1.1 探索勾股定理 分层分类训练 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础应用到综合创新再到真题演练，覆盖勾股定理5大考点，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标练|5个基础考点（解三角形、面积关系等）|选择填空为主，直接应用定理，巩固概念理解| |能力提升练|综合考点（弦图构造、证明推导）|解答题结合探究，深化推理能力，如赵爽弦图面积推导| |真题提前练|中考真题考点（实际应用、对称问题）|情境化问题，强化应用意识，如梯子高度、红莲测深问题|

1.1 探索勾股定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点1 用勾股定理解三角形 考点2 以直角三角形三边为边长的图形面积 考点3 利用勾股定理计算两条线段的平方关系 考点4 勾股定理的证明方法 考点5 利用勾股定理构造图形解决问题（含弦图问题） 基 础 达 标 练 考点1 用勾股定理解三角形 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ， ． 2．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分类讨论，结合勾股定理计算后匹配选项． 【详解】解：分两种情况讨论. ∵当长为5的边为斜边时，第三边为直角边， ∴第三边长为； ∵当长为5的边为直角边时，第三边为斜边， ∴第三边长为． ∴D选项符合题意． 3．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）为打造以“的城市”为核心引领，紧紧聚焦“资源、客源、服务”三大关键要素的城市环境，经开区立足民生需求，对城区某干道进行亮化改造．如图，这是吊车安装路灯的示意图．已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为（   ） A．12米 B．14米 C．16米 D．18米 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出，再计算起重臂顶端离地面的高度即可． 【详解】解：∵米，米，， 米， ∵点到地面的竖直距离为2米， 米， ∴起重臂顶端离地面的高度为14米． 4．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有四种正方形纸片（每种纸片的数量足够多），面积分别是1，2，3，4，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则可以选取的方案共有（     ）种． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，而正方形面积恰好等于边长的平方，因此只需在1、2、3、4中选出三组可重复数字，满足两个较小面积之和等于最大面积，依次列举符合条件的组合，共计4种，由此确定答案． 【详解】解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积， ∵所围成的三角形是直角三角形， ∴斜边的正方形的面积=两直角边的正方形的面积和， ∴有，，，，四种情况． 考点2 以直角三角形三边为边长的图形面积 5．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 【答案】A 【分析】先由正方形的面积公式将，，，分别用含、、的式子表示，再根据勾股定理得到、、之间的等式，再转化为，，之间的等式，代入数值，即可求出的值． 【详解】解：∵以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 在中，， ∴，即正方形的面积为7． 7．（25-26八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． 8．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 考点3 利用勾股定理计算两条线段的平方关系 9．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 【答案】A 【分析】根据勾股数的定义，验证三个正整数是否满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，即可得到答案． 【详解】解：勾股数需满足三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方， A选项 ∵ ∴ 这组数是勾股数，符合题意； B选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； C选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； D选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意． 11．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 12．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则它们之间存在的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理，得，结合正方形的面积求解即可； 【详解】解：因为是的边上的高， 所以， 所以， 根据正方形的面积，得， 故． 故． 考点4 勾股定理的证明方法 13．（25-26八年级下·福建福州·期末）中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． 14．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形面积的不同表示方法建立等式，看能否推导出，若不能则符合题意． 【详解】解：A、大正方形的面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积个长宽分别为、的长方形面积， ，该式属于完全平方公式， 图中不涉及斜边，不能用来证明勾股定理，符合题意； B、梯形面积3个三角形面积之和， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意； C、大正方形面积中间小正方形面积个直角三角形面积， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意； D、大正方形面积中间小正方形面积个直角三角形面积， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意． 故选A． 考点5 利用勾股定理构造图形解决问题（含弦图问题） 15．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 16．（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再用两直角边的和减去斜边的长度即可得出少走的距离． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为． 这是一个直角三角形， 由勾股定理得：． 原路程为， 少走的距离为． 17．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 18．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 【答案】C 【分析】设，则，由题意及勾股定理列方程求出即可判断A、B；结合三角形全等的判定与性质即可判断C；结合前面的推导得出，直接计算即可判断D． 【详解】解：A、设，则， 在中，， 正方形的面积为， ，则， 解得， 四个相同的直角三角形（，，，）， ， 则正方形的面积为，选项结论错误； B、在中，，选项结论错误； C、在正方形中，，则， ， ， 由A的推导过程可知，则， ，即是的中点，选项结论正确； D、由前面的求解过程可知，，则，选项结论错误． 能 力 提 升 练 19．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，某工地内矗立着一座塔吊，为固定塔吊，施工人员从塔吊离水平地面15米处向地面拉了一根长17米的钢索，钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为______米． 【答案】8 【分析】根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图， 在中，，米，米， 则米， 即钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为米． 20．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 【答案】7 【分析】由正方形的面积公式得到，据此由勾股定理可得答案． 【详解】解：∵甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴或（舍去）． 21．（25-26八年级上·全国·期末）中，，分别以为边作正方形，面积分别为9，16，x，则_____． 【答案】25 【分析】根据正方形面积等于边长的平方，结合勾股定理建立等量关系求解． 【详解】解：∵分别以为边作正方形，面积分别为9，16，x， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 解得． 22．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 23．（23-24八年级上·山东青岛·阶段检测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 【答案】3 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为， 每一个直角三角形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴小正方形的面积为， ． 24．（2022·陕西商洛·模拟预测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若，小正方形的面积为1，则大正方形的面积为__________． 【答案】13 【分析】由题意可得，求出，结合勾股定理即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴两式相加可得， ∴， ∴结合勾股定理可得，大正方形的面积为． 25.（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 【答案】28 【分析】根据“大正方形面积个全等直角三角形面积小正方形面积”结合直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：题中图形是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案， ∵大正方形面积为81，小正方形面积为25， ∴， ∴． 26.（25-26八年级下·重庆永川·期末）如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 【答案】72 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为、（），先根据图1大正方形面积求出直角三角形的斜边长，根据小正方形面积得到两直角边的差值的平方，利用勾股定理得到的值，进而求出的值．分析图2中大正方形的边长与直角三角形两直角边的关系，可知其边长为，所以面积为，展开后代入已得的和的值即可计算． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为、（）， 图1中大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此大正方形面积满足：； 图1中小正方形的边长为，因此小正方形面积满足：， 展开得： ， 将代入上式，得， 解得． 图2中大正方形的边长为， 因此大正方形面积为： ． 27.（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 28．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，，．请用尺规作图法在边上求作点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求． 【分析】利用矩形性质和勾股定理构造所求点，矩形中为直角，已知，若，由勾股定理可得斜边，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，该点即为所求． 【详解】解：略． 29．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… (1)计算：____________________； (2)用含（是正整数）的等式表示上述变化规律：__________，__________； (3)求出的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）观察上述结论，可以发现，再开方即可求解； （2）观察上述结论，可以发现，即可求解； （3）的值就是把面积的平方相加即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， …… 按此规律，， ∴（负值已舍去）； （2）解：， ， ， …… 按此规律，， ， ， ， …… 按此规律，（是正整数）； （3）解： ． 真 题 提 前 练 30．（2026·河南·中考真题）如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质得到，再在中利用勾股定理求出斜边的长，即可得到的长度． 【详解】解：，，， 在中，， 与关于直线对称， ． 31.（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 32.（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为_______m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 探索勾股定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点1 用勾股定理解三角形 考点2 以直角三角形三边为边长的图形面积 考点3 利用勾股定理计算两条线段的平方关系 考点4 勾股定理的证明方法 考点5 利用勾股定理构造图形解决问题（含弦图问题） 基 础 达 标 练 考点1 用勾股定理解三角形 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 3．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）为打造以“的城市”为核心引领，紧紧聚焦“资源、客源、服务”三大关键要素的城市环境，经开区立足民生需求，对城区某干道进行亮化改造．如图，这是吊车安装路灯的示意图．已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为（   ） A．12米 B．14米 C．16米 D．18米 4．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有四种正方形纸片（每种纸片的数量足够多），面积分别是1，2，3，4，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则可以选取的方案共有（     ）种． A．3 B．4 C．5 D．6 考点2 以直角三角形三边为边长的图形面积 5．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 6．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 7．