第04讲 二次函数的概念（2大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2026年暑假人教版九年级数学上册衔接讲义

第04讲 二次函数的概念（2大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 列二次函数关系式 典型例题二 二次函数的识别 典型例题三 根据二次函数的定义求参数 典型例题四 二次函数关系式——销售问题 典型例题五 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题 典型例题六 二次函数关系式——几何图形 知识点01 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·北京丰台·阶段检测）下列三个问题中都有两个变量：①把一个长、宽的长方形的长减少，宽不变，长方形的面积y（单位：）随x的变化而变化；②一个矩形绿地的长为，宽为，若长和宽各增加，则扩充后的绿地的面积y（单位：）随x的变化而变化；则y关于x的函数关系正确的是（　　） A．①二次函数，②一次函数 B．①一次函数，②二次函数 C．①二次函数，②二次函数 D．①一次函数，②一次函数 【答案】B 【分析】根据题意分别求出对应的函数关系式，即可进行判断． 【详解】解：①，是一次函数； ②，是二次函数； 故选：B 【点睛】本题考查函数类型的识别．正确列出函数关系式是解题关键． 2．（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键．根据二次函数的定义，可得，并且注意二次项系数不能为0，即，即可解答． 【详解】解：由题意得， 解得， ， 故答案为：． 知识点02 二次函数注意问题 （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 【即时训练】 1．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据二次函数要求二次项系数不为0，二次函数图象与x轴有交点时对应一元二次方程的判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数， 又∵该函数图象和轴有交点，即方程有实根， ∴， 化简得，解得， 综上的取值范围是且． 2．（2025·河南郑州·一模）抛物线与轴有两个交点，的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题主要考查二次函数图象与轴的交点情况与判别式的值之间的关系，根据抛物线与轴有两个交点，得判别式的值大于零，进而即可得到答案． 【详解】∵抛物线与轴有两个交点， ∴，解得：， 又∵， ∴且． 故答案是：且． 【典型例题一 列二次函数关系式】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减成本，销售数量由题干给出，由此可解． 【详解】解：∵ 每件利润为元，每天销售件， ∴ 每天利润 ． 故选：A． 【例2】（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 【例3】（2025九年级上·全国·专题练习）把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】18 【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，将二次函数表达式展开为一般形式，常数项即为． 【详解】解：， 故常数项为． 故答案为：18． 【例4】（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 1．（25-26九年级下·全国·课后作业）设圆的半径为r，面积为S． (1)试写出S与r之间的函数关系式； (2)画出这个函数的图象． 【答案】(1). (2) 【分析】（1）由圆的面积公式写出函数关系式即可； （2）根据函数关系式，列表描点连线，即可画出函数图象． 【详解】（1）解：由圆的面积公式可得，； （2）解：由（1）得， 列表可得， 描点连线，图象略 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）把一根长为的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，以其中一个正方形的边长为自变量，设两个正方形的面积和为． (1)写出与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)求出的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列函数关系式，二次函数的最值问题，求自变量的取值范围，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得另一个正方形的边长为，根据正方形面积计算公式列出对应的函数关系式即可，再根据正方形的边长大于0列出不等式求出自变量的取值范围即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∵要围成两个正方形，且正方形的边长大于0 ∴， ∴； （2）解： ， ∵，且， ∴当时，y有最小值，最小值为． 3．（24-25九年级上·全国·期中）写出下列各函数的关系式，并说明是什么函数： (1)直角边的和为20，其中一条直角边长为x，直角三角形的面积为S，写出S和x之间的函数关系式； (2)写出圆的面积S与半径x的函数关系式； (3)写出正方形的面积y与边长x之间的函数关系式； (4)写出圆的周长C与半径r之间的函数关系式． 【答案】(1)，S是x的二次函数； (2)，S是x的二次函数； (3)，y是x的二次函数； (4)，C是r的一次函数． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键． （1）根据两直角边之间的关系可得出另一条直角边为，利用三角形的面积计算公式，即可找出S与x之间的函数关系式， （2）根据圆面积的公式即可得出函数解析式， （3）由正方形面积的计算方法可得出函数解析式， （4）由圆的周长的计算方法可得出函数解析式，由此即可判断函数类型． 【详解】（1）解：由三角形的面积计算方法可得：， S是x的二次函数； （2）由圆面积的计算方法可得：， S是x的二次函数； （3）由正方形面积的计算方法可得：， y是x的二次函数； （4）由圆的周长的计算方法可得：， C是r的一次函数． 【典型例题二 二次函数的识别】 【例1】（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 【例2】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义判断各选项函数类型，即可得到答案． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合定义； 选项B：是二次函数，不符合定义； 选项C：符合 （）的形式，是反比例函数，符合要求； 选项D：是正比例函数，不符合定义． 【例3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）二次函数化简后，其一次项系数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的展开化简及项的系数识别，解题的关键是将二次函数的乘积形式展开为一般式，再确定一次项的系数． 将按多项式乘法法则展开，合并同类项得到二次函数的一般式，进而找出一次项对应的系数． 【详解】解：， 其一次项为，系数是． 故答案为：． 【例4】（25-26九年级上·全国·课后作业）粉末床熔融工艺是目前金属增材制造领域发展最快的技术，现准备用该方式打印一圆柱形工件，记工件的底面圆半径为，高为，工件体积为． (1)当是常量时，是的______函数． (2)当是常量时，是的______函数． 【答案】(1) 一次 (2) 二次 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念、常量与变量，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）由一次函数的定义可得，当是常量时，是的一次函数． （2）由二次函数的定义可得，当是常量时，是的二次函数． 【详解】（1）解：由题意得：， 当是常量时，是的一次函数． 故答案为：一次． （2）由题意得：， 当是常量时，是的二次函数． 故答案为：二次． 1．（24-25九年级上·广东中山·阶段检测）下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各对应项的系数及常数项． ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤． 【答案】①②③为二次函数，不是二次函数的有：④⑤；各对应项的系数及常数项见解析 【分析】本题主要考查二次函数的相关定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 由二次函数的定义可得①②③是二次函数，然后分别写成各二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解：①②③为二次函数， 其中①的二次项系数为，一次项系数为0，常数项为1． ②的二次项系数为6，一次项系数为2，常数项为0； ③，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为2． ④、⑤不是二次函数． 2．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【答案】 解：乙的说法对，理由如下： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． 【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将配方得出，从而得出无论取何值，，结合二次函数的定义即可得解． 【详解】略 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，用长为的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃． (1)设矩形的一边为，面积为，求关于的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)并写出自变量的取值范围； (4)当时，所围苗圃的面积是多少？ 【答案】(1) (2)二次函数 (3) (4) 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）篱笆只有两边，且其和为18，设一边为，则另一边为，根据公式表示面积求解即可； （2）根据二次函数定义可得答案； （3）根据实际意义，矩形边长应大于0，列不等式组求解即可； （4）把代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：由已知，矩形的另一边长为， 则； 即； （2）解：是二次函数； （3）解：根据实际意义，得， 解得：． ∴自变量的取值范围为 （4）解：把代入，得 ， 答：当时，所围苗圃的面积是． 【典型例题三 根据二次函数的定义求参数】 【例1】（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 【例2】（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 【例3】（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 【例4】（25-26九年级上·广东肇庆·期末）已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的函数值，通过直接计算点A和点B的纵坐标值进行比较． 【详解】解：对于抛物线， 当时， ； 当时， ． 因为， 所以 故答案为：． 1．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 2．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）已知为二次函数； (1)求值； (2)当为何值时，图像顶点在轴上． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的图像与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求可得函数解析式为，利用顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，再根据在x轴上的点的纵坐标为0建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵为二次函数， ∴， ∴； （2）解：由（1）得函数解析式为， ∴顶点的纵坐标为， ∵图像顶点在轴上， ∴， 解得． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； （2）解：∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 【典型例题四 二次函数关系式——销售问题】 【例1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 【例2】（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 【例3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 【例4】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 1．（2026·辽宁沈阳·三模）某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. (1)求与的函数关系式； (2)设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（且为整数） (2)当每件商品的售价定为32元或33元时，每天的销售利润最大，最大利润是612元 【分析】（1）根据“现有销售量原销售量涨价减少的销售量”列出与的函数关系式，并结合实际意义确定自变量的取值范围； （2）根据“总利润每件商品的利润销售量”得到关于的二次函数, 再利用二次函数的性质结合为整数的条件, 求出最大利润和对应售价． 【详解】（1）解：（且为整数）； （2）解：， 对称轴为直线， 因为x为整数，且两侧的整数为32和33，， 当时， （元）． 当时： （元）． 答：当售价定为32元或33元时，每天利润最大，最大利润为612元． 2．（2026·河南周口·二模）某农资店经销一种优质化肥，进价为每吨元，物价部门规定销售单价不低于进价，且不高于每吨元．经市场调研：当售价定为每吨元时，每日可售出吨；售价每提高元，每日销量减少吨．设每吨售价提高元． (1)写出每日销售量与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当每吨售价定为多少元时，每日销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1)（且为整数） (2)当每吨售价定为元时，每日销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）先根据“每提高元，销量减少吨”，写出销量关于的表达式为；再根据“售价不低于进价不高于元”结合“表示售价提高的次数”确定的取值范围即可； （2）设每日销售利润为元，根据“总利润=单吨利润×销量”得到利润的二次函数表达式；再利用二次函数的对称轴公式找到顶点横坐标，验证其在的取值范围内后，代入求得最大利润和对应售价即可． 【详解】（1）解：∵当每吨售价提高元时，每日销量减少吨，原销量为吨， ∴每日销售量与之间的函数关系式为：； ∵物价部门规定销售单价不低于进价，且不高于每吨元， ∴，解得， ∵表示售价提高的次数， ∴且为整数， ∴的取值范围为：且为整数； 综上，函数关系式为：（且为整数）； （2）解：设每日销售利润为元， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵对称轴为，满足且为整数， ∴当时，， 元． 答：当每吨售价定为元时，每日销售利润最大，最大利润是元． 3．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示． (3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 【答案】(1)； (2) (3)销售单价应为元 【分析】（1）根据题意进行计算即可； （2）根据题意列出关系式即可； （3）将代入（2）中的关系式，解方程求出的值，并根据题意进行取舍． 【详解】（1）解：根据题意，当销售单价定为每千克55元，月销售量为（千克）， 月利润为（元）； （2）解：根据题意可得，； （3）解：将代入，得， ， 整理，得， 解得，， 当时，月销售量为（千克）； 当时，月销售量为（千克）； ∵， 又∵需要尽快减少库存， ∴． 答：销售单价应为元． 【典型例题五 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】 【例1】（25-26九年级下·河北廊坊·期中）某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 【答案】D 【分析】先根据正比例函数和二次函数的性质，结合已知条件求出基础硬度和强化硬度关于厚度x的表达式，再求出总硬度y关于x的表达式，最后将代入表达式求出总硬度． 【详解】解：∵基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比，总硬度， ∴设，，其中，均不为0， 将，，分别代入得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴总硬度是95． 【例2】（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 根据增长率的问题可直接进行求解． 【详解】设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为， 根据题意得，． 故选：A． 【例3】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ________________． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数，掌握二次变化的关系式是解决本题的关键．两年后的产值=本年度的产值增长率，把相关数值代入即可． 【详解】解：第一年度的产值为， ∴第二年度的产值为， ∴． 故答案为： 【例4】（25-26九年级上·全国·周测）中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营里程约为0.8万公里．若2024年运营里程约为y万公里，运营里程的年平均增长率为x，则y关于x的函数表达式为__________________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，解题的关键是要读懂题目的意思，找到等量关系．先用x表示出2023年我国高铁的运营总里程，再表示出2024年我国高铁的运营总里程，然后根据已知条件列函数解析式即可． 【详解】解：2023年我国高铁的运营总里程：， 2024年我国高铁的运营总里程：， 根据题意，可列函数解析式为：．故选． 1．（25-26九年级下·全国·课后作业）2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【答案】(1)万 (2) 【分析】（1）根据增长率的意义列式求近似数即可； （2）根据增长率的意义，列式求解即可； 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 2．（2025·河北邯郸·二模）某超市计划在春节期间举办购物抽奖活动，凡消费满100元的顾客可获得一次抽奖机会．盒子中有红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色不同外，其他均相同，其中红球的数量为个，黄球的数量为个，蓝球的数量为10个（为正整数）．顾客随机摸出一个球，根据颜色获得不同面值的代金券．设盒子中球的总数为． (1)直接写出关于的函数表达式； (2)若超市希望红球的数量不少于黄球的数量，请利用函数的性质，求出的最小值； (3)在（2）中取得最小值的情况下，某顾客获得一次抽奖机会，求该顾客摸到黄球的概率． 【答案】(1)（为正整数） (2)18 (3) 【分析】本题考查了概率公式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接根据红、黄、蓝三种球的数量之和，写出y关于x的函数表达式即可； （2）由题意可得，则，运用二次函数的图象性质分析吗，进而可知当时取得最小值，即可得出答案； （3）当y取得最小值时，黄球的数量为4个，盒子中球的总数为18个，结合概率公式可得答案． 【详解】（1）解：∵红球的数量为个，黄球的数量为个，蓝球的数量为10个，设盒子中球的总数为 ∴（为正整数） （2）解：∵超市希望红球的数量不少于黄球的数量 ∴， ∴ 则或（舍去） 则，开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 则把代入，此时有最小值， 即， （3）解：依题意，在（2）中取得最小值的情况下，， ∴ 即黄球的数量为个， 此时盒子中球的总数为18个， ∴该顾客摸到黄球的概率． 3．（24-25九年级下·全国·课后作业）（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？ （2）完成下表： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 （3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？ 【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3） 【分析】（1）首先，观查每个图形的特点，算出每一个图形中的小圆圈数，据此推过推算即可得到第5个图中小圆圈的个数； （2）直接将（1）算出的结果填入下列表格即可； （3）接下来通过对表格进行分析，即可得到每一个图形的小圆圈数与该图形一条边上的小圆圈数之间的关系． 【详解】（1）观查每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个， 第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个， 第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个， 第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个， 由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个； （2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示， 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61 （3）结合（1）（2）可知，与之间的函数关系为： 首尾相加得 ． 【点睛】本题主要考查根据图形和数字寻找规律的知识.解决此类找规律的题目一般从特殊的数据入手，根据前后式子之间的异同推断出规律，再利用发现的规律解决相关问题． 【典型例题六 二次函数关系式——几何图形】 【例1】（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 【例2】（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，一个正方体的边长为，它的表面积为，则y与x的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，这6个正方形的面积和就是该正方体的表面积． 【详解】解：∵正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形， ∴表面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，理解两个变量之间的关系是得出关系式的关键． 【例3】（24-25九年级上·广东梅州·期末）某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为32米．请问当垂直于墙的一边的长为____米时，花圃的面积有最大值，最大值是____． 【答案】 8 128平方米/128m2 【分析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(32-2x) 米，根据矩形的面积公式列出关于x的二次函数，然后求出面积的最大值，即可求解． 【详解】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(32 - 2x)米，设矩形的面积为S，则S 关于x的函数关系式为： S= (32 - 2x)x =-2x2+ 32x =-2(x-8)2+ 128， 当x = 8时，S有最大值，最大面积为128； （当垂直于墙的一边长为8米，则平行于墙的一边长为32-2x=16米，符合题意） ∴当垂直于墙的一边的长为8米时，S有最大值128平方米． 故答案为：8；128． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出二次函数，利用二次函数的性质求解． 【例4】（24-25九年级上·上海·阶段检测）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式__________．（用二次函数一般式表示） 【答案】 【分析】根据矩形的面积公式，列出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数解析式为． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 1．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； (2)设矩形羊圈的面积为S，请写出S与的关系式，并写出的取值范围； (3)请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确列出函数表达式． （1）根据栅栏总长列式得出表达式即可； （2）根据矩形面积公式求出S与x的关系式，根据，及外墙长列不等式组解决即可； （3）利用矩形面积公式及二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：， ∵外墙长且， ， 解得：， ∴S与x的关系式为； （3）解： ， ， ∴当时，S最大，此时，， ∴当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，明德天心中学准备在校园里利用围墙围成矩形劳动实践基地（如图所示），学校计划用16米长的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃（注：围墙足够长）． (1)设矩形一边为（米），面积为（平方米），求与的函数解析式； (2)当矩形苗圃面积为60平方米时，求矩形的两边长； (3)当为何值时，所围苗圃面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)矩形的一边长为6米，另一边长为10米 (3)当时，所围苗圃的面积最大，最大面积是64平方米 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，利用二次函数的性质解答即可． （1）根据题意可知，矩形的一边长为x米，则另一边长为米，故矩形的面积，然后化简，即可得到y关于x的函数表达式； （2）令，解关于x的一元二次方程即可； （3）将（1）中的函数关系式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意可得，， 即关于的函数解析式为； （2）当时，则，解得：，， 所以矩形的一边长为6米，另一边长为10米； （3）由（1）知，， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为64， ∴当时，所围苗圃的面积最大，最大面积是64平方米． 3．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到50平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，． (2)当时，满足条件的花园面积能达到50平方米； (3)当时，最大，最大面积为200平方米． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用、一元二次方程的求解及二次函数的最值问题，熟练掌握“根据实际问题列函数关系式、结合自变量范围分析函数的取值与最值”是解题的关键． （1）根据栅栏总长表示出BC的长度，再结合矩形面积公式列函数关系式，同时根据墙长确定自变量取值范围． （2）将面积50代入函数关系式，解方程并结合自变量范围判断是否可行． （3）将函数关系式化为顶点式，结合自变量取值范围求最大值． 【详解】（1）解：∵，三边栅栏总长40， ∴． ∴，即． ∵墙长20， ∴， 解得． （2）解：令，则， 整理得， 解得． ∵， ，（舍去）， ∴， ∴当时，满足条件的花园面积能达到50平方米； （3）解：， 化为顶点式：． ∵， ∴当时，最大，最大面积为200平方米． 1．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，逐项判断是否一定满足条件即可． 【详解】解：A、，最高次项为一次，不是二次函数； B、，若则不是二次函数，不符合“一定”； C、，含有分式，不是整式函数，不符合； D、，满足二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南安阳·阶段检测）若函数是二次函数，则满足的条件为（    ）． A．为常数，且 B．为常数，且 C． D．可以为任意实数 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义即可得到答案． 【详解】由二次函数的定义可得， ， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握(是常数，)的函数，叫做二次函数． 3．（2026·河南驻马店·三模）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 4．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段检测）长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先根据周长，将长方形的另一边表示出来，再根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵长方形的周长为，其中一边为， ∴长方形的另一边长为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握长方形的面积计算方法. 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式。根据已知得出三角形的高，再利用三角形的面积公式列式即可． 【详解】解：∵BC边长为x(x>0)，BC边上的高比它的2倍多1， ∴这条边上的高为：2x+1， 根据题意得出：. 故选：C． 6．（24-25九年级上·全国·期中）二次函数的一次项是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，在二次函数（其中a、b、c是常数，且）中，叫做二次项，叫做一次项，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的一次项是， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·吉林·期中）当___________时，函数是二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，自变量的最高次数为2，因此令指数，求解m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数时，x的最高次数必须为2， 即的指数， 解得． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，解决本题的难点是求得另一正方形的边长，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 根据两个正方形的周长之和为，可求出另一个正方形的边长为 ，再利用正方形面积公式得到面积之和的函数关系式． 【详解】解：设其中一个正方形的边长为，则其周长为， 由于两个正方形的周长之和为， 因此另一个正方形的周长为， 故另一个正方形的边长为， 第一个正方形的面积为， 第二个正方形的面积为， 所以两个正方形的面积之和，即． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为_________． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出长方形的面积．先表示出边长缩短后的长方形的长和宽，计算出边长缩短后的长方形的面积，再计算出原长方形的面积，作差即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：长和宽缩短后的长方形的长为：，宽为， 边长缩短后的长方形的面积为： ， 原长方形的面积为：， 它减少的面积为：， 它减少的面积关于的函数解析式为， 故答案为：． 10．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为___________，是的___________函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为___________，是的___________函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为___________，是的___________函数． 【答案】 一次 反比例 二次 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （2 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （3 ）根据题意可得，即可得出，即可得出答案； 【详解】（1 ）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数． 故答案为：，一次 （2 ）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数． 故答案为：，反比例 （3 ）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴S是的二次函数． 故答案为：，二次 11．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【详解】解：将代入，得． 12．（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 13．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 14．（25-26九年级下·辽宁锦州·期中）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． (1)设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)应将价格定为元/千克 【分析】（1）利用利润＝（售价-成本）×销售量可得出关于的函数关系式； （2）令，求出的值，再根据题意对的值进行取舍即可． 【详解】（1）解：根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝千克， ， 整理得； （2）解：令，代入函数表达式得：， 解得：， 要让顾客得到实惠，售价应尽可能低， ∴， ∴此时荔枝定价为（元/千克）． 答：应将价格定为元/千克． 15．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙（的长不超过墙长），另三边用总长为的栅栏围住，设边长为，绿化带的面积为．如图，若墙长为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当绿化带的面积为时，求x的值； (3)求绿化带的面积最大时边长． 【答案】(1) (2) (3)绿化带的面积最大时，边长为 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，掌握根据题意列出函数解析式是解题的关键． （1）根据意义可知，根据矩形面积公式，即可列出函数解析式，根据的长不超过墙长，即可得到自变量x的取值范围； （2）将代入（1）中的解析式，解方程，即可求解； （3）把（1）中的函数解析式用配方法化简，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据意义可知， 则． （2）解：令，得， 化简得， 解得，（不合题意舍去）， 当绿化带的面积为时，边长为． （3）解：， ， 函数开口向下， 又， 当时，面积y有最大值． 答：绿化带的面积最大时，边长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 二次函数的概念（2大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 列二次函数关系式 典型例题二 二次函数的识别 典型例题三 根据二次函数的定义求参数 典型例题四 二次函数关系式——销售问题 典型例题五 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题 典型例题六 二次函数关系式——几何图形 知识点01 二次函数的定义 二次函数的定义： 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·北京丰台·阶段检测）下列三个问题中都有两个变量：①把一个长、宽的长方形的长减少，宽不变，长方形的面积y（单位：）随x的变化而变化；②一个矩形绿地的长为，宽为，若长和宽各增加，则扩充后的绿地的面积y（单位：）随x的变化而变化；则y关于x的函数关系正确的是（　　） A．①二次函数，②一次函数 B．①一次函数，②二次函数 C．①二次函数，②二次函数 D．①一次函数，②一次函数 2．（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数． 知识点02 二次函数注意问题 （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 【即时训练】 1．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．（2025·河南郑州·一模）抛物线与轴有两个交点，的取值范围是__________． 【典型例题一 列二次函数关系式】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025九年级上·全国·专题练习）把变成一般式，它的常数项为_____． 【例4】（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 1．（25-26九年级下·全国·课后作业）设圆的半径为r，面积为S． (1)试写出S与r之间的函数关系式； (2)画出这个函数的图象． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）把一根长为的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，以其中一个正方形的边长为自变量，设两个正方形的面积和为． (1)写出与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)求出的最小值． 3．（24-25九年级上·全国·期中）写出下列各函数的关系式，并说明是什么函数： (1)直角边的和为20，其中一条直角边长为x，直角三角形的面积为S，写出S和x之间的函数关系式； (2)写出圆的面积S与半径x的函数关系式； (3)写出正方形的面积y与边长x之间的函数关系式； (4)写出圆的周长C与半径r之间的函数关系式． 【典型例题二 二次函数的识别】 【例1】（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）二次函数化简后，其一次项系数是_________． 【例4】（25-26九年级上·全国·课后作业）粉末床熔融工艺是目前金属增材制造领域发展最快的技术，现准备用该方式打印一圆柱形工件，记工件的底面圆半径为，高为，工件体积为． (1)当是常量时，是的______函数． (2)当是常量时，是的______函数． 1．（24-25九年级上·广东中山·阶段检测）下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各对应项的系数及常数项． ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤． 2．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，用长为的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃． (1)设矩形的一边为，面积为，求关于的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)并写出自变量的取值范围； (4)当时，所围苗圃的面积是多少？ 【典型例题三 根据二次函数的定义求参数】 【例1】（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【例3】（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【例4】（25-26九年级上·广东肇庆·期末）已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 1．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 2．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）已知为二次函数； (1)求值； (2)当为何值时，图像顶点在轴上． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【典型例题四 二次函数关系式——销售问题】 【例1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【例3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【例4】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 1．（2026·辽宁沈阳·三模）某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. (1)求与的函数关系式； (2)设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 2．（2026·河南周口·二模）某农资店经销一种优质化肥，进价为每吨元，物价部门规定销售单价不低于进价，且不高于每吨元．经市场调研：当售价定为每吨元时，每日可售出吨；售价每提高元，每日销量减少吨．设每吨售价提高元． (1)写出每日销售量与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当每吨售价定为多少元时，每日销售利润最大?最大利润是多少? 3．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示． (3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 【典型例题五 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】 【例1】（25-26九年级下·河北廊坊·期中）某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 【例2】（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ________________． 【例4】（25-26九年级上·全国·周测）中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营里程约为0.8万公里．若2024年运营里程约为y万公里，运营里程的年平均增长率为x，则y关于x的函数表达式为__________________． 1．（25-26九年级下·全国·课后作业）2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 2．（2025·河北邯郸·二模）某超市计划在春节期间举办购物抽奖活动，凡消费满100元的顾客可获得一次抽奖机会．盒子中有红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色不同外，其他均相同，其中红球的数量为个，黄球的数量为个，蓝球的数量为10个（为正整数）．顾客随机摸出一个球，根据颜色获得不同面值的代金券．设盒子中球的总数为． (1)直接写出关于的函数表达式； (2)若超市希望红球的数量不少于黄球的数量，请利用函数的性质，求出的最小值； (3)在（2）中取得最小值的情况下，某顾客获得一次抽奖机会，求该顾客摸到黄球的概率． 3．（24-25九年级下·全国·课后作业）（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？ （2）完成下表： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 （3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？ 【典型例题六 二次函数关系式——几何图形】 【例1】（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，一个正方体的边长为，它的表面积为，则y与x的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·广东梅州·期末）某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为32米．请问当垂直于墙的一边的长为____米时，花圃的面积有最大值，最大值是____． 【例4】（24-25九年级上·上海·阶段检测）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式__________．（用二次函数一般式表示） 1．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； (2)设矩形羊圈的面积为S，请写出S与的关系式，并写出的取值范围； (3)请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出的最大值． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，明德天心中学准备在校园里利用围墙围成矩形劳动实践基地（如图所示），学校计划用16米长的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃（注：围墙足够长）． (1)设矩形一边为（米），面积为（平方米），求与的函数解析式； (2)当矩形苗圃面积为60平方米时，求矩形的两边长； (3)当为何值时，所围苗圃面积最大，最大值是多少？ 3．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到50平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 1．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南安阳·阶段检测）若函数是二次函数，则满足的条件为（    ）． A．为常数，且 B．为常数，且 C． D．可以为任意实数 3．（2026·河南驻马店·三模）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 4．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段检测）长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·全国·期中）二次函数的一次项是________． 7．（25-26九年级上·吉林·期中）当___________时，函数是二次函数． 8．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 9．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为_________． 10．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为___________，是的___________函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为___________，是的___________函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为___________，是的___________函数． 11．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 12．（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 13．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 14．（25-26九年级下·辽宁锦州·期中）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． (1)设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 15．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙（的长不超过墙长），另三边用总长为的栅栏围住，设边长为，绿化带的面积为．如图，若墙长为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当绿化带的面积为时，求x的值； (3)求绿化带的面积最大时边长． 学科网（北京）股份有限公司 $