1.1 探索勾股定理 预习自测2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学勾股定理预习自测，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的知识进阶，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股定理基本计算、正方形面积关系|单选1-3直接应用定理，填空11-12强化边长与面积关联| |能力提升|定理证明、弦图综合计算|单选5-7结合赵爽弦图等证明方法，填空13-14渗透方程思想| |综合应用|实际情境建模、跨知识综合|解答16-20涉及最短路径、代数最值，培养几何直观与应用意识|

1.1 探索勾股定理 预习自测2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，在中，，则的长为（   ） A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2 2．若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 3．在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 4．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．8 B．12 C．6 D．24 5．在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 6．小明在小区玩秋千，静止时踏板离地面米．推动后踏板水平移动了4米，此时踏板离地面米．若秋千绳长不变且始终绷直，那么秋千的绳子长度为（   ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 8．李老师家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（   ） A． B． C． D． 9．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4．若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列四个说法：①，②，③，④，其中正确的是（    ）    A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 10．如图，正方形的面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．中，，分别以为边作正方形，面积分别为9，16，x，则_____． 12．如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 13．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．直角三角形的直角边长为、，斜边长为．若，，则的值为_______． 14．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为_____． 三、解答题 16．在一次课外实践活动中，同学们要知道校园内A，B两处的距离，但无法直接测得．已知校园内A、B、C三点形成的三角形如图所示，现测得，，，请计算A，B两处之间的距离．    17．用四个图（1）所示的直角三角形拼成图（2）．在图（2）中，用“两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和”，验证勾股定理． 18．勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 19．如图，小区与公路的距离米，小区与公路的距离米，已知米，现要在公路旁建造一利民超市，使到、两小区的路程之和最短，超市应建在哪？ (1)请在图中画出点P； (2)求的最小值． 20．勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A C C C C C D 1．【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的面积， 先根据勾股定理求出，再根据三角形面积相等得出答案即可． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 即， 解得． 故选：B． 2．【答案】D 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分情况讨论，避免遗漏． 分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当长为的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25； 当长为的边为直角边时，由勾股定理得：； 综上所述，的值为或， 故选：D． 3．【答案】C 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：，，的对边分别是，，，， 为斜边， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 4．【答案】A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 5．【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 由图形中的面积关系：梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，化简即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ， 整理得， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理； 故选：C． 6．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 设秋千的绳子的长度为米，则米，进而得到米，在中，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：米、米， 设秋千的绳子的长度为米，则米， 四边形是矩形， 米、米， 米， 米， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得， 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、以直角三角形三边为边长的图形面积、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点． 设八个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为，得到正方形的面积，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到，，整体代入得到． 【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， ． 8．【答案】C 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理．电梯是个长方体，电梯中能放下的最大长度就是长方体对角线的长度，连接、构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图所示， 电梯中能放下的最大长度就是线段的长度， ， ， ， 故选：C． 9．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】利用大正方形面积和勾股定理可判断①，利用小正方形面积可求出小正方形边长，再利用线段和差可判断②，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断③，利用①③可判断④． 【详解】解：如图，    ∵是直角三角形， ∴根据勾股定理得，故①正确； 由图可知，故②正确； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即，故③正确； 由可得． ∵， ∴，整理得， ∴，故④错误． 正确的是①②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，解题的关键是利用大正方形面积和小正方形面积得出大正方形和小正方形的边长． 10．【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及等腰直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理，找出规律是解题的关键．设正方形的边长为，求出找出规律，则，即可得出结论． 【详解】 解：如图，设正方形的边长为， 则， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， ， 同理，， 则， ， ． 故选：D． 11．【答案】25 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据正方形面积等于边长的平方，结合勾股定理建立等量关系求解． 【详解】解：∵分别以为边作正方形，面积分别为9，16，x， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 解得． 12．【答案】 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的验证，核心思路是通过计算图形的总面积，两种不同的计算方法建立等式从而推导出勾股定理． 【详解】解：拼接后的图形是一个直角梯形，上底为，下底为，高为， 根据梯形面积公式：， 拼接后的图形由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成： 则两个直角三角形的面积为， 等腰直角三角形(斜边为)的面积为， ∴， 即， 验证的定理是勾股定理． 故答案为：． 13．【答案】14 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理，理解大正方形面积为是解题关键．根据图象可得，，得出，，再根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：根据图象可得，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 故答案为：14． 14．【答案】 【知识点】列方程、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 15．【答案】36 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】在Rt△ACB中，， 则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和 故答案为：36． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 16．【答案】A，B两处之间的距离为10米 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】过作于构造直角三角形，在两个直角三角形中分别求得、，相减即可求得的长． 【详解】解：过作于， ， ， ， ，， 在中，，， 即，两处之间的距离为10米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是作出钝角三角形的高，从而构造两个直角三角形，利用勾股定理解之． 17．【答案】 解：由题意得，图（2）中大正方形边长为，小正方形边长为， ∵图（2）中，两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和， ∴， ∴， ∴． 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正确理解题意得到是解题的关键．先根据题意得到图（2）中大正方形边长为，小正方形边长为c，再根据面积之间的关系得到，即可推出． 【详解】略 18．【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理的证明及运用，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）通由勾股定理得，，得到，结合得到，最后根据阴影部分的面积求解即可； （2）由题意得，，，得到，再代入计算即可； （3）由勾股定理得到，即，再代入求值即可． 【详解】解：（1）由勾股定理得，， 即， 因为， 所以， 由图形可知，阴影部分的面积， 所以阴影部分的面积； （2）由题意得，， 所以， 因为正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24， 所以， 所以， （3）由题意可知：，，，， 如解图，连接， 在和中，， 即， 所以． 19．【答案】(1) 如图1：作关于的对称点， 连接，交于， (2)1000 【知识点】最短路径问题、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】（1）如图1：作关于的对称点，连接，交于，即可得到结果； （2）由对称性得的最小值为线段的长，作于点，在△中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：略． （2）解：由对称性得的最小值为线段的长， 作于点，在△中， ，， ， 的最小值． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，作图应用与设计作图，坐标与图形的性质，确定出的位置是本题的关键． 20．【答案】(1) 验证：在图中，， 在图中， ∴， ∴． (2)； (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、勾股定理的证明方法、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】（1）利用正方形的面积一定，得出等式，化简即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而计算即可； （3）利用勾股定理，结合（2）的思路，得出的最小值为的长即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴最大为． （3）解：由图可得，，， ∴， 由（2）可知，点在线段上时，取最小值， ∴的最小值为的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴的最小值为． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $