第7讲 二次函数中线段、周长、面积最值问题 同步培优讲义 2026年秋季人教版数学九年级上册

第7讲 二次函数中线段、周长、面积最值问题

知识点：1.平面直角坐标系中线段长度计算，如平行于坐标轴的线段用坐标差的绝对值表示，一般线段用两点间距离公式。2.二次函数的最值性质：开口方向决定顶点是最大值或最小值点，可通过配方法或顶点公式求最值。 解题技巧：1.转化线段长度为二次函数表达式，如将动点坐标代入长度公式，整理成关于自变量的二次函数。2.结合函数开口方向和自变量取值范围（由动点位置限制确定），求二次函数的最值，即线段的最值。

 

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C．

(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；

(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．m为何值时线段的长度最大，并求出最大值．

【答案】(1)，   (2)当m时，PD是最大值

【详解】（1）解：∵二次函数经过，，，

∴将三点坐标代入解析式得，解得，∴二次函数的解析式为，

∵直线经过A、B两点，设直线解析式为，

∴将A、B两点代入得，解得，∴直线解析式为，

∵点C是直线与y轴交点，∴令，则，∴．

（2）解：∵点P在直线上方，∴，由题知，，

∴，∵，

∴当时，是最大值．

如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为．

(1)求抛物线和一次函数的表达式．

(2)如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值．

【答案】(1)，；  (2)．

【详解】（1）解：把代入，得：，解得：，

∴二次函数解析式为，把代入得：，解得：，

∴一次函数解析式为；

（2）设点的坐标为，则，∴，

∵，∴当时，取得最大值，最大值为．

 

知识点：1.两点间距离公式及平面几何中线段和的性质，如对称点到两点距离相等。2.二次函数图象上点的坐标特征，动点坐标可表示为含自变量的代数式，便于转化线段和为函数表达式。 解题技巧：1.利用对称转化，将折线和化为直线距离（如作某点关于对称轴或坐标轴的对称点，转化为两点间线段最短）。2.建立函数模型，用动点坐标表示线段和，结合二次函数最值性质（顶点或端点）求解，注意自变量取值范围对结果的限制。

 

如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？

【答案】(1)抛物线的函数表达式为

(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为．

【详解】（1）解：∵抛物线过点，，

∴，解得，∴抛物线的函数表达式为，

（2）解：∵四边形是矩形，∴，

∵点，在抛物线上，∴点，关于抛物线对称轴对称，∴由抛物线的对称性得，

，当时，，则点的纵坐标为，

矩形的周长，

，当时，矩形的周长有最大值，最大值为．

 

已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

(1)求点A、B、C三点的坐标；

(2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积；

(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)   (2)16  (3)存在，

【详解】（1）解：当时，，解得；

点坐标为点坐标为；当时，，点坐标为．

（2）解：，

∴设直线的解析式为：，把代入，得：；直线解析式：．

，设直线的解析式为：，把代入得：；

则直线解析式为：，联立解析式有：解得，；

点坐标为；．

（3）解：存在．

延长到点，使，过点作轴于点，连接，

 

∵，∴，

∴，∵，

∴，，

与关于对称，且为的中点，

点坐标为，，

∴的周长为：，

∴当在线段上时，的周长最小，同（2）法可得：直线的解析式为；

联立方程组，解得点的坐标为；

此时，，

的周长最小值为；

知识点：1.平面图形周长的构成，由多条线段长度之和组成，需明确各边与二次函数图象上点的坐标关系。2.二次函数的最值性质及坐标与线段长度的转化，如平行坐标轴线段用坐标差，一般线段用距离公式。 解题技巧：1.分解周长为已知固定线段与可变线段之和，转化为求可变线段和的最值。2.利用对称或几何模型（如两点之间线段最短）转化可变线段和，结合二次函数表达式求最值，注意动点坐标的取值范围限制。

如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．

(1)求点的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标；

【答案】(1)   (2)

【详解】（1）解：∵，∴当时，，当时，；

∴；

（2）解：∵，∴对称轴为直线，

作点关于对称轴的对称点，连接，

则：与对称轴的交点即为点，

∵，∴设直线的解析式为：，

把代入，得：，解得：；

∴，∴当时，；∴．

 

如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标．

 

【答案】(1)  (2)

【详解】（1）解：把代入抛物线得，，解得，

∴抛物线的函数表达式为；

（2）解：∵抛物线，∴抛物线对称轴为直线，

（3）连接交对称轴于点，

∵点、关于对称轴对称，，，

由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长，

设直线的解析式为，把代入得，，

解得，∴直线的解析式为，当时，，

知识点：1.平面图形面积计算公式（如三角形底乘高除以2、梯形上下底和乘高除以2），及坐标法求面积