（25-26八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 考点3 利用勾股定理计算两条线段的平方关系 9．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 11．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则它们之间存在的关系是（    ） A． B． C． D． 考点4 勾股定理的证明方法 13．（25-26八年级下·福建福州·期末）中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   14．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 考点5 利用勾股定理构造图形解决问题（含弦图问题） 15．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 16．（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 18．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 能 力 提 升 练 19．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，某工地内矗立着一座塔吊，为固定塔吊，施工人员从塔吊离水平地面15米处向地面拉了一根长17米的钢索，钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为______米． 20．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 21．（25-26八年级上·全国·期末）中，，分别以为边作正方形，面积分别为9，16，x，则_____． 22．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 23．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 24．（2026·陕西商洛·模拟预测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若，小正方形的面积为1，则大正方形的面积为__________． 25.（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 26.（25-26八年级下·重庆永川·期末）如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 27.（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 28．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，，．请用尺规作图法在边上求作点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 29．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… (1)计算：____________________； (2)用含（是正整数）的等式表示上述变化规律：__________，__________； (3)求出的值． 真 题 提 前 练 30．（2026·河南·中考真题）如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 31.（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 32.（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为_______m． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $1.1探索勾股定理 学校： 姓名： 班级： 考号： 考点1用勾股定理解三角形 考点2以直角三角形三边为边长的图形面积 考点3利用勾股定理计算两条线段的平方关系 考点4勾股定理的证明方法 考点5利用勾股定理构造图形解决问题（含弦图问题） 基础达标练 考点1用勾股定理解三角形 1.(25-26八年级下·云南玉溪·期中)如图，在△ABC中，∠A为直角，以AC为边向外作面积为100的正方 形，以BC为边向外作面积为125的正方形，则AB2=() 125 100 B A.5 B.10 C.15 D.25 2.(25-26八年级下·云南玉溪·期中)一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是 () A.15 B.8 C.6 D.4 3.(25-26八年级下·贵州安顺期末)为打造以“21℃的城市”IP为核心引领，紧紧聚焦“资源、客源、服务” 三大关键要素的城市环境，经开区立足民生需求，对城区某干道进行亮化改造.如图，这是吊车安装路灯 的示意图.已知AB为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离BC为16米，点B到地面的竖直 距离为2米，则起重臂项端A离地面的高度为() 试卷第1页（共10页） A.12米 B.14米 C.16米 D.18米 4.（2026浙江杭州·模拟预测)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯图案.现有 四种正方形纸片（每种纸片的数量足够多），面积分别是1,2,3,4，选取其中三块（可重复选取）按图的 方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则可以选取的方案共有()种 A.3 B.4 C.5 D.6 考点2以直角三角形三边为边长的图形面积 5.(25-26八年级下·辽宁盘锦·期中)如图，以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分 别为S,S,S,若S=13,S=9,则S的值为() S2 S3 A S A.4 B.3 C.22 D.不能确定 6.(25-26八年级下·甘肃庆阳·期末)如图，己知正方形A的面积为4，正方形B的面积为3，则正方形C的 面积为() 试卷第2页（共10页） B A.1 B.5 C.7 D.25 7.(25-26八年级下·河北唐山·期中)在直角三角形ABC中，斜边AB=1,则AC2+BC2的值是() A.1 B.2 C.3 D.4 8.(25-26七年级上山东东营·期中)如图，在△CDE中，∠CDE=90°，DE=12cm,CE=13cm,以CD为 边作正方形ABCD,则正方形ABCD的面积是() 4 D 12cm E ◇ 13cm B C A.5cm2 B.25cm2 C.144cm2 D.169cm2 考点3利用勾股定理计算两条线段的平方关系 9.（25-26八年级上·四川巴中·期中)如图，在△ABC中，AB=13,AC=20,AD⊥BC于点D,E为AD 上任意一点，则CD2-BD的结果为() B D A.7 B.33 C.231 D.569 10.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名 的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是() A.3,4,5 B.4,5,6 C.5,6,7 D.6,7,8 11.(25-26八年级下·安徽准南·期中)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O,那么下列结论正确的 是() 试卷第3页（共10页） D C 0 B A.OA+OC2=OB+OD2 B.AD2+CD2=AB2+BC2 C.AD2+BC2=AB2+CD2 D.AB2+OC2=CD2+042 12.（25-26八年级下·湖北武汉·期中)如图，AD是△ABC的边BC上的高.分别以线段AB,AC,BD,CD 为边向外作正方形，正方形的面积分别为S,S,S?,$4.则它们之间存在的关系是() A.S+S2=S3+S B.S+S=S2+S3 C.S1+S3=S2+S4 D.S+S3+S=S2 考点4勾股定理的证明方法 13.（25-26八年级下·福建福州·期末)中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一，下列图形的面积关系中， 不能用来证明勾股定理的是() b B. a 0 a b a b D 6 c 14.(25-26八年级下·湖南长沙期末)下列选项中，不能用来证明勾股定理的是() 试卷第4页（共10页） B C D a 考点5利用勾股定理构造图形解决问题（含弦图问题) 15.（25-26八年级下·陕西商洛·期中)如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密 铺构成的大正方形，其中大正方形ABCD的边长为√34，DH=3,连接AG,则AG的长度为(). B D A.34 B.6 C.5 D.√29 16.(25-26八年级下·四川凉山期末)如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走 捷径”，在花圃内走出一条“路”.这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（) 万达广场草地 5m 12m A.4 B.2m C.5m D.3m 17.(25-26七年级下·陕西宝鸡·期末)中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计.如图，这是小文根据“赵爽 弦图设计的“数学风车模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍 得到的.若∠ACB=90°，AC=6,BC=4,则该“数学风车的周长为() 试卷第5页（共10页） A.40 B.42 C.48 D.56 18.(25-26八年级下·湖北襄阳·期末)如图，“赵爽弦图'是用四个相同的直角三角形(Rt△ADE,Rt△DCH, Rt△CBG,Rt△BAF)与一个小正方形EFGH组成的一个大正方形ABCD,连接DF交CH于点M,己知正 方形ABCD的面积为25，DE=2AE,下列结论正确的是() H E M A.正方形EFGH的面积为4 B.DF2=20 C.M是DF的中点 D.BG.CG=15 能力提升练 19.(25-26八年级下·云南玉溪期中)如图，某工地内矗立着一座塔吊，为固定塔吊，施工人员从塔吊离水 平地面15米处向地面拉了一根长17米的钢索，钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为米. 塔吊 钢索 7 地面 20.(25-26八年级下·陕西商洛·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB,BC为边向外部作正 方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则AC的长为 21.(25-26八年级上·全国·期末)△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边作正方形，面积分别 为9,16，x,则x=· 试卷第6页（共10页） 9 B 16 22.(25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,若AC⊥BD, AB=5,CD=V13,则BC2+AD2=· 23.(24-25八年级上·山东青岛阶段检测)“赵爽弦图巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数 学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图'是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角 三角形较长直角边长为，较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25，则小正方形的边长为， 24.(2026陕西商洛·模拟预测)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如 图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较短直 角边长为a,较长直角边长为b,若(a+b)=25,小正方形的面积为1，则大正方形的面积为 25.(25-26八年级下·湖南长沙期末)如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方 形的面积是81，小正方形的面积是25，若用x,y表示直角三角形的两条直角边(x>y),请观察图案，求 xV= 试卷第7页（共10页） 26.(25-26八年级下·重庆永川·期末)如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼 成，取材于我国古代数学家赵爽的弦图'.若图1中大正方形ABCD的面积为40，小正方形EFGH的面积 为8.现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形PRS的面积为一· 图1 图2 27.(25-26八年级下·河北廊坊·期末)如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也 是正方形.己知直角三角形的两直角边长分别为，b,斜边长为c.课堂上，老师结合图形，用不同的方 式表示大正方形的面积，证明了勾股定理a2+b2=c2. B 6 图1 图2 图3 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程 (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2.若α=4，b=6,求空白部分的面积. (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3.已 知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3,求该风车状图案的面积. 试卷第8页（共10页） 28.(25-26八年级下·陕西榆林·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5.请用尺规作图法在边BC 上求作点E,使得BE=4.(保留作图痕迹，不写作法) B 29.（25-26八年级下·安徽滁州期末)分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题. 4,1414 1 S4\S3 S 404=1+=2,8-, 2 1/ 4 1 04=1+2=3,= 2 o4=1+(5=4,8- 2 (1)计算：Q40= (2)用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律：OA= S= (3)求出S+S号+S号+S+…+S品的值. 试卷第9页（共10页） 真题提前练 30.(2026河南·中考真题)如图，△ABC与△AB'C'关于直线1对称，∠C=90°，AC=8,BC=6,则AB 的长为() A.6 B.8 C.10 D.12 31.(2024吉林.中考真题)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其 示意图如图②，其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺，B'C=2尺.设AC的长度为x尺，可列方 程为一 B 诗文：波平如镜一湖面，半尺高 处生红莲，亭亭多姿湖中立，突 遭狂风吹一边。离开原处二尺 远，花贴湖面象睡莲。 图① 图② 32.(2025江苏连云港中考真题)如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m,则 梯子顶端的高度h为m. ←-1.8- 试卷第10页（共10页）