第7讲 二次函数中线段、周长、面积最值问题 同步培优讲义 2026年秋季人教版数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数中线段、周长、面积的最值问题，系统梳理线段长度计算、对称转化、周长分解、面积割补等核心知识点，通过典型例题与变式构建从单一线段到综合图形的学习支架。 资料以几何直观为切入点，运用转化思想将最值问题转化为函数模型，培养学生数学思维，例题详解与分层练习助力掌握解题技巧，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生巩固提升、查漏补缺。

第7讲 二次函数中线段、周长、面积最值问题 典 型 例 题 题型 二次函数中求线段最值的问题 1 知识点：1.平面直角坐标系中线段长度计算，如平行于坐标轴的线段用坐标差的绝对值表示，一般线段用两点间距离公式。2.二次函数的最值性质：开口方向决定顶点是最大值或最小值点，可通过配方法或顶点公式求最值。 解题技巧：1.转化线段长度为二次函数表达式，如将动点坐标代入长度公式，整理成关于自变量的二次函数。2.结合函数开口方向和自变量取值范围（由动点位置限制确定），求二次函数的最值，即线段的最值。 1 例 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式及点C的坐标； (2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．m为何值时线段的长度最大，并求出最大值． 【答案】(1)， (2)当m时，PD是最大值 【详解】（1）解：∵二次函数经过，，， ∴将三点坐标代入解析式得，解得，∴二次函数的解析式为， ∵直线经过A、B两点，设直线解析式为， ∴将A、B两点代入得，解得，∴直线解析式为， ∵点C是直线与y轴交点，∴令，则，∴． （2）解：∵点P在直线上方，∴，由题知，， ∴，∵， ∴当时，是最大值． 1-1 变式变式 如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为． (1)求抛物线和一次函数的表达式． (2)如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】（1）解：把代入，得：，解得：， ∴二次函数解析式为，把代入得：，解得：， ∴一次函数解析式为； （2）设点的坐标为，则，∴， ∵，∴当时，取得最大值，最大值为． 题型 二次函数中求线段和最值的问题 2 知识点：1.两点间距离公式及平面几何中线段和的性质，如对称点到两点距离相等。2.二次函数图象上点的坐标特征，动点坐标可表示为含自变量的代数式，便于转化线段和为函数表达式。 解题技巧：1.利用对称转化，将折线和化为直线距离（如作某点关于对称轴或坐标轴的对称点，转化为两点间线段最短）。2.建立函数模型，用动点坐标表示线段和，结合二次函数最值性质（顶点或端点）求解，注意自变量取值范围对结果的限制。 2 例 如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得，∴抛物线的函数表达式为， （2）解：∵四边形是矩形，∴， ∵点，在抛物线上，∴点，关于抛物线对称轴对称，∴由抛物线的对称性得， ，当时，，则点的纵坐标为， 矩形的周长， ，当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 2-1 变式变式 已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)存在， 【详解】（1）解：当时，，解得； 点坐标为点坐标为；当时，，点坐标为． （2）解：， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：；直线解析式：． ，设直线的解析式为：，把代入得：； 则直线解析式为：，联立解析式有：解得，； 点坐标为；． （3）解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接， ∵，∴， ∴，∵， ∴，， 与关于对称，且为的中点， 点坐标为，， ∴的周长为：， ∴当在线段上时，的周长最小，同（2）法可得：直线的解析式为； 联立方程组，解得点的坐标为； 此时，， 的周长最小值为； 题型 二次函数中求周长最值的问题 3 知识点：1.平面图形周长的构成，由多条线段长度之和组成，需明确各边与二次函数图象上点的坐标关系。2.二次函数的最值性质及坐标与线段长度的转化，如平行坐标轴线段用坐标差，一般线段用距离公式。 解题技巧：1.分解周长为已知固定线段与可变线段之和，转化为求可变线段和的最值。2.利用对称或几何模型（如两点之间线段最短）转化可变线段和，结合二次函数表达式求最值，注意动点坐标的取值范围限制。 3 例 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，∴当时，，当时，； ∴； （2）解：∵，∴对称轴为直线， 作点关于对称轴的对称点，连接， 则：与对称轴的交点即为点， ∵，∴设直线的解析式为：， 把代入，得：，解得：； ∴，∴当时，；∴． 1-3 变式变式 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把代入抛物线得，，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2） 解：∵抛物线，∴抛物线对称轴为直线， （3） 连接交对称轴于点， ∵点、关于对称轴对称，，， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， 设直线的解析式为，把代入得，， 解得，∴直线的解析式为，当时，， 题型 二次函数中求面积最值的问题 4 知识点：1.平面图形面积计算公式（如三角形底乘高除以2、梯形上下底和乘高除以2），及坐标法求面积（割补法转化为规则图形）。2.二次函数动点坐标特征，可表示为含自变量的代数式，将面积转化为二次函数表达式。 解题技巧：1.用动点坐标表示图形的底和高，结合面积公式列出关于自变量的二次函数。2.确定自变量取值范围，根据二次函数开口方向，求顶点或端点处的最值，注意利用割补法简化面积计算。 4 例 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点D为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，求的最大值； 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴，，∵抛物线经过A、C两点，∴， ∴，∴； （2）过D作轴交于M，过B作轴交于N， ∴，∴，∴， 设，∴， 令，∴，∴， ∴，∴，， ∴，∴当时，的最大值是． 4-1 变式变式 如图1，已知抛物线经过三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值； (3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S． ①求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②S存在最大值，最大值为7，此时点 【详解】（1）解：∵抛物线经过三点， ∴，解得：，∴该抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接交于点P， ∵，∴，是定值， ∴当最小时，的周长最小， ∵点A、B关于对称轴l对称，∴，∴， ∴的周长最小的最小值为， ∴，∴，∴的周长最小的最小值为； （3）解：①∵，∴顶点， 如图，设直线的解析式为， 把点，代入得：，解得：， ∴直线的解析式为，∵点E的横坐标为m， ∴点，∵轴，∴点， ∴， ∴四边形的面积 ，即； ②存在，，∵， ∴当时，S取得最大值，最大值为7，此时点． 课 后 练 习 1 练 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 【详解】（1）解：把，，代入得：，解得， 抛物线的表达式为， （2）解：在二次函数中，令，得，解得：，， 设直线的解析式为，将代入得，，解得， 直线的解析式为，设，，轴，， ，， 当时，最大值为，此时． 2 练 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：由题意得：，解得：， 则抛物线的表达式为：，顶点； （2）解：过点在第二象限作轴，截取，则， ∵，∴，∴，则． 设直线的关系式为，将点代入关系式， 得，解得，∴直线的关系式为， 当时，，∴点，∴．∵，∴． 根据勾股定理，得，∴． 当共线时，最小， 则，即的最小值为． 3 练 如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：设所求二次函数的解析式为， 把，，代入得，解得， ∴这个二次函数的解析式是：． （2）解：∴，∴抛物线的对称轴为， 连接，如图所示： 设直线的解析式为， ∴解得，∴直线的解析式为， 当时， ，∴P点的坐标为； （3）解：过点作轴，分别与轴和交于点，连接，如图所示： 则四边形ACMB面积， ∵是一个定值，∴要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大， 设，则， ∴． 则 ∵∴开口向下，当时，有最大值， ∴即时，四边形ACMB面积最大，此时把代入， 得，∴． 4 练 如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，顶点为点． (1)求点，，的坐标； (2)对称轴上有一点，当最小时，求点的坐标； (3)二次函数图象上是否存在点，使得，若存在请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)点A、B、C的坐标分别为： (2) (3)或或或 【详解】（1）解：对于，当时，，令，则 解得：或3，即点A、B、C的坐标分别为：； （2）解：点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点， 由（1）点，设直线的表达式为：，则， 解得：，∴直线的表达式为：， ∵抛物线的对称轴为直线，∴当时，，即点； （3）解：存在，理由：由抛物线的表达式知，点， ∵，则，∴，即， 解得：或， 即点Q的坐标为：或或或． 5 练 如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积S的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)四边形面积S的最大值为，此时点 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点，∴， ∵对称轴为直线，∴，∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：设直线与对称轴的交点为点， 设直线的解析式为：，∴，解得：， ∴直线的解析式为：；∴点， ∵直线垂直平分，∴， ∴，， 当点与点重合时，，此时有最小值， ∴，此时的值最小， ∵，是定值∴当点时，有最小值， ∴． （3）解：过点作轴交于点， 设点的横坐标为，∴，， ∴， ∵四边形的面积，， ∴， ∴， 当时，有最大值，，∵， ∴当时，四边形面积有最大值为：，∴． 6 练 如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由； (3)在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为 (3)存在，面积的最大值为，点P的坐标为． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为，设函数的解析式为， 又函数图象经过点，，解得， ，即抛物线的函数解析式为； （2） 解：存在，函数的图象与y轴交于点C， ，， 令，得，解得，，， ∵抛物线的解析式为：，∴抛物线的对称轴为直线：， ∵，∴设直线的解析式为，可得，解得， 故直线的解析式为：， ∵中，的长度固定，点A、点B关于直线对称， ∴当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小， 将代入中得：，∴点N的坐标是； （3）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F，设，则， 点F的坐标为． ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时四边形的面积最大，最大值为 时，， 在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大，面积的最大值为，点P的坐标为． 7 练 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 【答案】(1)直线解析式为；抛物线表达式为 (2)线段的最大值为 (3)或 【详解】（1）解：把A、B两点坐标分别代入中，得：，解得：， ∴；上式中令，得，即； ∵抛物线的对称轴为直线，C、D关于对称轴对称，∴; 设直线解析式为，把A、D两点坐标代入得：，解得：， ∴直线解析式为； （2）解：如图，设交y轴于点E，当时，，则， ∴，∴为等腰直角三角形，∴； 过F作轴交于点N，则，∴为等腰直角三角形，∴； 设，则， ∴， 由于二次项系数为负，则当时，有最大值， ∴；即的最大值为； （3）解：如图，当点P在的右边时，设直线交y轴于点R， ∵抛物线的对称轴为直线，∴当时，，即； 设直线的解析式，则有，解得，∴直线的解析式， 上式中令，则，即； 设，∵四边形为矩形，∴，由勾股定理得， 即，解得：，即； ∵，∴由平移得； 如图，当点P在的左边时，同理：由勾股定理得：， 即，解得：，即；由平移得：； 综上，或． 8 练 如图抛物线与直线交于A，B两点，且点的坐标为，点的横坐标为1． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为直线上方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点． （ⅰ）当线段取最大值时，求点的坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，过点作交直线于点，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）解：点在直线上，，解得， 直线的表达式为， 当时，，点的坐标为，  ，， 将点代入，得，解得，抛物线的表达式为． （2）解：（ⅰ）如图，过点作轴于点，交直线于点． 设直线与轴交于点，则点的坐标为．，． ，，，， 设点的横坐标为，则点的横坐标也为， ，， ，         当时，取得最大值，，点的纵坐标也为． 令，解得，点的坐标为．                        （ⅱ）由题意，得点的坐标为．                                         如图，当抛物线经过点时，，解得， 当时，，此时抛物线与线段有两个交点， 当抛物线经过点时，，解得， 当时，， 此时抛物线与线段有一个交点， 综上所述，若抛物线与线段只有一个交点，则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $