1.2 一定是直角三角形吗 预习自测2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册“一定是直角三角形吗”同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层，覆盖勾股数、直角三角形判定等知识点，通过概念辨析、网格应用、实际问题构建从单一到综合的知识巩固路径，培养推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股数定义、直角三角形判定（单选1-4）|以概念辨析题为主，如勾股数判断（单选1）、基本判定（单选2），夯实基础| |能力提升|网格判断、多边长组合、规律探索（单选5-8、填空9-13）|结合网格情境（单选3）、多木棒组合（单选5），提升几何直观与运算能力| |综合应用|综合证明、网格作图、实际应用（解答14-17）|通过四边形证明（14）、购物车距离计算（16），培养模型意识与应用能力|

1.2 一定是直角三角形吗 预习自测2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，， B．1，2，5 C．，， D．30，40，50 2．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（    ） A．2，3，5 B．3，4，5 C．4，5，7 D．6，7，10 3．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形网格中不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（　　） A．直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方 B．在直角三角形中，斜边大于直角边 C．如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形 D．将直角三角形的各边增加1后首尾顺次连接而成的三角形是直角三角形 5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．在正方形网格中画格点，如图，若网格中每个小正方形的边长均为，则下列说法错误的是（） A． B． C． D． 7．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． 8．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 9．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是______． 10．如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，那么∠ABC的度数是_____． 11．如图，，，，，，则________．    12．能够成为直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，观察下面的几组勾股数： 由勾股数3、4、5有； 由勾股数5、12、13有； 由勾股数7、24、25有 由勾股数9、40、41有． 可以发现，在一组勾股数中，当最小的数为奇数时，它的平方恰好等于另外两数之和，用关于的代数式表示第组的勾股数应为______________． 13．在中，，，，当、、满足___________时，． 三、解答题 14．如图，在四边形中，，，，连接． (1)找出图中的所有直角三角形； (2)求证：． 15．如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点，按下列要求作图： ①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点； ②使其中任意两点不在同一格线上； ③连接三个格点，使之构成直角三角形． 请你按照要求，在下面的三个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等． 16．如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为某侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，求点C到AB的距离（结果保留整数）．    17．【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如 等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如 等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数才能满足关系式．设为一组勾股数，观察下表回答问题： 表1 表2 a b c a b c 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 10 24 26 9 40 41 12 35 37 (1)根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）； 观察可得：表1中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (2)根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）； 观察可得：表2中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如） 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C D C C C C 1．【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是指三个正整数，满足勾股定理，据此解答即可． 【详解】解：A、，非正整数，故不是勾股数； B、，故不是勾股数； C、，非正整数，故不是勾股数； D、，，即，故是勾股数． 故选：D． 2．【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握两短边的平方和等于最长边的平方，三条线段能够组成直角三角形，是解题的关键．根据勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：A．，不能组成直角三角形，不符合题意； B．，能组成直角三角形，符合题意； C．，不能组成直角三角形，不符合题意； D．，不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 3．【答案】C 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】先判断A选项中的三角形，再计算其余每个选项中三角形的边长后，利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：由观察可知，A选项中的三角形是直角三角形； B选项中的三角形三边长分别为，符合， 因此B选项中的三角形是直角三角形； C选项中的三角形三边长分别为，不满足有两边的平方和等于第三边的平方， 因此C选项中的三角形不是直角三角形； D选项中的三角形三边长分别为，符合， 因此D选项中的三角形是直角三角形； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握如果一个三角形有两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 4．【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，大边对大角．根据相关定理逐个判断即可． 【详解】解：将直角三角形的各边缩小或扩大相同的倍数后首尾顺次连接而成的三角形是直角三角形，故D错误，符合题意； A、B、C均正确，不符合题意； 故选：D． 5．【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可． 【详解】解：，，，，， ，，， 错误，B错误，C正确，D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方． 6．【答案】C 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】根据图中每条线段的位置，分别利用勾股定理求出相关线段长，用勾股定理逆定理判断即可得出正确的选项． 【详解】解：由图知：，， ∵, ∴是直角三角形，且 ∴A、B、D选项正确 故选：C 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，根据定理内容解题是关键． 7．【答案】C 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理求出，再结合勾股定理逆定理求出即可． 【详解】解：，，， ， ，， ，， ， ． 8．【答案】C 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接，    ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 9．【答案】13 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题的关键． 设第三个数为，分两种情况，分别根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设第三个数为， 分两种情况： ①为最大数时，， 解得：（不是整数，舍去）； ②为最大数时，， 解得：（负值已舍去）； 综上所述，第三个勾股数是． 故答案为： ． 10．【答案】45° 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】根据题意可求出AB、AC、BC的长，发现正好满足勾股定理，即可求解． 【详解】由图可知：，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 11．【答案】/度 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理即可解答． 【详解】解：，，， ， ， ，， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 12．【答案】     【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数问题，数字类的规律探索，观察可知当最小的数为奇数时，其可表示为，则第二小的数可以表示为，最大的数表示为，据此可得答案． 【详解】解：由勾股数3、4、5有； 由勾股数5、12、13有； 由勾股数7、24、25有 由勾股数9、40、41有． ……， 以此类推可得，由勾股数，，有， 故答案为：    ． 13．【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握当两边平方和等于第三边的平方时第三边所对的角为直角是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理可得到满足的条件，可得到答案． 【详解】解：∵， ∴为斜边，和为直角边， 如图所示： ∵在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 ∴当a、b、c满足时，． 故答案为：． 14．【答案】(1)； (2)答案见解析． 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）根据直角三角形的判定解答即可； （2）根据边之间的关系以及勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴是直角三角形； （2）∵，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】此题考查了勾股定理以及它的逆定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是解答此题的关键． 15．【答案】 如下图所示： 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】根据勾股定理及其逆定理即可得到结论． 【详解】解：AB2=12+22=5，BC2=42+22=20，AB2=32+42=25， ∴AB2+ BC2= AB2， ∴△ABC是直角三角形； DE2=12+12=2，EF2=32+32=18，DF2=22+42=20， ∴DE2+ EF2= DF2， ∴△DEF是直角三角形； GH2=12+32=10，HI2=12+32=10，GI2=22+42=20， ∴GH2+ HI2= GI2， ∴△GHI是直角三角形． 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，正确的作出图形是解题的关键． 16．【答案】点到的距离约为 【知识点】点到直线的距离、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，则的长即点到的距离，    在中， ，，， ，， ， 为直角三角形，即， ， ，即， ， 答：点到的距离约为． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，点到直线的距离，解题的关键是正确的识别图形． 17．【答案】(1)60；61； (2)63；65； (3)或 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，数字的变化类-规律型． （1）观察表1中的数据，可得，，先将代入得，再根据，可求得b、c的值； （2）观察表1中的数据，可得，，先将代入得，再根据，可求得b、c的值； （3）利用表1与表2的规律分别计算验证即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：当a为大于1的奇数，b、c的数量关系，b、c与之间的关系是：， ∴当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：60，61，； （2）解：根据表格中的数据可知：当a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是， b、c与之间的关系是， ∵， ∴， ∵， ∴，， 故答案为：63，65，； （3）解：由题意得， 如果满足表1的规律，那么，， ∴， ∴，符合题意； 如果满足表2的规律，那么，， ∴， ∴，符合题意； 综上所述，这组勾股数可能为或． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $