第一章 勾股定理 单元测试2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册勾股定理单元测试卷，通过10道单选、5道填空、5道解答题，覆盖定理应用、实际问题与文化传承，适配单元复习，培养几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|勾股定理及逆定理、网格直角三角形、最短路径|结合赵爽弦图（第8题）、蚂蚁爬行（第7题），体现文化与空间观念| |填空题|5题|实际应用（测温仪、公交车噪音）、网格构造、折叠问题|以医院测温（第11题）、书房噪音（第12题）创设真实情境，培养模型意识| |解答题|5题|四边形面积、航海问题、台风影响、定理证明与拓展|第20题从毕达哥拉斯证法到最值问题，层次递进，发展推理能力与创新意识|

第一章 勾股定理 单元测试2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 2．已知△ABC的三边长分别是3cm、4cm、5cm，则△ABC的面积是（    ） A．6cm2 B．15cm2 C．24cm2 D．10cm2 3．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 4．小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边和的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断是不是直角，这样做的依据是（   ） A．勾股定理 B．若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 5．如图，中，，，．以，为直角边，构造；再以，为直角边，构造；……，按照这个规律，在中，点到的距离是（    ） A． B． C． D． 6．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 7．如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（　　） A．13 B． C．15 D．10 8．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 9．如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（    ）. A． B． C．30 D．70 10．小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 11．某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高 米的市民正对门缓慢走到离门米的感应器地方时（即米），则人头顶离测温仪的距离等于________ 米．    12．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 13．已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 14．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______． 15．按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则______． 三、解答题 16．如图，有一块四边形空地需要测量面积，经技术人员测量，已知∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．请用你学过的知识计算出这块空地的面积．    17．如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 18．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 19．小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离． 20．勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B B A A D A B 1．【答案】C 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：，，的对边分别是，，，， 为斜边， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 2．【答案】A 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵△ABC的三边分别是3cm，4cm，5cm， 又∵， ∴△ABC是直角三角形，且边长为3cm和4cm的边为两条直角边， ∴． 故选A． 【点睛】此题考查的是直角三角形的判定和求三角形的面积．掌握利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键． 3．【答案】B 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 4．【答案】B 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，如果，则可判断是直角三角形，由此可推断是否为直角． 【详解】解：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足，则可判断是直角三角形，即为直角；若，则不是直角． 故选：B． 5．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理求出和，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，， ∴， 同理可求，， 点到的距离是h， ∵， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么． 6．【答案】A 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】此题考查了直角三角形的判定，网格的性质， 根据题意分别作出以A，B，C三点为顶点的直角三角形，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∴这样的点C共有5个． 故选：A． 7．【答案】A 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点，的最短距离为线段的长， 由图可知：，， 为最短路径为：， 则蚂蚁爬的最短路线长为13， 故选：A． 8．【答案】D 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 9．【答案】A 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键． 根据题意直接运用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理得：． 故选：A． 10．【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处，， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则， ∴， 解得， 即， 故选：B． 11．【答案】1 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：过点D作，如图所示，    ∵，，， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：米， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度． 12．【答案】70 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13．【答案】7 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 14．【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用——求最短路径，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体展开，连接， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，， ∴，， 根据两点之间线段最短，， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形，第二次折叠，得出，由此可解． 【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ， 第二次折叠，得出， ， 故答案为：． 16．【答案】四边形ABCD的面积为234平方米． 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证明∠ADC＝90°，然后根据S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC即可求出空地的面积． 【详解】连接AC． 在Rt△ABC中， ∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15， ∴AC2＝A2+BC2＝202+152＝252， 在△ADC中， CD＝7，AD＝24，AC＝25， ∴AD2+CD2＝242+72＝252＝AC2， ∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC15×207×24＝234（平方米）， ∴四边形ABCD的面积为234平方米．    【点睛】本题考查勾股定理的应用和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 17．【答案】它们航行两小时后，相距． 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查解决航海问题（勾股定理的应用）． 根据题意可得，，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ∴， ∴它们航行两小时后，相距． 18．【答案】(1) 解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； (2)持续小时 【知识点】用勾股定理解三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （3）假设当，时，正好影响港口，利用勾股定理得出，，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图，假设当，时，正好影响港口， ∴，， ∴， ∵台风的速度为千米/小时， ∴（小时）， 答：海港受台风影响的时间会持续小时． 19．【答案】公里． 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】先利用勾股定理求出的长，设公里，从而可得的长，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：由题意得：公里，公里，，， （公里）， 设公里，则公里， 在中，，即， 解得（公里）， 答：小渝家到见面地点的距离为公里． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 20．【答案】(1) 验证：在图中，， 在图中， ∴， ∴． (2)； (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、勾股定理的证明方法、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】（1）利用正方形的面积一定，得出等式，化简即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而计算即可； （3）利用勾股定理，结合（2）的思路，得出的最小值为的长即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴最大为． （3）解：由图可得，，， ∴， 由（2）可知，点在线段上时，取最小值， ∴的最小值为的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $