专题03二次函数与一元二次方程的关系精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的关系这一核心知识点，系统梳理函数图像与方程根的对应关系、判别式双向判定规律、交点式解析式及图像法解不等式等内容，搭建从基础对应到综合应用的学习支架。 该资料以数形结合思想为核心，通过几何直观培养数学眼光，题型分层设计（基础到压轴）提升推理能力，结合生活实例（如伞的抛物线模型）强化模型意识。课中辅助教师系统授课，课后通过易错点提示和例题帮助学生查漏补缺。

专题03二次函数与一元二次方程的关系精讲学案 课堂核心立意 以数形结合思想为核心，打通二次函数图像、一元二次方程、判别式三者双向转化逻辑，实现由图像看方程根、由方程性质判断函数图像特征，为二次函数不等式、交点式解析式、参数取值范围综合题搭建底层解题依据。 一、函数与方程核心对应关系 ①二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根。 ②令二次函数解析式中y=0，可直接将函数解析式转化为对应一元二次方程，实现函数向方程的转换。 ③若一元二次方程ax2+bx+c=0两根为x1、x2，可直接写出抛物线交点式解析式y=a(x-x1)(x-x2)。 二、判别式=b2-4ac双向判定规律 ①>0：一元二次方程有两个不相等实数根，抛物线与x轴存在2个不同交点； ②=0：一元二次方程有两个相等实数根，抛物线顶点落在x轴上，仅有1个公共交点； ③<0：一元二次方程无实数根，抛物线整体在x轴上方或下方，与x轴无交点； ④逆向应用：已知抛物线与x轴交点个数，反向判定判别式正负，求解解析式中参数取值。 三、利用二次函数图像求解一元二次方程近似解 ①在平面直角坐标系内精准画出对应二次函数图像； ②观察抛物线和x轴交点的横坐标数值； ③交点横坐标即为一元二次方程的实数近似根，区间估值可锁定根的取值范围。 四、抛物线两交点距离计算公式 ①设抛物线与x轴交点横坐标为x1、x2，两交点水平距离公式：|x1-x2|=； ②结合韦达定理x1+x2=-、x1x2=，可在不解方程前提下直接计算交点间距。 五、结合图像求解一元二次不等式基础方法 ①y>0对应图像在x轴上方部分，横坐标取值为x<x1或x>x2（a>0开口向上）； ②y<0对应图像在x轴下方部分，横坐标取值为x1<x<x2（a>0开口向上）； ③开口向下时不等式解集方向整体反转，依托交点划分取值区间。 ①表述区分：“抛物线与x轴有交点”对应0，“两个不同交点”严格要求>0，等号取舍极易失分； ②交点坐标书写：横坐标为方程根，纵坐标必须标注0，只写数值属于书写疏漏； ③交点式使用前提：必须已知抛物线与x轴两个交点横坐标，不可随意套用； ④图像估算方程根时，结合网格刻度缩小误差，避免粗略估算导致数值偏差过大。 题型 考察方向 难度 题型一 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ★★ 题型二 求抛物线与 y 轴的交点坐标 ★★ 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★★ 题型四 抛物线与 x 轴的交点问题 ★★★ 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ★★★ 题型六 求 x 轴与抛物线的截线长 ★★★ 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★★ 题型八 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★★ 题型十 根据交点确定不等式的解集 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高★★★★压轴 题型一：求抛物线与 x 轴的交点坐标 解题思路： ①令二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 中的y=0，转化得到一元二次方程 ax2+bx+c=0。 ②解该一元二次方程，求出方程实数根 x1、x2；若方程无实数根，则抛物线与x轴没有交点。 ③将根写成坐标形式：(x1,0)、(x2,0)；当=0时，只有一个交点即顶点在x轴上。 1．已知在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）与x轴的一个交点是，则它与轴的另一个交点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为， ∴它与轴的另一个交点的坐标为． 2．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】C 【分析】先求出的值，再用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴将代入，可得， ∴整理得， 将代入得原式． 3．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则：，解得：或4， ∴， ∵，轴， ∴ 时， ∴自变量的取值范围是． 4．如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】先通过前几段抛物线归纳出第段的解析式规律，再用整数除法确定点所在的段数，最后代入对应解析式求出的值． 【详解】解：已知， 则的坐标为， 将绕点旋转得，交轴于点， 则的坐标为， 可得， 将绕点旋转得，交轴于点， 则的坐标为， 可得， 故， ， 位于抛物线， ， 令，，即． 题型二：求抛物线与 y 轴的交点坐标 解题思路： ①令二次函数解析式中 x=0。 ②将x=0代入解析式，计算出对应的函数值y，y的值就等于解析式常数项c。 ③写出交点坐标 (0, c)，抛物线与y轴有且只有这一个交点。 5．二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为，代入函数解析式即可求出纵坐标得到交点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得， ∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是． 6．抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，令代入抛物线解析式求出y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标都为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 7．在抛物线上有，两点，若抛物线与轴的交点在负半轴上，则，的大小关系为______． 【答案】/ 【分析】由抛物线与轴的交点在负半轴上，得出，从而可得对称轴是直线，开口向下，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴交点在负半轴， ∴， ∴对称轴是直线，开口向下， ∴离对称轴越近函数值越大， ∵比离对称轴更近， ∴． 8．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴有图象可得，它的解集是． 题型三：已知二次函数的函数值求自变量的值 解题思路： ①把题目给定的函数值k替换解析式中的y，得到方程 ax2+bx+c=k。 ②移项整理成标准一元二次方程 ax2+bx+(c-k)=0。 ③解一元二次方程，方程的解就是对应的自变量x。 ④结合题意检验根，舍去不符合实际条件的解。 9．已知点在抛物线上，则的由大到小关系是___________________． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小．正确计算是解题的关键． 将分别代入得，，，，由，可得，然后作答即可． 【详解】解：将分别代入得，，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨，的交点为坐标原点建立平面直角坐标系．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．抛物线的表达式为，若点A到轴的距离是，则，两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数自变量的值，两点之间的距离，根据题意可知，将其代入函数关系式求出x的值，进而得出答案． 【详解】根据题意可知， 当时，， 解得， ∴（）． 故选：A． 11．如图，第四象限内一点在抛物线上，点的坐标为，第四象限内一点在直线上，横坐标为．若向右平移抛物线后，的顶点恰好都在新抛物线上，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，根据题意当两点都在向右平移抛物线的图象上，则二次函数图象向右平移2个单位，得到新抛物线解析式为，结合点C在新抛物线的图象上，可得且，解方程即可． 【详解】解：根据题意当两点都在向右平移抛物线的图象上， 则二次函数图象向右平移个单位， ∴新抛物线解析式为， ∵点C在新抛物线的图象上，且点C为第四象限内直线上一点，横坐标为， ∴且， 解得：或（舍去）， 则的值为． 故答案为：． 12．如图，已知抛物线与直线，当任取一值时，对应的函数值分别为，．若，取，中较小值并记为；若，记，例如：当时，，，，此时；当时，，此时．设，当分别等于，，时，对应的值分别记为，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数值、一次函数值的运算，新定义，将，，分别代入函数求出函数值比较大小，再根据新定义表示出，，代入求解即可得到答案； 【详解】解：当时， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型四：抛物线与 x 轴的交点问题 解题思路： ①计算判别=b2-4ac}判断交点个数：>0有2个不同交点；=0只有1个交点；<0无交点。 ②读清题干文字条件：题干说“有交点”则用 0}；题干说“两个不同交点”则用>0。 ③如果求参数范围，根据交点个数列出不等式/方程求解参数，注意隐藏条件a≠0。 ④需要交点坐标时，令y=0解方程求出交点横坐标。 13．抛物线 与x轴没有交点，请写出一个符合条件的a的值为________． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】由进行求解即可． 【详解】解：抛物线与轴没有交点， ， 解得， 取． 14．在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴只有1个交点，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数图象与x轴只有一个交点时，对应的一元二次方程根的判别式等于0，利用判别式列方程求解即可得到m的值． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有1个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根，根的判别式， 将，，代入得：， 化简得，解得． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 【答案】 【分析】由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：． 即点M到直线l的距离为． 16．已知关于的二次函数（m，n是常数且）的图象如图所示，则双曲线和直线在同一平面直角坐标系中大致位置是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图像及，可得 ，再根据反比例函数与一次函数的性质即可判断． 【详解】解：由（m，n是常数且）和图象得： ， ∴， ∴的图象位于二、四象限，的图象经过一、二、四象限， 观察各选项，只有C符合题意． 题型五：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 解题思路： ①观察图像中抛物线与x轴的交点数量。 ②有2个交点 ⇒ 对应一元二次方程有两个不相等的实数根；仅有1个交点 ⇒ 方程有两个相等实数根；没有交点 ⇒ 方程无实数根。 ③抛物线与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根。 ④若图像给定交点横坐标，可以直接写出方程的根。 17．如图是函数的图像．则方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据函数图象可得函数与x轴的两个交点坐标为，可推出函数与函数关于y轴对称，则函数与x轴的两个交点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，函数与x轴的两个交点坐标为， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴函数与函数关于y轴对称， ∴函数与x轴的两个交点坐标为， ∴方程的解是， 故答案为：． 18．根据下表中二次函数的取值情况，可知方程的根是（   ） … 0 1 2 3 4 … … 15 8 3 0 0 3 8 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程解的关系． 将方程转化为，方程的根即为二次函数中函数值为3时对应的值，通过表格查找对应即可求解． 【详解】解：∵方程可变形为， ∴该方程的根是二次函数的函数值为3时对应的值， 由表格数据可知，当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：B． 19．二次函数的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（c为实数）在范围内有解，则c的取值范围为_____． 【答案】 【分析】先根据对称轴求出的值，将方程有解转化为求二次函数在范围内的取值，即可得到的范围． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， 配方得， 函数开口向上，最小值在处取得，为， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是， ∵一元二次方程在范围内有解，等价于在该范围内有解， ∴的取值范围是． 20．二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（     ）．    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】A 【详解】解：由图可知，方程的根的情况为有两个不相等的实数根． 题型六：求 x 轴与抛物线的截线长 解题思路： ①方法一：求出抛物线和x轴两个交点(x1,0)、(x2,0)，截线长就是两点水平距离|x1-x2|。 ②方法二（不解方程）：算出判别式，直接套用公式|x1-x2|=计算截线段长度。 ③截线长是线段长度，计算结果必须为正数；\Delta<0时不存在截线。 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解． 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 22．老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点；小彬说：过点；小明说：；小颖说：抛物线被轴截得的线段长为．你认为四人的说法中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质（对称轴、与坐标轴的交点），熟练掌握二次函数解析式的求解及点与函数的关系是解题的关键．先利用抛物线过点和对称轴，列方程求出、，得到抛物线解析式，再逐一验证四人的说法． 【详解】解：∵抛物线过，且对称轴为， ∴， ，， ∴抛物线解析式为． 验证说法： 小华：代入得，故小华的说法成立； 小彬：代入得，故小彬的说法不成立； 小明：，故小明的说法不成立； 小颖：令得， 解得或， ∴交点为、，线段长，过小颖的说法成立． 正确的是小华、小颖，共2个． 故选：B． 23．二次函数与轴交于两点和，顶点为，连接，当时，______． 【答案】4 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的性质，先证明为等腰直角三角形，可得，从而可得答案. 【详解】解：设二次函数的图象与轴有两个交点和的坐标分别为，， 则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴该函数顶点的坐标为：， ∴ ， 解得：； 故答案为：4． 24．定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是________．      【答案】 【分析】根据直线，可以求出该直线与轴的交点，从而可以得到点的坐标，再根据点恰好是抛物线的顶点，即可得到、的值，然后联立抛物线与直线，求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线的割距． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵点恰好是抛物线的顶点， ∴， ∴，， 即：抛物线为，则，解得：或， ∴抛物线与直线的交点为，， ∴此时抛物线关于直线的割距是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是求出抛物线与直线的交点坐标． 题型七：图象法确定一元二次方程的近似根 解题思路： ①把一元二次方程整理成 ax2+bx+c=0，构造对应的二次函数 y=ax2+bx+c。 ②画出二次函数图像，观察抛物线与x轴交点落在哪两个相邻的横坐标之间。 ③计算区间端点对应的函数值，函数值正负发生改变的区间就是根所在区间。 ④不断缩小区间范围，读取交点横坐标，得到方程的近似根。 25．已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似解，根据表格中的数据计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知：当时，且当时， 一元二次方程的一个近似解的范围是 故答案为：． 26．在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 【答案】5.9(答案不唯一) 【分析】根据表格中的数据可知方程的一个根在之间，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ∵， ∴根更靠近6，可估算为5.9， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根可取5.9（答案不唯一）． 27．二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关． 根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为0时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵图象上有两点分别为，， 当时，；当时，， 当时，，只有选项C符合， 故选：C． 题型八：图象法解一元二次不等式 解题思路： ①把不等式整理成 ax2+bx+c>0（或<0、0、0）形式，画出y=ax2+bx+c图像。 ②求出抛物线与x轴交点横坐标x1、x2（不妨设x1<x2）。 ③看开口方向：a>0开口向上；a<0开口向下。 ④y>0取图像在x轴上方部分对应的x取值；y<0取图像在x轴下方部分对应的x取值。 ⑤注意不等号带等号时，解集要包含交点的横坐标。 28．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与不等式，利用图象法，找到抛物线在轴下方时的自变量的取值范围即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是； 故选C． 29．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【答案】或 【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 由图象可知，抛物线在直线上方时的的取值范围为或， 即不等式的解是或． 30．已知二次函数过点，，三点．记，，则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像上的点的特征，不等式，解题的关键是将对应点代入，计算并化简得到．根据题意求出m和n，再计算，再分别分析各选项即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， 若，即， ∴或， 故A错误； 若，则， ∴； 故B错误； 若，则，故C正确； 若时，例如时，即，故D错误； 故选：Ｃ． 题型九：利用不等式求自变量或函数值的范围 解题思路： ①看清题目要求：是已知自变量范围求函数值，还是已知函数值范围求自变量。 ②求出抛物线对称轴、与x轴交点，画出简易示意图。 ③已知自变量范围求函数值：结合对称轴判断区间内增减性，确定区间端点与顶点的函数值，写出y的取值。 ④已知函数值范围求自变量：画出对应函数值的水平直线，找到直线与抛物线交点，结合图像看图像满足条件部分对应的x取值。 ⑤注意区分是否包含边界值。 31．点在二次函数的图象上．若，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查解不等式，通过代入二次函数解析式，比较点A和点B的纵坐标大小，消去常数项c，解不等式求解m的取值范围． 【详解】解：由在二次函数图象上， 得． 由，得． 化简得， 解得． 故答案为． 32．已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以计算出当时，函数值的取值范围． 【详解】 ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 ∴当时，；当时， ∴当时，自变量的取值范围是或 故答案选C 33．若点，，在抛物线上，且，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，根据抛物线可得对称轴为直线，点，在抛物线上，，，且，得，然后通过，得，再求出的取值范围即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线可得对称轴为直线， ∵点，在抛物线上，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故答案为：或． 34．已知二次函数（）的图象经过、、三点，若点在该函数图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 由已知点求二次函数解析式，再根据自变量范围求函数值范围即可． 【详解】解：设二次函数解析式为， 代入得， 解得， 解析式为，顶点坐标为． 当时，n在顶点处取最大值，最大值为4， 当时，， 当时，， 故． 故选：B． 题型十：根据交点确定不等式的解集 解题思路： ①根据图像读出抛物线与x轴交点的横坐标x1、x2，分清大小x1<x2。 ②判断抛物线开口方向，开口向上还是向下。 ③大于0的解集：取图像在x轴上方所对应的x；小于0的解集：取图像在x轴下方所对应的x。 ④如果不等号含有等号，解集把交点横坐标一并纳入。 ⑤若是a(x-x1)(x-x2)形式，直接用交点划分区间，不用展开计算。 35．如图，抛物线与直线交于A、B两点，则的解集是________． 【答案】 【分析】根据图象上一次函数图象在二次函数图象上方部分对应的自变量取值范围即可得解． 【详解】解：由图象可知，当时，一次函数图象在二次函数图象上方， 则的解集是． 36．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像求解不等式，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题． 由图像可得，二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为，根据对称性求得另一点的坐标，即可求解． 【详解】解：由图像可得，二次函数的开口向下，对称轴为，与轴的一个交点为 由对称性可得，与轴的另一个交点为， 则不等式的解集为， 故选：A． 37．已知二次函数与一次函数 ，二次函数图象过点，则不等式的解集为_____． 【答案】或 【分析】把代入二次函数解析式可求出，联立两函数解析式可求出它们的交点的横坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 联立得，解得或， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或． 38．当时，抛物线与直线有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将和代入求出直线经过，再分别将点坐标代入抛物线解析式求出t的值，求出抛物线与直线只有1个交点时t的值，进而求解． 【详解】解：将代入得， 将代入得， ∴直线经过， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 令，整理得， 当时，， 此时抛物线与直线只有1个交点，， 解得， 综上所述，当时满足题意． 解答题 1．已知二次函数． (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)画出该函数的大致图象． 【答案】(1)与轴的交点坐标为和，与轴的交点坐标为 (2) 二次函数图象如下： 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． （1）将、分别代入函数解析式，计算求解即可； （2）求出函数的对称轴，通过描点法画出函数图象即可． 【详解】（1）解；令得，， 则与轴的交点坐标为， 令得， 解得或， 则与轴的交点坐标为和； （2）解：根据题意得，二次函数， 由（1）知，该函数图象经过点、和， 其对称轴为， 令，则， 则顶点坐标为． 2．已知，二次函数的图象经过点，抛物线对称轴为直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)若是该二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知点坐标求出常数项，再根据二次函数对称轴公式求出，即可得到二次函数解析式； （2）根据是二次函数与轴交点横坐标，得到满足的方程，通过降次变形化简所求代数式，消去含的项后即可计算出结果． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， 将代入解析式得， ∵抛物线对称轴为直线，二次函数中，对称轴公式为， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：∵是二次函数图象与轴交点的横坐标， ∴， 当时，， ∴， 等式两边同时除以得，即， 由得， ， ∴， 代入得：， ∴， ∴， 代入得：， ∴． 3．若抛物线（）经过点，． (1)求与之间的关系式． (2)若将此抛物线向下平移1个单位长度，该抛物线与轴没有交点，求的取值范围． (3)已知点，在抛物线上，满足．当对于任意的，满足时，都有．求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明：∵， ∴， ∴， ∴，即 ∵ ∴ ∴， ∵对于任意的，满足时，都有 ∴ 【分析】（1）利用交点求出对称轴即可得出关系式； （2）将代入抛物线解析式得出，再由（1）确定，得出，结合平移得出，利用函数交点问题求解即可； （3）根据题意得出，确定，，再由，得出，再由不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（）经过点和， ∴对称轴， ∴； （2）解：将代入抛物线解析式得， 又由（1）知， ∴， ∴， 将该抛物线向下平移1个单位，得， ∵此时与轴没有交点， ∴开口向下，即，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）略． 4．已知二次函数的图象如图所示，回答下列问题： (1)方程的根是______； (2)当时，x的取值范围是______； (3)若点均在二次函数的图象上，直接写出、的大小关系． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】题目主要考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据函数图象即可直接得出结果； （2）结合函数图象求解即可； （3）根据题意得出函数的对称轴为，确定距离对称轴越远，函数值越小，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象得：当时，或， ∴方程的根是， 故答案为：； （2）由图象得：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （3）∵方程的两个根为， ∴函数的对称轴为， ∵开口向下， ∴距离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 5．小明同学学习二次函数后，对函数研究．在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题： (1)观察研究 ①方程的解为________． ②关于x的方程有四个实数根时a的取值范围是____ (2)综合应用：当函数的图象与直线也有三个交点时，求出b的值． 【答案】(1)或或； (2)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用图象求方程的根和不等式的解集，是解题的关键． （1）①找到曲线与的交点的横坐标即可； ②图象法解不等式即可； （2）观察图象可知当直线过时，函数的图象与直线有三个交点或当与只有一个交点时，两个图象有3个交点，进行求解即可； 【详解】（1）解：补充并观察图象可知：上顶点为，中间顶点为， ①方程的解为：或或； ②关于x的方程有四个实数根时，则a的取值范围是． 故答案为：或或；； （2）把点代入得，， 令，整理得， 则，解得， ∴当函数的图象与直线有三个交点时，b的值为或； 6．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：列表如下： … 0 … … … 函数图象见解析； （3）解：由函数图象可知，当时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次函数与一元二次方程的关系精讲学案 课堂核心立意 以数形结合思想为核心，打通二次函数图像、一元二次方程、判别式三者双向转化逻辑，实现由图像看方程根、由方程性质判断函数图像特征，为二次函数不等式、交点式解析式、参数取值范围综合题搭建底层解题依据。 一、函数与方程核心对应关系 ①二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根。 ②令二次函数解析式中y=0，可直接将函数解析式转化为对应一元二次方程，实现函数向方程的转换。 ③若一元二次方程ax2+bx+c=0两根为x1、x2，可直接写出抛物线交点式解析式y=a(x-x1)(x-x2)。 二、判别式=b2-4ac双向判定规律 ①>0：一元二次方程有两个不相等实数根，抛物线与x轴存在2个不同交点； ②=0：一元二次方程有两个相等实数根，抛物线顶点落在x轴上，仅有1个公共交点； ③<0：一元二次方程无实数根，抛物线整体在x轴上方或下方，与x轴无交点； ④逆向应用：已知抛物线与x轴交点个数，反向判定判别式正负，求解解析式中参数取值。 三、利用二次函数图像求解一元二次方程近似解 ①在平面直角坐标系内精准画出对应二次函数图像； ②观察抛物线和x轴交点的横坐标数值； ③交点横坐标即为一元二次方程的实数近似根，区间估值可锁定根的取值范围。 四、抛物线两交点距离计算公式 ①设抛物线与x轴交点横坐标为x1、x2，两交点水平距离公式：|x1-x2|=； ②结合韦达定理x1+x2=-、x1x2=，可在不解方程前提下直接计算交点间距。 五、结合图像求解一元二次不等式基础方法 ①y>0对应图像在x轴上方部分，横坐标取值为x<x1或x>x2（a>0开口向上）； ②y<0对应图像在x轴下方部分，横坐标取值为x1<x<x2（a>0开口向上）； ③开口向下时不等式解集方向整体反转，依托交点划分取值区间。 ①表述区分：“抛物线与x轴有交点”对应0，“两个不同交点”严格要求>0，等号取舍极易失分； ②交点坐标书写：横坐标为方程根，纵坐标必须标注0，只写数值属于书写疏漏； ③交点式使用前提：必须已知抛物线与x轴两个交点横坐标，不可随意套用； ④图像估算方程根时，结合网格刻度缩小误差，避免粗略估算导致数值偏差过大。 题型 考察方向 难度 题型一 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ★★ 题型二 求抛物线与 y 轴的交点坐标 ★★ 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★★ 题型四 抛物线与 x 轴的交点问题 ★★★ 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ★★★ 题型六 求 x 轴与抛物线的截线长 ★★★ 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★★ 题型八 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★★ 题型十 根据交点确定不等式的解集 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高★★★★压轴 题型一：求抛物线与 x 轴的交点坐标 解题思路： ①令二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 中的y=0，转化得到一元二次方程 ax2+bx+c=0。 ②解该一元二次方程，求出方程实数根 x1、x2；若方程无实数根，则抛物线与x轴没有交点。 ③将根写成坐标形式：(x1,0)、(x2,0)；当=0时，只有一个交点即顶点在x轴上。 1．已知在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）与x轴的一个交点是，则它与轴的另一个交点的坐标为______． 2．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 3．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 4．如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．6 题型二：求抛物线与 y 轴的交点坐标 解题思路： ①令二次函数解析式中 x=0。 ②将x=0代入解析式，计算出对应的函数值y，y的值就等于解析式常数项c。 ③写出交点坐标 (0, c)，抛物线与y轴有且只有这一个交点。 5．二次函数的图象与轴交点坐标是________． 6．抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 7．在抛物线上有，两点，若抛物线与轴的交点在负半轴上，则，的大小关系为______． 8．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 题型三：已知二次函数的函数值求自变量的值 解题思路： ①把题目给定的函数值k替换解析式中的y，得到方程 ax2+bx+c=k。 ②移项整理成标准一元二次方程 ax2+bx+(c-k)=0。 ③解一元二次方程，方程的解就是对应的自变量x。 ④结合题意检验根，舍去不符合实际条件的解。 9．已知点在抛物线上，则的由大到小关系是___________________． 10．数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨，的交点为坐标原点建立平面直角坐标系．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．抛物线的表达式为，若点A到轴的距离是，则，两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 11．如图，第四象限内一点在抛物线上，点的坐标为，第四象限内一点在直线上，横坐标为．若向右平移抛物线后，的顶点恰好都在新抛物线上，则的值为___________． 12．如图，已知抛物线与直线，当任取一值时，对应的函数值分别为，．若，取，中较小值并记为；若，记，例如：当时，，，，此时；当时，，此时．设，当分别等于，，时，对应的值分别记为，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型四：抛物线与 x 轴的交点问题 解题思路： ①计算判别=b2-4ac}判断交点个数：>0有2个不同交点；=0只有1个交点；<0无交点。 ②读清题干文字条件：题干说“有交点”则用 0}；题干说“两个不同交点”则用>0。 ③如果求参数范围，根据交点个数列出不等式/方程求解参数，注意隐藏条件a≠0。 ④需要交点坐标时，令y=0解方程求出交点横坐标。 13．抛物线 与x轴没有交点，请写出一个符合条件的a的值为________． 14．在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴只有1个交点，则m的值为（   ） A． B． C． D． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 16．已知关于的二次函数（m，n是常数且）的图象如图所示，则双曲线和直线在同一平面直角坐标系中大致位置是（    ） A．B．C．D． 题型五：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 解题思路： ①观察图像中抛物线与x轴的交点数量。 ②有2个交点 ⇒ 对应一元二次方程有两个不相等的实数根；仅有1个交点 ⇒ 方程有两个相等实数根；没有交点 ⇒ 方程无实数根。 ③抛物线与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根。 ④若图像给定交点横坐标，可以直接写出方程的根。 17．如图是函数的图像．则方程的解是___________． 18．根据下表中二次函数的取值情况，可知方程的根是（   ） … 0 1 2 3 4 … … 15 8 3 0 0 3 8 … A．， B．， C．， D．， 19．二次函数的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（c为实数）在范围内有解，则c的取值范围为_____． 20．二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（     ）．    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 题型六：求 x 轴与抛物线的截线长 解题思路： ①方法一：求出抛物线和x轴两个交点(x1,0)、(x2,0)，截线长就是两点水平距离|x1-x2|。 ②方法二（不解方程）：算出判别式，直接套用公式|x1-x2|=计算截线段长度。 ③截线长是线段长度，计算结果必须为正数；\Delta<0时不存在截线。 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为________． 22．老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点；小彬说：过点；小明说：；小颖说：抛物线被轴截得的线段长为．你认为四人的说法中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．二次函数与轴交于两点和，顶点为，连接，当时，______． 24．定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是________．      题型七：图象法确定一元二次方程的近似根 解题思路： ①把一元二次方程整理成 ax2+bx+c=0，构造对应的二次函数 y=ax2+bx+c。 ②画出二次函数图像，观察抛物线与x轴交点落在哪两个相邻的横坐标之间。 ③计算区间端点对应的函数值，函数值正负发生改变的区间就是根所在区间。 ④不断缩小区间范围，读取交点横坐标，得到方程的近似根。 25．已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是______． 26．在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 27．二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（   ） A． B． C． D． 题型八：图象法解一元二次不等式 解题思路： ①把不等式整理成 ax2+bx+c>0（或<0、0、0）形式，画出y=ax2+bx+c图像。 ②求出抛物线与x轴交点横坐标x1、x2（不妨设x1<x2）。 ③看开口方向：a>0开口向上；a<0开口向下。 ④y>0取图像在x轴上方部分对应的x取值；y<0取图像在x轴下方部分对应的x取值。 ⑤注意不等号带等号时，解集要包含交点的横坐标。 28．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 29．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 30．已知二次函数过点，，三点．记，，则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型九：利用不等式求自变量或函数值的范围 解题思路： ①看清题目要求：是已知自变量范围求函数值，还是已知函数值范围求自变量。 ②求出抛物线对称轴、与x轴交点，画出简易示意图。 ③已知自变量范围求函数值：结合对称轴判断区间内增减性，确定区间端点与顶点的函数值，写出y的取值。 ④已知函数值范围求自变量：画出对应函数值的水平直线，找到直线与抛物线交点，结合图像看图像满足条件部分对应的x取值。 ⑤注意区分是否包含边界值。 31．点在二次函数的图象上．若，则的取值范围是___________． 32．已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 33．若点，，在抛物线上，且，则的取值范围是______． 34．已知二次函数（）的图象经过、、三点，若点在该函数图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十：根据交点确定不等式的解集 解题思路： ①根据图像读出抛物线与x轴交点的横坐标x1、x2，分清大小x1<x2。 ②判断抛物线开口方向，开口向上还是向下。 ③大于0的解集：取图像在x轴上方所对应的x；小于0的解集：取图像在x轴下方所对应的x。 ④如果不等号含有等号，解集把交点横坐标一并纳入。 ⑤若是a(x-x1)(x-x2)形式，直接用交点划分区间，不用展开计算。 35．如图，抛物线与直线交于A、B两点，则的解集是________． 36．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 37．已知二次函数与一次函数 ，二次函数图象过点，则不等式的解集为_____． 38．当时，抛物线与直线有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解答题 1．已知二次函数． (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)画出该函数的大致图象． 2．已知，二次函数的图象经过点，抛物线对称轴为直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)若是该二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标，求的值． 3．若抛物线（）经过点，． (1)求与之间的关系式． (2)若将此抛物线向下平移1个单位长度，该抛物线与轴没有交点，求的取值范围． (3)已知点，在抛物线上，满足．当对于任意的，满足时，都有．求证：． 4．已知二次函数的图象如图所示，回答下列问题： (1)方程的根是______； (2)当时，x的取值范围是______； (3)若点均在二次函数的图象上，直接写出、的大小关系． 5．小明同学学习二次函数后，对函数研究．在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题： (1)观察研究 ①方程的解为________． ②关于x的方程有四个实数根时a的取值范围是____ (2)综合应用：当函数的图象与直线也有三个交点时，求出b的值． 6．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $