第四章 一次函数 单元测试2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第四章一次函数单元卷，以生活与跨学科情境为载体，覆盖函数图像、性质及实际应用，注重数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（模型意识）的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|函数图像信息、正比例函数定义、一次函数性质|结合运动情境（小华跑步路线）、物理现象（竖直上抛运动）考查数形结合| |填空题|5题|函数与不等式、几何综合、勾股定理结合|设计“勾股一次函数”创新概念，融合代数与几何| |解答题|5题|动点问题、分段函数计费、函数图像绘制|以节约用水分档计费、长方形动点面积为载体，培养模型意识与应用能力|

第四章 一次函数 单元测试2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图1，小华家、报亭、羽毛球馆在一条直线上，小华从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小华离家距离与时间之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（    ） A．小华从报亭散步回家用了 B．小华从羽毛球馆到报亭平均每分钟走 C．报亭到小华家的距离是 D．小华打羽毛球的时间是 2．下列各题中的与之间关系式中，是的正比例函数的是(   ) A．在时速为的匀速(速度不变)运动中，路程与时间之间的关系 B．圆柱的体积与它的底面半径之间的关系 C．正方形的面积与它的边长之间的关系 D．某车站规定旅客可以免费携带不超过的行李，超过部分每千克收取元的行李费用，则旅客需交的行李费(元)与携带行李质量()之间的关系 3．若点在直线上，则（    ） A．15 B．9 C．5 D． 4．，是正比例函数图象上的两个点，则，的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 5．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，已知一次函数和的图象交于点，根据图象可得，关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 6．一次函数的图象如图所示，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C．2 D．0 7．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 8．从地面竖直向上抛射一个物体，在物体落地之前，物体的速度（单位：）与运动时间（单位：s）之间的函数关系式为，则下列分析正确的是（   ） A．每经过1秒，该物体的速度增加 B．每经过1秒，该物体的速度增加 C．该物体抛出时的初始速度为 D．该物体抛出时的初始速度为 9．如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序． a、运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系） b、静止的小车从光滑的斜面滑下（小车的速度与时间的关系） c、一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系） d、小明从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速度原路返回（小明离A地的距离与时间的关系） 正确的顺序是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，一次函数的图象经过，两点，那么当时，的取值范围是_____．    12．如图，已知一次函数的图像如图所示，则方程的解为______ ；若点和点在一次函数的图像上，则______ 用“>”“<”或“=”连接 13．如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为________．    14．小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻（单位：）与温度（单位：）之间满足函数关系式，当温度时，电阻______． 15．已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为______． 三、解答题 16．如图，长方形ABCD中，AB=2cm，BC=3cm，P，Q两动点同时从点B出发，点P沿BA→AD以1cm/s的速度向终点D匀速运动，点Q沿BC→CD以1cm/s的速度向终点D匀速运动．设点P的运动时间为t(s)，△BPQ的面积为S(cm2)． (1)填空：点P的运动时间为________； (2)用含的式子表示，并直接写出的取值范围． 17．在平面直角坐标系中，是原点，已知点．直线是一次函数的图象． (1)当时，求直线与轴的交点坐标； (2)当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围． 18．用8cm长的细铁丝围成一个等腰三角形，腰长为xcm，底边长为ycm． （1）求y关于x的函数解析式； （2）在如图的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 19．如图，在中，，，，M为AB边上一动点，，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）． 小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值： x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0 请你通过计算，补全表格：______； (2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数y关于x的图像； (3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：______． (4)解决问题：当时，AM的长度大约是______cm．（结果保留两位小数） 20．为了鼓励市民节约用水，三明市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量（） 单价（元） 第一档 3.5 第二档 5.0 第三档 6.5 (1)当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1020元，求该户去年一年的用水量． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B A D C C D B 1．【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象，理解函数图像上点的坐标的实际意义，数形结合是解题的关键． 根据函数图象，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 从函数图象可得出，小华从报亭散步回家用了分钟，故该选项正确，不符合题意；     B. （米/分钟），即小华从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米，故该选项正确，不符合题意； C. 从函数图象可得出，报亭到小华家的距离是米，故该选项正确，不符合题意； D. 小华打羽毛球的时间是分钟，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 2．【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的识别，根据正比例函数的定义，为常数逐一判断各选项． 【详解】正比例函数需满足为常数)， 选项A：匀速运动中，路程y与时间x关系为，符合形式； 选项B：圆柱体积与半径关系为 为常数不符合； 选项C：正方形面积与边长关系为，不符合； 选项D：行李费与质量关系为，不符合． ∴只有A选项是正比例函数． 故选：A． 3．【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的性质，将点代入，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 解得：， 故选：C． 4．【答案】B 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数的性质，关键是根据系数正负判断函数的增减性． 根据正比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵在函数中，， ∴， ∴随的增大而增大． ∵， ∴． 故选：B． 5．【答案】A 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了利用图象法解一元一次方程，根据一次函数和的图象交于点即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴根据图象可得，关于x的方程的解为， 故选：A． 6．【答案】D 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了一次函数与方程，根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于x的方程的解， 故选：D． 7．【答案】C 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案， 故选：C． 8．【答案】C 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，由物体的速度与运动时间之间的函数关系式为，根据一次函数性质逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由物体的速度与运动时间之间的函数关系式为， ∴每经过秒，该物体的速度减少，故选项错误，不符合题意； 当时，，所以该物体抛出时的初始速度为，故选项正确，选项错误， 故选：． 9．【答案】D 【知识点】用图象表示变量间的关系、函数图象识别 【分析】①是抛物线图象；②是一次函数图象；③是分段函数图象；④是正比例函数图象．据此进行解答即可． 【详解】解：a：运动员推出去的铅球的运动轨迹是抛物线，即①所显示的图形； b：静止的小车从光滑的斜面滑下，小车的速度会在0的基础上，随着时间的变化越来越快，即④所显示的图象； c：一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加，弹簧的长度会随着所挂重物的质量的增加而变长，因为弹簧伸长的长度是在原有弹簧长度的基础上变化的，故选②； d：小明从A地到B地这一过程，小明离A地的距离会随着时间的增长而增加；在“停留一段时间”这个过程中，小明离A地的距离不会变化；在“原速度原路返回”的过程中，小明离A地的距离会随着时间的增长而减小，一直到回到原地，即③的图象． 故正确的顺序是． 10．【答案】B 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，然后根据平移的规律，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵边长为3的正方形中，点的坐标为， ∴，， 将直线沿轴向上平移个单位后解析式为，， 当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D， 当经过点D时，有，解得，； 当经过点B时，有，解得，； ∵直线与正方形有交点， ∴的取值范围是． 11．【答案】 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】根据函数图象，找出当时，自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴由图可知，当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握根据函数图象写出不等式解集的方法． 12．【答案】 4 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、比较一次函数值的大小 【分析】此题主要考查了一次函数图像与一元一次方程，关键是正确利用数形结合的方法从图像中找到正确答案；根据一次函数的图像经过点，进而得到方程的解；再根据函数的增减性解答即可． 【详解】解：根据图像可得，一次函数经过点， 因此关于x的方程的解； 由图象可知，y随x的增大而增大， ， 故答案为：4；． 13．【答案】 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，解题的关键是先求出，再根据的面积被y轴平分，得出点P与点A的横坐标互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解得， 则， ∵的面积被y轴平分， ∴点P与点A的横坐标互为相反数， ∴点P的横坐标为， ∵点P在直线上， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】将代入已知函数关系式，计算即可得到电阻的值即可． 【详解】解：把代入得：， 即当温度时，电阻． 15．【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、列一次函数解析式并求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，完全平方公式的变形运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 根据一次函数的性质可得，根据勾股定理可得，，根据完全平方公式的变形运算即可求解． 【详解】解：根据题意，点在“勾股一次函数”的图象上， ∴，即， ∴， ∵是直角的三边，为斜边， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，（负值舍去）， 故答案为： ． 16．【答案】(1)5 (2) 【知识点】函数解析式、动点问题的函数图象 【分析】（1）根据路程、速度、时间的关系即可求解； （2）分三种情况讨论，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：点P的运动的路程为 BA+AD=2+3=5(cm)， ∴点P的运动的时间为5÷1=5(s)， 故答案为：5； （2）解：①当0＜1≤2时，如图， 由题意得：BP=BQ=t， ∴S=BP⋅BQ=×t×t=t2； ②当2<t⩽3时，如图， 作PE⊥BC， 由题意得：BQ=t，PE=2， S=BQ⋅PE=×t×2=t； ③当3<t<5时，如图， 由题意得：AP=t−2，CQ=t−3，PD=5−t，DQ=5−t， S=S长方形ABCD−SΔPAB−SΔPDQ−SΔBCQ =AB⋅BC−AB⋅AP−DP⋅DQ−BC⋅CQ =2×3−×2×(t−2)−×(5−t)2−×3×(t−3) =−t2+t． 注：当t=5时，点P，Q重合，点B，P，Q不构成三角形． 综上，． 【点睛】本题主要考查了动点问题的关系式和三角形面积的表示，根据动点的位置进行分类讨论是解决问题的关键． 17．【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，与坐标轴的交点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，令则，得直线与轴的交点坐标为，即可作答． （2）先分别把代入得出的值，再结合直线与线段有交点，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵直线是一次函数的图象，且 ∴， 令，则， 解得， ∴直线与轴的交点坐标为； （2）解：依题意，把代入， 得， 解得， 把代入， 得， 解得， ∴当直线与线段有交点时，则． 18．【答案】（1）； （2）画图如下： 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】（1）由周长定义可得y关于x的函数解析式，求自变量x的取值范围，要注意三角形的特点，两边之和大于第三边． （2）由（1）的结论，在平面直角坐标系中描点，连线即可． 【详解】解：（1）由题意，得2x+y＝8， ， 由，得， 又， ， 故， ； （2）略 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，准确计算是解题的关键． 19．【答案】(1)3.2 (2) 解：如图所示， (3)y随x的增大而减小 (4)1.67 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先求出AB边上的高，进而求出AM'，判断出点M与M'重合，即可得出答案； （2）先描点，再连线，即可画出图像； （3）根据图像直接得出结论； （4）利用表格和图像估算出AM的长度． 【详解】（1）解：如图， 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AC＝5， 过点C作CM'⊥AB于M， ∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CM'， ∴CM'＝， 在Rt△ACM'中，根据勾股定理得，AM'＝， 当a＝1.8时，点M与点M'重合， ∴CM⊥AB， ∵BN⊥CM， ∴点M，N重合， ∴a＝BN＝BM＝AB﹣AM＝3.2， 故答案为：3.2； （2）略 （3）解：由图像知，y随x的增大而减小， 故答案为：y随x的增大而减小； （4）解：如图，直线OD的解析式为， 借助表格和图像得，当BN＝2AM时，AM的长度大约是1.67cm， 故答案为：1.67． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积，函数图像的画法，画出函数图像是解本题的关键． 20．【答案】(1) (2)该户这一年的水费是920元 (3)该户去年一年的用水量是 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、梯度计价问题 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据得到某用户的用水量处于第二档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用水量处于第二档，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，第一档的水费为元，超过部分的水量为，这部分按单价5元计费． 所以水费，化简可得：， 即当时，与之间的关系式为； （2）解：因为，将代入可得： （元）， 所以该户这一年的水费是920元； （3）解：当时，代入可得： （元）， 因为， 所以该用户用水量在第二档，即． 将代入，可得， 解得． 所以该户去年一年的用水量是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $