第五章 二元一次方程组 单元测试2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组单元卷，含选择（10）、填空（5）、解答（5）题，以实际情境与数学文化为载体，考查方程组解法、应用及与函数关系，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|二元一次方程组定义、解法、函数交点|天平平衡（三元应用）、工程组合（效率比较）| |填空题|5题|参数求解、行程问题、几何拼图|动车组追及（行程模型）、小长方形拼图（几何直观）| |解答题|5题|新定义运算、幻方数字问题、整体消元|“三二一数对”（创新应用）、洛书幻方（文化传承）|

第五章 二元一次方程组 单元测试2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“”的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知是关于x、y的方程的解，则代数式的值是（     ） A．19 B．29 C． D．1 3．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 4．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（　　） A． B． C． D． 5．解关于x，y的方程组，下列消元方法正确的是（    ） 小明 小亮 小华 小林 由②，得，代入①，消去 ，消去 ，消去 由②，得，代入①，消去 A．小明 B．小亮 C．小华 D．小林 6．现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 7．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示．则阴影部分的面积是（   ） A．60 B．64 C．67 D．180 8．直线与直线平行，下列说法不正确的是（    ） A． B．直线与没有交点 C．方程组无解 D．方程组有无穷多个解 9．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 10．把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知关于，的二元一次方程组，则的值为_______． 12．一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是________，动车组的速度是________． 13．小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小成看见了，说：“我也来试一试．”结果小成七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个面积为的小正方形缺口，则每个小长方形的周长为______ ．    14．在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的直线，并得到对应的函数表达式，，．分别计算，，的值，其中最小的值等于_____． 15．某车间每天能生产A种零件200个，或者B种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分别取1个、2个、3个才能配成一套．要在四月份一个月内生产最多的成套产品向五一劳动节献礼，则A种零件生产_____天，B种零件生产_____天，C种零件生产_____天． 三、解答题 16．在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标满足关于x、y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点的横、纵坐标满足方程组，点就是该方程组的关联点．若点为关于x、y的方程组的关联点，求a、b的值． 17．如图，已知函数和的图象交于点P，点P的纵坐标为2． (1)求a的值； (2)横坐标、纵坐标为整数的点称为整点，直接写出函数和的图象与x轴围成的几何图形中（含边界）整点的个数． 18．我们给出以下两个新定义： ①对于给定的数对，如果满足，那么我们称数对是“三二一数对”； ②对于给定的数对和，如果满足，则称数对是的“和差数对”． 根据以上信息解决下列问题： (1)判断是否为“三二一数对”，并说明理由； (2)已知数对是“三二一数对”，求出该数对的“和差数对”； (3)若数对是“三二一数对”，且的“和差数对”满足条件：，求和的值． 19．“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 20．数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A B B C D B D 1．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答． 【详解】 解：设1个“”， “”，“”的质量分别为， ∴， ∴， ∴， 即：与1个“”质量相等的“”的个数为2； 故选C． 2．【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】利用整体代入思想，先求出的值，再代入变形后的代数式计算． 【详解】解：∵是关于x、y的方程的解， ∴， 整理得， ∴． 3．【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【详解】解：A选项第二个方程含，不是整式方程，不符合题意； B选项方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合要求； C选项中项的次数为2，不符合题意； D选项中项的次数为2，不符合题意． 4．【答案】A 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．根据加减消元法逐项计算判断即可． 【详解】解：， A、，得，故此选项符合题意； B、，得，故此选项不符合题意； C、，得，故此选项不符合题意； D、，得，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．【答案】B 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查二元一次方程组的消元方法. 通过代入或加减消元判断的正确性即可． 【详解】解：小明：由②得代入①，得，方程仍含y，消去的是x，故小明错误； 小亮：将得：，得：，两式相减得：，即，消去x，故小亮正确； 小华：将得：，与①相加后为：，即，消去的是y而非x，故小华错误； 小林：由②得，故小林错误； 故选B． 6．【答案】B 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设A、B、C、D的工作效率分别为、、、，通过比较各组合的工作效率，确定每个人的工作效率高低，从而找出单独完成时间最短的人即可． 【详解】解：设A、B、C、D的工作效率分别为、、、（效率指每天完成的工作量）．根据组合时间可得： 1． 2． 3． 4． 解前三个方程： 联立方程1、2、3，得： ，，． 比较可知：． 由方程4得：（负数不合理，说明D效率极低）． 综上，B的效率最高，单独完成时间最短，应安排B． 故选：B． 7．【答案】C 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，求出小长方形的边长是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，根据图形可得，解出的值，再利用阴影部分的面积大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得，， 解得：， ， 阴影部分的面积． 故选C． 8．【答案】D 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】根据一次函数图象的特征解答即可． 【详解】解：A．两直线平行时，比例系数相等，，故正确，不符合题意； B．两直线平行，没有交点，故正确，不符合题意； C．两直线平行，没有交点，所以方程组无解，故正确，不符合题意； D．两直线平行，没有交点，所以方程组无解，故错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，掌握当两直线平行时比例系数相等是解题关键． 9．【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解与对应的两条一次函数图象交点坐标的关系，解题的关键是理解二元一次方程组的解就是其对应的两条直线的交点坐标． 确认直线方程与方程组中方程的对应关系，根据“方程组的解是两直线交点坐标”直接得出结果． 【详解】解析：二元一次方程组的解是其对应的两条一次函数图象交点的坐标． 已知方程组的解为，而直线 是方程的变形，直线是方程的变形，因此两直线的交点坐标即为方程组的解． 故选：B． 10．【答案】D 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、解一元一次方程（二）——去括号、三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，理解题意和图形、正确列出方程是解题关键． 设小长方形的长为，宽为，大长方形的另一边长为，根据题意和图形建立方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的另一边长为， 根据题意，得：， ， ， 将①代入，得：， 解得：， 经检验，是方程的解， 大长方形的周长为． 故选：D． 11．【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 通过将第二个方程减去第一个方程，直接得到的值． 【详解】解：由方程组， 由②①得： ， ， ， ． 故答案为． 12．【答案】 90千米/时 180千米/时 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，掌握追及问题和相遇问题的公式，以及根据路程=速度×时间建立方程组的方法是解题的关键． 同向而行时，相对速度为两车速度之差，路程为两车长度之和；相向而行时，相对速度为两车速度之和，路程同样为两车长度之和．根据这两个等量关系建立二元一次方程组，求解两车速度． 【详解】解：设普通列车速度为米/秒，动车组速度为米/秒， 两车总长度为：米， 相对速度为，时间秒：， 时间为​秒秒，相对速度为：， 即 ​解得： 因此：普通列车速度：米/秒，动车组速度：米/秒． 米/秒千米/小时，米/秒千米/小时， 故答案为：千米/时；千米/时． 13．【答案】 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据小明和小红拼的图形，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． 答：每个小长方形的周长为， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 14．【答案】2 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式；分别将，，解析式求出来，再计算，比较大小即可． 【详解】解：设过的直线为，过的直线为，过的直线为， 将代入得：， 解得：； 将代入得：， 解得：； 将代入得：， 解得：； ∴，，， ∴最小值为2． 故答案为：2． 15．【答案】 3 12 15 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，审清题意、正确列出三元一次方程组成为解题的关键． 设A种零件生产x天，B种零件生产y天，C种零件生产z天，根据“每天能生产A种零件200个，或者B种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分别取1个、2个、3个才能配成一套，四月份共有30天”列出一个三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设A种零件生产x天，B种零件生产y天，C种零件生产z天， 根据题意得：解得：， 所以A种零件生产3天，B种零件生产12天，C种零件生产15天． 故答案为：3，12，15． 16．【答案】a，b的值分别为3，0 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组求解，准确的计算是解题的关键． 根据关联点的定义，把代入方程组中，即可求解． 【详解】解：由题意得，把代入方程组中， 得，， 解得． 17．【答案】(1) (2)9 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）整点问题，即是求出当，，，，时分别求出函数和的图象与x轴围成的几何图形中整点个数即可． 【详解】（1）令，则，解得， ∴点P的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴， （2）令则，解得：， 令则，解得：， 当是，有1个整点，整点为； 当是，有2个整点，整点为，； 当是，有3个整点，整点为，，； 当是，有2个整点，整点为，； 当是，有1个整点，整点为； ∴共有9个整点． 18．【答案】(1) 不是 (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、数字问题(一元一次方程的应用)、构造二元一次方程组求解 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义列出方程求解即可； （3）根据新定义列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：不是，理由如下： ∵， ∴不是“三二一数对”； （2）解：∵数对是“三二一数对”， ∴， ∴， ∵， ∴该数对的“和差数对”为：； （3）解：∵数对是“三二一数对”， ∴， ∵的“和差数对”满足条件：， ∴， ∴，整理得：， 联立方程组得：， 解得：． 【点睛】本题考查了新定义的运算、有理数的混合运算、一元一次方程、二元一次方程组的解法等，关键是根据题意列出正确的方程或代数式． 19．【答案】(1) (2) 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键． （1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可； （2）令第一行第二列为，第三行第三列为，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元一次方程组，整理后求解即可 【详解】（1）解：由题意可知，， 即； （2）解：如图，令第一行第二列为，第三行第三列为， 则，即， 解得：； 20．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】代入消元法、二元一次方程组的特殊解法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查解二元一次方程组，三元一次方程组，整体代入消元，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将整体代入②式进行消元解方程组即可； （2）将①整体代入③即可求得c，然后即可求解其他未知数； （3）由第一个方程得，然后整体代入第二个方程即可求解． 【详解】（1）解：（1）， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 将①代入③得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 故原方程组的解为； （3）解：， 由①得， 把③代入②得， ， ， 化简得， 整理得， 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $