专题07 圆的有关概念 同步培优讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦圆的有关概念，以双重定义（动态旋转、静态集合）为核心，系统梳理圆心、半径、直径、弦、弧等基本元素及点与圆位置关系，构建概念从属与区别体系，为后续圆的几何性质、计算与证明提供基础学习支架。 该资料亮点在于通过18类题型精准覆盖概念辨析、位置判定等核心内容，如等弧需同圆等圆且重合的辨析培养抽象能力，点与圆位置关系双向转化题提升推理意识。课中辅助教师系统教学，课后小练助力学生查漏补缺，适配同步培优需求。

专题07 圆的有关概念 同步培优讲义 ✺知识框架 1.圆的定义：涵盖动态旋转定义、静态集合定义，精准界定圆的本质属性，明确圆的构成要素 2.圆的基本元素：包含圆心、半径、直径、弦、弧（半圆、优弧、劣弧）、等圆、等弧，是本节核心概念体系 3.点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外，对应数量关系判定 ✅本节围绕圆的基础概念展开，以圆的双重定义为核心立足点，明确圆的本质特征与确定条件，系统梳理圆的各类构成元素，辨析概念间的从属与区别，结合数形结合思想建立点与圆位置关系的量化判定体系。本节概念细碎、易混点多，是整章圆的几何性质、计算与证明的基础内容，熟练精准掌握概念、规避认知误区，是提升圆模块解题能力的关键。 ✺学习目标 1.精准掌握圆的动态、静态两种定义，明确圆周与圆面的区别，熟练掌握圆的规范表示方法，筑牢本章概念基础。 2.熟记圆心、半径、直径、弦、弧、半圆、等圆、等弧等全部基本概念，厘清各元素的从属关系与本质区别，规避概念混淆误区。 3.熟练掌握点与圆的三种位置关系，建立“位置关系—数量关系”双向转化思维，能够利用距离与半径的大小关系精准判定点圆位置。 4.能灵活运用本节核心概念完成概念辨析、基础计算与简单几何推理，培养几何直观、数形结合的核心数学思维，适配同步培优训练要求。 ✺题型归纳 题型1.圆的基本概念辨析 题型2.求圆中弦的条数 题型3.求过圆内一点的最长弦 题型4.圆的周长和面积问题 题型5.求小圆绕某图形一圈自转的圈数 题型6.判断点与圆的位置关系 题型7.利用点与圆的位置关系求半径 题型8.点与圆上一点的最值问题 题型9.已知半径和圆上两点作圆 题型10.三角形外接圆的概念辨析 题型11.求三角形外心坐标 题型12.求特殊三角形外接圆的半径 题型13.已知外心的位置判断三角形的形状 题型14.判断三角形外接圆的圆心位置 题型15.判断确定圆的条件 题型16.确定圆心 题型17.求能确定的圆的个数 题型18.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、圆的定义 1.动态定义（旋转定义）：如下图，在同一平面内，将一条线段绕其固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。其中，固定端点为圆心，线段的长度为半径。以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。 2.静态定义（集合定义）：圆是同一平面内，所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 3.核心要点：① 几何定义中，圆仅指圆周（封闭曲线），不包含圆内部平面区域（圆面）；② 确定圆的两大要素：圆心定位置，半径定大小，二者缺一不可。 知识点二、圆的基本元素 1.半径：连接圆心与圆上任意一点的线段。同圆或等圆中，所有半径长度均相等。 2.弦：连接圆上任意两个点的线段，即为圆的弦。 3.直径：经过圆心的弦叫做直径。 核心性质：直径是圆中最长的弦，直径长度=2倍半径。 从属关系：直径一定是弦，但弦不一定是直径。 4.弧：圆上任意两点之间的曲线部分叫做圆弧，简称弧，符号记作“⌒”。根据弧的长短，可分为半圆、优弧、劣弧三类，是本节核心基础概念。 （1）半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条完全相等的弧，每一条弧都称为半圆。半圆是特殊的弧。 （2）优弧：长度大于半圆的弧，书写时必须用三个字母表示，如：用于区分同侧劣弧。 （3）劣弧：长度小于半圆的弧，书写时通常用两个字母表示。如： 5.等圆：能够完全重合的两个圆互为等圆。 核心性质：等圆半径相等、圆心位置不同；反之，半径相等的两个圆一定是等圆。 6.等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 重难点辨析：仅长度相等的弧不是等弧，等弧必须同时满足长度相等、弯曲程度一致两个条件。 知识点三、点与圆的位置关系 ▲设⊙O的半径为r，平面内任意一点P到圆心O的距离为d，则点与圆的位置关系仅有三种，且位置关系与数量关系双向等价、一一对应： 1.点在圆外 ⇔ d ＞ r 2.点在圆上 ⇔ d ＝ r（判定点在圆上的核心依据，常用于几何证明） 3.点在圆内 ⇔ d ＜ r 核心总结：通过点到圆心的距离与半径的大小对比，可快速判定点圆位置，是后续圆相关几何计算、证明的基础工具。 ✺题型精讲 题型1.圆的基本概念辨析 1．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可． 【详解】解：∵在中，最长的弦是， ∴的直径为， ∴的半径为． 2．到点距离为1的点的轨迹是______________． 【答案】以点A为圆心，1为半径的圆 【分析】本题考查了圆的定义，圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，所以到定点A的距离为1的点的集合是圆． 【详解】解：根据圆的定义可知，到定点A的距离为1的点的集合是以点A为圆心，1为半径的圆， 故答案为：以点A为圆心，1为半径的圆． 3．如图，的半径为，弦AB的长为． (1)求的度数； (2)求点O到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明是等边三角形，即可求解； （2）作于点D，可得 ，再由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形，       ∴； （2）解∶作于点D，    ∴，                           在中， ， 即点O到的距离是． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆的基本性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 题型2.求圆中弦的条数 1．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 2．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 3．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）如图1，DE为所作； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 题型3.求过圆内一点的最长弦 1．已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据题意，可得圆的直径为，直径是圆上最长的弦，即，即可得到答案． 【详解】解：∵、为上的两点，若的半径为， ∴， ∴D不符合题意． 故选：D． 2．已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键． 利用直径是圆内最长的弦即可求解． 【详解】解：的半径为5， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A´B´（A´，B´分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”． （1）如图2，的横、纵坐标都是整数． ①在线段中，⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”是_______； ②若线段中，存在⊙O的关于直线y＝－x＋m对称的“关联线段”，则 ＝ ； （2）已知直线交x轴于点C，在△ABC中，AC=3，AB=1，若线段AB是⊙O的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长． 【答案】（1）① A1B1；②2或3；（2）b的最大值为，此时BC＝；b的最小值为，此时BC＝ 【分析】（1）①根据题意作出图象即可解答；②根据“关联线段”的定义，可确定线段A2B2存在“关联线段”，再分情况解答即可； （2）设与AB对应的“关联线段”是A’B’，由题意可知：当点A’（1，0）时，b最大，当点A’（-1，0）时，b最小；然后分别画出图形求解即可； 【详解】解：（1）①作出各点关于直线y=x+2的对称点，如图所示，只有A1B1符合题意； 故答案为：A1B1； ②由于直线A1B1与直线y=-x+m垂直，故A1B1不是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”； 由于线段A3B3=，而圆O的最大弦长直径=2，故A3B3也不是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”； 直线A2B2的解析式是y=-x+5，且，故A2B2是⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”； 当A2B2是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”，且对应两个端点分别是（0，1）与（1,0）时，m=3， 当A2B2是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”，且对应两个端点分别是（0，-1）与（-1,0）时，m=2， 故答案为：2或3． （2）设与AB对应的“关联线段”是A’B’，由题意可知：当点A’（1，0）时，b最大，当点A’（-1，0）时，b最小； 当点A’（1，0）时，如图，连接OB’，CB’，作B’M⊥x轴于点M， ∴CA’=CA=3， ∴点C坐标为（4，0）， 代入直线，得b=； ∵A’B’=OA’=OB’=1， ∴△OA’B’是等边三角形， ∴OM=，， 在直角三角形CB’M中，CB'=，即； 当点A’（-1，0）时，如图，连接OB’，CB’，作B’M⊥x轴于点M， ∴CA’=CA=3， ∴点C坐标为（2，0）， 代入直线，得b=； ∵A’B’=OA’=OB’=1， ∴△OA’B’是等边三角形， ∴OM=，， 在直角三角形CB’M中，CB'=；即 综上，b的最大值为，此时BC＝； b的最小值为，此时BC＝． 【点睛】本题是新定义综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特点、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，正确理解新定义的含义、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 题型4.圆的周长和面积问题 1．如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，得到，再根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 2．如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以，据此即可求解．本题考查了不规则图形的面积的计算，计算不规则图形的面积一般是将不规则图形的面积转化为通过对多个规则图形面积的加减来解答． 【详解】∵周长为16的正方形， ∴正方形的边长4， ∴图中两个半圆的直径为4， 则其半径为2， 根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 3．图1是景区中的一个喷灌设备，图2是该设备喷灌时的示意图，喷出水柱可以近似看作一条抛物线，该抛物线在与喷灌设备的水平距离为8米处达到最高，高度为米，水柱落地处离喷灌设备20米． (1)以水平地面为x轴，以喷水装置所在直线为y轴，请在图2中建立平面直角坐标系； (2)求的长； (3)该喷灌设备可自动旋转，喷洒区域是一个以点A为圆心的圆，求喷洒区域的面积．（取） 【答案】(1) 作平面直角坐标系如下图： (2)的长 (3)喷洒区域的面积为 【分析】本题考查了求解二次函数解析式和圆的面积公式，求出二次函数的解析式是解决本题的关键． （1）根据题意作出平面直角坐标系即可； （2）根据题意抛物线经过顶点，则设抛物线的解析式为，将代入求解解析式，最后求出点B的坐标，即可求出的长； （3）根据题意可得喷洒区域是以为圆心的圆，半径为水柱落地处到的距离，即20米，进而根据圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得，抛物线顶点为，且过点， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时， ， ∴点B的坐标为， ∴的长为1米； （3）解：根据题意得，喷洒区域是以为圆心的圆，半径为水柱落地处到的距离，即20米， ∴ ， 答：喷洒区域的面积为． 题型5.求小圆绕某图形一圈自转的圈数 1．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 2．如图1至图5，均作无滑动滚动，，，，均表示与线段或相切于端点时刻的位置，的周长为c． 阅读理解： 如图1，从的位置出发，沿滚动到的位置，当时，恰好自转1周； 如图2，相邻的补角是，在外部沿滚动，在点B处，必须由的位置旋转到的位置，绕点B旋转的角，在点B处自转周． 实践应用： (1)在阅读理解的（1）中，若，则自转_______周；若，则自转_______周．在阅读理解的（2）中，若，则在点B处自转_______周；若，则在点B处自转________周； (2)如图3，，．从的位置出发，在外部沿滚动到的位置，自转_______周． 【答案】(1)2；；； (2) 【分析】此题主要考查三角形外角的性质，圆的基本性质，阅读理解能力，也是一道探索规律题，找准规律是关键． （1）读懂题意，套公式易得若，则自转2周；若，则自转周．在阅读理解的（2）中，若，则在点B处自转周；若，则在点B处自转周． （2）因，，则自转周． 【详解】（1）解：由阅读材料①可知：若，则自转周数（周）； 若，则自转周数为（周）． 由阅读材料②可知：若，则在点B处自转周数（周）； 若∠ABC=60°，则在点B处自转周数（周）． 故答案分别为：2；；；． （2）解：∵，， ∴自转（周）． 故答案为：． 3．圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)该圆自转了圈； 理由如下： 等边三角形的边长与和圆的周长相等， 圆在等边三角形三条边上滚动时，转了圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数， 圆心要绕其三角形的顶点旋转， 圆绕三个顶点共旋转了，即转了圈， 此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了圈． 【分析】（1）利用圆运动的距离除以圆的周长即可得出答案； （2）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （3）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （4）圆自转的圈数绕三边滚动所转的圈数圆心要绕其三角形的顶点所转的圈数． 【详解】（1）解：该圆在滚动过程中自转的圈数为：（圈）； （2）解：当沿沿周围滚动一周回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （3）解：当沿内部边缘滚动一圈回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （4） 略 题型6.判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】比较点A到圆心的距离与半径的大小，即可判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点A在外． 2．如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 【答案】外 【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵正方形的对角线， ∴点C在外． 3．【问题提出】 （1）如图1，已知的半径为1，，点是上的一个动点，连接，则的最小值为________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，点、分别是、上的点，连接，若，，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，是某公园的一片竹林，处有一座凉亭（大小忽略不计），现要在平面内找一点再修建一座凉亭供游客休息，沿、铺设两条地下水管方便竹林灌溉和游客饮水，并在上的点处修建一口水井，再沿铺设一条青石板小路，为节约开支，要求青石板小路的长度尽可能的小．已知，，，求青石板小路的最小值． 【答案】（1）2； （2），理由如下： ，， ，， ． ， ， ， ． （3）青石板小路的最小值为． 【分析】（1）根据点与圆的位置关系即可求解； （2）由，，得到，，再根据相似三角形的判定与性质即可求解； （3）以点为圆心，为半径作，作直径，连接，过点作，交于点，得到，求出，连接交于点，连接交于点，连接，则m，当点与点重合时，的长取得最小值，此时点与点重合，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）依题意可知，当点在上时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：； （2）略 （3）m， 点、、在以点为圆心，为半径的圆上 如图，以点为圆心，为半径作，作直径，连接，过点作，交于点， ，， ， ， ， ， 为的直径，， ， ∴点在以为直径的圆上，记圆心为． 连接交于点，连接交于点，连接，则m， 当点与点重合时，的长取得最小值，此时点与点重合， ，， ， 在中，， ， 故青石板小路的最小值为． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 题型7.利用点与圆的位置关系求半径 1．点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在外的性质，可知的长度大于圆的半径，结合选项即可得出答案． 【详解】解：的半径是，点是外一点， ， 只有满足， 故选：D． 2．若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为__． 【答案】或者 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在外和内两种情况讨论，当点P在外时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P在内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得． 【详解】解：点P在外时， 外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于； 点P在内时， 内一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于， 故答案为：或者． 3．如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． (1)当r取什么值时，点A，B都在圆外？ (2)当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 【答案】(1)当时，点A，B都在圆外． (2)时，点A在圆内，点B在圆外． 【分析】（1）根据点与圆的位置关系，判断点到圆心的距离与半径的大小关系，从而确定的范围． （2）同样根据点与圆的位置关系，分别确定点在圆内、点在圆外时的范围，再取交集． 【详解】（1）解：， 当时，点A，B都在圆外． （2）解：， 当，即时，点A在圆内，点B在圆外． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径的关系：时点在圆外，时点在圆内是解题的关键． 题型8.点与圆上一点的最值问题 1．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系．由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，当点在线段上时，取得最小值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 若要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，当点在线段上时，取得最小值， 过点作轴于点， 圆心的坐标为， 则，， ， 又的半径为2， 的最小值为， ， 故选：C 2．图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 【答案】 12 【分析】先根据当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远，再根据勾股定理解答；然后结合当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远， 在中，， ∴； 当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近， 在中，， ∴． 3．投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩． 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心，交抵趾板内沿于点，测量落点到投掷区圆心点的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米． (1)投掷区所在圆的半径长为_____米； (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点（点与不重合），测量铅球落点到点的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由． 解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴_____________． 在中，_____（_____________________）， ． ∴_________________________． 即这个成绩相较于实际成绩_____．（填“偏小”或“偏大”） 【答案】(1)3.5 (2)；；两点之间，线段最短；；偏大 【分析】（1）根据题意得，米，米，然后相减求解即可； （2）根据半径相等得到，然后结合两点之间，线段最短列不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，米，米 ∴（米） ∴投掷区所在圆的半径长为3.5米； （2）解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴． 在中，（两点之间，线段最短）， ． ∴． 即这个成绩相较于实际成绩偏大． 题型9.已知半径和圆上两点作圆 1．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键． 2．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 3．【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    【答案】（1）； （2）先在坐标系内找到，，连接 ，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：    （3）由题意得：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 与x轴有两个交点， 即与x轴相交； （4） 【分析】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用， （1）根据勾股定理得出等式化简即可； （2）作AB的垂直平分线交于点P，再以点P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点即可； （3）根据点的坐标可得，再算出，即可得出结论； （4）由点的坐标即可得出结果． 解题的关键是对一元二次方程的几何解法的理解和运用． 【详解】解：（1），，， 在中，， ， 化简得：， 故答案为：； （2）略 （3）略 （4）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N， 则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是． 故答案为：． 题型10.三角形外接圆的概念辨析 1．对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【答案】B 【分析】根据三角形外心的定义和其性质逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意； B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意； C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意． 2．平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 【答案】A、E、C 【分析】本题主要考查了圆的认识、三角形的外接圆等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线，再结合图形即可得解． 【详解】解：要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线； 因为当三个点接近共线时，它们所确定的圆的半径会趋向于无穷大， 由图可知点A、E、C三点接近共线，符合题意， 故答案为：A、E、C． 3．如图，已知，，是高． (1)求作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，．求外接圆的半径． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求； （）连接，由等腰三角形的性质得，即由勾股定理得，设的半径为，则，在中由勾股定理得，解方程即可求解； 本题考查了画三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵，， ∴，， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴外接圆的半径为． 题型11.求三角形外心坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形的外心的定义．根据三角心的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，分别作、的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，点即为所求， 故选：C． 2．如图外接圆的圆心坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的圆心是三角形三边中垂线的交点，结合网格的特点，画出圆心，即可求解． 【详解】解：如图，点即为外接圆的圆心坐标 故答案为：． 3．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 【答案】(1) 如图所示，作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点． 故答案为： (2) 【分析】本题主要考查确定圆的条件、勾股定理的逆定理、平面直角坐标系： （1）作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图所示，连接． ∵，，， ∴． ∴． 题型12.求特殊三角形外接圆的半径 1．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 2．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 3．如图，在中，，，O为的外心，为等边三角形，与相交于D点，连接． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出是解题关键． （1）连接，通过证得，从而问题得解； （2）利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出，然后根据三角形内角和得出．再根据，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵O为的外心， ， ， ， ， ， （2）解：∵由（1）得，， ， ∴ 为正三角形， ， ． 题型13.已知外心的位置判断三角形的形状 1．点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答． 【详解】解：点I是的外心，则点I是的三条垂直平分线交点， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键． 2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为______． 【答案】（1，4）或（6，5）或（7，4） 【分析】根据三角形的外心是三角形的外接圆圆心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，只需点C为圆与格点的交点即可． 【详解】解：因为点P是钝角的外心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，如图， ∵第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数， ∴点C为圆P与格点的交点， ∵△ABC为钝角三角形， ∴由图知，满足条件在点C坐标为：（1，4）或（6，5）或（7，4） 故答案为：（1，4）或（6，5）或（7，4） 【点睛】本题考查三角形的外心、坐标与图形，理解题意，熟知三角形的外心是三角形的外接圆圆心，利用数形结合思想解决问题是解答的关键． 3．如图，，，点D在AC边上，． 求证：≌； 若，求的度数； 若，当的外心在直线DE上时，，求AE的长． 【答案】 （1）证明：，且， ， ，， ≌ （2）； （3） 【分析】由三角形的外角的性质可得，由“AAS”可证≌； 由全等三角形的性质可求，，可得，即可求解； 由直角三角形的外心是斜边的中点，可得点D是AC的中点，可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：略 ≌， ，， ， ， ， ； ， 的外心是斜边AC的中点， 的外心在直线DE上， 点D是AC的中点， ， 又， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆和外心，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 题型14.判断三角形外接圆的圆心位置 1．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 2．如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【答案】G 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点G， 则点G即为所求作的点． 【详解】解：如图，点G即为所求作的点． 故答案为：G． 3．工人师傅在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示． (1)请用尺规作图在图上作出该图； (2)测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少？ 【答案】(1) 满足题意的如图所示： ； (2) 【分析】此题主要考查了外接圆的作法和勾股定理，正方形的性质等知识，作垂直平分线和得出是解题关键． （1）分别作线段,的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆即可； （2）利用勾股定理求出，即为所需正方形的板的最小边长，继而求出面积． 【详解】（1）略 （2）解 ：∵，，， ∴， ∴所需要正方形板的最小面积是． 题型15.判断确定圆的条件 1．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 2．平面直角坐标系内的三个点，，________确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】能 【分析】判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，， ∴点A、B、C不共线， ∴三个点，，能确定一个圆． 故答案为：能． 【点睛】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)弧所在圆的圆心的坐标为________________； (2)求弧所在圆的半径； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆的确定方法，勾股定理，熟练掌握圆的确定方法是解题的关键： （1）根据圆的确定方法，得到线段的中垂线的交点即为圆心，画图即可得出结果； （2）利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，点即为圆心，由图可知：； （2）由勾股定理，得； 故半径为． 题型16.确定圆心 1．如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故结论Ⅰ正确； 点，的位置不确定， 和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确． 故选：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心，熟练掌握尺规作图和三角形外心的性质是解题的关键． 2．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C； ③以点O为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O． 正确操作步骤的排列序号为______． 【答案】②①④③ 【分析】同一平面内，不共线的三点可确定一个圆，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，因此第一步在圆弧上任意找三点，进而可得圆的两条弦，作这两条弦的垂直平分线，二者的交点即为圆心，进而可作出对应的圆，据此可得答案． 【详解】解：首先在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C，即步骤②，然后连接和，将这三点转化为三角形的边（即圆的弦），即步骤①．根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，分别作出和的垂直平分线，它们的交点即为圆心，即步骤④． 最后以点O为圆心，为半径作，即可得到原来的圆形玻璃，即步骤③． 故正确的操作步骤是②①④③． 3．作正方形的外接圆． 【答案】 如图，为所作． 【分析】连接正方形的两条对角线，它们的交点就是外接圆的圆心，以交点到任意一个顶点的距离为半径画圆即可． 【详解】解：略． 题型17.求能确定的圆的个数 1．平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】根据圆的概念求解． 【详解】解：∵圆心P为定点，半径为是定长， ∴满足条件的圆有1个． 2．经过两点可以作______个圆，不在同一直线的______个点可以确定一个圆． 【答案】 无数 三 【分析】根据确定圆的条件解答即可． 【详解】解：经过两点可以做无数个圆， 不在同一直线的三个点可以确定一个圆， 故答案为：无数，三． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，属于基础题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．已知线段． (1)作半径为4的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ (2)作半径为3的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ (3)作半径为2的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ 【答案】(1)这样的圆能作2个 (2)这样的圆能作1个 (3)这样的圆能作0个 【分析】（1）要确定作半径为4且经过两点的圆的个数，需先作的垂直平分线，再以为圆心、4为半径作弧，看与垂直平分线的交点个数，交点个数即为圆的个数； （2）作半径为3且经过两点的圆，先作的垂直平分线，找到中点，判断以为圆心、3为半径的圆是否经过； （3）判断作半径为2且经过两点的圆的个数，需比较半径与一半的长度，看是否存在这样的圆心． 【详解】（1）解：这样的圆能作2个，如图①所示． 作的垂直平分线，再以点为圆心，4为半径作弧，交于点，，然后分别以点，为圆心，4为半径作圆，则和为所求． （2）解：这样的圆能作1个，如图②所示． 作的垂直平分线，交于点，然后以点为圆心，3为半径作圆，则为所求． （3）解：，其一半为3，半径2小于3，不存在到距离为2的点，所以这样的圆能作0个． 【点睛】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数是解题的关键． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 2．已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】利用点在圆内的性质：点到圆心的距离小于圆的半径，判断各选项即可． 【详解】解：∵点P在⊙O内，⊙O的半径为4， ∴点P到圆心O的距离d满足； A选项，不符合要求； B选项，即，符合要求； C选项，不符合要求； D选项，不符合要求． 3．如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等；作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于，由轴对称的性质得，此时取得最小值，，由勾股定理即可求解；能由对称的性质及圆外一点到圆上一点距离最小值的典型解法找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于， ， 此时取得最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 取得最小值为， 故选：A． 二、填空题 4．平面上一点A与上点的最短距离为2，最长距离为10，则半径为________． 【答案】6或4 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．解题的关键是分点A在圆内或圆外进行讨论． 分点A在圆内或圆外进行讨论，分别计算即可． 【详解】解：当点A在圆内时，的直径长为，半径为6； 当点A在圆外时，的直径长为，半径为4； 即的半径长为6或4． 故答案为：6或4． 5．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆，勾股定理．根据题意可得能够完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆，圆心位于和的垂直平分线的交点处，求出，即可求解． 【详解】解：如图，均为网格的对角线长，，故点为外接圆的圆心，则为半径，    故能完全覆盖该三角形的最小圆面的半径是． 故答案为：． 6．如图，从原点A开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为__，第n个半圆的面积为________． 【答案】 【分析】根据题意得到第个半圆的直径为，再根据圆的面积公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，第1个半圆的直径为， 第2个半圆的直径为， 第3个半圆的直径为， 以此类推， 第5个半圆的直径为， 第个半圆的直径为， ∴第5个半圆的面积为，第n个半圆的面积为. 三、解答题 7．如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)画出的外接圆圆心． (2)连结，，求的长． 【答案】(1) 解：如图所示： (2) 【分析】（1）在正方形网格中，先画出的正方形网格的对角线，即EF，则EF为AB的中垂线，AC长度为4，取AC中点所在网格线即GH，则GH为AC中垂线 ，连接EF，GH交于点O，即为的外接圆圆心． （2）根据正方形边长为1，求出以BC为斜边的直角三角形BCM中BM、CM的长度，再利用勾股定理求出BC的长即可． 【详解】（1）略 （2）如图，连接BM，CM， ∴△BCM为直角三角形， ， ∴ ． 【点睛】本题考查三角形外接圆、勾股定理，熟练掌握定义是解题关键． 8．（1）①倍圆问题；如图1，已知，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原的两倍的圆； ②均分问题：如图2，已知，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原的一半的圆；（不写作法，但需保留作图痕迹） （2）若的半径为5，则上述所作圆的周长分别是 ， ． 【答案】 （1）①如图 ②如图，以为半径作圆（或以为斜边作等腰直角三角形）． （2）， 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据倍圆和均分圆的性质可得所作圆的半径，再求周长即可． 【详解】解：（1）①作直径，过O作AB的垂线交圆与D，连接，以O为圆心，为半径画圆， ②略 （2）的半径为5， 原来圆的面积为， 倍圆问题中，所作圆面积为原来圆的2倍，设所作圆半径为， ，得， 所作倍圆的圆周长为， 均分问题中，所作圆面积为原来圆的倍，设所作圆半径为， ，得， 所作均分圆的圆周长为． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，圆的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．我们知道：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的外心．对于三角形的外心，课本第138页有如下一个关于角度的问题： 5．如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、．求的度数． 对于类似的问题会不会有一般性的结论呢？ (1)如图1，在锐角三角形中， ①请用直尺和圆规作出的外心O（保留作图痕迹）； ②在所作图中连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (2)如图2，在钝角三角形中，，点O是的外心，连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (3)如果三角形的外心恰好落在这个三角形的一条边上，那么这个三角形的最大角的度数是 度； (4)通过以上问题的解决，对于三角形的外心的位置你能得到怎样的结论？请写出得到的结论． 【答案】(1)解：①如图，外心即为所求； ② (2) (3) (4)解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部. 【分析】（1）①分别作的垂直平分线，交点即为所求；②利用线段的垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理解答即可； （2）连接，结合外心的性质，等腰三角形的性质与三角形的内角和定理解答即可； （3）先画图，再结合外心与等腰三角形的性质，三角形的内角和定理解答即可； （4）根据（1）（2）（3）进行归纳总结即可. 【详解】（1）解：①略 ②如图，连接， ∵为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：如图，连接， ∵点O是的外心， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. （3）解：如图，为三角形的外心， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大角为. （4）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆的有关概念 同步培优讲义 ✺知识框架 1.圆的定义：涵盖动态旋转定义、静态集合定义，精准界定圆的本质属性，明确圆的构成要素 2.圆的基本元素：包含圆心、半径、直径、弦、弧（半圆、优弧、劣弧）、等圆、等弧，是本节核心概念体系 3.点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外，对应数量关系判定 ✅本节围绕圆的基础概念展开，以圆的双重定义为核心立足点，明确圆的本质特征与确定条件，系统梳理圆的各类构成元素，辨析概念间的从属与区别，结合数形结合思想建立点与圆位置关系的量化判定体系。本节概念细碎、易混点多，是整章圆的几何性质、计算与证明的基础内容，熟练精准掌握概念、规避认知误区，是提升圆模块解题能力的关键。 ✺学习目标 1.精准掌握圆的动态、静态两种定义，明确圆周与圆面的区别，熟练掌握圆的规范表示方法，筑牢本章概念基础。 2.熟记圆心、半径、直径、弦、弧、半圆、等圆、等弧等全部基本概念，厘清各元素的从属关系与本质区别，规避概念混淆误区。 3.熟练掌握点与圆的三种位置关系，建立“位置关系—数量关系”双向转化思维，能够利用距离与半径的大小关系精准判定点圆位置。 4.能灵活运用本节核心概念完成概念辨析、基础计算与简单几何推理，培养几何直观、数形结合的核心数学思维，适配同步培优训练要求。 ✺题型归纳 题型1.圆的基本概念辨析 题型2.求圆中弦的条数 题型3.求过圆内一点的最长弦 题型4.圆的周长和面积问题 题型5.求小圆绕某图形一圈自转的圈数 题型6.判断点与圆的位置关系 题型7.利用点与圆的位置关系求半径 题型8.点与圆上一点的最值问题 题型9.已知半径和圆上两点作圆 题型10.三角形外接圆的概念辨析 题型11.求三角形外心坐标 题型12.求特殊三角形外接圆的半径 题型13.已知外心的位置判断三角形的形状 题型14.判断三角形外接圆的圆心位置 题型15.判断确定圆的条件 题型16.确定圆心 题型17.求能确定的圆的个数 题型18.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、圆的定义 1.动态定义（旋转定义）：如下图，在同一平面内，将一条线段绕其固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。其中，固定端点为圆心，线段的长度为半径。以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。 2.静态定义（集合定义）：圆是同一平面内，所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 3.核心要点：① 几何定义中，圆仅指圆周（封闭曲线），不包含圆内部平面区域（圆面）；② 确定圆的两大要素：圆心定位置，半径定大小，二者缺一不可。 知识点二、圆的基本元素 1.半径：连接圆心与圆上任意一点的线段。同圆或等圆中，所有半径长度均相等。 2.弦：连接圆上任意两个点的线段，即为圆的弦。 3.直径：经过圆心的弦叫做直径。 核心性质：直径是圆中最长的弦，直径长度=2倍半径。 从属关系：直径一定是弦，但弦不一定是直径。 4.弧：圆上任意两点之间的曲线部分叫做圆弧，简称弧，符号记作“⌒”。根据弧的长短，可分为半圆、优弧、劣弧三类，是本节核心基础概念。 （1）半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条完全相等的弧，每一条弧都称为半圆。半圆是特殊的弧。 （2）优弧：长度大于半圆的弧，书写时必须用三个字母表示，如：用于区分同侧劣弧。 （3）劣弧：长度小于半圆的弧，书写时通常用两个字母表示。如： 5.等圆：能够完全重合的两个圆互为等圆。 核心性质：等圆半径相等、圆心位置不同；反之，半径相等的两个圆一定是等圆。 6. 等弧：前提条件：同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 重难点辨析：仅长度相等的弧不是等弧，等弧必须同时满足长度相等、弯曲程度一致两个条件。 知识点三、点与圆的位置关系 ▲设⊙O的半径为r，平面内任意一点P到圆心O的距离为d，则点与圆的位置关系仅有三种，且位置关系与数量关系双向等价、一一对应： 1.点在圆外 ⇔ d ＞ r 2.点在圆上 ⇔ d ＝ r（判定点在圆上的核心依据，常用于几何证明） 3.点在圆内 ⇔ d ＜ r 核心总结：通过点到圆心的距离与半径的大小对比，可快速判定点圆位置，是后续圆相关几何计算、证明的基础工具。 ✺题型精讲 题型1.圆的基本概念辨析 1．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 2．到点距离为1的点的轨迹是______________． 3．如图，的半径为，弦AB的长为． (1)求的度数； (2)求点O到的距离．     题型2.求圆中弦的条数 1．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 3．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 题型3.求过圆内一点的最长弦 1．已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 2．已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是________． 3．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A´B´（A´，B´分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”． （1）如图2，的横、纵坐标都是整数． ①在线段中，⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”是_______； ②若线段中，存在⊙O的关于直线y＝－x＋m对称的“关联线段”，则 ＝ ； （2）已知直线交x轴于点C，在△ABC中，AC=3，AB=1，若线段AB是⊙O的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长． 题型4.圆的周长和面积问题 1．如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为______（结果保留）． 3．图1是景区中的一个喷灌设备，图2是该设备喷灌时的示意图，喷出水柱可以近似看作一条抛物线，该抛物线在与喷灌设备的水平距离为8米处达到最高，高度为米，水柱落地处离喷灌设备20米． (1)以水平地面为x轴，以喷水装置所在直线为y轴，请在图2中建立平面直角坐标系； (2)求的长； (3)该喷灌设备可自动旋转，喷洒区域是一个以点A为圆心的圆，求喷洒区域的面积．（取） 题型5.求小圆绕某图形一圈自转的圈数 1．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．如图1至图5，均作无滑动滚动，，，，均表示与线段或相切于端点时刻的位置，的周长为c． 阅读理解： 如图1，从的位置出发，沿滚动到的位置，当时，恰好自转1周； 如图2，相邻的补角是，在外部沿滚动，在点B处，必须由的位置旋转到的位置，绕点B旋转的角，在点B处自转周． 实践应用： (1)在阅读理解的（1）中，若，则自转_______周；若，则自转_______周．在阅读理解的（2）中，若，则在点B处自转_______周；若，则在点B处自转________周； (2)如图3，，．从的位置出发，在外部沿滚动到的位置，自转_______周． 3．圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 题型6.判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 2．如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 3．【问题提出】 （1）如图1，已知的半径为1，，点是上的一个动点，连接，则的最小值为________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，点、分别是、上的点，连接，若，，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，是某公园的一片竹林，处有一座凉亭（大小忽略不计），现要在平面内找一点再修建一座凉亭供游客休息，沿、铺设两条地下水管方便竹林灌溉和游客饮水，并在上的点处修建一口水井，再沿铺设一条青石板小路，为节约开支，要求青石板小路的长度尽可能的小．已知，，，求青石板小路的最小值． 题型7.利用点与圆的位置关系求半径 1．点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 2．若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为__． 3．如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． (1)当r取什么值时，点A，B都在圆外？ (2)当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 题型8.点与圆上一点的最值问题 1．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 3．投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩． 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心，交抵趾板内沿于点，测量落点到投掷区圆心点的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米． (1)投掷区所在圆的半径长为_____米； (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点（点与不重合），测量铅球落点到点的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由． 解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴_____________． 在中，_____（_____________________）， ． ∴_________________________． 即这个成绩相较于实际成绩_____．（填“偏小”或“偏大”） 题型9.已知半径和圆上两点作圆 1．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 2．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 3．【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    题型10.三角形外接圆的概念辨析 1．对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 2．平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 3．如图，已知，，是高． (1)求作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，．求外接圆的半径． 题型11.求三角形外心坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图外接圆的圆心坐标是___________． 3．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 题型12.求特殊三角形外接圆的半径 1．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 2．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 3．如图，在中，，，O为的外心，为等边三角形，与相交于D点，连接． (1)求的度数； (2)求的度数． 题型13.已知外心的位置判断三角形的形状 1．点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为______． 3．如图，，，点D在AC边上，． 求证：≌； 若，求的度数； 若，当的外心在直线DE上时，，求AE的长． 题型14.判断三角形外接圆的圆心位置 1．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 2．如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 3．工人师傅在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示． (1)请用尺规作图在图上作出该图； (2)测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少？ 题型15.判断确定圆的条件 1．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 2．平面直角坐标系内的三个点，，________确定一个圆（填“能”或“不能”）． 3．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)弧所在圆的圆心的坐标为________________； (2)求弧所在圆的半径； 题型16.确定圆心 1．如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 2．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C； ③以点O为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O． 正确操作步骤的排列序号为______． 3．作正方形的外接圆． 题型17.求能确定的圆的个数 1．平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．经过两点可以作______个圆，不在同一直线的______个点可以确定一个圆． 3．已知线段． (1)作半径为4的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ (2)作半径为3的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ (3)作半径为2的圆，使它经过，两点，这样的圆能作几个？ ✺课堂小练 一、单选题 1．下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 2．已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 3．如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题 4．平面上一点A与上点的最短距离为2，最长距离为10，则半径为________． 5．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是___． 6．如图，从原点A开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为__，第n个半圆的面积为________． 三、解答题 7．如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)画出的外接圆圆心． (2)连结，，求的长． 8．（1）①倍圆问题；如图1，已知，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原的两倍的圆； ②均分问题：如图2，已知，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原的一半的圆；（不写作法，但需保留作图痕迹） （2）若的半径为5，则上述所作圆的周长分别是 ， ． 9．我们知道：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的外心．对于三角形的外心，课本第138页有如下一个关于角度的问题： 5．如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、．求的度数． 对于类似的问题会不会有一般性的结论呢？ (1)如图1，在锐角三角形中， ①请用直尺和圆规作出的外心O（保留作图痕迹）； ②在所作图中连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (2)如图2，在钝角三角形中，，点O是的外心，连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (3)如果三角形的外心恰好落在这个三角形的一条边上，那么这个三角形的最大角的度数是 度； (4)通过以上问题的解决，对于三角形的外心的位置你能得到怎样的结论？请写出得到的结论． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $