数的绝对值相等，即可算出的取值． 【详解】（1）解：∵当时，随增大而减小，时，随增大而增大， ∴， 解得：． （2）解：∵函数有最大值， ∴抛物线开口向下，即：， 解得：． （3）解：∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴， 解得：或． 题型5.根据二次函数的图象判断式子符号 1．已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知：函数的图象开口向上、对称轴在y轴右侧， ，对称轴、且， 对称轴， ， ， 故①错误； 函数的对称轴为，函数和x轴的一个交点是， 另外一个交点为， 当时，， 故②错误； 函数的对称轴为， ， 故③正确； 由②③得，，， ， ，即， ， 故④正确， 综上所述，正确的有③④，共2个． 2．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，， ∴，故①错误； ②∵函数开口方向向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在和之间，对称轴为直线， ∴顶点纵坐标要小于， ∴，且， ∴，故②正确； ③∵图象与y轴的交点在和之间， ∴， ∵图象与x轴交于点和， ∴的两根为和3， 由根与系数关系可知：， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵对称轴为直线， ∴， ∵，， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有②③④． 故选：②③④． 3．已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】(1)，，，； (2)； (3)①③ 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案； （2）由函数的图象可知，当时，，代入即可得到答案； （3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴右侧， 、异号， ， 抛物线与y轴负半轴相交， ， 当时，， ； （2）解：由函数的图象可知，当时，， ； （3）解：由（1）可知，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，②结论错误； 当时，， 当时，， ， ， ，③结论正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 题型6.待定系数法求二次函数解析式 1．已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入已知点到解析式，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：将代入，得， 整理得， 解得， ∴抛物线解析式为． 2．已知抛物线的对称轴是直线，且经过点，则该抛物线的函数表达式是__________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据抛物线的对称轴是直线，且经过点，建立方程组求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，且经过点， ， 解得， 则该抛物线的函数表达式是， 故答案为：． 3．如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的坐标可以求出的距离，从而求出点的坐标； （2）已知二次函数过三个点，即可设二次函数的一般式，用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：点，， ． ， ． 点在轴的正半轴上， ∴点的坐标是． （2）解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，， ， 解得， 这个二次函数的解析式为． 题型7.已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 2．抛物线与轴的交点是，那么这条抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式求解，即抛物线与轴的交点是，，则抛物线的对称轴为直线． 因为点与的纵坐标都为，所以可判定这两点是一对对称点，把两点的横坐标代入公式求解即可． 【详解】解：抛物线与轴的交点为，， 两交点关于抛物线的对称轴对称， 则此抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 3．已知二次函数，，，都在二次函数的图象上． (1)若，求n、p、q的值； (2)若，求n的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由A、C纵坐标相同可得，对称轴是直线，再结合，得出，再把和分别代入进行计算，即可作答． （2）依题意，抛物线的图象开口向下，则抛物线上的点离对称轴越远就越小，反之越大，又因为，则，化简即可作答． 【详解】（1）解：由题意，由A、C纵坐标相同可得，对称轴是直线． ∵， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， 则把代入可得，， 则把代入可得，， （2）解：由题意，抛物线的图象开口向下， 抛物线上的点离对称轴越远就越小，反之越大． 则对称轴是直线， ，且当时，， ． ， 或． 题型8.根据二次函数的对称性求函数值 1．用描点法画二次函数（a≠0）的图象时，列出了下面的表格： x … 0 1 2 … y … m 0 4 … 从表中信息可得m值为（    ） A．0 B．－1 C．－2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的对称性，解题的关键是利用二次函数图象的对称性质确定对称轴，进而求解的值． 先根据表格中值相同的点确定二次函数的对称轴，再根据对称轴的对称性找到与对称的点，从而求出的值． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴对称轴为直线， ∵点与点关于对称轴对称，且时， ∴时，即． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【答案】 【分析】根据题意判断出的符号，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，比较大小即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，， ∵， ∴． 3．已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 5 a 0 … (1)_____________； (2)求该二次函数的表达式； (3)y随x的增大而减小时，x的取值范围是_____________． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）根据表中数据，利用二次函数的对称性质即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）将二次函数解析式的顶点式，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由表格可知，当时，；当时，． 对于二次函数，两点纵坐标相同，则这两点关于对称轴对称， 所以抛物线的对称轴为直线． 因为点和关于直线对称， 所以； （2）解：设二次函数的表达式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的表达式为， 即． （3）解：由（2）知，， 其二次项系数，函数图象开口向上，对称轴直线． 根据二次函数的性质，在对称轴左侧，函数值随自变量的增大而减小， 所以当随的增大而减小时，的取值范围是． 题型9.利用二次函数对称性求最短路径 1．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 2．如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 3．如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，，最小值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 本题中，点与点关于抛物线的对称轴对称，根据“两点之间，线段最短”可知，抛物线的对称轴与直线的交点就是的值最小时点的位置，先求出直线的解析式，再求出点的坐标． 【详解】假设存在点，使得的值最小． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 令，则，解得，，∴，， 令可得，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为． ✺课堂小练 一、单选题 1．二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用平方的非负性推导函数的最大值． 【详解】解：， ， 当时，取得最大值． 2．已知一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象经过的象限可判断出的符号，则可确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点位置，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴； ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于y轴的正半轴，对称轴在y轴左侧，且开口向下， ∴四个选项中只有B选项中的函数图象符合题意． 3．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ，结论①正确； ②∵抛物线对称轴为直线， ， ． ∵抛物线经过点， ， ，即，结论②正确； ③∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，结论③错误． 综上，正确的有①②，共2个， 故选C． 二、填空题 4．如果抛物线经过原点，那么___． 【答案】2 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．将点代入二次函数的解析式求解即可得． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴， 解得， 故答案为：2． 5．二次函数图象上部分点的坐标满足下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 则________． 【答案】0 【分析】本题考查二次函数图象的对称性，根据表格中的数据，利用对称性求出对称轴，再根据对称性求出的值即可． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴和的函数值相同， ∴； 故答案为：0． 6．二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 【答案】c 【分析】二次函数的对称轴为，函数值相等的两个不同点关于对称轴对称，据此求出的值，再代入计算函数值． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， 当，（）时对应的函数值相等， ∴点与点关于对称轴对称， ∴，即， 将代入得． 三、解答题 7．已知抛物线经过，对称轴是直线，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)求抛物线的解析式． (2)设是抛物线上的两点，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为． (2)当时，；当时，；当时，，理由： 是抛物线上的两点， ∴ 故当时，； 当时，； 当时，． 【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，对称轴代入，由方程具有两个相等的实数根得到，从而得出关于参数的方程组，解方程组求出参数的值，即得到表达式； （2）根据题目条件代入计算，故可由的正负判断结论． 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线表达式得： ①， 由函数的对称轴为，即  ②， 关于x的方程有两个相等的实数根，则  ③， 联立①②③，得 解得， 故抛物线的表达式为． （2）略． 8．如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象交于点和点．    (1)求，的值． (2)利用函数图象，求当时自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的图像与性质，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入中求出值，则，当时，，解该方程即可求出； （2）根据图像即可求解． 【详解】（1）解：将代入中得： ， 解得：， ， 当时，， 解得：，， ， 所以：，； （2）由图像得：当时，自变量的取值范围是：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $