第1章勾股定理 单元测试 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学勾股定理单元卷，知识覆盖全面，融合文化传承（赵爽弦图、《九章算术》）与实际应用（旗杆、云梯），通过基础到综合的问题设计，培养抽象能力、几何直观与推理意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股定理基本应用、赵爽弦图、勾股数判定|结合赵爽弦图（第2题）考查面积关系，体现文化传承| |填空题|8/24|折竹问题、网格角度计算、勾股树规律|以折竹问题（第11题）强化实际应用，培养数学眼光| |解答题|7/66|旗杆高度、云梯滑动、《九章算术》问题|综合《九章算术》“开门去阃”（第22题），提升推理与建模能力|

2026-2027学年八年级数学上册第1章勾股定理单元测试题北师大版 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）在△ABC中，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，则a、b、c的关系是（　　） A．c2＝a2+b2 B．b2＝a2+c2 C．a2＝c2+b2 D．b＝a+c 2．（3分）如图，这是用面积为6的四个全等的直角三角形，△ABE，△BCF，△CDG和△DAH拼成的“赵爽弦图”，如果AB＝5，那么正方形EFGH的边长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（3分）五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列．三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积．问含有问号的那个正方形的面积是多少？（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 4．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．10，15，18 C．，， D．6，8，10 5．（3分）下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．AB＝AC＝1，BC＝2 B．BC：AC：AB＝1：2：3 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A+∠B＝∠C 6．（3分）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 7．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是（　　） A．18 B．19 C．26 D．34 8．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 9．（3分）下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，已知树EF（垂直于地面）上的点B处（BE＝5米）有两只松鼠，为抢到A处（点A，E在同一水平地面上，AE＝10米）的坚果，一只松鼠沿B﹣E﹣A到达点A处，另一只松鼠沿B﹣F﹣A到达点A处．若两只松鼠经过的路程相等，则树EF的高为（　　） A．6.5米 B．7.0米 C．7.5米 D．8米 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（3分）有一根高度为18米的竹子，在某处弯折后尖端落在地上，竹尖与竹根的水平距离是6米，则竹子弯折处距离地面的高度是　 　 米． 12．（3分）已知直角三角形的两边边长分别为4，5，则第三边的平方为　 　 ． 13．（3分）在△ABC中，若AC2＝BC2﹣AB2，则∠　 　 ＝90°． 14．（3分）如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1m，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为5m，利用勾股定理求出旗杆的高度约为　 　 m． 15．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为　 　 °． 16．（3分）如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为 　 　 m2． 17．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC+∠ACB＝　 　 ．（点A，B，C是网格线交点）． 18．（3分）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第七代勾股树中正方形的个数为　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．在边BC上有一点P，连接AP，且PA＝PB，若AC＝2，CB＝5，求PA的长． 20．（8分）如图，小肖同学从滑雪台A处开始向下滑至B处．已知滑雪台的高度AC为14米，滑雪台整体的水平距离BC比滑雪台的长度AB短2米，则滑雪台的长度AB为多少米？ 21．（8分）如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距5米后，发现下端刚好接触地面．请你求出旗杆的高度． 22．（10分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙CD＝4寸，点C、点D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺（1尺＝10寸），求AB的长． 23．（10分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． （1）求AD的长； （2）判断△ABC的形状． 24．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC＝15，CD＝12，AD＝16． （1）求BD的长； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 25．（12分）如图所示，一架25米长的云梯AC斜靠一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C离墙7米． （1）这个梯子的顶端A距离地面多远？ （2）如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 参考答案 一．选择题 1．解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c， ∴b是斜边， ∴b2＝a2+c2， 故选：B． 2．解：∵正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4S△ABE＝52﹣4×6＝1， ∴正方形EFGH的边长＝1， 故选：D． 3．解：如图， 根据题意，得AB2＝3，AC2＝22，FG2＝8，∠BAC＝90°，∠FGE＝90°，BC＝EF， ∴BC2＝AB2+AC2＝22+3＝25， ∵BC＝EF， ∴EF2＝25， 又∵∠FGE＝90°，FG2＝8， ∴EG2＝EF2﹣FG2＝25﹣8＝17， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 故选：D． 4．解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； B、102+152≠182，不是勾股数，故此选项不合题意； C、，，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； D、62+82＝102，且都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意； 故选：D． 5．解：A、∵AB＝AC＝1，BC＝2， ∴AB2+AC2＝12+12＝2，BC2＝22＝4， ∴AB2+AC2≠BC2， ∴△ABC不是直角三角形， 故此选项不符合题意； B、∵BC：AC：AB＝1：2：3， ∴设BC＝a，AC＝2a，AB＝3a， ∵BC2+AC2＝a2+4a2＝5a2，AB2＝（3a）2＝9a2， ∴BC2+AC2≠AB， ∴△ABC不是直角三角形， 故此选项不符合题意； C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴最大角， ∴△ABC不是直角三角形， 故此选项不符合题意； D、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故此选项符合题意； 故选：D． 6．解：由图可得， x2+62＝（10﹣x）2， 故选：C． 7．解：如图，连接AC， ∵S1＝8，S2＝11，S3＝15， ∴AD2＝8，AB2＝11，BC2＝15， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝26， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2， ∴CD2＝26﹣8＝18， ∴S4＝18， 故选：A． 8．解：A、∵22+32＝13，42＝16， ∴22+32≠42， ∴不能构成直角三角形， 故A不符合题意； B、∵3+3＝6， ∴不能构成三角形， 故B不符合题意； C、∵62+82＝100，102＝100， ∴62+82＝102， ∴能构成直角三角形， 故C符合题意； D、∵52+72＝74，92＝81， ∴52+72≠92， ∴不能构成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 9．解：∵每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，∴每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方， A：由勾股定理得：S＝4+9＝13，故A不符合题意； B：S＝9﹣4＝5，故B符合题意； C：S＝4+3＝7，故C不符合题意； D：S＝4﹣3＝1，故D不符合题意； 故选：B． 10．解：设设BF为xm，则EF＝（5+x）m， 由题意知：BE+AE＝15m， ∵两只松鼠所经过的路程相等， ∴BF+AF＝15m， ∴AF＝（15﹣x）m， 在Rt△AEF中，由勾股定理得： 102+（x+5）2＝（15﹣x）2， 解得x＝2.5， ∴EF＝5+2.5＝7.5（m）， 答：这棵树高7.5米． 故选：C． 二．填空题 11．解：设竹子弯折处距离地面的高度为x米，则弯折后形成的斜边长度为（18﹣x）米． 由题意可得方程：x2+62＝（18﹣x）2， 解得：x＝8， 故答案为：8． 12．解：当5是直角边长时，第三边的平方＝42+52＝41； 当5是斜边长时，第三边的平方＝52﹣42＝9， 故答案为：41或9． 13．解：∵AC2＝BC2﹣AB2， ∴AC2+AB2＝BC2， 则△ABC是直角三角形，且边BC是斜边， ∴∠BAC是直角． 故答案为：BAC． 14．解：设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为（x+1）米， 在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2， 解得，x＝12． 答：旗杆的高度为12米． 15．解：连接AC， 由勾股定理得：AC2＝22+12＝5， BC2＝22+12＝5， AB2＝12+32＝10， ∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°， 故答案为：45． 16．解：如图，连接AC． 在△ACD中，∵AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°， ∴AC＝15m， 又∵AC2+BC2＝152+202＝252＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×15×20﹣×9×12＝96（平方米）． 故答案为：96． 17．解：延长BA交格点于D，连接CD， 则AD2＝CD2＝1+22＝5，AC2＝12+32＝10， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝45°． 故答案为：45°． 18．解：第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个）， 第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个）， 第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个）， …， 第七代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26+27＝255（个）， 故答案为：255． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．解：设PA＝x＝PB，可得：CP＝5﹣x， ∵根据勾股定理可得：AC2+CP2＝PA2， ∴22+（5﹣x）2＝x2， ， ∴PA的长为． 20．解：设AB的长为x米．则BC的长为（x﹣2）米． ∵AC＝14米，△ABC是直角三角形，∠C＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴142+（x﹣2）2＝x2，解得x＝50． 答：滑雪台的长度AB为50米． 21．解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米， 根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2， 解得，x＝12． 答：旗杆的高度为12米． 22．解：设AE＝BF＝x寸，则AC＝（x+2）寸， ∵AE2+CE2＝AC2， ∴x2+102＝（x+2）2， 解得：x＝24， 则AB＝24+24+4＝52（寸）， 答：AB的长为52寸． 23．解：（1）在△BCD中，CD⊥AB， ∴BD2+CD2＝BC2． ∴CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144． ∴CD＝12． 在△ACD中，CD⊥AB， ∴CD2+AD2＝AC2． ∴AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256． ∴AD＝16（负值已舍）． （2）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AD＝16，BD＝9， ∴AB＝AD+BD＝16+9＝25． ∵BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625， ∴AB2＝BC2+AC2． ∴△ABC是直角三角形． 24．解：（1）在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，CD＝12，BC＝15， ∴BD2＝BC2﹣CD2＝152﹣122＝81， ∴BD＝9； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： 在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，CD＝12，AD＝16， ∴AC2＝CD2+AD2＝122+162＝400， ∴AC＝20． ∵AD＝16，BD＝9， ∴AB2＝（AD+BD）2＝252＝625， ∵AC＝20，BC＝15， ∴AC2+BC2＝400+225＝625， ∴AC2+BC2＝AB2， 所以△ABC是直角三角形． 25．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2， 即AB2+72＝252， ∴AB＝24m， 答：这个梯子的顶端A距地面有24m远； （2）∵梯子的顶端A下滑了4m至点D， ∴BD＝AB﹣AD＝24﹣4＝20（m）， 在Rt△BDE中，由勾股定理得BD2+BE2＝DE2， 即202+BE2＝252， ∴BE＝15m， ∴CE＝BE﹣BC＝15﹣7＝8（m）， 答：梯子的底端在水平方向滑动了8m． 学科网（北京）股份有限公司 $